2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破13 幾何最值問題2種題型（將軍飲馬與螞蟻爬行,16種模型）（解析版）

重難點(diǎn)13幾何最值問題2種題型

（將軍飲馬與螞蟻爬行，16種模型）

錄

重難點(diǎn)題型突破

題型01將軍飲馬

題型02螞蟻爬行

重難點(diǎn)題型突破

兩點(diǎn)位于線段兩側(cè)

兩點(diǎn)位于線段間側(cè)

＞（兩點(diǎn)之間線段最粕）

一點(diǎn)位于西線段的內(nèi)側(cè)

一線段位于兩線段的內(nèi)側(cè)【模型一專助訓(xùn)練】

一點(diǎn)位于兩線段的外側(cè)'【模型—專項(xiàng)訓(xùn)練】

-（垂線段最短）【模型三專項(xiàng)訓(xùn)練】

一點(diǎn)位于兩線段的內(nèi)側(cè)【模型四專項(xiàng)訓(xùn)練】

幾

【模型五與模型六專項(xiàng)訓(xùn)練】

何兩點(diǎn)在冏側(cè)，求的最大值

PA-PBI，在三角形中兩邊、【模型七與模型八專項(xiàng)訓(xùn)練】

”1之差疝手港三邊）

最兩點(diǎn)在異側(cè)，求IPA-PBI的最大值【模型九專暝訓(xùn)練】

【模型十與模型十一專項(xiàng)訓(xùn)練】

值

在直線L上求一點(diǎn)P.線段垂直平分線上的點(diǎn)

2求IPA-PBI的最小值到線段兩端距離相等

種I，平行四邊形的性質(zhì)+兩

類將軍過橋（2種）點(diǎn)之間殘隹金短

型

16螞蟻沿著長方體去面距行

種

【模型一專I頁訓(xùn)練】

模螞蟻沿著圓柱表面爬行

【咦型二專項(xiàng)訓(xùn)練】

型螞誕蜂蜜回題【模型三專項(xiàng)訓(xùn)練】

螞蟻爬樓梯同題【模型四專項(xiàng)訓(xùn)練】

【模型五專項(xiàng)訓(xùn)練】

媽蟻爬圓鋌問題

題型01將軍飲馬

模型的概述：唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望燎火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含

著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營.

問如何行走才能使總的路程最短.

模型一.模型四的理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.

模型一（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿

營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如右圖，連接AB,與線段L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長.

【將軍飲馬之模型一專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2021.海南海I1?統(tǒng)考一模）如圖，在△48。中，AB=AC,分別以點(diǎn)A、4為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作

弧，兩弧分別交于E，尸，作直線E凡。為的中點(diǎn)，M為直線七廠上任意一點(diǎn).若BC=4,△力BC面枳

為10,則8M+MD長度的最小值為（）

【答案】D

【分析】由基本作圖得到得后產(chǎn)垂直平分AB,則M3=M4,所以8M+MO=MA+M。，連接M4、D4,如圖，

利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷MA+MD的最小值為AD,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD1.BC,然后利用

三角形面積公式計(jì)算出AD即可.

【詳解】解：由作法得F尸垂直平分A用

：.MB=MA,

：.BM+MD=MA+MD,

連接MA、DA,如圖，

?：MA+MD>AD（當(dāng)且僅當(dāng)M點(diǎn)在4。上時取等號）,

J.MA+MD的最小值為AQ,

?：AB=AC,D點(diǎn)為BC的中點(diǎn),

/.AD±BC,

yShABC=^BC-AD=W,

.?.4D=也=5,

長度的最小值為5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點(diǎn)之

間，線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?山東棗莊??？寄M預(yù)測）如圖所示，正方形的面積為12,△48E是等邊三角形，點(diǎn)E1在正

方形A8CD內(nèi)，在對角線力C上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

AD

BC

A.4V3B.2V3C.V6D.V3

【答案】B

【分析】連接8。，PB,根據(jù)點(diǎn)8與。關(guān)于AC對稱，得出P0=P8,從而得出PD+PE=PB+PEZBE,

即PO+PE最小值為值為BE的長，求出BE的長即可.

【詳解】解：連接3D,PB,如圖所示：

??加邊形力也。為正方形,

???點(diǎn)B與D關(guān)于4c對稱,

：.PD=PB,

:?PD+PE=PB+PE之BE,

???PD+PE最小值為BE的長,

???正方形4BCD的面積為12,

：,AB=712=2V3,

又是等邊三角形，

：.BE=AB=2V3,

???PD+PE最小值為2次，故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的

性質(zhì)得出8E的長為PD+PE的最小值.

3.(2020?山東泰安?中考真題)如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為4(2,0)萬(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,

A.V2+1B.五+三C.2V24-1D.272

【答案】B

【分析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)N,連接ON,MN.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知OMVON+MN,則當(dāng)

ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線即可解答.

【詳解】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N,連接ON,MN,三角形的三邊關(guān)系可知OMVON+MN,則當(dāng)

ON與MN共線時，OM=ON+MN最大，

???4(2,0),8(0,2),

則AABO為等腰直角三角形，

.\AB=VO/12+OB2=2^2,N為AB的中點(diǎn)，

???0348=&,

又,；M為AC的中點(diǎn)，

，MN為△ABC的中位線，BC=1,

貝I」=：

.\OM=ON+MN=V2

2

AOM的最大值為企+，

【點(diǎn)睛】本題考杳了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)ON與MN共

線時，OM=ON+MN最大.

4.（2022?安徽蚌埠?統(tǒng)考一模）如圖，中，AB1DC,AB=8,BC=6,F是△A3C內(nèi)部的一個動

點(diǎn)，滿足=則線段CP長的最小值為（）

B.2C.2V13-6D.2713-4

【答案】D

【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得乙4P8=90。，取AB的中點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，48為直徑作圓，連接OP：根據(jù)

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得OP=OA=OB=\AB=4；根據(jù)圓的對稱性，得點(diǎn)P在以A8為直徑的。0

上，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點(diǎn)。、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時，PC最小；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)

計(jì)算得OC,通過線段和差計(jì)算即可得到答案.

【詳解】v/-ABC=90°,

Z.ABP+Z.PBC=90°,

vZ.PAB=乙PBC,

???￡BAP+乙ABP=90°,

.%Z.APB=90°,

取A3的中點(diǎn)0,以點(diǎn)。為圓心，為直徑作圓，連接OP,

OP=0A=OB=-AB=4

2

.?.點(diǎn)。在以人8為直徑的O0上，連接OC交。。于點(diǎn)P,

當(dāng)點(diǎn)。、點(diǎn)巴點(diǎn)C三點(diǎn)共線時，PC最小

在RtaBCO中，

vZ.OBC=90°,BC=6,OB=4,

0C=y]BO2+BC2=V42+62=2V13,

APC=OC-OP=2713-4

二PC最小值為2g-4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟

練拿握圓的對稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解.

5.(202()?廣東深圳?南山實(shí)驗(yàn)教育美團(tuán)南海中學(xué)校考一模)如圖8。在4B的同側(cè)，4。=2,BD=8,AB=8,

點(diǎn)M為A8的中點(diǎn)，若2CM。=12。。，則的最大值是.

【答案】14

【分析】如圖，作點(diǎn)人關(guān)于CW的對稱點(diǎn)/V,點(diǎn)8關(guān)于力M的對稱點(diǎn)夕，證明△/VM9為等邊三角形，即可

解決問題.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)4,點(diǎn)8關(guān)于OM的對稱點(diǎn)夕.

?:4CMD=120°,

Z.AMC+Z.DMB=60°,

???LCMA'4-Z-DMB'=60°,

???iA'MB'=60°,

???MAf=MB',

.??A4'M8'為等邊三角形

???CD<CA'+A!B'+B'D=CA+AM-^-BD=14,

???CD的最大值為14,

故答案為14.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)

會利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題

模型二（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，需先走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B

點(diǎn)宿營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離.

方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)B，，連接AB\與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為

線段AB，的長.

【將軍飲馬之模型一專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2022.湖南湘潭??？寄M預(yù)測）如圖，菱形草地ABCD中，沿對■角線修建60米和80米兩條道路（力。＜8。），

“、N分別是草地邊BC、。。的中點(diǎn)，在線段8。上有一個流動飲水點(diǎn)P,若要使PM+PN的距離最短，則最

短距離是米.

B

【答案】50

【分析】作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q,連接NQ,交于〃，連接M7,當(dāng)P點(diǎn)與尸重合時，MP+NP=MP'+NP'=

NQ的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BC長，即可得出答案.

【詳解】解：作M關(guān)于8D的對稱點(diǎn)Q,連接NQ,交BD于PL連接MPM

當(dāng)P點(diǎn)與P'重合時，MP+NP=MP'+NP'=NQ的值最小，

???四邊形力BCD是菱形，

AC1BD,乙QBP=4MBP,

即Q在48上，

VMQ1BD,

???AQIMQ,

M為BC中點(diǎn),

Q為力B中點(diǎn)，

?：N為CD中點(diǎn),四邊形ABCD是菱形，

ABQWCD,BQ=CN,

四邊形BQNC是平行四邊形，

:.NQ=BC,

設(shè)4。與80的交點(diǎn)為點(diǎn)0,

?.?四邊形力BCD是菱形，

.'.ACA.BD,0。=二力（？=30米，08=230=40米,

BC=y/OB2+OC2=50米，

??.PM+PN的最小值是50米.

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，

解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置.

2(2021下?河南省直轄縣級單位八年級統(tǒng)考期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(2,2),C14,4)是第

一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,且=在y軸上取一點(diǎn)。，連接4B,BC,AO,CD,

使得四邊形48C。的周長最小，則這個周長的最小值為一.

【答案】4+2同

【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和平行線的性質(zhì)得到N/3AC=45。，從而得到N8=90。，得出AC=8C=2,作C關(guān)于)，

軸的對稱點(diǎn)C,連接AC交)，軸于則此時，四邊形相C。的周長最小，這個最小周長的值=A/3+4C+AC,

過根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???點(diǎn)A(2,2),點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為2,

軸，

???。。是笫一象限的角平分線

/.ZBAC=45°,

VC4=CB,

NAC8=NBAC=45。，

/.ZB=90°,

VC(4,4)

：.B(4,2),

???/W=3C=2,

作C（4,4）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)。（-4,4）,

連接AC交），軸于

則此時，四邊形A8C。的周長最小，且CD二C。，

則這個最小周長的值:A8+8C+AC,

VC（-4,4）,4（2,2）

:、AC=V62+22=2V10,

:.四邊形ABCD的最小周長值=AB+BC+ACf=4+2x/10,

故答案為：4+2同

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱

解決最短問題.

3.（2022下?廣東湛江?八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形/WCO的邊長為4,點(diǎn)M在DC上，且。M=l,N是

AC上一動點(diǎn)，則ON+MN的最小值為（）

A.4B.4V2C.ZV5D.5

【答案】D

【分析】由正方形的對稱性可知點(diǎn)8與。關(guān)于一直線AC對稱，連接BM交ACJ-M,M即為所求在RtABCM

中利用勾股定理即可求出4M的長即可.

【詳解】???四邊形A4c。是正方形，

???點(diǎn)8與。關(guān)于直線AC對稱，

:.DN=BN,

連接B。，BM交AC于V,連接0M,

???當(dāng)B、N、M共線時，DN+MN有最小值,則8M的長即為。W+MN的最小值，

??/C是線段5。的垂直平分線，

又「CO=4,DM=l

：,CM=CD-DM=4-\=3,

在RtABCM中，BM=y/CM2+BC2=V324-42=5

故DN+MN的最小值是5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱-最能路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出。關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)，由軸對稱

及正方形的性質(zhì)判斷出。的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵.

4.(2022?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題)如圖，等邊△/18C中，48=10,點(diǎn)七為高力。上的一動點(diǎn)，以8E為邊作

等近△BEF,連接。戶，CF,則.產(chǎn)R+FO的最小值為.

【答案】30。/30度5V3

【分析】①△力BC與ABE尸為等邊三角形，得到B4=BC,BE=BF,Z.ABE=^CBF,從而證△BAE三4

8CF(S4S),最后得到答案.

②過點(diǎn)。作定直線。r的對稱點(diǎn)G,連CG,證出AOCG為等邊三角形，CF為OG的中垂線，得到FO=FG,

FB+FD=FB+FG>BG,再證△BCG為直角三角形，利用勾股定理求出8G=56，即可得到答案.

【詳解】解：①???△48C為等邊三角形，

=BC,AD1BC,

：.Z-BAE=-^BAC=30°,

2

??ZBE尸是等邊三角形，

?：LEBF=匕ABC=60°,BE=BF,

：.LABE=4ABe-乙EBC=60°-Z-EBC,

乙C3F=乙EB卜'-乙EBC=6U"-LEBC,

：.LABE=乙CBF,

在和△BCF中

（BA=BC

\^ABE=乙CBF

IBE=BF

J.LBAE三/（SHS）,

得，BAE=Z-BCF=30°：

故答案為：30°.

②（將軍飲馬問題）

過點(diǎn)。作定直線C尸的對稱點(diǎn)G,連CG,

???△OCG為等邊三角形，C/為DG的中垂線，F(xiàn)D=FG,

：.FB+FD=FB+FG,

連接BG,

:?FB+FD=FB+FG>BG,

又DG=DC=^BC,

???ABCG為直角三角形，

VFC=10,CG=5,

；?BG=5V3,

???F8+F。的最小值為5次.

故答案為：56.

A

G

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及

性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練運(yùn)用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強(qiáng)的綜合性.

5.（2022上?福建莆田?八年級莆田二中?？计谀┤鐖D，在中，^ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)C在直

線MN上/8CN=30°,點(diǎn)P為MN上一動點(diǎn)，連接AP,BP.當(dāng)AP+BP的值最小時，/C8P的度數(shù)為度.

【答案】15

【分析】如圖，作8關(guān)于MN的對稱點(diǎn)。，連接4P+BP的值最小，則MN交40于P,由軸對

稱易證=/COP,結(jié)合=30。證得△?<?￡）是等邊三角形，可得力C=C￡）,結(jié)合已知根據(jù)等腰三角

形性質(zhì)可求出乙CDP,即可解決問題.

【詳解】如圖，作8關(guān)于MN的對稱點(diǎn)。，連接AD,BD,CD,

???4P+8P的值最小，

則MN交4。于尸，由軸對稱可知：

CB=CD,PB=PD,

???Z.CBD=乙CDB,乙PBD=乙PDB,

:.Z.CBP=乙CDP,

vZ.BCN=30°,

:.乙BCD=2乙BCN=60°,

???△8C0是等邊三角形，

.?AC=BC,

???AC=CD,

???Z.CAD=Z.CDA,

vZ.ACB=90°,乙BCD=60°,

???￡CAD=Z,CDA=1(180°-Z.ACB-乙BCD)=15°,

???Z.CBP=Z-CDP=15°,

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會利用最短路徑解決最值問題是解答的關(guān)鍵.

6.(2020?全國?九年級專題練習(xí))如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于4(1,0)、8(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),

點(diǎn)。為。C的中點(diǎn)，點(diǎn)仄尸分別為乃軸正半軸和拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，連接DE、EF、CF,求四邊形CDE尸周

長最小時點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

【答案】當(dāng)四邊形CDEF周長最小時，點(diǎn)￡的坐標(biāo)《,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(J,：).

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于軸的乂寸稱點(diǎn)D',作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)L,連接C，。，交對稱軸于點(diǎn)F,交

》軸于點(diǎn)￡求出直線的解析為、二卷》一會進(jìn)一步可得出結(jié)論.

【詳解】如圖，作點(diǎn)。關(guān)于工軸的對稱點(diǎn)。'，作點(diǎn)。關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)U,連接交對稱軸于點(diǎn)

F,交工軸于點(diǎn)E.由對稱知C'F=CF,D'E=DE,

V

此時四邊形COE尸的周長為CO+DE+EF+CF=CD+D'E+EF+C'F=CD+CD'.

二此時四邊形CDEF的周長最小，最小值為CD+CD'.

???4(1,0),8(4,0),

???拋物線對稱軸為直線x=去

C<5,3).

???。為。。的中點(diǎn)，???0(0W).

設(shè)直線OD'的解析式為y=kx+b.

5k+b=3\k=—

{公工:解得欠一叱

二直線C。的解析為、=Q—右

令廠0,貝1反=京.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為住,0).

令x=|,則y=n.??點(diǎn)F的坐標(biāo)為(I，》

.??當(dāng)四邊形CDEF周長最小時，點(diǎn)E的坐標(biāo)0,0)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為G3).

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，四邊形與二次函數(shù)的結(jié)合，線段的和差最值與二次函數(shù)的

結(jié)合，將不共線的線段轉(zhuǎn)化為共線為解題關(guān)鍵.

7.(2015?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=I2,將矩形紙片折疊，使點(diǎn)

C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE,此時PD=3.

（2）在AB邊上有一個動點(diǎn)E且不與點(diǎn)A,B重合.當(dāng)AF等于多少時，^MEF的周長最小？

（3）若點(diǎn)G,Q是AB邊上的兩個動點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,B重合，GQ=2.當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時，

求最小周長值.（計(jì)算結(jié)果保留根號）

【答案】（1）5；（2）與（3）7+5幻.

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)以得PD=PH=3,CD=MH=4,ZH=ZD=90°,利用勾股定理可計(jì)算

出MP的長：

（2）如圖1,作點(diǎn)M關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M：連接M，E交AB于點(diǎn)F,利用兩點(diǎn)之間線段最短可得點(diǎn)F即為

所求，過點(diǎn)E作EN_LAD,垂足為N,貝ijAM二AD-MP-PD=4,所以AM=AM，=4,再證明ME=MP=5,利

用勾股定理計(jì)算出MN=3,NMZ=11,得出△AFM's^NEM，，利用相似比即可計(jì)算出AF；

（3）如圖2,由（2）知點(diǎn)M，是點(diǎn)M關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2,連接M，R交AB于點(diǎn)G,

再過點(diǎn)E作EQ〃RG,交AB于點(diǎn)Q,易得QE=GR,而GM=GM1于是MG+QE=M，R,利用兩點(diǎn)之間線段

最短可得此時MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長最小，在RtAMRN中，利用勾股定理計(jì)算出MfR

得出，從而得到四邊形MEQG的最小周長值.

【詳解】解：（1）???四邊形ABCD為矩形，

/.CD=AB=4,ZD=90°,

???矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE,

???PD=PH=3,CD=MH=4,ZH=ZD=90°,

AMP=V32+42=5；

（2）如圖I,作點(diǎn)M關(guān)于AB的對稱點(diǎn)MS連接MT交AB于點(diǎn)F,則點(diǎn)F即為所求，過點(diǎn)E作EN1AD,

垂足為N,

VAM=AD-MP-PD=!2-5-3=4,

???AM=AM'=4,

???矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE,

，NCEP=NMEP,而NCEP二NMPE,

，NMEP=NMPE,

AME=MP=5,在RtAENM中，MN=VME2-EN2=y/52-42=3,

VAFX/ME,

???△AFM's^NEM',

.AM

??條即務(wù)箏

AM

解得AF=||,

即AF三時，△MEF的周長最小;

（3）如圖2,由（2）知點(diǎn)M，是點(diǎn)M關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2,連接MR交AB于點(diǎn)G,

再過點(diǎn)E作EQ〃RG,交AB于點(diǎn)Q,

VER=GQ,ER〃GQ,

???四邊形ERGQ是平行四邊形,

，QE=GR,

VGM=GM\

???MG+QE=GM，+GR=M，R,此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小,

在RtAM'RN中，NR=4-2=2,M^Vll2+22=5V5,

VME=5,GQ=2,

???四邊形MEQG的最小周長值是7+5V5.

H

考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.動點(diǎn)型；3.最值問題；4.翻折變換（折疊問題）；5.綜合題；6.壓軸題.

8.12022.山東煙臺.統(tǒng)考一模）問題提出：在一平宜河岸/同側(cè)有A,B兩個村莊，A,8至心的距離分別是4km

和3km,AB=akm（a>1）,現(xiàn)計(jì)劃在河岸/上建一抽水站P,用輸水管向兩個村莊供水.如何鋪設(shè)使得管

道長度較短？

方案設(shè)計(jì):某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為由,

且di=PB+8H(km)(其中BP_U于點(diǎn)。)；圖2是方案二的示意咨圖，設(shè)該方案中管道長度為d?，且d?=

P力+PB(km)(其中點(diǎn)H與點(diǎn)A關(guān)于/對稱，A8與/交于點(diǎn)P).

⑴在方案一中，心=km(用含。的式子表示)；

(2)在方案二中，組長小宇為了計(jì)算為的長，作了如圖3所示的輔助線，請你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，

d2=km(用含。的式子表示).

(3)①當(dāng)a=4時,比較大?。贺Md2(填或"V")；

②當(dāng)。=7時，比較大?。河蒬2(填“>”、"=”或"V")；

(4)請你參考方框中的方法指導(dǎo)，就。(當(dāng)a>1時)的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，

應(yīng)選擇方案還是方案二？

方法指導(dǎo)

當(dāng)不易直接比較兩個正數(shù)機(jī)與〃的大小時，可以對它們的平方進(jìn)行比較：

Vm2-n2=(m+n)(m-n),m+n>0,

(m2-與(m-n)的符號相同.

當(dāng)戊2一九2>。時，m_n>o,即m>71；

當(dāng)加2一九2=0時，w_n=o,即h1二n；

當(dāng)m2一九2<0時，m-n<Qf即m<7l；

【答案】⑴a+3

(2)Va2+48

(3)?<：?>

(4)見解析

【分析】(1)由題意可以得知管道長度為d尸P5+84(5?),根據(jù)于點(diǎn)尸得出尸5=3,故可以得出出

的值為。+3.

(2)由條件根據(jù)勾股定理可以求IHK8的值，由軸對稱可以求H4K的值，在心AKBA由勾股定理可以求

出的值不詬就是管道長度.

(3)①把4=4代入d尸a+3和dz川a?十48就可以比較其大小;

②把a(bǔ)=7代入力=〃+3和4=傘阡麗就可以比較其大??；

（4）分類進(jìn)行討論當(dāng)力＞力，d產(chǎn)"2,4〈力時就可以分別求出。的范圍，從而確定選擇方案.

【詳解】（1）解：???如圖1,由題意得:d產(chǎn)PB+BA=a+3；

(2)因?yàn)?K2=/-1,

A'^=BK2+A'K2=a2-1+72=?2+48,

所以42=夜2+48,

故答案為：Va24-48；

(3)①當(dāng)。=4時，di=7,4=8,d/d2；

②當(dāng)a=7時，4=10,d?=回,th>d2X

故答案為：V，>;

(4)dr-d22=(〃+3)2-(Va2+48)2=6a-39.

①當(dāng)6小39>0,即時，力2以2>(),

???力"2>0，

:.d]>d2；

②當(dāng)6〃-39=0,即〃二￡時，42-心2=0,

??d]-d2=0.

；"尸d2；

2

③當(dāng)6a-39V0,即“V4時,dr-d2＜0,

工辦公＜0，

:.d/Vd2

綜上可知：當(dāng)時，選方案二；

當(dāng)。當(dāng)時，選方案一或方案二；

當(dāng)葭時，選方案一.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，最短路線問題數(shù)學(xué)模式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，數(shù)的大小的

比較方法的運(yùn)用，綜合考查了學(xué)生的作圖能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，以及觀察探究和分類

討論的數(shù)學(xué)思想方法.

模型三：如圖，將軍同部隊(duì)行駛至P處，準(zhǔn)備在此駐扎，但有哨兵發(fā)現(xiàn)前方為兩河AB、BC的交匯處，為

防止敵軍在對岸埋伏需派偵察兵到河邊觀察，再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問偵察兵在AB、BC何處偵查

才能最快完成任務(wù)并求最短距離.

數(shù)學(xué)描述：如圖在直線AB、BC上分別找點(diǎn)M、N,使得APMN周長最小.

方法：如右圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線AB、BC的對稱點(diǎn)P，P“，連接PP”,與兩直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)

M、N,最短距離為線段的長.

【將軍飲馬之模型三專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.(2020.全國?九年級專題練習(xí))如圖，在四邊形4?。。中，ZF=ZD=90°,E,尸分別是。。上的點(diǎn),

連接4E,AF,EF.

(1)如圖①，AB=AD,￡BAD=120°,Z.EAF=60°.求證：EF=BE+DF；

圖③

(2)如圖②，乙BAD=120°,當(dāng)周長最小時，求+的度數(shù);

(3)如圖③，若四邊形力BCD為正方形，點(diǎn)E、尸分別在邊8C、CD上，R^EAF=45°,若BE=3,DF=2,

請求出線段"的長度.

【答案】(1)見解析；(2)Z.AEF+LAFE=120°；(3)EF=5.

［分析】（1）延長F0至I］點(diǎn)G,使DG=BE,連接力G,首先證明^ABEADG,則有力E=AG,Z-BAE=^DAG,

然后利用角度之間的關(guān)系得出/ENF=乙FAG=60°,進(jìn)而可證明△EAF6GAF,則EF=FG=DG+DF,

則結(jié)論可證；

（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CO的對稱點(diǎn)4,A〃，連接44〃，交BC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)人根據(jù)軸對稱的性質(zhì)

有#E=AE,A"F=AF,當(dāng)點(diǎn)A、E、F、有在同一條直線上時,AA〃即為△AEF周長的最小值,然后利用

Z-AEF+Z-AFE=/.EA'A+Z.EAA'+Z,FAD+2力〃求解即可；

（3）旋轉(zhuǎn)△力"至44”的位置，首先證明△PAF=△E",則有EF=",最后利用”=PF=PD+DF=

8E+0F求解即可.

【詳解】（1）證明：如解圖①，延長尸。到點(diǎn)G,使0G=8E,連接力G,

G

在A/18E和△/1DG中，

(AB=ADf

4BE=乙ADG,

(BE=DG,

.-.AABEADG(SAS).

:.AE=AG,乙BAE=乙DAG,

v/.BAD=120°,LEAF=60°,

???/.BAE+LFAD=/-DAG+Z-FAD=60°.

Z.EAF=Z.FAG=60°,

在AEAr和△GA/中，

(AE=AG,

\z.EAF=/-GAF,

(AF=AF,

.-.AEAF=△GAF(SAS).

:.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF；

(2)解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CO的對稱點(diǎn)A,8"，連接A4”,交BC于點(diǎn)E,交CO于點(diǎn)F.

由對稱的性質(zhì)可得4E=AE，AnF=AF,

.?.此時4力E尸的周長為AE+EF+AF=A'E+EF+A'F=A4〃.

???當(dāng)點(diǎn)4、E、F、4〃在同?條直線上時,AA〃即為周長的最小值.

???Z.DAB=12UZ

A/.AA'E+Z-A"=180°-120°=60°.

???z.EA'A=Z.EAA'.Z-FAD=44〃，/.EA'A+Z.EAA'=Z-AEF,AFAD+Z.A"=ZZ1FF,

:.Z.AEF+/-AFE=Z.EArA+Z,EAA'+4FAD+44〃=2（44力'￡+4力〃）=2X60°=120°；

（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn)△ABE至NADP的位置,

AZ.PAE=Z,DAE+/.PAD=Z.DAE+乙EAB=90°,

AP=AE,Z.PAF=/.PAE-Z-EAF=90°-45°=45°=Z.EAF.

在AP力尸和i中，

（AP=AE,

4P4F=/.EAF,

IAF=AF,

PAF三△EAF（SAS）.

EF=FP.

EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

2.（2019下?河南南陽?七年級統(tǒng)考期末）（1）【問題解決】已知點(diǎn)P在乙4。8內(nèi)，過點(diǎn)P分別作關(guān)于。/1、。8的

對稱點(diǎn)Pi、P2.

①如圖I,若乙AOB=25。，請直接寫出NP10P2=；

②如圖2,連接HP?分別交。力、0B于C、0,若乙。P。=98°,求乙/1。8的度數(shù)；

③在②的條件下，若乙CPD=a度（90<aV180）,請直接寫出41。8=度（用含a的代數(shù)式表示）.

（2）【拓展延伸】利用“有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形”這個結(jié)論，解答問題：如圖3,在ZL4BC

中，Z.BAC=30。，點(diǎn)P是zL48c內(nèi)部一定點(diǎn)，AP=8,點(diǎn)E、尸分別在邊48、力C上，請你在圖3中畫出使dP"

周長最小的點(diǎn)E、F的位置（不寫畫法），并直接寫出ZJPEF周長的最小值.

【答案】（I）【問題解決】①50°；②NA08=41°；③4力。8=90°-：由（2）【拓展延伸】如圖，見解析；

4PE/周長最小值為8.

【分析】（1）①連接OP,由點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)Pi，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)P2,可得NP04=

乙匕。力，乙POB=Z.P2OBt再由/匕。。2=4P04+Z-P^A+^POB+Z,P2OB=2（APOA+^POB）=2Z.AOB,

即可求得NAOB的度數(shù)；②由乙CPD=98。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得41+△2=82。；由軸對稱的性

質(zhì)得，乙P]=乙3,乙P2=乙4,再由三角形外角的性質(zhì)可得乙2=乙01+△3=243,Z.1=+乙4=244,

所以43+乙4二/乙1+42）=41°,即可求得乙MPN=139°；由軸對稱的性質(zhì)可得4PM0=Z.PNO=90°,

由四邊形的內(nèi)角和為360。即可求得440B=41°：③類比②的方法即可解答；（2）作點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對

稱點(diǎn)Pi，再作點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn)P2,連結(jié)匕P2,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,此時4PEF的周長最

小，最小為RP2的長，由①的方法求得NP[AP2=60。，P[A=P2A,再由“有一個角是60。的等腰三角形是等邊

三角形”即可判定^RAP?是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得匕P2=AP=8,由此即可得/PE尸周長最

小值為8.

【詳解】（1）①連接OP,

p.\

o

圖1P?

???點(diǎn)p關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)P2,

Z.POA=z.P1OA,Z.POB=Z-P2OB,

：,z.P1OP2=/.POA+^OA+Z.POB+Z.P2OB=2(4P04+4POB)=2Z.AOB=50°,

故答案為50。；

②如圖2,

?:乙CPD=98°,

?"1+42=82°,

乙

由軸對稱的性質(zhì)得，P]=43,zP2=44,

Vz2=々P]4-z.3=2z3,zl=zP2+44=2/4,

/.z3+z4=1(zl+z2)=41o,

工乙MPN=Z3+Z-CPD+Z4=98°+41°=139°,

由軸對稱的性質(zhì)得，乙PMO=乙PNO=90。，

：.LAOB=360°-Z,PMO-Z.PN0-乙MPN=41°；

③"OB=90°-1a.

如圖2,

■:乙CPD=a,

Azi+Z2=180°-a,

由軸對稱的性質(zhì)得，乙Pi=43,zP2=Z4,

Vz2=乙Pi+43=243,zl=LP2+z4=244,

???z3+z4=1(zl+z2)=i(1800-a),

:,乙MPN=Z3+乙CPD4-Z4="180°-a)+a=90°+1a，

由軸對稱的性質(zhì)得，Z-PMO=^-PNO=90°,

：.LAOB=360°-Z-PMO-"NO-乙MPN=360。-90。-90°-(90。+|a)=90°-|a；

故答案為NAOB=90。-ga；

(2)如圖所示，4PEF的周長最小，周長最小值為8.

①畫點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對稱點(diǎn)尸1，

②畫點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn)尸2，

③連結(jié)Pi。2，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,

此時4PEF的周長最小，周長最小值為8.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱作圖及最短路徑問題，熟練線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，解題時

注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.（2021上?江蘇南京?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，NBCZ）=50。，ZB=ZD=90°,在

BC、CO上分別取一點(diǎn)“、N,使AAMN的周長最小，則NM4N=。.

A

----------------------------------------Q

【答案】80

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于AC、CD的對稱點(diǎn)A/、4,根據(jù)釉對稱確定最短路線問題，連接4、A2分別交BC、

DC于點(diǎn)M、M利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出NA/+/A2,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得

NMAN.

【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于8C、C。的對稱點(diǎn)A/、A2,連接A/、A2分別交AC、DC于點(diǎn)、M、N,連接AM、

AN,則此時△AMN的周長最小，

VZ5CD=50°,ZB=ZD=90°,

???NBAO=36(T-90°-90°-50°=130°,

AZ4/+Z^2=180°-130°=50’，

???點(diǎn)A關(guān)于8C、CO的對稱點(diǎn)為4八A2,

：.NA=NA2,MA=MAh

/.ZA2=ZNAD,NA/=NM4B,

???NNAQ+NMA3=NA/+N42=5O°，

:?/MAN=NBAD-JNAD\/MAB)

=130°-50°

=80。,

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題是

解決本題的關(guān)鍵.

模型四如圖，深夜為防止敵軍在對岸埋伏，將軍又派一隊(duì)偵察兵到河邊觀察，并叮囑觀察之后先去存糧位

置點(diǎn)Q處查看再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問偵察在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離.

方法：如右圖，分別作點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于直線AB、BC的對稱點(diǎn)P，Q\連接P，Q二與兩直線的交點(diǎn)即為所

求點(diǎn)M、N,最短距離為線段（PQ+P'Q'）的長.

【將軍飲馬之模型四專項(xiàng)訓(xùn)練】

I.（2021.全國.九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)4（小3）、B（b,I）都在雙曲線）=：上，點(diǎn)C、。分別是x,y

軸上的動點(diǎn)，則四邊形A8C。的局長最小值為

【詳解】思路引領(lǐng)：先把人點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出〃與力的值，確定出A與8坐

標(biāo)，再作A點(diǎn)關(guān)于），軸的對稱點(diǎn)P,4點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q,根據(jù)對稱的性質(zhì)得到。點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,3）,

。點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）,0Q分別交x軸、y軸于。點(diǎn)、。點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時四邊形布8Q的

周長最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得.

答案詳解：分別把點(diǎn)力（小3）、8（〃，1）代入雙曲線y=%導(dǎo)：。=1,b=3,

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,3）、4點(diǎn)坐標(biāo)為（3,1）,

如圖，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P，3點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q,

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-I,3）,Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）,

連接尸Q分別交x軸、丁軸于。點(diǎn)、。點(diǎn)，此時四邊形44co的周長最小，

四邊形A8C。周長=Q4+OC+a+A8

=DP+DC+CQ+AB

=PQ+AB

二《（一1-3產(chǎn)+（3+1尸+J（1-3》+（3-

=472+2V2

=6&,

故答案為：6企.

2.（2023下?陜西西安?七年級高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形718。。中，點(diǎn)G是邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)E、

尸、〃分別是邊A。、AB.CD上的動點(diǎn),若CG=；8c=1,貝ij四邊形EFG”的周長最小時GW=____

4

【答案】372

【分析】如圖，作點(diǎn)G關(guān)于CD的充稱點(diǎn)Gi，作點(diǎn)Gi關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G2,作點(diǎn)G關(guān)于48的對稱點(diǎn)G3,連接G2G3

交48「點(diǎn)尸，交力。丁點(diǎn)E,連接EG】，交CD『點(diǎn)"，連接，G、FG,四邊形EFGH的周長最小，求出此時GF即

可.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)G關(guān)于C0的對稱點(diǎn)Gi，作點(diǎn)Gi關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G2,作點(diǎn)G關(guān)于45的對稱點(diǎn)G3,

連接G2G3交力8于點(diǎn)匕交力。于點(diǎn)E,連接EG】，交CD于點(diǎn)H,連接HG、FG,四邊形EFGH的周長最小，

由對■稱的性質(zhì)知，GH=GiH,

：.HG+EH=GXH+EH>EG^當(dāng)E、H、G1三點(diǎn)共線時"G+EH=EGi值最??；

同理可得：GH+EH+EF+FG>G2G3,當(dāng)G2、E、F、G3四點(diǎn)點(diǎn)共線時G，+EH+E尸+FG=G2G3值最

??；

-：CG=\BC=1,正方形48C0是正方形；

4

:.BC=CD=4,AD||BC,乙BCD=90°

由對稱的性質(zhì)知，CGi=CG=1,BG3=8G=3,G1G3=2BC=8,GXG2=2CD=8,/-G3GXG2=90°,

/.ZG3=ZG2=45°,

*：FG=FG3,

???△FGG3是等腰直角三角形，

：,BF=BG=^GG3=3.

：.CF=\/BF2+BG2=辦+32=3>/2

故答案為：3A/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，利用

作軸對稱圖形解決最值問題是解題關(guān)鍵.

3.12023上?黑龍江大慶?九年級?？计谥?如圖，以矩形CMBC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，。4所在的直線為x軸，OC所

在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.已知。4=3,OC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在。4上取一點(diǎn)D,將^BDA

沿BO翻折，使點(diǎn)4落在BC邊上的點(diǎn)尸處.

(1)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo):

(2)連接E尸交3D于點(diǎn)G,求1的面積.

(3)在％軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在，求出周長的最小值和直

線MN的函數(shù)解析式；如果不存在，請說明理由.

【答案】⑴E(3,1)：F(1,2)

(2)A8GE的面積為彳

(3)在=軸、y軸上存在點(diǎn)M、M使得四邊形M/V”七.的周長最??；

四邊形MNFE的周長最小為5+代；直線MN的函數(shù)解析式：y=--X+-

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【分析】(I)根據(jù)04=3,0C=2,點(diǎn)E是力8的中點(diǎn)，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；利用折疊性質(zhì)可得8F=8/1=2,

CF=1,即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)利用折疊性質(zhì)可以得到48=AD=BF=DF=2,DF||BE,從而得到^DFG-△BEG,-=—=

EGBE1

利用比例性質(zhì)可以得到箓=利用同高可以得到要吐=7,根據(jù)，BEF=1即可求出AUG，?的面積：

(3)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于％軸的對稱點(diǎn)為E',點(diǎn)尸關(guān)于y