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文檔簡(jiǎn)介
1.微分方程含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程.注意:
微分方程分為常微分方程與偏微分方程,若微分方程中含有偏導(dǎo)數(shù)就稱為偏微分方程.本章我們只介紹常微分方程.微分方程的基本概念
2.微分方程的階
微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù),叫做微分方程的階.例
與為一階微分方程.為二階微分方程.一階微分方程的一般形式為或?yàn)殡A微分方程.
3.微分方程的解如果把某函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)代入微分方程,能使方程成為恒等式,那么這個(gè)函數(shù)就叫做微分方程的解.
(1)通解含有獨(dú)立的任意常數(shù),且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的解,叫做微分方程的通解.例如為的通解為的通解
(2)特解在通解中,利用已知條件(或初始條件)求出任意常數(shù)所應(yīng)取的確定數(shù)值,所得的解叫做微分方程的特解.
4.初始條件給定的條件或由實(shí)際問題確定的已知條件.解例5-4驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,并求滿足初始條件的特解.
5、解微分方程尋求微分方程的解的過程稱為解微分方程。所以故是原方程的解.把初始條件代入所以,所求特解為得形如的方程稱為可分離變量的微分方程即等式右端的函數(shù)可分解成的函數(shù)與的函數(shù)相乘的形式.(2)兩邊積分即得微分方程的通解.解法(1)將方程改寫成變量分離形式解分離變量,可化原方程為兩端積分例5-6
求微分方程的通解得整理記,則本例所求的通解為1、解:所以方程的通解為求解下列微分方程:為二階常系數(shù)線性齊次微分方程特征方程特征根求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般步驟:(1)寫出相應(yīng)的特征方程;(2)求出特征根;(3)根據(jù)特征根的不同情況,按下表寫出方程的通解.
(4)若問題要求出滿足初始條件的特解,再把初始條件代入通解中,即可確定、,從而獲得滿足初始條件的特解.例5-13求下列方程的通解解
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