遼寧省大連市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.3 雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)（2）教學(xué)實(shí)錄 新人教B版選修2-1

遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線(xiàn)與方程2.3雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)（2）教學(xué)實(shí)錄新人教B版選修2-1學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱(chēng)：遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線(xiàn)與方程2.3雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)（2）

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：2023年11月8日第3節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：通過(guò)研究雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用能力。

2.邏輯推理：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和演繹推理，探究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，提高邏輯思維能力。

3.數(shù)學(xué)建模：鼓勵(lì)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，解決雙曲線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題，提升建模能力。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過(guò)計(jì)算雙曲線(xiàn)的方程和幾何性質(zhì)，鍛煉學(xué)生的運(yùn)算技能和精確度。

5.實(shí)踐應(yīng)用：結(jié)合實(shí)際案例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際意義。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何的基本知識(shí)，包括點(diǎn)、線(xiàn)、面、圓等基本圖形的性質(zhì)和方程。此外，他們還應(yīng)該掌握了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，能夠分析二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高一學(xué)生對(duì)新知識(shí)充滿(mǎn)好奇，對(duì)數(shù)學(xué)有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)興趣。他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上具有一定的邏輯思維能力，但抽象思維能力還有待提高。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生偏好通過(guò)直觀圖形理解概念，而另一部分學(xué)生則更傾向于通過(guò)公式和計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難：

-理解雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，特別是參數(shù)a和b的作用。

-掌握雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、漸近線(xiàn)和焦距等幾何性質(zhì)。

-應(yīng)用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，如判斷雙曲線(xiàn)的圖像或計(jì)算特定點(diǎn)的坐標(biāo)。

-將雙曲線(xiàn)的性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比，區(qū)分它們的異同。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)系統(tǒng)的講解，幫助學(xué)生建立雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的理論框架。

2.討論法：組織學(xué)生分組討論，鼓勵(lì)他們提出問(wèn)題并嘗試解決問(wèn)題，增強(qiáng)合作學(xué)習(xí)意識(shí)。

3.案例分析法：結(jié)合具體案例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示雙曲線(xiàn)的圖形和方程，直觀展示其幾何性質(zhì)。

2.教學(xué)軟件輔助：使用幾何畫(huà)板等軟件，動(dòng)態(tài)演示雙曲線(xiàn)的變換和性質(zhì)。

3.互動(dòng)平臺(tái)：通過(guò)在線(xiàn)教學(xué)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)課堂即時(shí)反饋和課后作業(yè)的提交與批改。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線(xiàn)平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。例如，要求學(xué)生預(yù)習(xí)雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和基本性質(zhì)。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，如“如何判斷一個(gè)曲線(xiàn)是否為雙曲線(xiàn)？”、“雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)有何特點(diǎn)？”等。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。例如，通過(guò)預(yù)習(xí)問(wèn)題的回答情況來(lái)評(píng)估學(xué)生的預(yù)習(xí)質(zhì)量。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)。

思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。例如，學(xué)生可能會(huì)思考雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性是如何體現(xiàn)的。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。教師可以通過(guò)這些成果了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過(guò)展示雙曲線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用案例，如衛(wèi)星軌道，引出雙曲線(xiàn)課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)性、漸近線(xiàn)、焦距等，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。例如，通過(guò)繪制雙曲線(xiàn)的圖像來(lái)展示其對(duì)稱(chēng)性。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生分組探究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，如計(jì)算焦距和漸近線(xiàn)方程。

解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。例如，解答學(xué)生在計(jì)算漸近線(xiàn)時(shí)遇到的問(wèn)題。

學(xué)生活動(dòng)：

聽(tīng)講并思考：認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，通過(guò)合作探究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)。

提問(wèn)與討論：針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：布置與雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)相關(guān)的練習(xí)題，如證明雙曲線(xiàn)的性質(zhì)或計(jì)算特定點(diǎn)的坐標(biāo)。

提供拓展資源：提供與雙曲線(xiàn)相關(guān)的拓展資源，如歷史背景介紹或雙曲線(xiàn)在科學(xué)中的應(yīng)用。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。例如，指出學(xué)生在計(jì)算中的錯(cuò)誤并提供糾正方法。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)。

拓展學(xué)習(xí)：利用拓展資源，進(jìn)一步學(xué)習(xí)雙曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)和物理背景。

反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思，如總結(jié)雙曲線(xiàn)性質(zhì)的學(xué)習(xí)方法。知識(shí)點(diǎn)梳理1.雙曲線(xiàn)的定義

-雙曲線(xiàn)是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。

-雙曲線(xiàn)有兩個(gè)分支，分別稱(chēng)為左支和右支。

2.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

-雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（a>0,b>0）。

-其中，a是實(shí)半軸的長(zhǎng)度，b是虛半軸的長(zhǎng)度，c是焦點(diǎn)到中心的距離。

3.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)

-對(duì)稱(chēng)性：雙曲線(xiàn)關(guān)于其主軸（x軸或y軸）對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于其次軸（x軸或y軸）對(duì)稱(chēng)。

-漸近線(xiàn)：雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)是直線(xiàn)\(y=\pm\frac{a}x\)。

-焦距：雙曲線(xiàn)的焦距為\(2c\)，其中\(zhòng)(c^2=a^2+b^2\)。

-焦點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為\((c,0)\)和\((-c,0)\)。

4.雙曲線(xiàn)的離心率

-雙曲線(xiàn)的離心率\(e\)定義為\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c\)是焦點(diǎn)到中心的距離，\(a\)是實(shí)半軸的長(zhǎng)度。

-離心率\(e>1\)，表示雙曲線(xiàn)比橢圓更加“瘦長(zhǎng)”。

5.雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)

-雙曲線(xiàn)與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((\pma,0)\)。

-雙曲線(xiàn)與主軸的交點(diǎn)稱(chēng)為實(shí)軸端點(diǎn)，坐標(biāo)為\((\pma,0)\)。

-雙曲線(xiàn)與次軸的交點(diǎn)稱(chēng)為虛軸端點(diǎn)，坐標(biāo)為\((0,\pmb)\)。

6.雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程

-雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程為\(x=a\sect\)，\(y=b\tant\)，其中\(zhòng)(t\)是參數(shù)。

-參數(shù)方程可以描述雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，其中\(zhòng)(t\)的取值范圍是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。

7.雙曲線(xiàn)的圖像

-雙曲線(xiàn)的圖像是兩個(gè)分支，分別向左右兩側(cè)無(wú)限延伸。

-雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)位于實(shí)軸上，焦點(diǎn)位于主軸上。

-雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)是兩條斜率為正負(fù)\(\frac{a}\)的直線(xiàn)。

8.雙曲線(xiàn)的應(yīng)用

-雙曲線(xiàn)在物理學(xué)中用于描述衛(wèi)星軌道、粒子加速器中的粒子運(yùn)動(dòng)等。

-雙曲線(xiàn)在工程學(xué)中用于設(shè)計(jì)光學(xué)系統(tǒng)、天線(xiàn)等。

-雙曲線(xiàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于分析市場(chǎng)供需關(guān)系等。

9.雙曲線(xiàn)的方程求解

-求解雙曲線(xiàn)的方程，可以通過(guò)解析法、數(shù)值法或圖解法等方法。

-解析法包括直接代入法、配方法、分離變量法等。

-數(shù)值法包括牛頓迭代法、二分法等。

-圖解法包括繪制雙曲線(xiàn)的圖像，找到交點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸近線(xiàn)等。

10.雙曲線(xiàn)的性質(zhì)證明

-證明雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，可以通過(guò)幾何證明、代數(shù)證明或綜合證明等方法。

-幾何證明包括使用幾何工具和定理進(jìn)行證明。

-代數(shù)證明包括使用代數(shù)方程和不等式進(jìn)行證明。

-綜合證明包括結(jié)合幾何和代數(shù)方法進(jìn)行證明。課堂1.課堂提問(wèn)

-通過(guò)提問(wèn)，教師可以即時(shí)了解學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的理解程度。例如，提出問(wèn)題：“如何根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷其焦點(diǎn)位置？”

-觀察學(xué)生的回答，判斷他們是否能夠正確應(yīng)用公式和概念。對(duì)于回答正確的學(xué)生，給予積極的反饋；對(duì)于回答錯(cuò)誤的學(xué)生，引導(dǎo)他們重新思考并糾正錯(cuò)誤。

2.觀察學(xué)生參與度

-教師應(yīng)觀察學(xué)生在課堂活動(dòng)中的參與度，包括小組討論、實(shí)驗(yàn)操作等。例如，觀察學(xué)生在小組討論中是否積極發(fā)言，是否能夠提出有建設(shè)性的意見(jiàn)。

-通過(guò)觀察，教師可以評(píng)估學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

3.課堂測(cè)試

-定期進(jìn)行課堂測(cè)試，以評(píng)估學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的記憶和理解。測(cè)試可以包括選擇題、填空題和簡(jiǎn)答題。

-測(cè)試題應(yīng)覆蓋本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn)，如雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等。

4.學(xué)生互評(píng)

-鼓勵(lì)學(xué)生之間進(jìn)行互評(píng)，通過(guò)同伴評(píng)價(jià)來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。例如，在小組討論后，讓學(xué)生互相評(píng)價(jià)彼此的貢獻(xiàn)和表現(xiàn)。

-教師可以提供評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，幫助學(xué)生進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)。

5.反饋與指導(dǎo)

-對(duì)于學(xué)生的回答和表現(xiàn)，教師應(yīng)給予及時(shí)的反饋和指導(dǎo)。例如，對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤回答，教師應(yīng)耐心解釋并引導(dǎo)他們找到正確的答案。

-反饋應(yīng)具體、有針對(duì)性，幫助學(xué)生明確自己的學(xué)習(xí)進(jìn)展和需要改進(jìn)的地方。

6.課堂參與度記錄

-教師應(yīng)記錄學(xué)生的課堂參與情況，包括提問(wèn)次數(shù)、回答問(wèn)題的情況、參與小組討論的積極性等。

-通過(guò)記錄，教師可以分析學(xué)生的參與度，并在必要時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

7.課堂氛圍營(yíng)造

-教師應(yīng)通過(guò)多種教學(xué)手段營(yíng)造積極的課堂氛圍，如使用多媒體、實(shí)物演示、互動(dòng)游戲等。

-良好的課堂氛圍有助于提高學(xué)生的注意力和參與度。

8.課堂紀(jì)律管理

-教師應(yīng)維護(hù)良好的課堂紀(jì)律，確保所有學(xué)生都能專(zhuān)注于學(xué)習(xí)。例如，通過(guò)明確的課堂規(guī)則和獎(jiǎng)懲機(jī)制來(lái)管理課堂秩序。

9.課堂反思

-教師應(yīng)在課后進(jìn)行課堂反思，思考如何改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。例如，反思哪些教學(xué)活動(dòng)效果不佳，哪些學(xué)生需要特別關(guān)注。

10.個(gè)性化教學(xué)

-教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的個(gè)體差異，提供個(gè)性化的教學(xué)支持。例如，對(duì)于理解困難的學(xué)生，提供額外的輔導(dǎo)和練習(xí)。重點(diǎn)題型整理1.**求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)**

-題型示例：已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。

-解答：根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，可知\(a^2=4\)，\(b^2=9\)。焦距\(c\)滿(mǎn)足\(c^2=a^2+b^2\)，因此\(c^2=4+9=13\)，\(c=\sqrt{13}\)。焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\pmc,0)\)，即\((\pm\sqrt{13},0)\)。

2.**求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程**

-題型示例：已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)，求其漸近線(xiàn)方程。

-解答：對(duì)于雙曲線(xiàn)\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)，其漸近線(xiàn)方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。由題可知\(a^2=16\)，\(b^2=9\)，所以\(a=4\)，\(b=3\)。漸近線(xiàn)方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)。

3.**判斷點(diǎn)是否在雙曲線(xiàn)上**

-題型示例：判斷點(diǎn)\(P(2,3)\)是否在雙曲線(xiàn)\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)上。

-解答：將點(diǎn)\(P(2,3)\)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，得\(\frac{2^2}{4}-\frac{3^2}{9}=1\)，即\(1-1=1\)，顯然不成立。因此，點(diǎn)\(P(2,3)\)不在雙曲線(xiàn)上。

4.**求雙曲線(xiàn)的離心率**

-題型示例：已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)，求其離心率。

-解答：雙曲線(xiàn)的離心率\(e\)定義為\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c\)是焦點(diǎn)到中心的距離，\(a\)是實(shí)半軸的長(zhǎng)度。由題可知\(a^2=25\)，\(b^2=16\)，所以\(a=5\)，\(b=4\)。焦距\(c\)滿(mǎn)足\(c^2=a^2+b^2\)，因此\(c^2=25+16=41\)，\(c=\sqrt{41}\)。離心率\(e=\frac{\sqrt{41}}{5}\)。

5.**求雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)度**

-題型示例：已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{y^2}{49}-\frac{x^2}{9}=1\)，求其實(shí)軸長(zhǎng)度。

-解答：對(duì)于雙曲線(xiàn)\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)，實(shí)軸長(zhǎng)度為\(2a\)。由題可知\(a^2=9\)，所以\(a=3\)。實(shí)軸長(zhǎng)度為\(2a=2\times3=6\)。板書(shū)設(shè)計(jì)①雙曲線(xiàn)的定義

-雙曲線(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。

②雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

-標(biāo)準(zhǔn)方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^