2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)上學(xué)期第11周 3.1.2用二分法求方程的近似解教學(xué)實錄

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)上學(xué)期第11周3.1.2用二分法求方程的近似解教學(xué)實錄學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具設(shè)計意圖本節(jié)課旨在通過二分法求解方程的近似解，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模和算法設(shè)計的基本方法。結(jié)合課本例題，引導(dǎo)學(xué)生從實際問題出發(fā)，逐步構(gòu)建二分法求解方程的數(shù)學(xué)模型，并通過實際操作體驗算法的迭代過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實踐能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過二分法求解方程的近似解，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)模型與實際問題的聯(lián)系，提升解決實際問題的能力；同時，通過算法的迭代過程，鍛煉學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

-明確本節(jié)課的核心內(nèi)容，以便于教師在教學(xué)過程中有針對性地進行講解和強調(diào)。

-掌握二分法的原理和步驟，理解迭代過程。

-能夠根據(jù)方程的特點選擇合適的初始區(qū)間。

-運用二分法求解方程的近似解，并能解釋其誤差。

2.教學(xué)難點

-識別并指出本節(jié)課的難點內(nèi)容，以便于教師采取有效的教學(xué)方法幫助學(xué)生突破難點。

-理解二分法收斂的必要條件，即函數(shù)在區(qū)間端點處的符號相反。

-正確判斷迭代過程中區(qū)間的變化，避免陷入無限循環(huán)。

-掌握如何根據(jù)迭代次數(shù)和誤差要求確定近似解的精度。

-將二分法應(yīng)用于解決實際問題，如求函數(shù)零點等。教學(xué)資源-軟硬件資源：計算機、投影儀、電子白板

-課程平臺：學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)平臺

-信息化資源：數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB、Mathematica等）

-教學(xué)手段：多媒體課件、教學(xué)視頻、練習(xí)題庫教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

-詳細內(nèi)容：首先，通過提問學(xué)生“如何找到方程的解？”引入話題，引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的解方程方法。然后，展示一些實際問題，如求解方程f(x)=0的解，強調(diào)在實際應(yīng)用中解方程的重要性。最后，簡要介紹二分法的基本思想，引出新課內(nèi)容。

2.新課講授

-第一條：講解二分法的原理

-詳細內(nèi)容：首先，介紹二分法的定義和基本步驟，通過動畫演示或?qū)嵨锝叹哒故径址ǖ牡^程。接著，分析二分法收斂的必要條件，即函數(shù)在區(qū)間端點處的符號相反。舉例說明如何選擇合適的初始區(qū)間，如f(a)*f(b)<0。

-第二條：講解二分法的迭代過程

-詳細內(nèi)容：詳細講解二分法的迭代公式，即x_n=(a_n+b_n)/2，其中a_n和b_n分別為迭代過程中的左右端點。通過實例演示，讓學(xué)生理解迭代過程中區(qū)間的變化，以及如何根據(jù)迭代次數(shù)和誤差要求確定近似解的精度。

-第三條：講解二分法的應(yīng)用

-詳細內(nèi)容：結(jié)合實際應(yīng)用，如求解函數(shù)的零點、求解方程的根等，引導(dǎo)學(xué)生運用二分法解決實際問題。通過實例分析，讓學(xué)生體會二分法在實際問題中的應(yīng)用價值。

3.實踐活動

-第一條：計算機輔助教學(xué)

-詳細內(nèi)容：利用數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB、Mathematica等）進行二分法的演示，讓學(xué)生直觀地看到迭代過程和近似解的收斂情況。通過軟件操作，讓學(xué)生親身體驗二分法的應(yīng)用。

-第二條：小組合作探究

-詳細內(nèi)容：將學(xué)生分成小組，每組選擇一個實際問題，運用二分法求解方程的近似解。在小組討論中，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、設(shè)計算法、實現(xiàn)程序，并分享解題過程和結(jié)果。

-第三條：課堂練習(xí)

-詳細內(nèi)容：布置一些練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固二分法的應(yīng)用。練習(xí)題包括不同類型的方程，如線性方程、非線性方程等。通過練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握二分法的使用。

4.學(xué)生小組討論

-第一方面：問題分析

-舉例回答：小組討論如何根據(jù)實際問題選擇合適的初始區(qū)間，如何判斷迭代過程中區(qū)間的變化，以及如何確定近似解的精度。

-第二方面：算法設(shè)計

-舉例回答：小組討論如何將實際問題轉(zhuǎn)化為二分法的數(shù)學(xué)模型，如何實現(xiàn)二分法的迭代過程，以及如何編寫相應(yīng)的程序代碼。

-第三方面：結(jié)果分析

-舉例回答：小組討論如何分析二分法的迭代結(jié)果，如何判斷近似解的可靠性，以及如何改進算法以提高精度。

5.總結(jié)回顧

-詳細內(nèi)容：首先，回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強調(diào)二分法的原理、步驟和應(yīng)用。然后，總結(jié)二分法的優(yōu)點和局限性，如收斂速度、適用范圍等。最后，鼓勵學(xué)生在課后繼續(xù)探索二分法的應(yīng)用，并嘗試解決實際問題。

用時：導(dǎo)入新課（5分鐘）、新課講授（15分鐘）、實踐活動（15分鐘）、學(xué)生小組討論（10分鐘）、總結(jié)回顧（5分鐘）學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.理解與掌握二分法原理

-學(xué)生能夠清晰地理解二分法的定義和基本步驟，認(rèn)識到二分法是一種有效的求解方程近似解的方法。

-學(xué)生能夠解釋二分法收斂的必要條件，即函數(shù)在區(qū)間端點處的符號相反，并能應(yīng)用于實際問題中。

2.運用二分法求解方程

-學(xué)生能夠根據(jù)方程的特點選擇合適的初始區(qū)間，并正確判斷迭代過程中區(qū)間的變化。

-學(xué)生能夠運用二分法求解不同類型的方程，如線性方程、非線性方程等，并能得到較為精確的近似解。

3.數(shù)學(xué)建模與算法設(shè)計能力

-學(xué)生能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為二分法的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計相應(yīng)的算法，并實現(xiàn)程序代碼。

-學(xué)生能夠分析算法的迭代過程，理解迭代公式的作用，并能根據(jù)迭代次數(shù)和誤差要求確定近似解的精度。

4.實踐操作與問題解決能力

-學(xué)生能夠利用計算機軟件進行二分法的演示，直觀地看到迭代過程和近似解的收斂情況。

-學(xué)生能夠在小組合作中，通過討論、分析和實踐，解決實際問題，提高問題解決能力。

5.數(shù)學(xué)思維與邏輯推理能力

-學(xué)生在運用二分法求解方程的過程中，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力。

-學(xué)生能夠分析二分法的優(yōu)點和局限性，如收斂速度、適用范圍等，提高對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識。

6.團隊合作與交流能力

-學(xué)生在小組討論中，學(xué)會了如何與他人合作，共同解決問題。

-學(xué)生能夠表達自己的觀點，傾聽他人的意見，提高交流能力。

7.自主學(xué)習(xí)與探究能力

-學(xué)生在課后能夠自主探究二分法的應(yīng)用，嘗試解決實際問題。

-學(xué)生能夠通過查閱資料、思考和實踐，提高自主學(xué)習(xí)能力。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.完成課本第X頁的例題，通過實際操作掌握二分法的步驟和原理。

2.選擇一個實際問題，如求解函數(shù)的零點或方程的根，運用二分法進行求解，并記錄迭代過程和結(jié)果。

3.編寫一個簡單的二分法程序，輸入方程和初始區(qū)間，輸出近似解和迭代次數(shù)。

4.閱讀課本中關(guān)于二分法優(yōu)缺點的相關(guān)內(nèi)容，總結(jié)二分法的適用場景和局限性。

作業(yè)反饋：

1.對學(xué)生的作業(yè)進行及時批改，確保每個學(xué)生都能得到反饋。

2.檢查學(xué)生是否正確理解二分法的原理和步驟，是否能夠根據(jù)方程的特點選擇合適的初始區(qū)間。

3.分析學(xué)生在運用二分法求解方程時的誤差，指導(dǎo)學(xué)生如何根據(jù)迭代次數(shù)和誤差要求確定近似解的精度。

4.評估學(xué)生在編寫程序時的編程能力，指出代碼中存在的問題，如邏輯錯誤、變量命名不規(guī)范等，并提供改進建議。

5.針對學(xué)生在小組討論和實踐活動中的表現(xiàn)，給予評價和反饋，鼓勵學(xué)生積極參與、主動思考。

6.對于作業(yè)中普遍存在的問題，組織課堂講解或輔導(dǎo)，幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)知識。

7.鼓勵學(xué)生之間互相批改作業(yè)，提高學(xué)生的自我評價和自我糾正能力。

8.定期收集學(xué)生的作業(yè)反饋，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進度和困難，調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)效果。

具體反饋示例：

-對于例題完成情況，指出學(xué)生是否正確應(yīng)用了二分法，是否理解了迭代過程。

-對于實際問題求解，評估學(xué)生的解題思路是否清晰，是否能夠正確選擇初始區(qū)間，是否能夠合理分析迭代結(jié)果。

-對于程序編寫，檢查學(xué)生的代碼是否能夠正常運行，是否存在邏輯錯誤，是否能夠正確輸出結(jié)果。

-對于閱讀總結(jié)，評估學(xué)生對二分法優(yōu)缺點的理解程度，是否能夠結(jié)合實際例子進行分析。

-對于小組討論和實踐活動，評價學(xué)生的團隊合作能力、問題解決能力和創(chuàng)新思維。課后拓展1.拓展內(nèi)容

-閱讀材料：《數(shù)值分析》中的“二分法”章節(jié)，深入理解二分法的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用背景。

-視頻資源：《數(shù)學(xué)之美》系列視頻中關(guān)于二分法在計算機科學(xué)中的應(yīng)用實例。

2.拓展要求

-鼓勵學(xué)生利用課后時間閱讀相關(guān)材料，拓寬對二分法的認(rèn)識。

-學(xué)生可以通過觀看視頻資源，了解二分法在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，如算法設(shè)計、數(shù)據(jù)搜索等。

-教師可推薦以下閱讀材料：

-《數(shù)值分析》由理查德·L·布蘭查德等著，詳細介紹了二分法及其在數(shù)值分析中的應(yīng)用。

-《算法導(dǎo)論》由托馬斯·H·考爾等著，其中包含二分法的詳細介紹和實例分析。

-學(xué)生在閱讀過程中遇到疑問，教師應(yīng)及時解答，并提供進一步的學(xué)習(xí)資源。

-鼓勵學(xué)生撰寫讀書筆記或心得體會，分享對二分法的理解和感悟。

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