數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納

2012數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識歸納目錄:01、集合··········································-02-02、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)····································-02-03、三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形···············-12-04、立體幾何······································-15-05、直線與圓······································-16-06、圓錐曲線······································-18-07、平面向量······································-21-08、數(shù)列··········································-22-09、不等式········································-25-10、復(fù)數(shù)··········································-26-11、概率··········································-27-12、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例································-27-13、算法初步······································-30-14、常用邏輯用語與推理證明························-32-15、二項式定理、排列組合···························-34-16、極坐標(biāo)和參數(shù)方程（選修）························-38-2011年高考高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識歸納第一部分集合1．理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是函數(shù)值的取值？還是曲線上的點(diǎn)？…；2．?dāng)?shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；3．主要性質(zhì)和運(yùn)算律包含關(guān)系：等價關(guān)系：集合的運(yùn)算律：A∩UA=φA∪UA=UUU=φUφ=UUU(UA)=AU(A∩B)=(UA)∪(UB)U(A∪B)=(UA)∩(UB)(4)元素與集合的關(guān)系：,.注意：討論的時候不要遺忘了的情況.(5)集合的子集個數(shù)共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空真子集有–2個.4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.5.集合個數(shù)問題（容斥原理）：例1.（2009陜西卷）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人。答案：8.解析:由條件知,每名同學(xué)至多參加兩個小組,故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組,設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為,則.,由公式易知36=26+15+13-6-4-故=8即同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人.6.從集合到集合的映射有個.第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”.(2)函數(shù)圖像與軸垂線至多一個公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可任意個.(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.2．函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；⑤換元法；⑥利用均值不等式；⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（、、等）；⑨導(dǎo)數(shù)法3．復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：①若f(x)的定義域為［a，b］,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。例題：已知函數(shù)的定義域為，分別求函數(shù)和的定義域。解：由，由，（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。例題：設(shè)a>0且，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義域為，令∴u在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y是u的減函數(shù)，故函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)當(dāng)a>1時，函數(shù)y是u的增函數(shù)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)注意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。4．分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。（2009北京理）若函數(shù)則不等式的解集為____________.【答案】【解析】本題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.（1）由.（2）由.∴不等式的解集為，∴應(yīng)填.5．函數(shù)的奇偶性⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；⑵是奇函數(shù)；⑶是偶函數(shù)；⑷奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則；⑸在關(guān)于原點(diǎn)對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；⑹若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價變形，再判斷其奇偶性；⑺．奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．⑻可導(dǎo)函數(shù)，如果為奇函數(shù)，那么它的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，如果為偶函數(shù)，那么它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。6．函數(shù)的單調(diào)性⑴單調(diào)性的定義：在區(qū)間上是增（減）函數(shù)當(dāng)時；例題：(2009陜西卷理)定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則當(dāng)時,有(A)(B)(C)(C)(D)答案：C⑵單調(diào)性的判定定義法：注意：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；②導(dǎo)數(shù)法（見導(dǎo)數(shù)部分）；注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).③復(fù)合函數(shù)法;④圖像法。7．函數(shù)的周期性(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意，若有（其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期①；②；③；④；⑤；⑶函數(shù)周期的判定：①定義法（試值）②圖像法③公式法（利用（2）中結(jié)論）⑷與周期有關(guān)的結(jié)論：①或的周期為；②的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱周期2；③的圖象關(guān)于直線軸對稱周期為2；④的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，直線軸對稱周期4；⑤如果，或，或,則的周期T=2a；8．基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)⑴冪函數(shù)：（；⑵指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R（2）值域：（0，+∞）（3）過定點(diǎn)（0，1），即x=0時，y=1(4)x>0時，y>1;x<0時，0<y<1(4)x>0時，0<y<1;x<0時，y>1.（5）在R上是增函數(shù)（5）在R上是減函數(shù)指數(shù)運(yùn)算法則①；②；③；④⑶對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì)；對數(shù)運(yùn)算：⑷正弦函數(shù):；⑸余弦函數(shù)：；⑹正切函數(shù)：；⑺二次函數(shù)：；(1)解析式：①一般式：；②頂點(diǎn)式：，為頂點(diǎn)；③零點(diǎn)式：。(2)二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：①開口方向；②二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是；頂點(diǎn)坐標(biāo)是；③端點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號。(3)二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類討論。二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R⑻其它常用函數(shù)：①正比例函數(shù)：；②反比例函數(shù)：；特別的，函數(shù)；⑼形如的圖像是等軸雙曲線，雙曲線兩漸近線分別直線(由分母為零確定)、直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，雙曲線的中心是點(diǎn).9．幾個常見的函數(shù)方程：(1)正比例函數(shù),.(2)指數(shù)函數(shù),.(3)對數(shù)函數(shù),.(4)冪函數(shù),.(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，f(0)=1.10．函數(shù)圖象⑴圖象作法：①描點(diǎn)法（注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖）②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法；熟悉常用函數(shù)圖象：例：含的函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱.例如：的圖像的做法→→關(guān)于軸對稱，例如.=2\*GB2⑵熟悉分式函數(shù)的圖象：例：定義域，值域→值域前的系數(shù)之比.⑵圖象變換：平移變換：ⅰ，———左“+”右“-”；ⅱ———上“+”下“-”；伸縮變換：ⅰ，（———縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍；ⅱ，（———橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的倍；對稱變換：?。虎?；ⅲ；ⅳ；翻轉(zhuǎn)變換：ⅰ———右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；ⅱ———上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；11．函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明(一)(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在圖像上；(2)①函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱.推廣一：如果函數(shù)對于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）對稱.推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對稱.②函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱.推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱（由“和的一半確定”）.③函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱.推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱.④函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.推廣：曲線關(guān)于直線的對稱曲線是；曲線關(guān)于直線的對稱曲線是.⑤曲線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（逆時針橫變再交換）.特別：繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得.曲線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（順時針縱變再交換）.（二）（1）證明函數(shù)與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)在的圖象上，反之亦然；（2）兩個函數(shù)的圖象常見的對稱性:①函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱；②函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的解析式為；④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱的解析式為；注意：①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,y)=0;③曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對稱；⑤函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線x=對稱；例題：(2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,則-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】:因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以,由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因為在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,不妨設(shè)由對稱性知所以答案:-8【命題立意】:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,對稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.12．函數(shù)零點(diǎn)的求法：⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0,.那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)（＜＜）使.類似：如果存在(4)例題：(2009山東卷理)若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】:設(shè)函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點(diǎn),就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)時兩函數(shù)只有一個交點(diǎn),不符合,當(dāng)時,因為函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),而直線所過的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方,所以一定有兩個交點(diǎn).所以實數(shù)a的取值范圍是答案:【命題立意】:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答.13．導(dǎo)數(shù)⑴①導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作；物理意義：瞬時速度②函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是例題：（2009江西卷理）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為A．B．C．D．答案：A【解析】由已知，而，所以故選A注意：利用導(dǎo)數(shù)求切線：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要以“切點(diǎn)坐標(biāo)”為橋梁注意：ⅰ所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？ⅱ所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)的切線？對“二次拋物線”過拋物線上一點(diǎn)的切線拋物線上該點(diǎn)處的切線，但對“三次曲線”過其上一點(diǎn)的切線包含兩條，其中一條是該點(diǎn)處的切線，另一條是與曲線相交于該點(diǎn).⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：⑷（理科）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽?⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：①多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：ⅰ在一個區(qū)間上(個別點(diǎn)取等號)在此區(qū)間上為增函數(shù).在一個區(qū)間上(個別點(diǎn)取等號)在此區(qū)間上為減函數(shù).為常數(shù)；②利用導(dǎo)數(shù)求極值：ⅰ求導(dǎo)數(shù)；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得極值。③.導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值：求函數(shù)極值的方法：先找定義域，再求導(dǎo)，找出定義域的分界點(diǎn)，列表求出極值.特別是給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮：函數(shù)在處有且“左正右負(fù)”在處取極大值；函數(shù)在處有且“左負(fù)右正”在處取極小值.注意：①在處有是函數(shù)在處取極值的必要非充分條件.單調(diào)性與最值（極值）的研究要注意列表！函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”；注意：利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：先找定義域再求出導(dǎo)數(shù)為0及導(dǎo)數(shù)不存在的的點(diǎn)，然后比較定義域的端點(diǎn)值和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)值的大小，其中最大的就是最大值，最小就為最小值.（2009全國卷Ⅰ理）本小題滿分12分。（注意：在試題卷上作答無效）設(shè)函數(shù)在兩個極值點(diǎn)，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域；(II)證明：分析（I）這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力。大部分考生有思路并能夠得分。解：由題意知方程有兩個根則有故有右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域。(II)這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標(biāo)中的，（如果消會較繁瑣）再利用的范圍，并借助（I）中的約束條件得進(jìn)而求解，有較強(qiáng)的技巧性。解：由題意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形1．弧度制的定義：角度與弧度的換算公式：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.一個式子中不能角度,弧度混用.弧長公式：；扇形面積公式：。2．三角函數(shù)定義:角終邊上任一點(diǎn)（非原點(diǎn)）P,設(shè)則：3．三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為“全stc”）4．誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”5．⑴對稱軸：令，得對稱中心：；⑵對稱軸：令，得；對稱中心：；⑶周期公式:①函數(shù)及的周期(A、ω、為常數(shù)，且A≠0).②函數(shù)的周期(A、ω、為常數(shù)，且A≠0).6．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：7．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對稱性：⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為，對稱軸為,對稱中心為.⑵的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為，對稱軸為,對稱中心為.⑶的單調(diào)遞增區(qū)間為，對稱中心為.三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)8．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①；；②.（注意該公式的變形）③；④.⑤=(其中,輔助角所在象限由點(diǎn)所在的象限決定,).9．二倍角公式：①.②（升冪公式）.③（降冪公式）.10．正、余弦定理：⑴正弦定理：（是外接圓直徑 ）注：①；②；③。⑵余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosAcosA=b2=a2+c2﹣2accosBcosB=c2=a2+b2﹣2abcosCcosC=正余弦定理在實際中的應(yīng)用求距離兩點(diǎn)間不可通又不可視兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)兩點(diǎn)都不可達(dá)求高度底部可達(dá)底部不可達(dá)題型1計算高度題型2計算距離題型3計算角度題型4測量方案的設(shè)計11.幾個公式:⑴三角形面積公式：①（分別表示a、b、c邊上的高）；②.=3\*GB3③⑵內(nèi)切圓半徑r=（特別地，）；外接圓直徑2R=12．常見三角不等式:(1)若，則.(2)若，則.13.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：即:“奇變偶不變,符號看象限”.如,.14.萬能公式:；；（正切倍角公式）.15.半角公式:.16.三角函數(shù)變換:①相位變換:的圖象的圖象；②周期變換:的圖象的圖象；③振幅變換:的圖象的圖象.17.在△ABC中，有①；②（注意是在中）.③在銳角三角形△ABC中，A+B>,sinA>cosB,sinB>cosA,第四部分立體幾何1．三視圖與直觀圖：=1\*GB2⑴畫三視圖要求：主視圖與俯視圖長對正；主視圖與左視圖高平齊；左視圖與俯視圖寬相等。=2\*GB2⑵斜二測畫法畫水平放置幾何體的直觀圖的要領(lǐng)。例題.（2009遼寧卷理）設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。則該幾何體的體積為【解析】這是一個三棱錐,高為2,底面三角形一邊為4,這邊上的高為3,體積等于×2×4×3＝4【答案】42．表（側(cè)）面積與體積公式：⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：V=S底h⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：V=S底h：⑶臺體：①表面積：S=S側(cè)+S下底;②側(cè)面積：S側(cè)=;③體積：V=(S+)h；⑷球體：①表面積：S=；②體積：V=.3．位置關(guān)系的證明（主要方法）：⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理。⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行線面平行。⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。⑸平面與平面垂直：①定義----兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。．第五部分直線與圓1．直線方程⑴點(diǎn)斜式：；⑵斜截式：；⑶截距式：；⑷兩點(diǎn)式：；⑸一般式：，（A，B不全為0）。注意：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.2．求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解?；蛩硎镜钠矫鎱^(qū)域：設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當(dāng)與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當(dāng)與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.3．兩條直線的位置關(guān)系：直線方程平行的充要條件垂直的充要條件有斜率且（驗證）不可寫成分式4．直線系：對于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當(dāng)為定值，變化時，它們表示過定點(diǎn)（0，）的直線束.②當(dāng)為定值，變化時，它們表示一組平行直線.5．幾個公式⑴設(shè)A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；⑵點(diǎn)P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：；⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是；6．圓的方程：⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：①；②。⑵一般方程：（注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；圓的方程的四種形式：（3）圓的參數(shù)方程:.（4）圓的直徑式方程:(圓的直徑的端點(diǎn)是、).7．圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法；⑶圓系法。8．圓系：⑴過兩個圓的交點(diǎn)的曲線系；注：當(dāng)時表示兩圓交線。⑵過一個圓和一條直線的交點(diǎn)的圓的方程。9．點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（表示點(diǎn)到圓心的距離）①點(diǎn)在圓上；②點(diǎn)在圓內(nèi)；③點(diǎn)在圓外。點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外⑵直線與圓的位置關(guān)系：（表示圓心到直線的距離）①相切；②相交；③相離。⑶圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）①相離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含。10．與圓有關(guān)的結(jié)論：(1)若P(,)是圓上的點(diǎn),則過點(diǎn)P(,)的切線方程為.(2)若P(,)是圓上的點(diǎn),則過點(diǎn)P(,)的切線方程為.(3)若P(,)是圓外一點(diǎn),由P(,)向圓引兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB的方程為.(4)若P(,)是圓外一點(diǎn),由P(,)向圓引兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB的方程為.圓的切線方程：(1)已知圓．①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是.當(dāng)圓外時,表示過兩個切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．(2)已知圓，過圓上的點(diǎn)的切線方程為.第六部分圓錐曲線1．定義：⑴橢圓：；⑵雙曲線：；⑶拋物線：2．結(jié)論⑴①橢圓焦半徑：：（e為離心率）；（左“+”右“-”）；⑵弦長公式：；注：（Ⅰ）焦點(diǎn)弦長：橢圓：；拋物線：＝x1+x2+p=；（Ⅱ）通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線：；②拋物線：2p。⑶過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：（同時大于0時表示橢圓，時表示雙曲線）；⑷橢圓中的結(jié)論：①內(nèi)接矩形最大面積：2ab；②P，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且OP0Q，則；③橢圓焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．點(diǎn)是內(nèi)心，交于點(diǎn)，則；④當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時最大；橢圓的參數(shù)方程是.⑸橢圓的切線方程：①橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.②過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.③橢圓與直線相切的條件是.⑹雙曲線中的結(jié)論：雙曲線（a>0,b>0）的漸近線：由得；雙曲線的漸近線方程為。②共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，≠0）；③雙曲線焦點(diǎn)三角形：<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．P是雙曲線－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為；④雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直；⑤雙曲線,焦半徑公式；雙曲線，焦半徑公式.⑥雙曲線的切線方程：過雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.雙曲線與直線相切的條件是.⑦P是雙曲線上一點(diǎn),F、F是它的兩個焦點(diǎn),∠FPF=θ，則△PFF的面積=.⑺拋物線中的結(jié)論：拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：<Ⅰ>x1x2=；y1y2=－p2；拋物線焦半徑：；<Ⅱ>；<Ⅲ>．以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；<Ⅳ>以AF（或BF）為直徑的圓與軸相切；<Ⅴ>。②拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)接直角三角形OAB的性質(zhì)：<Ⅰ>；<Ⅱ>恒過定點(diǎn)；<Ⅲ>中點(diǎn)軌跡方程：；<Ⅳ>，則軌跡方程為：；<Ⅴ>。③拋物線y2=2px(p>0)，對稱軸上一定點(diǎn)，則：<Ⅰ>當(dāng)時，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為；<Ⅱ>當(dāng)時，拋物線上有關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為。④拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為P或.⑤(1)P(,)是拋物線上的一點(diǎn),是它的焦點(diǎn),則；(2)拋物線的焦點(diǎn)弦長,其中是焦點(diǎn)弦與x軸的夾角；(3)拋物線的通徑長為.⑥拋物線的切線方程：(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）拋物線與直線相切的條件是.⑻“四線”一方程：對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.3．直線與圓錐曲線問題解法：⑴直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。注意以下問題：①聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？②直線斜率不存在時考慮了嗎？③判別式驗證了嗎？⑵設(shè)而不求（點(diǎn)差法-----代點(diǎn)作差法）：--------處理弦中點(diǎn)問題步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解決問題。4．求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（又稱相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法）；⑷待定系數(shù)法；（5）消參法；（6）交軌法；（7）幾何法。5、圓錐曲線的對稱方程：曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是.6、求弦長公式(，,)或“小小直角三角形”.第七部分平面向量幾個概念：零向量、單位向量(與共線的單位向量是，特別：)、平行(共線)向量(無傳遞性，是因為有)、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直、1.平面上兩點(diǎn)間的距離公式:，其中A，B.2.向量的平行與垂直：設(shè)=,=，且，則：兩非零向量平行(共線)的充要條件.兩個非零向量垂直的充要條件.特別：零向量和任何向量共線.是向量平行的充分不必要條件!3.a·b=|a||b|cos<a,b>=xx2+y1y2；注：①|(zhì)a|cos<a,b>叫做a在b方向上的正射影。即：.；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的正射影；=2\*GB3②a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的正射影|b|cos<a,b>的乘積。4.cos<a,b>=；5.三點(diǎn)共線的充要條件：P，A，B三點(diǎn)共線；6、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且，則，.特別：分點(diǎn)的位置與的對應(yīng)關(guān)系.中點(diǎn)坐標(biāo)公式，為的中點(diǎn)..為的重心；特別為的重心.為的垂心；所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心..第八部分?jǐn)?shù)列1、等差、等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中項公式A=推廣：2=。推廣：性質(zhì)1若m+n=p+q則若m+n=p+q，則。2若成A.P（其中）則也為A.P。若成等比數(shù)列（其中），則成等比數(shù)列。3．成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。4，5成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,2、等差數(shù)列特有性質(zhì)：①項數(shù)為2n時：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)；；；②項數(shù)為2n-1時：S2n-1=(2n-1)；；；③若；若；若。3．?dāng)?shù)列通項的求法：注意：；.⑴分析法；⑵定義法（利用AP,GP的定義）；aan=S1(n=1)Sn－Sn-1(n≥2)⑶公式法：累加法（；⑷疊乘法（型）；⑸構(gòu)造法（型）；（6）迭代法；⑺間接法（例如：）；⑻作商法（型）⑼待定系數(shù)法；⑽（理科）數(shù)學(xué)歸納法。注：當(dāng)遇到時，要分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果是分段形式。4．前項和的求法：⑴拆、并、裂項法；如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：①，②，③，，④，⑤,⑥,⑦，⑧.⑵倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.⑶錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的差”?。ㄟ@也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一）.5．等差數(shù)列前n項和最值的求法：⑴；⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。6、等比數(shù)列的前項和公式的常見應(yīng)用題：=1\*GB2⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：=2\*GB2⑵銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計算，則每月的元過個月后便成為元.因此，第二年年初可存款：=.=3\*GB2⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.7.數(shù)列常見的幾種形式：=1\*GB2⑴（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.具體步驟：①寫出特征方程（對應(yīng)，x對應(yīng)），并設(shè)二根②若可設(shè)，若可設(shè)；③由初始值確定.=2\*GB2⑵（P、r為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化等差，等比：；②逐項選代；.③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求；特征方程求解：.④（公式法），由確定.由選代法推導(dǎo)結(jié)果：第九部分不等式1．均值不等式：注意：①一正二定三相等；②變形：。2．極值定理：已知都是正數(shù)，則有：(1)如果積是定值，那么當(dāng)時和有最小值；(2)如果和是定值，那么當(dāng)時積有最大值.3.解一元二次不等式:若,則對于解集不是全集或空集時,對應(yīng)的解集為“大兩邊，小中間”.如:當(dāng),；.4.含有絕對值的不等式：當(dāng)時，有：①；②或.5.分式不等式：（1）；（2）；（3）；（4）.6.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)時,；.(2)當(dāng)時,；3．不等式的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶；；⑷；；;⑸;⑹第十部分復(fù)數(shù)1．概念：⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0；⑵z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；⑶復(fù)數(shù)的分類z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；例題1、（2009江西卷理）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為A．B．C．D．或答案：A【解析】由故選A例題2、已知z是純虛數(shù),是實數(shù),那么z等于（A）2i(B)i(C)-i(D)-2i答案：D.解析:設(shè)純虛數(shù),代入由于其為實數(shù)，b=-2,故選D.⑷復(fù)數(shù)的相等：a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；例題：（2009安徽卷理）i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是（A）－15（B）－3（C）3（D）15[解析]，∴，選B。⑸復(fù)平面表示復(fù)數(shù)。2．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則：（1）z1±z2=(a+b)±(c+d)i；⑵z1.z2=(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；⑶=(z2≠0);3．幾個重要的結(jié)論：；⑶；⑷⑸性質(zhì)：T=4；；4．模的性質(zhì)：⑴；⑵；⑶。5.實系數(shù)一元二次方程的解：①若,則;②若,則;③若，它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復(fù)數(shù)根.第十一部分概率1．事件的關(guān)系：⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作；⑵事件A與事件B相等：若，則事件A與B相等，記作A=B；⑶并（和）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作（或）；⑷并（積）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作（或）；⑸事件A與事件B互斥：若為不可能事件（），則事件A與互斥；=6\*GB2⑹對立事件：為不可能事件，為必然事件，則A與B互為對立事件。2．概率公式：⑴互斥事件（有一個發(fā)生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：；⑶幾何概型：；例：(2009山東卷理)在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x,的值介于0到之間的概率為()A.B.C.D.【解析】:在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x,即時,要使的值介于0到之間,需使或∴或，區(qū)間長度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A.【命題立意】:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題,由自變量x的取值范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長度型幾何概型求得.第十二部分統(tǒng)計與統(tǒng)計案例1．抽樣方法：⑴簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個數(shù)為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機(jī)會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。注：①每個個體被抽到的概率為；②常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法。⑵系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個數(shù)較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采用簡單隨機(jī)抽樣方法確定起始的個體編號；④按預(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。⑶分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個部分所抽取的樣本個體數(shù)=該部分個體數(shù)注:以上三種抽樣的共同特點(diǎn)是：在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等2．頻率分布直方圖：=1\*GB2⑴用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商，(而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率。例題：(2009山東卷理)某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品969810010210410696981001021041060.1500.1250.1000.0750.050克頻率/組距例題圖凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是().A.90B.75C.60D.45【解析】:產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)×2=0.300,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,設(shè)樣本容量為,則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120×0.75=90.故選A.【命題立意】:本題考查了統(tǒng)計與概率的知識,讀懂頻率分布直方圖,會計算概率以及樣本中有關(guān)的數(shù)據(jù).莖葉圖.=2\*GB2⑵當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。例題：（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）如下：品種A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454品種B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430AB973587363537148383569239124457750400113675424102567331422400430553444145（Ⅰ）完成所附的莖葉圖（Ⅱ）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？（Ⅲ）通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論?！舅悸贰坑山y(tǒng)計知識可求出A、B兩種品種的小麥穩(wěn)定性大小并畫出莖葉圖，用莖葉圖處理數(shù)據(jù)，看其分布就比較明了?！窘馕觥浚?）莖葉圖如圖所示（2）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況,而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù).（3）通過觀察莖葉圖，可以發(fā)現(xiàn)品種A的平均每畝產(chǎn)量為411.1千克，品種B的平均畝產(chǎn)量為397.8千克.由此可知,品種A的平均畝產(chǎn)量比品種B的平均畝產(chǎn)量高.但品種A的畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種B的畝產(chǎn)量比較集中D平均產(chǎn)量附近.3．總體特征數(shù)的估計：總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.⑴樣本平均數(shù)；⑵樣本方差；⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差=⑷用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對總體期望值的估計；用樣本方差的大小估計總體數(shù)據(jù)波動性的好差(方差大波動差).公式如下：樣本數(shù)據(jù)做如下變換，則，.4．相關(guān)系數(shù)（判定兩個變量線性相關(guān)性）：注：⑴>0時，變量正相關(guān)；<0時，變量負(fù)相關(guān)；⑵當(dāng)越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；當(dāng)越接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。5．回歸直線方程，其中第十三部分算法初步程序框圖1定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來表示算法的圖形2框圖的常用符號3.算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)—順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。三輸入、輸出語句和賦值語句變量=變量=INPUT（“提示內(nèi)容”）；INPUT語句。這個語句的一般格式是：其中，“提示內(nèi)容”一般是提示用戶輸入什么樣的信息。（二）、輸出語句PRINT語句是輸出語句。它的一般格式是：PRINT（%io（2），變量1，變量2，。。。）PRINT（%io（2），變量1，變量2，。。。）;同輸入語句一樣，表達(dá)式前也可以有“提示內(nèi)容”。輸出語句的用途：(1)輸出常量，變量的值和系統(tǒng)信息。(2)輸出數(shù)值計算的結(jié)果。（三）、賦值語句用來表明賦給某一個變量一個具體的確定值的語句。除了輸入語句，賦值語句也可以給變量提供初值。它的一般格式是：變量變量=表達(dá)式賦值語句中的“=”叫做賦值號。賦值語句的作用：先計算出賦值號右邊表達(dá)式的值，然后把這個值賦給賦值號左邊的變量，使該變量的值等于表達(dá)式的值。注：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。IF條件語句1ELSE語句2ENDIF條件語句1ELSE語句2END④賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。四條件語句和循環(huán)語句（一）、條件語句算法中的條件結(jié)構(gòu)是由條件語句來表達(dá)的，是處理條件分支邏輯結(jié)構(gòu)的算法語句。它的一般格式是：(IF-THEN-ELSE格式)IF條件語句END當(dāng)計算機(jī)執(zhí)行上述語句時，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行THEN后的語句1，否則執(zhí)行ELSEIF條件語句END在某些情況下，也可以只使用IF-THEN語句：(即IF-THEN格式)計算機(jī)執(zhí)行這種形式的條件語句時，也是首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行THEN后的語句，如果條件不符合，則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其他語句。滿足條件？循環(huán)體滿足條件？循環(huán)體是否（二）、循環(huán)語句算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。WHILE語句的一般格式是：WHILEWHILE條件循環(huán)體END 框圖格式滿足條件？循環(huán)體滿足條件？循環(huán)體是否⑵程序框圖分類:①順序結(jié)構(gòu)：②條件結(jié)構(gòu)：③循環(huán)結(jié)構(gòu)：r=0?否求n除以i的余數(shù)輸入n是n不是質(zhì)素n是質(zhì)數(shù)i=i+1否i=2in或r=0?是注：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：Ⅰ．當(dāng)型——先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體；Ⅱ．直到型——先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷條件。例題1：（2009浙江卷理）某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是()A．B．C．D．答案：A【解析】對于，而對于，則，后面是，不符合條件時輸出的．例題2：上（右）圖是一個算法的流程圖，最后輸出的.第十四部分常用邏輯用語與推理證明1．充要條件的判斷：（1）定義法----正、反方向推理注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件（甲乙）”與“甲的充分條件是乙（乙甲）”（2）利用集合間的包含關(guān)系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。解充要條件的問題時，對于一個給定的命題：（1）.若原命題正確，而逆命題不正確，則原命題的條件是結(jié)論的充分不必要條件；（2）.若原命題不正確，而逆命題正確，則原命題的條件是結(jié)論的必要不充分條件（3）.若原命題正確，而逆命題正確，則原命題的條件是結(jié)論的充要條件，此時原命題的結(jié)論也是條件的充要條件.（4）.若原命題不正確，而逆命題不正確，則原命題的條件是結(jié)論的既不充分又不必要條件從已知概念、命題出發(fā)，用箭頭符號語言表示充分，必要，充要條件，可直觀的表示出命題間的關(guān)系，作出判斷，而在判斷的時候，對于“”只要證明或說明；而對于“推不出”，只要舉出一個反例即可，特別強(qiáng)調(diào)的是，對于條件的判斷絕對不能隨便的觀察一下就下結(jié)論，必有詳盡的步驟.例.至少有一個負(fù)的實根的充要條件是（）A.B.C.D.或解一：當(dāng)時，原方程變形為一元一次方程，有一個負(fù)的實根當(dāng)時，原方程為一元二次方程，有實根的充要條件是即設(shè)兩根，則有一負(fù)實數(shù)有兩負(fù)實數(shù)綜上，解二：排除法當(dāng)時，原方程有一個負(fù)的實數(shù)，可以排除A、D當(dāng)時，原方程有兩個相等的負(fù)實數(shù)，可以排除B，所以選C2．邏輯聯(lián)結(jié)詞：⑴且(and)：命題形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命題形式pq；真真真真假⑶非（not）：命題形式p.真假假真假假真假真真假假假假真3．四種命題的相互關(guān)系原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ4。四種命題：⑴原命題：若p則q； ⑵逆命題：若q則p；⑶否命題：若p則q； ⑷逆否命題：若q則p注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。5.全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用表示；全稱命題p：； 全稱命題p的否定p：。⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用表示；特稱命題p：； 特稱命題p的否定p：；6.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有（）個小于不小于至多有個至少有（）個對所有，成立存在某，不成立或且對任何，不成立存在某，成立且或第十四部分排列組合二項式定理一、兩個原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重復(fù)元素的排列.從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·…m=mn..例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？（解：種）二、排列.1.⑴對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.⑵相同排列.如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.⑶排列數(shù).從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號表示.⑷排列數(shù)公式：注意：規(guī)定0!=1規(guī)定2.含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,則S的排列個數(shù)等于.例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù).三、組合.1.⑴組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.⑵組合數(shù)公式：⑶兩個公式：①②①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有.⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.⑸①幾個常用組合數(shù)公式②常用的證明組合等式方法例.i.裂項求和法.如：（利用）ii.導(dǎo)數(shù)法.iii.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.v.遞推法（即用遞推）如：.vi.構(gòu)造二項式.如：證明：這里構(gòu)造二項式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合.1.I.排列、組合問題幾大解題方法及題型：①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一個“整體排列”，而則是“局部排列”.又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？（插空法），當(dāng)n–m+1≥m,即m≤時有意義.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進(jìn)行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n=n！/m！；解法二：（比例分配法）.⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運(yùn)動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？（）注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當(dāng)n–m+1≥m,即m≤時有意義.⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應(yīng)著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖