2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第17章 一元二次方程17.3 一元二次方程根的判別式教學(xué)實(shí)錄 （新版）滬科版

2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判別式教學(xué)實(shí)錄（新版）滬科版科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱(chēng)）2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判別式教學(xué)實(shí)錄（新版）滬科版教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課將圍繞滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章《一元二次方程》中的第17.3節(jié)《一元二次方程根的判別式》展開(kāi)。主要內(nèi)容包括：一元二次方程的根的判別式的概念，根的判別式的符號(hào)與方程根的關(guān)系，以及如何運(yùn)用根的判別式判斷一元二次方程根的情況。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過(guò)探究一元二次方程根的判別式，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)，提升邏輯推理能力；通過(guò)建立方程與幾何圖形的關(guān)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)；同時(shí)，通過(guò)計(jì)算和判斷，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.一元二次方程根的判別式的概念理解。

2.根的判別式與方程根的關(guān)系的掌握。

難點(diǎn)：

1.如何正確運(yùn)用根的判別式判斷一元二次方程根的情況。

2.在復(fù)雜的一元二次方程中識(shí)別和計(jì)算判別式。

解決辦法與突破策略：

1.通過(guò)實(shí)例講解和互動(dòng)討論，幫助學(xué)生理解判別式的概念，并建立直觀(guān)的認(rèn)識(shí)。

2.通過(guò)逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)，逐步掌握運(yùn)用判別式的步驟和方法。

3.設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固知識(shí)，提高運(yùn)用能力。

4.采用小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在討論中互相啟發(fā)，共同突破難點(diǎn)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生擁有新版滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與一元二次方程根的判別式相關(guān)的圖表、動(dòng)畫(huà)演示視頻，以幫助學(xué)生直觀(guān)理解概念。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器、白板或投影儀，以便展示解題過(guò)程和計(jì)算結(jié)果。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，安排學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，并確保教學(xué)環(huán)境安靜、整潔。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

（教師）：同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了如何解一元二次方程，今天我們來(lái)探究一個(gè)有趣的問(wèn)題——一元二次方程的根的判別式。請(qǐng)大家拿出教材，翻到第17章《一元二次方程》的第17.3節(jié)，我們一起開(kāi)始今天的探索之旅。

二、新課講授

1.引入概念

（教師）：首先，我們來(lái)回顧一下一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。接下來(lái)，我們要討論的是方程的根。大家知道，一個(gè)一元二次方程最多有兩個(gè)根。那么，如何判斷一個(gè)一元二次方程有幾個(gè)根呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

（學(xué)生）：老師，一元二次方程的根有幾個(gè)，和方程的系數(shù)有什么關(guān)系呢？

（教師）：非常好，這是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。接下來(lái)，我們就來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題。

2.根的判別式

（教師）：一元二次方程的根的判別式是b2-4ac。這個(gè)判別式可以幫助我們判斷一元二次方程根的情況。下面，我將通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)講解這個(gè)判別式的應(yīng)用。

（教師）：請(qǐng)看第一個(gè)例子：方程x2-5x+6=0。首先，我們要計(jì)算判別式b2-4ac。在這個(gè)方程中，a=1，b=-5，c=6。那么，判別式是多少呢？

（學(xué)生）：b2-4ac=(-5)2-4×1×6=25-24=1。

（教師）：很好，判別式是1。根據(jù)判別式的值，我們可以判斷方程的根的情況。如果判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果判別式等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；如果判別式小于0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

（教師）：接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們自己計(jì)算一下這個(gè)方程的根。

（學(xué)生）：x2-5x+6=0，根據(jù)求根公式，我們可以得到方程的兩個(gè)根：x?=2，x?=3。

（教師）：很好，同學(xué)們已經(jīng)成功找到了這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根?，F(xiàn)在，請(qǐng)看第二個(gè)例子：方程x2-2x+1=0。

（學(xué)生）：x2-2x+1=0，判別式b2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0。

（教師）：判別式等于0，這意味著方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。我們可以繼續(xù)使用求根公式來(lái)找到這個(gè)方程的根。

（學(xué)生）：x2-2x+1=0，根據(jù)求根公式，我們可以得到方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x?=x?=1。

（教師）：很好，同學(xué)們已經(jīng)成功找到了這個(gè)方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?，F(xiàn)在，請(qǐng)看第三個(gè)例子：方程x2+2x+1=0。

（學(xué)生）：x2+2x+1=0，判別式b2-4ac=22-4×1×1=4-4=0。

（教師）：判別式等于0，這意味著方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。我們可以繼續(xù)使用求根公式來(lái)找到這個(gè)方程的根。

（學(xué)生）：x2+2x+1=0，根據(jù)求根公式，我們可以得到方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x?=x?=-1。

（教師）：很好，同學(xué)們已經(jīng)成功找到了這個(gè)方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?，F(xiàn)在，請(qǐng)大家自己嘗試計(jì)算一下這個(gè)方程的根。

（學(xué)生）：x2+2x+1=0，根據(jù)求根公式，我們可以得到方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x?=x?=-1。

（教師）：同學(xué)們做得很好。通過(guò)這三個(gè)例子，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用判別式來(lái)判斷一元二次方程根的情況。接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)討論一下一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的情況。

3.無(wú)實(shí)數(shù)根的情況

（教師）：請(qǐng)看第四個(gè)例子：方程x2+1=0。

（學(xué)生）：x2+1=0，判別式b2-4ac=02-4×1×1=0-4=-4。

（教師）：判別式小于0，這意味著方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。那么，這個(gè)方程的根是什么呢？

（學(xué)生）：這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，但是有兩個(gè)復(fù)數(shù)根。

（教師）：很好，同學(xué)們已經(jīng)明白了。如果一個(gè)一元二次方程的判別式小于0，那么這個(gè)方程就沒(méi)有實(shí)數(shù)根，而是有兩個(gè)復(fù)數(shù)根。

4.總結(jié)

（教師）：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了如何運(yùn)用一元二次方程的根的判別式來(lái)判斷方程根的情況。現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下我們學(xué)到的內(nèi)容。

（學(xué)生）：老師，我們學(xué)到了一元二次方程的根的判別式是b2-4ac，如果判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果判別式等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；如果判別式小于0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

（教師）：非常好，同學(xué)們已經(jīng)成功掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容。接下來(lái)，請(qǐng)大家完成課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

三、課堂練習(xí)

（教師）：為了檢驗(yàn)大家對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度，我將給出幾道練習(xí)題，請(qǐng)大家認(rèn)真完成。

（學(xué)生）：好的，老師。

四、課堂小結(jié)

（教師）：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了如何運(yùn)用一元二次方程的根的判別式來(lái)判斷方程根的情況。希望大家通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠更好地理解一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系。

（學(xué)生）：謝謝老師，我們一定會(huì)努力學(xué)習(xí)的。

五、布置作業(yè)

（教師）：請(qǐng)大家完成以下作業(yè)：

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用。

2.完成教材第17章《一元二次方程》第17.3節(jié)的相關(guān)練習(xí)題。

3.思考：如何將一元二次方程的根的判別式應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中？

（學(xué)生）：好的，老師。

六、課后反思

（教師）：本節(jié)課，我們通過(guò)實(shí)例講解、小組討論和課堂練習(xí)，幫助學(xué)生掌握了如何運(yùn)用一元二次方程的根的判別式來(lái)判斷方程根的情況。在今后的教學(xué)中，我將更加注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。同時(shí)，我會(huì)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，適時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保每位學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生們通過(guò)一系列的實(shí)例講解、小組討論和課堂練習(xí)，取得了以下效果：

1.知識(shí)掌握：學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解并掌握一元二次方程根的判別式的概念，即判別式b2-4ac與方程根的關(guān)系。他們能夠識(shí)別和計(jì)算判別式的值，并能夠根據(jù)判別式的符號(hào)判斷一元二次方程根的情況。

2.技能提升：學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作和練習(xí)，提高了運(yùn)用判別式判斷一元二次方程根的能力。他們能夠熟練地應(yīng)用判別式解決實(shí)際問(wèn)題，如確定方程的根的數(shù)量和類(lèi)型。

3.思維發(fā)展：學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力。他們能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，并能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

4.學(xué)習(xí)興趣：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)一元二次方程的根的判別式產(chǎn)生了濃厚的興趣。他們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的探索和應(yīng)用有了更深的認(rèn)識(shí)，激發(fā)了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

5.團(tuán)隊(duì)合作：在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠積極參與，與同伴共同解決問(wèn)題。他們學(xué)會(huì)了傾聽(tīng)、尊重和合作，提高了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

6.問(wèn)題解決能力：學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的一元二次方程時(shí)，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和判斷，從而找到合適的解題方法。他們的問(wèn)題解決能力得到了顯著提升。

7.學(xué)習(xí)習(xí)慣：學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們能夠按時(shí)完成作業(yè)，認(rèn)真復(fù)習(xí)課堂所學(xué)內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

8.自主學(xué)習(xí)能力：學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，逐漸培養(yǎng)了自主學(xué)習(xí)能力。他們能夠獨(dú)立思考、查找資料、解決問(wèn)題，為終身學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。典型例題講解1.例題1：給定一元二次方程2x2-4x+1=0，求方程的根。

解答：首先，我們需要計(jì)算判別式b2-4ac。在這個(gè)方程中，a=2，b=-4，c=1。那么，判別式是多少呢？

b2-4ac=(-4)2-4×2×1=16-8=8。

由于判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。接下來(lái)，我們可以使用求根公式來(lái)找到這兩個(gè)根：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

將a、b、c的值代入求根公式，我們得到：

x=[4±√8]/(2×2)。

化簡(jiǎn)后，得到：

x?=(4+√8)/4=1+√2/2，

x?=(4-√8)/4=1-√2/2。

所以，方程的根為x?=1+√2/2和x?=1-√2/2。

2.例題2：給定一元二次方程x2-6x+9=0，求方程的根。

解答：計(jì)算判別式b2-4ac。在這個(gè)方程中，a=1，b=-6，c=9。

b2-4ac=(-6)2-4×1×9=36-36=0。

由于判別式等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[6±√0]/(2×1)。

化簡(jiǎn)后，得到：

x?=x?=6/2=3。

所以，方程的根為x?=x?=3。

3.例題3：給定一元二次方程x2-3x+2=0，求方程的根。

解答：計(jì)算判別式b2-4ac。在這個(gè)方程中，a=1，b=-3，c=2。

b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1。

由于判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[3±√1]/(2×1)。

化簡(jiǎn)后，得到：

x?=2，

x?=1。

所以，方程的根為x?=2和x?=1。

4.例題4：給定一元二次方程x2+2x-3=0，求方程的根。

解答：計(jì)算判別式b2-4ac。在這個(gè)方程中，a=1，b=2，c=-3。

b2-4ac=22-4×1×(-3)=4+12=16。

由于判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[-2±√16]/(2×1)。

化簡(jiǎn)后，得到：

x?=1，

x?=-3。

所以，方程的根為x?=1和x?=-3。

5.例題5：給定一元二次方程4x2-8x+3=0，求方程的根。

解答：計(jì)算判別式b2-4ac。在這個(gè)方程中，a=4，b=-8，c=3。

b2-4ac=(-8)2-4×4×3=64-48=16。

由于判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[8±√16]/(2×4)。

化簡(jiǎn)后，得到：

x?=3/2，

x?=1/2。

所以，方程的根為x?=3/2和x?=1/2。內(nèi)容邏輯關(guān)系①核心知識(shí)點(diǎn)：

-一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。

-根的判別式：b2-4ac。

-方程根的情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

②關(guān)鍵詞：

-判別式

-不相等的實(shí)數(shù)根

-相等的實(shí)數(shù)根

-沒(méi)有實(shí)數(shù)根

-求根公式

③邏輯關(guān)系闡述：

①判別式的計(jì)算

-根據(jù)一元二次方程的一般形式，計(jì)算判別式b2-4ac的值。

②判別式的符號(hào)判斷

-如果判別式大于0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

-如果判別式等于0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

-如果判別式小于0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

③根的情況與判別式的聯(lián)系

-根據(jù)判別式的符號(hào)，可以直接判斷一元二次方程根的情況。

-使用求根公式求解方程的根時(shí)，判別式的值決定了根的數(shù)量和類(lèi)型。

④求根公式的應(yīng)用

-當(dāng)判別式大于0時(shí)，使用求根公式x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)求解兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)判別式等于0時(shí)，求根公式簡(jiǎn)化為x=-b/(2a)，求解兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)判別式小于0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，需要使用復(fù)數(shù)根的概念來(lái)求解。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)：在講解一元二次方程根的判別式時(shí)，引入實(shí)際生活中的案例，如建筑工程、物理問(wèn)題等，讓學(xué)生在具體情境中理解數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，提高他們的實(shí)際操作能力。

2.互動(dòng)式教學(xué)：通過(guò)小組討論、角色扮演等方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的合作精神和溝通能力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不夠深入：部分學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時(shí)，對(duì)概念的理解停留在表面，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)原理的深入探究。

2.教學(xué)方法單一：目前的教學(xué)方法主要以講授為主，缺乏多樣化的教學(xué)手段，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高。

3.評(píng)價(jià)方式單一：評(píng)價(jià)方式主要依賴(lài)于作業(yè)和考試，未能全面評(píng)估學(xué)生的實(shí)際能力和綜合素質(zhì)。

反思改進(jìn)措施（三）改進(jìn)措施

1.深化概念教學(xué)：在講解一元二次方程根的判別式時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度理解概念，如通過(guò)圖形、實(shí)例等方式，幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)體系。

2.豐富教學(xué)手段：結(jié)合多媒體技術(shù)，如動(dòng)畫(huà)、視頻等，使教學(xué)內(nèi)容更加生動(dòng)形象，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，引入游戲化教學(xué)，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)。

3.多元化評(píng)價(jià)方式：除了傳統(tǒng)的作業(yè)和考試，增加課堂表現(xiàn)、小組合作、實(shí)踐操作等評(píng)價(jià)方式，全面評(píng)估學(xué)生的能力和素質(zhì)。

4.加強(qiáng)師生互動(dòng)：在課堂上，鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)、發(fā)表觀(guān)點(diǎn)，教師要及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍。

5.注重個(gè)性化教學(xué)：針對(duì)不同學(xué)生的