江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 課時3 余弦定理（一）教學(xué)實錄 蘇教版必修5

江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第1章解三角形課時3余弦定理（一）教學(xué)實錄蘇教版必修5課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第1章解三角形課時3余弦定理（一）

2.教學(xué)年級和班級：高一年級

3.授課時間：2022年9月15日上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.理解余弦定理的推導(dǎo)過程，發(fā)展邏輯推理能力。

2.運用余弦定理解決實際問題，提升數(shù)學(xué)建模能力。

3.通過余弦定理的學(xué)習(xí)，提高解決幾何問題的幾何直觀和空間想象能力。三、重點難點及解決辦法重點：

1.余弦定理的推導(dǎo)過程及其應(yīng)用。

解決方法：通過幾何直觀和代數(shù)運算的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生自主探索和推導(dǎo)余弦定理。

難點：

1.余弦定理在解決實際問題中的應(yīng)用，尤其是非直角三角形的解法。

2.余弦定理在復(fù)雜幾何圖形中的應(yīng)用，如多邊形內(nèi)角和的計算。

解決方法：

-通過實例分析和問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解余弦定理在不同情境下的應(yīng)用。

-采用分組討論和合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在解決問題的過程中互相啟發(fā)，共同突破難點。四、教學(xué)方法與策略1.采用講授法結(jié)合問題引導(dǎo)，逐步揭示余弦定理的推導(dǎo)過程。

2.通過小組合作，讓學(xué)生參與余弦定理的推導(dǎo)和應(yīng)用，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)能力和問題解決能力。

3.利用多媒體展示幾何圖形，幫助學(xué)生直觀理解余弦定理的應(yīng)用場景。

4.設(shè)計實際案例，讓學(xué)生通過解決實際問題來加深對余弦定理的理解和運用。五、教學(xué)過程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：展示一張三角形圖片，提出問題：“如何確定三角形中某個角的余弦值？”

-回顧舊知：簡要回顧直角三角形中正弦、余弦的定義和性質(zhì)。

2.新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

-講解新知：詳細(xì)講解余弦定理的推導(dǎo)過程，包括三角形內(nèi)角和定理、余弦函數(shù)的定義等。

-舉例說明：通過具體例子，如等腰三角形的余弦定理應(yīng)用，幫助學(xué)生理解余弦定理。

-互動探究：分組討論，讓學(xué)生嘗試推導(dǎo)余弦定理，并分享推導(dǎo)過程。

3.鞏固練習(xí)（約20分鐘）

-學(xué)生活動：布置練習(xí)題，讓學(xué)生獨立完成，包括計算三角形各角的余弦值、解決實際問題等。

-教師指導(dǎo)：巡視課堂，解答學(xué)生疑問，指導(dǎo)學(xué)生正確運用余弦定理。

4.拓展應(yīng)用（約15分鐘）

-引導(dǎo)學(xué)生思考余弦定理在幾何證明中的應(yīng)用，如證明三角形全等、計算多邊形內(nèi)角和等。

-通過小組合作，讓學(xué)生嘗試解決一些綜合性問題。

5.總結(jié)與反思（約5分鐘）

-學(xué)生總結(jié)：讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)余弦定理的應(yīng)用。

-教師總結(jié)：強(qiáng)調(diào)余弦定理的重要性，提醒學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中注意余弦定理的靈活運用。

6.課后作業(yè)（約10分鐘）

-布置課后作業(yè)，包括練習(xí)題和思考題，鞏固學(xué)生對余弦定理的理解和應(yīng)用。

教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重以下幾點：

-創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

-引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂活動，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和問題解決能力。

-及時給予學(xué)生反饋，幫助學(xué)生糾正錯誤，提高學(xué)習(xí)效果。

-注重理論與實踐相結(jié)合，讓學(xué)生在實際問題中運用所學(xué)知識。六、教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-余弦定理在工程領(lǐng)域的應(yīng)用：介紹余弦定理在建筑、機(jī)械設(shè)計等領(lǐng)域中的實際應(yīng)用案例，如測量角度、計算斜邊長度等。

-余弦定理在物理學(xué)中的應(yīng)用：探討余弦定理在振動、波動等物理學(xué)現(xiàn)象中的角色，如弦振動、光波傳播等。

-余弦定理在歷史中的應(yīng)用：介紹歷史上余弦定理的應(yīng)用，如古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中對余弦定理的描述。

2.拓展建議：

-鼓勵學(xué)生閱讀相關(guān)科普書籍，如《數(shù)學(xué)之美》、《幾何學(xué)的奧秘》等，以了解余弦定理的歷史背景和應(yīng)用領(lǐng)域。

-建議學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或興趣小組，通過實際操作和項目研究，加深對余弦定理的理解。

-推薦學(xué)生觀看數(shù)學(xué)教育視頻，如“數(shù)學(xué)大師講座”、“數(shù)學(xué)解題技巧”等，學(xué)習(xí)如何運用余弦定理解決實際問題。

-鼓勵學(xué)生進(jìn)行小組合作，共同研究余弦定理在不同學(xué)科中的應(yīng)用，如物理、化學(xué)、工程等。

-建議學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線課程、教育論壇等，與其他學(xué)生交流學(xué)習(xí)心得，拓展知識面。

-鼓勵學(xué)生參與社會實踐，如測量現(xiàn)場、參與工程設(shè)計等，將所學(xué)知識應(yīng)用于實際工作中。

-建議學(xué)生通過制作數(shù)學(xué)模型或動畫，直觀展示余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用，提高空間想象能力。

-鼓勵學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文，探討余弦定理在特定領(lǐng)域中的應(yīng)用，提升學(xué)生的研究能力和寫作水平。

-推薦學(xué)生參加數(shù)學(xué)夏令營或培訓(xùn)班，與其他數(shù)學(xué)愛好者交流，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。七、內(nèi)容邏輯關(guān)系①余弦定理的推導(dǎo)過程

-余弦定理的定義

-三角形內(nèi)角和定理

-余弦函數(shù)的定義

-余弦定理的代數(shù)推導(dǎo)

②余弦定理的應(yīng)用

-解三角形

-計算三角形面積

-證明三角形全等

-解決實際問題

③余弦定理的性質(zhì)

-余弦定理的對稱性

-余弦定理的周期性

-余弦定理在特定三角形中的應(yīng)用（如等腰三角形、直角三角形）八、典型例題講解例題1：在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=10，求AC和BC的長度。

解答：

由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B

AC2=102+BC2-2·10·BC·cos45°

AC2=100+BC2-10√2·BC

又因為∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-60°-45°=75°

由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠A

BC2=102+AC2-2·10·AC·cos60°

BC2=100+AC2-10AC

將AC2的表達(dá)式代入BC2的表達(dá)式中，得：

BC2=100+(100+BC2-10√2·BC)-10AC

BC2=200-10√2·BC-10AC

將AC2的表達(dá)式代入BC2的表達(dá)式中，得：

BC2=200-10√2·BC-10√2·BC

BC2=200-20√2·BC

解得BC=5√2，代入AC2的表達(dá)式中得AC=5√6。

例題2：在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=75°，AB=8，求BC和AC的長度。

解答：

由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠B

BC2=82+AC2-2·8·AC·cos75°

BC2=64+AC2-16AC·(1/√2)

又因為∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-30°-75°=75°

由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠A

AC2=82+BC2-2·8·BC·cos30°

AC2=64+BC2-16BC·(√3/2)

將BC2的表達(dá)式代入AC2的表達(dá)式中，得：

AC2=64+(64+AC2-16AC·(1/√2))-16AC·(√3/2)

AC2=128-16AC·(1/√2+√3/2)

解得AC=8√2，代入BC2的表達(dá)式中得BC=8√6。

例題3：在三角形ABC中，已知∠A=90°，∠B=30°，AB=6，求BC和AC的長度。

解答：

由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠B

BC2=62+AC2-2·6·AC·cos30°

BC2=36+AC2-12AC·(√3/2)

又因為∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-90°-30°=60°

由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠A

AC2=62+BC2-2·6·BC·cos60°

AC2=36+BC2-12BC

將BC2的表達(dá)式代入AC2的表達(dá)式中，得：

AC2=36+(36+BC2-12BC)-12BC

AC2=72-24BC

解得BC=3，代入AC2的表達(dá)式中得AC=6√3。

例題4：在三角形ABC中，已知∠A=120°，∠B=30°，AB=10，求BC和AC的長度。

解答：

由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠B

BC2=102+AC2-2·10·AC·cos30°

BC2=100+AC2-10√3·AC

又因為∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-120°-30°=30°

由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠A

AC2=102+BC2-2·10·BC·cos120°

AC2=100+BC2+10BC

將BC2的表達(dá)式代入AC2的表達(dá)式中，得：

AC2=100+(100+BC2+10BC)-10√3·AC

AC2=200+BC2+10BC-10√3·AC

解得BC=5√3，代入AC2的表達(dá)式中得AC=5√7。

例題5：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=45°，AB=8，求BC和AC的長度。

解答：

由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠B

BC2=82+AC2-2·8·AC·cos45°

BC2=64+AC2-16AC·(1/√2)

又因為∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-45°-45°=90°

由余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠A

AC2=82+BC2-2·8·BC·cos45°

AC2=64+BC2-16BC·(1/√2)

將BC2的表達(dá)式代入AC2的表達(dá)式中，得：

AC2=64+(64+BC2-16BC·(1/√2))-16BC·(1/√2)

AC2=128-32BC

解得BC=4，代入AC2的表達(dá)式中得AC=4√2。教學(xué)反思教學(xué)反思

今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了余弦定理。我覺得整體來說，課堂氛圍比較活躍，學(xué)生們參與度也比較高。但在教學(xué)過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題，下面我就結(jié)合今天的教學(xué)情況，進(jìn)行一下反思。

首先，我覺得在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我通過展示一張三角形圖片并提問的方式，激發(fā)了學(xué)生的興趣。但是，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對于三角形的基本知識掌握得不夠扎實，比如內(nèi)角和定理、正弦、余弦的定義等。這讓我意識到，在今后的教學(xué)中，我需要更加重視基礎(chǔ)知識的教學(xué)，為學(xué)生打下堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

其次，在講解余弦定理的推導(dǎo)過程中，我采用了講授法結(jié)合問題引導(dǎo)的方式。雖然這樣的教學(xué)方法能夠幫助學(xué)生逐步理解余弦定理的推導(dǎo)過程，但是我也發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在推導(dǎo)過程中顯得有些吃力。這說明我在講解過程中可能過于注重理論推導(dǎo)，而忽略了學(xué)生的實際接受能力。因此，在今后的教學(xué)中，我需要更加注重理論與實踐相結(jié)合，讓學(xué)生在實際操作中理解余弦定理。

在互動探究環(huán)節(jié)，我讓學(xué)生分組討論，嘗試推導(dǎo)余弦定理。這個環(huán)節(jié)的設(shè)計初衷是希望學(xué)生能夠通過合作學(xué)習(xí)，提高解決問題的能力。然而，在實際操作中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對于如何進(jìn)行合作學(xué)習(xí)缺乏經(jīng)驗，導(dǎo)致討論效果不盡如人意。針對這個問題，我將在今后的教學(xué)中，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊協(xié)作精神。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我布置了若干練習(xí)題，讓學(xué)生獨立完成。從學(xué)生的完成情況來看，大部分學(xué)生對余弦定理的理解和應(yīng)用已經(jīng)初步掌握。但是，我也發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在解決實際問題方面還存在困難。這提示我在今后的教學(xué)中，需要更加注重培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。

在拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)，我讓學(xué)生思考余弦定理在幾何證明中的應(yīng)用。這個環(huán)節(jié)的設(shè)計是為了讓學(xué)生認(rèn)識到余弦定理的廣泛應(yīng)用。然而，在實際操作中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對拓展應(yīng)用的理解不夠深入，無法將余弦定理與實際問題相結(jié)合。因此，我需要在今后的教學(xué)中，更加注重拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

1.加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，為學(xué)生打下堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2.注重理論與實踐相結(jié)合，讓學(xué)生在實際操作中理解余弦定理。

3.更加注重培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊協(xié)作精神。

4.注重培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

5.豐富拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)，讓學(xué)生認(rèn)識到余弦定理的廣泛應(yīng)用。教學(xué)評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生在課堂上的參與度較高，能夠積極回答問題，提出自己的觀點。

-在講解余弦定理的推導(dǎo)過程中，大部分學(xué)生能夠跟隨老師的思路，理解推導(dǎo)過程。

-在互動探究環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠主動參與討論，互相啟發(fā)，共同解決問題。

2.小組討論成果展示：

-小組討論成果展示環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠清晰地表達(dá)自己的觀點，并能夠結(jié)合實際例子進(jìn)行說明。

-學(xué)生們在討論中表現(xiàn)出良好的團(tuán)隊協(xié)作精神，能夠傾聽他人的意見，共同達(dá)成共識。

3.隨堂測試：

-隨堂測試結(jié)果顯示，學(xué)生對余弦定理的理解和應(yīng)用能力有了一定的提高。

-測試中，大部分學(xué)生能夠正確運用余弦定理解決三角形相關(guān)問題，但仍有少數(shù)學(xué)生在計算過程中出現(xiàn)錯誤。

4.學(xué)生反饋：

-學(xué)生反饋表示，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，他們對余弦定理有了更深入的理解，并希望能夠有更多機(jī)會進(jìn)行實際操作和應(yīng)用。

-學(xué)生們建議在今后的教學(xué)中，可以增加一些互動環(huán)節(jié)，如角色扮演、實驗等，以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性和實踐性。

5.教師評價與反饋：

-針對學(xué)生課堂表現(xiàn)，教師評價：學(xué)生在課堂