江西省吉安市六校協(xié)作體2024屆高三下學期5月聯(lián)合數(shù)學試題 含解析

吉安市2024屆高三吉水中學吉安縣立中學峽江中學永豐中學井岡山中學泰和中學六校協(xié)作體5月聯(lián)合考試數(shù)學試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為實數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法法則化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，然后由復(fù)數(shù)的分類得出結(jié)論．【詳解】由，為實數(shù)，，解得．故選：B．2.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)向量垂直的坐標運算可求.【詳解】兩邊平方得，所以，解得.故選:D.3.已知圓與直線有公共點，則整數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】求出圓心和半徑，由點到直線距離得到不等式，求出答案.【詳解】由題意可知圓的標準方程為，圓心為，半徑，所以，得，即，可得，又，故.故選：B.4.已知三棱錐的所有棱長均為6，點分別在棱上，，則四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)結(jié)合已知，可以推斷出的中點為的中心，則為高，再根據(jù)的面積關(guān)系，即可利用正面體的體積求所求體積.【詳解】如圖，因為，，所以，，所以，取的中點，延長BO交CD于M，底面如下圖所示：因為在等邊中，，，所以，所以，所以為等邊的重心，也是中心，則平面，所以，故.故選：C.5.為營造歡樂節(jié)日氣氛?傳承傳統(tǒng)習俗，同時又要確保公共安全，某市決定春節(jié)期間對煙花爆竹燃放實施“禁改限”，規(guī)定可以在農(nóng)歷正月初一到初六及十五在市區(qū)兩個規(guī)定區(qū)域燃放煙花爆竹，甲?乙兩人各自決定從這7天選1天去中的一個區(qū)域燃放煙花爆竹，若甲?乙兩人不在同一天去同一個地方，則去的種數(shù)為（）A.35 B.84 C.91 D.182【答案】D【解析】【分析】用分步乘法原理，分別從七天中任選一天，再任選一個地區(qū)，然后減去重復(fù)的，即兩人同一天選同一個地區(qū)，計算即可.【詳解】甲、乙兩人不在同一天去同一個地方的種數(shù)為.故選：D.6.若，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分離常數(shù)可得，設(shè)，根據(jù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由，得，設(shè)，則，設(shè)，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，又，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A7.若，則（）A-2 B.2 C.-1 D.1【答案】C【解析】【分析】由，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，求解即可.【詳解】因為，所以，即，所以.故選：C.8.已知正項數(shù)列的前項和滿足，若，記表示不超過的最大整數(shù)，則（）A.37 B.38 C.39 D.40【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和的關(guān)系，消去，可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出，再根據(jù)放縮和裂項相消法即可求出，從而根據(jù)新定義解出.【詳解】因為，當時，，，．當時，由及，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，因此，則，，又當時，，，對于n∈N∴f400即，．故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.比亞迪將在2024年發(fā)布第二代刀片電池，能量密度更高，帶來更長的續(xù)航里程，更耐低溫，除此之外還將發(fā)布高壓平臺，實現(xiàn)充電分鐘續(xù)航500公里.已知在每款新能源電車正式發(fā)布前要對每輛車進行續(xù)航?抗壓等相關(guān)系數(shù)的測驗，現(xiàn)隨機抽取將要上市發(fā)布的8臺新能源電車進行續(xù)航系數(shù)測評，得到下列一組樣本數(shù)據(jù)：，則（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1 B.這組數(shù)據(jù)的極差為3C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.5 D.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為2【答案】AD【解析】【分析】把給定數(shù)據(jù)由小到大排列，再利用眾數(shù)、極差、平均數(shù)及分位數(shù)的意義依次判斷即得.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為，對于A，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1，A正確；對于，極差為4，B錯誤；對于C，平均數(shù)為，C錯誤；對于D，由，得這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第4個數(shù)2，D正確.故選：AD10.已知點是橢圓上關(guān)于原點對稱且不與的頂點重合的兩點，的左?右焦點分別為，點為原點，則（）A.的離心率為B.值可以為3C.D.若的面積為，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項，求出；B選項，先設(shè)，計算出，從而得到；C選項，由對稱性和橢圓定義求出C正確；D選項，由三角形面積求出點坐標，得到，得到D正確.【詳解】A選項，橢圓中，，離心率為，A正確；B選項，設(shè)，且，則，故，所以，B錯誤；C選項，由對稱性可得，所以，C正確；D選項，不妨設(shè)在第一象限，，則，則，則，則，故，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.的值域為C.若方程在上有6個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是D.若方程在上有6個不同的實根，則的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)是否成立判斷A，利用分段函數(shù)判斷BC，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性畫出分段函數(shù)的圖象，求出的取值范圍，再利用對稱性判斷D.【詳解】因為，所以，所以的圖象不關(guān)于點對稱，A說法錯誤；當時，，由可得，當時，，由可得，綜上，B說法正確；當時，由解得，當時，由解得，所以方程在上的前7個實根分別為，所以，C說法正確；由解得或，又因為，所以根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得圖象如圖所示，所以有4個不同的實根，有2個不同的實根，所以，解得，設(shè)，則，所以，所以的取值范圍是，D說法錯誤，故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)集合，則集合的子集個數(shù)為__________.【答案】4【解析】【分析】由交集的運算得到，再由集合子集的個數(shù)計算公式計算即可.【詳解】由題意可得，故的子集個數(shù)為.故答案為：4.13.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】由余弦定理可得，利用基本不等式可求最小值.【詳解】由題意可得，由余弦定理可得，因為，所以，所以，所以根據(jù)基本不等式，當且僅當，即時等號成立.故答案為：.14.在以為原點的平面直角坐標系中，和分別為雙曲線的左?右焦點，點為右支上一點，且是以為頂點的直角三角形，延長交的左支于點，若點為線段上靠近點的五等分點，則的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系和余弦定理得出，進而得到，即可求出離心率.【詳解】由點為線段上靠近點的五等分點，不妨設(shè)，則，連接.由雙曲線的定義可知，.由是以為頂點的直角三角形可知，，則①.在中，②，在中，③，由①②得，所以；由①③得，所以.所以，解得，所以，所以，故.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)有2個零點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義求切線的斜率，再代入求出，然后由點斜式求出直線方程即可；（2）求導(dǎo)后分大于零和小于等于零討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值小于零時的取值范圍即可；【小問1詳解】當時，，所以，所以，因為，所以曲線在處的切線方程為，即.【小問2詳解】，若在上單調(diào)遞增，不滿足題意，若，令得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當和時，，故，解得，即的取值范圍是.16.2023年10月國家發(fā)改委?工信部等部門聯(lián)合印發(fā)了《加快“以竹代塑”發(fā)展三年行動計劃》，該計劃將推動“以竹代塑”高質(zhì)量發(fā)展，助力減少塑料污染，并將帶動竹產(chǎn)業(yè)新一輪的增長.下表為2019年—2023年中國竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模（單位：千億元），其中2019年—2023年的年份代碼依次為.123452.893.223.824.345.41（1）記第年與年中國竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模差值的2倍的整數(shù)部分分別為，從中任取2個數(shù)相乘，記乘積為，求的分布列與期望；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)及相關(guān)系數(shù)，判斷能否用線性回歸模型擬合中國竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模與年份之間關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：，，，相關(guān)系數(shù)若，則認為與有較強的相關(guān)性.【答案】（1）分布列見解析，（2）可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，確定，，，的值，由此確定的取值，求出分布列及期望即可；（2）根據(jù)已知條件，利用公式求出相關(guān)系數(shù)即可.【小問1詳解】第年和第年中國竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模差值的2倍為，整數(shù)部分為，所以；第年和第年中國竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模差值的2倍為，整數(shù)部分為，所以；第年和第年中國竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模差值的2倍為，整數(shù)部分為，所以；第年和第年中國竹產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值規(guī)模差值的2倍為，整數(shù)部分為，所以；所以，，所以的取值依次為，，所以的分布列為：012所以.【小問2詳解】由題意得，，，，，，所以，.因為與的相關(guān)系數(shù)大于0.75，說明與的線性相關(guān)程度高，可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.17.如圖，為圓錐的軸截面，點為圓上與不重合的點.（1）在線段上找一點，使平面平面，并證明你的結(jié)論；（2）若平面，點在平面的兩側(cè)，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）點為中點，證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）當為的中點時，平面平面，理由：由已知可得，，利用線線垂直可得平面，可得結(jié)論；（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，求得平面平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式可求平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】當為的中點時，平面平面，證明如下：因為為圓的直徑，所以，當點為中點時，，所以，在圓錐中，平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以當點為中點時，平面平面.【小問2詳解】以點為原點，直線為軸?過點與平面垂直的直線為軸?直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則有，取，得設(shè)平面的一個法向量為，則有，取，得設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知點拋物線上不同三點，直線與拋物線相切.（1）若直線的斜率為2，線段的中點為，求的方程；（2）若為定值，當變動時，判斷是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.【答案】（1），；（2）是定值0.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的斜率和中點坐標，得到，得到的方程，求出直線方程，聯(lián)立拋物線，根據(jù)根的判別式為0求出，得到的方程；（2）由（1）知，直線斜率存在且為，表達出直線的方程，與聯(lián)立，根據(jù)根的判別式為0求出，同理可得，兩式相減得到.【小問1詳解】因為直線的斜率為2，線段的中點為，所以，所以直線的斜率為，所以的方程為，直線方程為，即，與聯(lián)立得，因為直線與相切，所以，解得，所以的方程為.【小問2詳解】由（1）知，直線斜率存在且為，設(shè)直線在軸上的截距為，則，整理得所以直線的方程為，與聯(lián)立得，因為直線與相切，所以，整理得，同理可得，以上兩式相減得，由直線與相切可得，由不重合可得，所以，即為定值0.【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19.初中學過多項式的基本運算法則，其實多項式與方程的根也有密切關(guān)聯(lián).對一組變量，冪和對稱多項式，且；初等對稱多項式表示在中選出個變量進行相乘再相加，且.例如：對.已知三次函數(shù)有3個零點，且.記，.（1）證明：；（2）（i）證明：；（ii）證明：，且；（3）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）由