2025年高考數(shù)學二輪復習備考策略講座

聚焦核心素養(yǎng)，優(yōu)化復習路徑---數(shù)學二輪復習備考交流會一.2024年高考試題評析二.2025年九省聯(lián)考試卷評析三.2024屆二輪復習備考總結四.2025屆二輪復習備考研究和措施

目錄1、依托高考評價體系，創(chuàng)新試卷結構設計2024年數(shù)學新課標卷調減了題量，同時增加了解答題的總分值，優(yōu)化了多選題的賦分方式，強化了考查思維過程和思維能力的功能。試卷題量減少能夠增加用于思考的時間，學生不必過多地關注做題的進度和速度，可以更專注、更深入地思考，更從容地試錯，使思維能力強的學生能夠展示素養(yǎng)、發(fā)揮潛力、脫穎而出，發(fā)揮了高考的選拔功能，引導數(shù)學教學關注對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。新課標卷打破以往的模式，靈活科學地確定試題的內容、順序。機動調整題目順序，有助于打破學生機械應試的套路，打破教學中僵化、固定的訓練模式，防止猜題押題，同時測試學生的應變能力和解決各種難度問題的能力。引導教學培養(yǎng)學生全面掌握主干知識、提升基本能力，靈活地整合知識解決問題。如新課標Ⅱ卷中，以往作為壓軸題的函數(shù)大題在試卷中安排在解答題的第2題；概率與統(tǒng)計試題加強了能力考查力度，安排在解答題的倒數(shù)第2題。新課標Ⅰ卷將解析幾何試題安排在解答題的第2題，數(shù)列內容則結合新情境，安排在最后壓軸題的位置。一.2024年高考試題評析試卷聚焦主干知識內容和重要原理、方法，著重考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)，引導中學教學遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學教學本質，回歸課標，重視教材，重視概念教學，夯實學生學習基礎，給學生留出思考和深度學習的空間。避免超綱學、超量學，助力減輕學生學業(yè)負擔。如新課標Ⅰ卷第6題以基本求導公式及求導法則、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的方法為素材，考查靈活運用導數(shù)工具分析、解決問題的能力，以及學生的邏輯推理能力、運算求解能力。新課標Ⅱ卷第18題以二項分布、離散型隨機變量的分布列為工具，考查分類討論的思想和推理論證能力。一.2024年高考試題評析15個題目來源于課本，第7題幾乎完全一樣引導教學重視教材一.2024年高考試題評析一.2024年高考試題評析一.2024年高考試題評析2、突出思維能力考查，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔試卷貫徹改革要求，注重整體設計，很好地處理考試時間、試卷題量、試題難度之間的關系，統(tǒng)籌協(xié)調試題的思維量、計算量和閱讀量。優(yōu)化題量設置、合理控制試題的計算量，盡量避免繁難運算，保證學生在分析問題的過程中有充裕的時間進行思考，強調對思維能力的考查，適應拔尖創(chuàng)新人才選拔需要。如新課標Ⅰ卷第12題和全國甲卷理科第5題，通過應用雙曲線的定義和性質，可以避免較為復雜的坐標計算以及聯(lián)立方程求解，從而有效地減少計算量，節(jié)省考試時間。一.2024年高考試題評析試題突出創(chuàng)新導向，新課標卷根據(jù)試卷結構調整后整卷題量減少的客觀情況，創(chuàng)新能力考查策略，設計全新的試題情境、呈現(xiàn)方式和設問方式，加強解答題部分對基本能力的考查，提升壓軸題的思維量，突出理性思維和數(shù)學探究，考查學生運用數(shù)學思維和數(shù)學方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。如新課標Ⅰ卷第19題以等差數(shù)列為知識背景，創(chuàng)新設問方式，設置數(shù)學新定義，搭建思維平臺，引導學生積極思考，在思維過程中領悟數(shù)學方法，自主選擇路徑和策略分析問題、解決問題。新課標Ⅱ卷第19題分層設問，環(huán)環(huán)相扣，三個小問都可以通過基本方法大幅度簡化計算過程，第二小問利用固定斜率的直線與雙曲線交點的性質可以很快得出結論，第三小問證明面積相等時，可以將問題轉化為證明兩條直線平行。試題充分體現(xiàn)了“多想少算”的設計理念，引導中學教學充分重視思維能力、探究能力和解決問題能力的培養(yǎng)。一.2024年高考試題評析試題強化綜合性考查，強調對原理、方法的深入理解和綜合應用，考查知識之間的內在聯(lián)系，引導學生重視對學科理論本質屬性和相互關聯(lián)的深刻理解與掌握，引導中學通過深化基礎知識、基本原理方法的教學，培養(yǎng)學生形成完整的知識體系和網絡結構。如新課標Ⅰ卷第5題將圓柱與圓錐結合，綜合考查側面積、體積的計算，第18題在函數(shù)導數(shù)試題中考查了曲線的對稱性的這一幾何性質；新課標Ⅱ卷第6題，綜合考查冪函數(shù)和余弦函數(shù)的性質；全國甲卷理科第9題將向量內容和常用邏輯用語結合，通過向量的垂直、平行的判定考查充要條件。一.2024年高考試題評析3、加強考教銜接，引導中學教學2024年高考數(shù)學試卷立足課程標準，考查的內容依據(jù)學業(yè)質量標準和課程內容，注重考查學生對基礎知識和基本技能的熟練掌握和靈活應用，強調知識的整體性和連貫性，引導教學以課程目標和核心素養(yǎng)為指引，避免超綱教學，注重內容的基礎性和方法的普適性，避免盲目鉆研套路和機械訓練。新課標卷、全國甲卷的考查內容分別按照新、舊課程標準的知識范圍設定，特別是全國甲卷的文科試卷，回避了排列組合、空間向量等不在課程標準要求范圍之內的內容。一.2024年高考試題評析高考數(shù)學通過創(chuàng)新試卷結構設計和題目風格，深化基礎性考查，強調對學科基礎知識、基本方法的深刻理解，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導中學把教學重點從總結解題技巧轉向培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)。增加基礎題比例、降低初始題起點，增強試題的靈活性和開放性。如新課標Ⅱ卷第8題給出的函數(shù)模型簡單、基本，要求學生推斷兩個參數(shù)平方和的最小值。本題可以通過對函數(shù)單調性和零點的分析直接得出答案，不需要求導，不需要分類討論，通過創(chuàng)新設計考查學生真實的數(shù)學能力，而不是刷題和訓練的技巧。新課標Ⅰ卷第14題，新課標Ⅱ卷第14題，全國甲卷理科第16題等題目不是考查學生記住了哪些知識點，而是突出考查學生的理性思維和探究能力，使得一些套路無用、模板失效，讓死記硬背的教學方式不能適應現(xiàn)在高考的新要求。一.2024年高考試題評析一.2024年高考試題評析減少題量的目的是為了什么呢？為什么要增加解答題的分數(shù)比例？打亂順序有什么好處？計算是考察的重點，但不是體現(xiàn)學生思維能力的重點

如新課標Ⅰ卷第

12

題和全國甲卷理科第5題，

通過應用雙曲線的定義和性質，

可以避免較為復雜的坐標計算以及聯(lián)立方程求解，

從而有效地減少計算量，

節(jié)省考試時間。

比如新課標Ⅰ卷那道圓錐曲線的大題，利用平幾的一些思路方法反而比盲目的代入計算要簡單的多。一.2024年高考試題評析一.2024年高考試題評析又如新課標Ⅱ卷第19題分層設問，環(huán)環(huán)相扣，三個小問可以通過基本方法大幅度簡化計算過程；第二小問利用固定斜率的直線與雙曲線交點的性質可以迅速得出結論；第三小問證明面積相等時，

可以將問題轉化為證明兩條直線平行。試題充分體現(xiàn)了“多想少算”的設計理念，引導中學教學充分重視思維能力、探究能力和解決問題能力的培養(yǎng)。如果說以前的高考數(shù)學試卷中有很多題目就是看到題目——找到模版——套入模版——解決問題的模式，那么之后的高考數(shù)學中，雖然也會有這種題目，但其比例會持續(xù)下降，更多的題目是新的模式：看到題目——分析、對比、聯(lián)想——找到線索——尋找工具——嘗試切入——解決問題。一.2024年高考試題評析

理論上高考是指揮棒，會直接影響到高中數(shù)學教學，最好的情況是會反映到中考的命題上，你細品這句話的深意！可以說從新高考實行至今，到此有了一個比較成熟的、兼顧了各個層次學生、協(xié)調了各方面訴求的模式。

虛無縹緲的第19題，和我有什么關系？新高考數(shù)學卷會改變備考模式、改變選材標準和升學途徑，使得數(shù)學卷有了非常強的篩選價值，也使得從基礎學段卷數(shù)學有了比較直觀的價值一.2024年高考試題評析教育部教育考試院高考試題評價二.2025年九省聯(lián)考試卷評析保繼光北京師范大學數(shù)學科學學院教授現(xiàn)任教育部高等學校數(shù)學類專業(yè)教學指導委員會委員，教育部高中數(shù)學課程標準修訂組成員，教育部高考考試內容改革專家工作委員會委員，中國大學先修課程數(shù)學專家委員會委員，北京高校數(shù)學教育發(fā)展研究中心專家組成員，北京數(shù)學教育中心學術委員會委員，《數(shù)學通報》主編，《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》主編，《北京師范大學學報(自然科學版)》主編，《數(shù)學的實踐與認識》和Analysis

in

Theory

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Applications編委，北京師范大學基礎學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃專家委員會副主任、理科組組長，謝宇教育基金會總裁，海淀區(qū)人民法院人民陪審員等職。1.延續(xù)高考改革思路，注重思維品質的考查二.2025年九省聯(lián)考試卷評析2.引導高中數(shù)學教學，加強核心概念的考查在《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中，一共出現(xiàn)了159次“概念”這個詞匯。第一個數(shù)學學科核心素養(yǎng)“數(shù)學抽象”主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數(shù)學語言予以表征。對于評價，建議“應聚焦數(shù)學的核心概念和通性通法，聚焦它們所承載的數(shù)學學科核心素養(yǎng)”。在命題原則中指出，“考查內容應圍繞數(shù)學內容主線，聚焦學生對重要數(shù)學概念、定理、方法、思想的理解和應用”。二.2025年九省聯(lián)考試卷評析

當代認知學習理論的代表人物布魯納(Bruner)認為，掌握一門學科就是要掌握這門學科核心的、根本的概念。李邦河院士指出，數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也；在一些難題、技巧上下功夫，恰恰是舍本逐末的做法。概念是人類智慧的結晶，是數(shù)學理論和數(shù)學框架的奠基石，無論是傳授數(shù)學知識，還是培養(yǎng)能力，都必須以數(shù)學概念為基礎和前提。更重要的是在認識概念本質屬性的過程中，借助觀察、對比、辨析、抽象、概括等數(shù)學思維活動，發(fā)展學生抽象思維和推理能力，感悟數(shù)學思想方法，進而有效地應用概念解決問題，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

測試卷符合“依標命題、源于教材”的命題理念，強化與課標、教材的銜接，引導一線教學回歸課標、回歸課堂主渠道，引導一線教學講透教材內容，注重減量提質，與高中數(shù)學教學同向同行、同頻共振，對數(shù)學高考改革又做了一次有益的嘗試，對教育評價具有積極的導向作用。二.2025年九省聯(lián)考試卷評析

2024年8月6日，中共中央、國務院發(fā)布了《關于弘揚教育家精神加強新時代高素質專業(yè)化教師隊伍建設的意見》,強調要提高教師學科能力和學科素養(yǎng)，將學科能力和學科素養(yǎng)作為教師教書育人的基礎，貫穿教師發(fā)展全過程。教學經驗的積累的確可以讓教師的教學變得更加成熟，但未必能決定他們教育的高度，決定教師教育高度的根本因素是教師的學科能力和學科素養(yǎng)。在高中數(shù)學教學過程中，教師要認真?zhèn)湔n，而不是背課，不僅能將教學內容流暢地講出來，更重要的是將其中的思維流暢地展示出來；要將每一個耳熟能詳?shù)母拍町敵尚赂拍钪v解，盡可能有邏輯地展開論述。這樣才能把學生的數(shù)學思維教出來，數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)出來。周裕燕福建師范大學附屬中學

緊密相連的，具有內在邏輯關系。數(shù)學測試卷注重考查基礎知識內容之間、模塊內容之間、學科內容之間的聯(lián)系和綜合，全面檢測考生完整的知識體系和認知結構，明確引導高中數(shù)學教學要講清講透核心知識的內涵與外延，弄清不同知識之間的聯(lián)系，引導學生通過多角度思考來加深對知識、概念的本質理解，做到觸類旁通、融會貫通。二.2025年九省聯(lián)考試卷評析優(yōu)化試卷結構，強化思維考查。數(shù)學測試卷延續(xù)2024年全國高考數(shù)學新課標卷的做法，在題目排布上不固定順序。試卷解答題的順序和考查的知識內容與2024年新課標卷有較大差異，沒有考查三角函數(shù)，概率與統(tǒng)計放在第15題考查，函數(shù)與導數(shù)放在第17題考查，把立體幾何放在最后一題考查更是少見的，這種做法是為了破解固化的應試教育困局，引導高中數(shù)學教學走出猜題押題的誤區(qū)，減少機械訓練，把教學的重心放在培養(yǎng)學生數(shù)學思維過程和方法上，放在培養(yǎng)學生數(shù)學關鍵能力和核心素養(yǎng)上?？傊?025年數(shù)學測試卷延續(xù)2024年高考數(shù)學改革的整體思路，明確高考將繼續(xù)根據(jù)數(shù)學學科特點，通過科學的試題設計，既讓勤奮的學生有成就感，又讓思維能力強的學生脫穎而出，發(fā)揮服務選才的功能。試卷堅持考查知識、能力、素養(yǎng)，進一步落實考教銜接，引導教學既要夯實學生的知識基礎，又要重視培養(yǎng)學生的探索性、創(chuàng)新性思維品質，很好地發(fā)揮導向作用，助推教育改革持續(xù)深入。三、2024屆二輪備考總結1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確2.備課教研，精研細備3.課堂教學形式多樣，高效互動4.命題選題思想明確、針對性強5.培優(yōu)補弱，堅持不懈1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確（1）二輪復習具體安排1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確（1）二輪復習具體安排1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確（1）二輪復習具體安排1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確（1）二輪復習具體安排1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確（2）學生進行二輪復習的目的：①提高學生的數(shù)學解題能力，提升學生的數(shù)學思維②幫助學生發(fā)現(xiàn)自身的問題③幫助學生整合零碎的知識（3）教師二輪復習課應該遵循的原則：①系統(tǒng)化 ②高效化 ③適切化1.備考有計劃有執(zhí)行，目標明確（1）備教材（回歸教材，變式教材，形成專輯）2.

備課教研，精研細備縱向挖掘，橫向拓展，延伸到高考真題，才真正能讓學生認識到回歸教材的重要性。2.

備課教研，精研細備問題串，將一個問題從不同角度研究透徹，激發(fā)學生的求知欲，也體現(xiàn)出一輪復習和二輪復習課堂的差異性。2.

備課教研，精研細備（3）備學情：學生是學習的主體，一名優(yōu)秀的教師可以根據(jù)學情調整授課內容，激發(fā)學生的興趣，讓課堂變得有意思。（4）備變：教師的功底決定二輪復習的高度。2.

備課教研，精研細備3.課堂教學：形式多樣，高效互動（1）課堂教學，需要考慮兩個關鍵點（目標）①是否有利于改進學生的學習方式（空間）

教師授課----學生參與----課堂留白----課堂反思②

是否有利于揭示學科的本質

終極目標：激發(fā)學生的學習興趣（2）教師的狀態(tài)（3）二輪復習課堂誤區(qū)①.重視題型教學，卻忽略思維暴露；重視技巧方法，卻忽略數(shù)學思想；重視教學進度，卻忽略認知基礎②.二輪復習承載著查漏補缺的功能，漏洞和缺口總是內隱的，也因人而異。由于這些漏洞和缺口不能被教師臆斷或挖掘出來，因此，教師應創(chuàng)設合適的情境讓學生自主自發(fā)暴露出來。（易錯易混點反復弄，學生卻經常犯錯，沒有自己經歷的錯誤，永遠不深刻，無法真正領會）3.課堂教學：形式多樣，高效互動（4）如何超越二輪復習的困境？①.以激發(fā)與保持興趣為根本，注重課堂多樣生成②.以問題--策略--反思為導向，堅持省思性教學③.以整合和創(chuàng)新教學內容為指向，貫徹主題式教學

數(shù)學教學的根本目的是謀求思維的發(fā)展。不可見的數(shù)學思維往往用知識網絡結構來刻畫，因此對原有知識網絡結構的整體或細節(jié)進行補充、糾偏以及更新的過程就是發(fā)展數(shù)學思維的過程。

變式教學，作為中國數(shù)學教學的主要特征，在促進學生學習的主動性，

培養(yǎng)學生思維的全面性、深刻性和靈活性以及創(chuàng)新性方面有著顯著的效果。顧泠沅先生曾對變式教學進行過系統(tǒng)而深入的實驗研究和理論分析。在對"概念變式"進行多角度理解的基礎上，顧泠沅先生還將"概念性變式"推廣3.課堂教學：形式多樣，高效互動到"過程性變式"，從而使變式教學既有利于數(shù)學概念的深度理解，又有助于數(shù)學活動的多層次推進。如復習函數(shù)的單調性，就可從函數(shù)圖象和代數(shù)式結構變式上引入函數(shù)單調性概念，既凸顯了定義法的基礎性，又彰顯了數(shù)學概念"數(shù)"與"形"的雙重性，也可通過函數(shù)單調性與函數(shù)概念、奇偶性等概念之間的邏輯關系這類非概念變式有效地推進教學活動，以促進數(shù)學基本活動經驗的積累。3.課堂教學：形式多樣，高效互動章建躍博士認為，變式教學是回歸數(shù)學本質的有效途徑。變式就是變更對象的非本質特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出事物的本質特征，突出那些隱蔽的本質特征。如復習基本不等式時，對典型不等式問題的一題多變、一題多解、多解歸一有助于基本不等式內涵及價值的回歸?；静坏仁降膬群w現(xiàn)在"基本"二字上：屬于最少的代數(shù)基本對象（二元對象）；圍繞"和式"、"積式"和"平方和式"三種結構的基本運算方式；為其他不等式的證明和應用奠定基礎地位。從基本不等式的應用層面分析，一般涉及求函數(shù)（或代數(shù)式）的最值和放縮到另一代數(shù)式兩種情形，即應在問題變式中掌握這兩種功能。3.課堂教學：形式多樣，高效互動綜合變式教學的價值意義，我們可以發(fā)現(xiàn)，變式的過程本身就是多向比較與必要優(yōu)化的過程，是尋求問題本質的反思性探索過程。于貫通知識的橫向聯(lián)系而言，一次次問題變式猶如一次次知識整合和一場場基于學習成就感驅使的有益嘗試。實踐表明，將變式教學和情感教學通過課堂互動有機地融合在一起，能有效提高高中數(shù)學復習課的效率。從課時到單元，從模塊到主題，教學內容逐漸呈現(xiàn)出整體性、結構性和有機關聯(lián)性的聚焦化態(tài)勢。主題式的內容規(guī)約能讓靜態(tài)的知識"流動"起來，能自覺建構起橫向或縱向的知識發(fā)展邏輯體系。通過主題研討，學生能主動地參與到主題探究以及主題成果評價中，他們能切實感受到自己是課堂教學活動的重要推動者和教學內容的創(chuàng)生者。這種課程高度參與的主人翁意識會驅使他們追尋知識的關聯(lián)性，從而概括并歸納出更為基礎，更為核心的探究主題。3.課堂教學：形式多樣，高效互動

以“主題-主線”式的學習邏輯指導數(shù)學學習的每一個環(huán)節(jié)，不僅能讓學生養(yǎng)成自覺主題思考的思維習慣，還能夠讓思維結構清晰化、有序化和結構化。如在復習“解三角形”時，僅僅認識到用定量的方式代替定性的方式是遠遠不夠的。解三角形，需求解邊和角中的未知量。教學對象（三角形）本質上是幾何圖形，因此，復習應秉持幾何要素分析優(yōu)先的基本原則，考慮到向量是刻畫數(shù)與形的典范，故主題可確定為“利用向量探究三角形的性質”3.課堂教學：形式多樣，高效互動試題編制4.命題選題思想明確、針對性強5.培優(yōu)補弱，堅持不懈（1）.確定目標，一生一案（2）.學生改題活動設計（優(yōu)生）從新的設問方式、新的情境等入手，分工合作，培養(yǎng)學生探究鉆研能力，提高參與度和興趣。（3）.名師走班課堂5.培優(yōu)補弱，堅持不懈四、2025屆二輪備考研究和措施1.制定計劃，落實到位2.思維導圖3.我說高考題4.學生自主專題探究5.提升微專題命制質量6.專題研究7.特優(yōu)生培養(yǎng)1.制定計劃，落實到位計劃在前，落實在后，備課組長的工作就是想法設法將落實做到極致。1.制定計劃，落實到位2.思維導圖（1）.應用思維導圖指導學生制定復習計劃

①缺少系統(tǒng)的設計和總結。

②復習缺乏規(guī)劃2.思維導圖（2）.應用思維導圖指導學生對復習內容進行預習

①復習階段預習困難

②挖掘知識練習，提升復習效率能夠快速找到自己的知識薄弱點，找到復習重點不同顏色標識復習的內容（4）.運用思維導圖對解題方法進行歸納總結通過應用思維導圖，可以厘清知識點的考點、重難點、類比應用能力，并有助于他們對解決問題思路與方法的歸納和總結。2.思維導圖（3）.應用思維導圖明確各知識點的關聯(lián)

①師生合作改進思維導圖

②教師引導使用思維導圖學習補充交流討論，形成發(fā)散思維，明確每一種解題思路、方法的使用條件，形成問題--思路--解決的思維方式，從而提高解決問題的效率。2.思維導圖5.三輪復習中思維導圖不同功能

一輪復習側重基礎知識，基本技能和基本方法的整理（基礎型）1.概念公式和結論2.解題思路中的通性通法3.經典例題（拓展型）2.思維導圖

三輪復習中，思維導圖不同定位：

①一輪復習：有條理記錄②二輪復習：知識融合③

三輪復習：診斷與評價2.思維導圖

在高中數(shù)學復習中，教師應該認識到思維導圖的重要作用，充分地應用這一重要的工具。首先，應用思維導圖指導學生進行復習，增強復習的針對性和目標性；其次，以思維導圖為媒介，指導學生關注基礎知識，并嘗試繪制思維導圖，以加深學生對基礎知識的印象。在此基礎上，應用思維導圖來引導學生建立一個系統(tǒng)的知識網絡，使他們能夠對知識進行融會貫通、靈活運用。2.思維導圖我說高考題（一）2021年新高考一卷數(shù)學22題探究3.我說高考題

案例（2021新高考1卷第22題）突出“一核”：為了滿足高校的選拔要求，對于22題在難度上作了精準設計，確保試卷的區(qū)分度，發(fā)揮高考“服務選才”的基本功能；落實“四層”

：1.必備知識

導數(shù)綜合應用；2.關鍵能力

演繹推理、信息轉化；3.學科素養(yǎng)

數(shù)學抽象、邏輯推理；4.核心功能

服務選才；符合“四翼”：體現(xiàn)綜合性，應用性；3.我說高考題

案例視角

1

構造對稱函數(shù)3.我說高考題

案例構造對稱函數(shù)3.我說高考題

案例證明右側:

欲證

?1+?2＜e，即證明1＜?2＜e－?1，又因為f(x)在(1，+

∞)單調遞減，即證明f(?1)=f(?2)＞f(e－?1)即f(?1)－f(e－?1)＞0，令g(x)=f(x)－f(e－x)，x∈(0，1)，g'(x)=－ln(ex－?2)，令

φ(x)=ex－?2，x∈(0，1)，則φ(x)∈(0，e－1)，所以存在?0∈(0，1)，使得φ(?0)=1，此時g'(?0)=0，當x∈(0，?0)，g'(x)＞0，g(x)單調遞增，當x∈(?0，1)時，g'(x)＜0，g(x)單調遞減，所以g(x)＞min{g(1)，g(0)

}

，而g(1)=f(1)－f(e－1)=

?

?1

1??1+??

?

?1?1>

0，而x→0，g(x)→0，所以g(x)＞0，?1∈(0，1)，所以g(?1)

＞

0，即

f(?1)

＞

f(e－?1)

，得證不等式成立．構造對稱函數(shù)3.我說高考題

案例視角2

變雙變量為新變量比值換元此時要證:2＜?1+?2＜e，即證：ln2＜ln(?1+?2)＜1，??1即證:

ln2＜1?

????+ln(t+1)＜1

成立．3.我說高考題

案例先證右半邊，此時等價證明(t－1)

ln(t+1)－tlnt＜0，令g(t)=(t－1)ln(t+1)－tlnt，t＞1，?+1令G(x)=ln(x+1)－

2?

(0＜x＜1)，則G'(x)=??1

?+1

2＜0，G(x)在x∈(0，1)單調遞減，此時G(1)＜G(x)＜G(0)單調遞增，所以ln2－1＜G(x)＜0，得ln2－1＜g'(t)＜0，所以g(t)單調遞減，所以g(t)＜g(1)=0，右邊不等式證畢．再證左半邊，此時等價證明(t－1)(1－ln2)－tlnt+(t－1)ln(t+1)＞0，令φ(t)=(t－1)(1－ln2)－tlnt+(t－1)ln(t+1)

，則φ'(t)=ln(1+1)－

2

+1－ln2，由g'(t)＞ln2－1，得φ'(t)＞0，? ?+1所以φ(t)單調遞增，所以φ(t)＞φ(1)=0，左邊不等式證畢．3.我說高考題

案例視角3

引入參數(shù)，融合雙變量通過上面的分析，條件轉化為?這樣需構造“g(x)=xlnx”，則g(?1)=g(?2)

，只需證明:

2＜?1+?2＜1，?左邊證明，即構造φ(x)=g(x)－g(2

?

?)，x∈(0，1)

，以下同解法一(省略)．下證右邊不等式，令g(x)=xlnx，易知g(x)在x∈(0，1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，? ?令g(?1)=g(?2)=λ，λ∈(-1,0)

，

則相加得?，即所以λ(?1+?2)

=

g(?1?2)，又0＜?1?2＜?1＜1，且g(x)在x∈(0,1)單調遞減，所以? ?所以

λ(?1+?2)

＞

λ，又λ∈(-1,0)，所以?1+?2＜1，所以2＜?1+?2＜1成立．? ?3.我說高考題

案例3.我說高考題

案例視角4

引理放縮及單側取點放縮3.我說高考題

案例視角5

同構構造法3.我說高考題

案例視角6

利用切割線放縮切割線放縮——處理一：割線放縮證明:

?

?

=

?

1????

>

?,?∈

0,1

切割線放縮——處理二：切線放縮證明:

?

?

=

?

1????

<??+

?,?∈1,

?

3.我說高考題

案例視角6

利用切割線放縮作直線?1:y=x，

該直線即為曲線y=f(x)的過點(0,0)、(1,1)的割線

，

接著作曲線y=f(x)在點(e,0)處的切線?2:y=-x+e．設?1、?2與

直

線：y=m(其

中?

∈

0,1

）的交點的橫坐標分別為?3、?4.3.我說高考題

案例視角7 新函數(shù)擬合3.我說高考題

案例二次函數(shù)擬合3.我說高考題

案例絕對值函數(shù)擬合3.我說高考題

案例構造對稱函數(shù)擬合非對稱函數(shù)，借助函數(shù)圖象的高低，最后將非對稱函數(shù)交點橫坐標之和與對稱函數(shù)交點橫坐標之和作比較，在構造對稱函數(shù)時一定要注意，對稱函數(shù)要過原函數(shù)的極值點和零點．命題者很可能就是通過這兩個函數(shù)的位置關系經過適當?shù)母脑焯幚矶眠@個精彩的試題．方法遷移：3.我說高考題

案例3.我說高考題

案例題源探究(

2017年四川省省級聯(lián)考高考數(shù)學模擬試題文理科第10題)設a，b是不相等的兩個正數(shù)，且blna－alnb=a－b，給出下列結論:(1)a+b－ab＞1;

(2)a+b＞2;

(3)1+1＞2．其中所有正確結論的序號( )

．A．

(1)

(2) B．

(1)(3)? ?C．

(2)

(3) D．

(1)(2)(3)3.我說高考題

案例

教學啟示：《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）對邏輯推理素養(yǎng)水平三要求學生“對于較復雜的數(shù)學問題，能夠通過構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題”。解決難度較大的數(shù)學問題，往往需要提出某個假設或引理，構建函數(shù)是提出假設和引理的有效途徑之一。證明難度較大的不等式，常通過化歸轉化(

如變形、消元、換元、放縮、變量分離等)

，構建關于某變量為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)、單調性、圖象、最值等合乎情理地探尋不等式證明思路．

對多元不等式，若能轉化為一元的不等式，則可構建關于該元為自變量的函數(shù)．對關于a，b的不等式，若能化為f(a)≥f(b)(或f(a)≤

f(b))的形式，則可構建函數(shù)f(x)。如果沒有給出函數(shù)f(x)直接證明不等式更具挑戰(zhàn)性，需將條件轉化，再構建函數(shù)證明不等式3.我說高考題

案例4.學生自主專題探究專題研究自主探索，提升學生的參與度，激發(fā)學生學習的熱情（1）微專題的認識微專題是微而準，就是將考點細化，選擇切口小、范圍小、角度新、針對性強的知識點和方法，并運用與之相關的基本概念和原理來解決問題，在知識的深度、廣度和寬度上下功夫，從而達到對知識的深刻理解并領悟知識的本質、思想和方法，提高學生的應變能力，促進學生進行深度學習，增加學生的參與度，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力和學科核心素養(yǎng)．要設計出高質量的微專題，就要發(fā)揮備課組集體優(yōu)勢，群策群力5.提升微專題命制質量（2）微專題如何設置？

①研究病灶，確定主題

②研究解題方法，精編例題

③研究學情，精選習題

④完善答案，資源共享5.提升微專題命制質量（3）微專題：數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題 案例設計②基礎鋪墊，梳理基本方法①回歸教材，提出問題12.選擇性必修二教材第41頁5.提升微專題命制質量③逐步深化，強化意識5.提升微專題命制質量⑤真題訓練，鞏固教學效果5.提升微專題命制質量④歸納小結，形成解題框架（1）.新課標對解析幾何部分的解讀（2）.解析幾何高考命題趨勢（3）.回歸教材、深挖考點（4）.解析幾何備考策略（5）.微專題探究目錄6.專題研究：解析幾何（1）新課標對解析幾何部分的解讀一、新課標的變化與特點新課標下的解析幾何部分在內容、結構和體例上都發(fā)生了顯著變化。與以往的教學大綱相比，新課標更加注重知識的循序漸進和螺旋上升，強調通過問題引導學生主動思考和探究。二、核心內容與技能要求新課標下的解析幾何部分以直線與方程、圓錐曲線與方程為載體，重點讓學生掌握坐標法這一工具，并運用代數(shù)方法解決幾何問題。此外，新課標還要求學生具備較強的運算能力，能夠順利進行代數(shù)變換和求解方程。在解題過程中，學生需要靈活運用數(shù)形結合思想、設而不求法、弦長公式及韋達定理等數(shù)學方法和技巧。三、數(shù)學思想與方法的滲透解析幾何課程的特點在于其綜合性，即以代數(shù)方法研究幾何問題。在教學過程中，教師應注重代數(shù)與幾何的相互運用，處理好“代數(shù)求解”與“幾何直觀”之間的關系。同時，借助數(shù)形結合思想滲透數(shù)學思想，幫助學生更為直觀地了解和掌握解析幾何問題的本質，有效降低解題難度。四、教學建議與反思針對新課標下的解析幾何部分，教師在教學過程中應注重以下幾點：一是以直線與圓錐曲線的位置關系問題為切入點，引導學生深入探究和解決問題；二是注重培養(yǎng)學生的運算能力和邏輯推理能力，加強代數(shù)變換和方程求解的訓練；三是靈活運用數(shù)形結合思想等數(shù)學方法和技巧，提高學生的解題能力和數(shù)學素養(yǎng)；四是注重教學反思和總結，不斷優(yōu)化教學方法和手段，提高教學效果。6.專題研究：解析幾何6.專題研究：解析幾何（2）.解析幾何高考命題趨勢6.專題研究：解析幾何（2）.解析幾何高考命題趨勢①常規(guī)常法、?？疾凰?.專題研究：解析幾何①常規(guī)常法、?？疾凰?.專題研究：解析幾何①常規(guī)常法、?？疾凰?.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景試題相關背景（射影幾何）：二次曲線上的對合（斜率和積問題

調和點列

極點極線的底層）如何將圓錐曲線統(tǒng)一放到射影平面分析？帕斯卡定理（射影幾何經典定理）笛莎格對合定理（蝴蝶定理坎迪定理是其特例?。?.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景涉及到長度（繞不開弦長公式）和面積的圓錐曲線題一般強調計算能力，解題的方法（代數(shù)變形?。┎粫啵饕疾煊嬎隳芰?，最典型的就是浙江卷！

（問題的本質是在歐幾里得平面才有長度的概念?。┎簧婕伴L度（度量）的題目往往具有射影幾何的背景（比如

定點

定直線斜率比值

斜率倍商和差

還有線段比值（四?。┫嚓P問題，此類問題由于具有射影幾何背景，所以考察思維能力，題目的解法也很多。（射影幾何沒有長度這個概念，所以一些圓錐曲線題撤掉坐標系也能寫?。?.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何8.②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何1.配湊韋達定理2.第三定義（一次第三定義轉為斜積定值）（二次第三定義輪換對稱相減

）3.設點+點在橢圓上（1）三點共線+消去韋達定理乘積（2）聯(lián)立+代入韋達定理4.設兩條直線+三點共線5.平面幾何：蝴蝶定理+三角形相似6.射影幾何：極點極線7.曲線系：比對系數(shù)9.韋達定理積和轉化降次多解探究②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景平面幾何：蝴蝶定理+三角形相似6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何9.②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景分析：圖中出現(xiàn)了內接四邊形的結構，圖中還出現(xiàn)了定點的結構！直接考慮極線！但是雙曲線并不是很直觀！再利用結論可以容易推出：動直線：x=-1!6.專題研究：解析幾何從射影平面很直觀的可以看出內接四邊形的結構，當MN運動的時候MA1與MA2的交點P在一個定直線上運動。H

為極點，

P點的軌跡就是該極點對應的極線！再利用結論可以容易推出：動直線：x=-1!②拓展性質、命題背景將圖像放到射影平面！6.專題研究：解析幾何帕斯卡定理介紹：②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何五點情況！四點情況！三點情況?、谕卣剐再|、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景10.6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何2025年武漢二調②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景6.專題研究：解析幾何6.專題研究：解析幾何②拓展性質、命題背景③情境創(chuàng)新、新高考必然6.專題研究：解析幾何③情境創(chuàng)新、新高考必然6.專題研究：解析幾何③情境創(chuàng)新、新高考必然6.專題研究：解析幾何5.③情境創(chuàng)新、新高考必然6.專題研究：解析幾何③情境創(chuàng)新、新高考必然二次曲線的一種分類6.專題研究：解析幾何③情境創(chuàng)新、新高考必然將此題目中的雙曲線放入到射影平面內6.專題研究：解析幾何③情境創(chuàng)新、新高考必然6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察1.6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何2.④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何3.④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何4.④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何2025年深圳一模改編自2014年全國卷④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何④運算能力、重點考察6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（3）回歸教材、深挖考點6.專題研究：解析幾何（4）解析幾何備考策略6.專題研究：解析幾何（4）解析幾何備考策略6.專題研究：解析幾何（4）解析幾何備考策略6.專題研究：解析幾何（5）微專題探究——同構在解析幾何中的應用數(shù)的同構6.專題研究：解析幾何數(shù)的同構（5）微專題探究——同構在解析幾何中的應用6.專題研究：解析幾何斜率的同構（5）微專題探究——同構在解析幾何中的應用6.專題研究：解析幾何（5）微專題探究——同構在解析幾何中的應用方程的同構6.專題研究：解析幾何（5）微專題探究——同構在解析幾何中的應用方程的同構6.專題研究：解析幾何導數(shù)大招1構造函數(shù)解不等式

2導數(shù)構造3

常用的導數(shù)放縮

4

導數(shù)與數(shù)列不等式

5

同構與導數(shù)放縮

6

指數(shù)對數(shù)處理技巧

7

函數(shù)隱零點

8

恒成立問題與端點效應

9

雙變量問題--代入消元

10

雙變量問題--韋達定理11三次函數(shù)

12洛必達法則13極值點偏移

14比值或作差代換15對數(shù)平均不等式

16拐點偏移17切線夾

18主元法19放縮取點

20先猜后證21凹凸反轉

22導數(shù)與三角函數(shù)......6.專題研究：導數(shù)1.導數(shù)選填題整理分析

導數(shù)

2.

導數(shù)解答題整理分析6.專題研究：導數(shù)6.專題研究：導數(shù)（1）考查內容（2）考查背景1.

導數(shù)選填題整理分析(3)與教材的聯(lián)系(4)備考策略（1）

考查內容①導數(shù)的幾何意義：

求切線方程、切線存在性與數(shù)量問題②極值與最值：直接求極值點、最值、極值點的存在性與參數(shù)范圍③函數(shù)性質分析：單調性判斷與參數(shù)范圍、一元三次函數(shù)的圖像和性質、綜合應用6.專題研究：導數(shù)切線存在性與數(shù)量問題：結合函數(shù)圖像和導數(shù)性質，分析切線與曲線的位置關系，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力和綜合分析能力。①導數(shù)的幾何意義求切線方程：導數(shù)表示函數(shù)在某點處的瞬時變化率，即切線斜率，利用點斜式方程求切線方程6.專題研究：導數(shù)極值點的存在性與參數(shù)范圍：根據(jù)導數(shù)的性質，分析函數(shù)的單調性變化，確定極值點的存在條件，進而求出參數(shù)的范圍，考查學生的邏輯推理和綜合分析能力。②極值與最值求極值點、最值：求導數(shù)并令其等于零，找到可能的極值點，再利用導數(shù)的正負性判斷函數(shù)的單調性，求出極值和最值6.專題研究：導數(shù)③函數(shù)性質分析單調性判斷與參數(shù)范圍：掌握導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，進而求出參數(shù)的范圍一元三次函數(shù)的圖像和性質：利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性、極值等性質，結合零點存在定理判斷零點個數(shù)與分布。6.專題研究：導數(shù)綜合應用構造函數(shù)比較大小，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值等性質，可解決比較大小、證明不等式等問題6.專題研究：導數(shù)2

考查背景幾何圖形：幾何體體積將幾何體的體積問題轉化為函數(shù)問題，利用導數(shù)求解最值，考查學生的空間想象能力和綜合應用能力。6.專題研究：導數(shù)①函數(shù)圖像分析：單調性與極值的圖像判斷利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性、極值等性質，結合函數(shù)圖像直觀判斷，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力和綜合分析能力。6.專題研究：導數(shù)②代數(shù)與不等式：利用導數(shù)求解和證明不等式要求學生掌握導數(shù)與不等式的關系，利用導數(shù)的性質證明不等式，考查學生的邏輯推理和綜合應用能力利用導數(shù)證明不等式、比較大小，如泰勒展開、放縮法等，體現(xiàn)了導數(shù)在代數(shù)與不等式問題中的應用。6.專題研究：導數(shù)③創(chuàng)新情境：抽象函數(shù)性質推導根據(jù)抽象函數(shù)的定義，推導其性質，利用導數(shù)解決相關問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和綜合分析能力。6.專題研究：導數(shù)3

與教材的聯(lián)系核心知識點導數(shù)的幾何意義：

教材中詳細講解了導數(shù)的定義、幾何意義及切線方程的求法。通過例題和練習，幫助學生掌握導數(shù)的幾何意義，理解導數(shù)與切線的關系。6.專題研究：導數(shù)3

與教材的聯(lián)系思想方法：數(shù)形結合

分類討論

轉化與化歸

6.專題研究：導數(shù)3

與教材的聯(lián)系學科素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理6.專題研究：導數(shù)4

備考策略6.專題研究：導數(shù)4

備考策略夯實基礎:導數(shù)計算

幾何意義應用專題突破:構造函數(shù)

零點問題

極值與最值綜合應用:綜合題訓練

關注函數(shù)性質思想方法:數(shù)形結合

分類討論

轉化與化歸真題研究：新題應對：抽象函數(shù)6.專題研究：導數(shù)2.導數(shù)解答題整理分析（1）函數(shù)的類型和形式（2）問題的類型和形式（3）解題策略和真題溯源6.專題研究：導數(shù)（1）

函數(shù)的類型和形式2024年新課標1卷f(x)

ln

x

ax

b(x

1)32024新課標2卷2024全國甲卷（理2024全國甲卷（文）2023（新課標全國Ⅰ卷）2

xf

(x)

ex

ax

a3f

x

1

ax

ln

1

x

xf

x

a

x

1

ln

x

1f

x

a

ex

a

x2023年全國新高考Ⅱ卷x

x

sinx

xf

x

cos

ax

ln

1

x

2

2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）cos3

xf

(x)

ax

sin

x

,

x

0,

π

2

2023年（全國甲卷）文科數(shù)學cos2

xf

x

ax

sinx

,

x

0,

π

2

2023年（全國乙卷）理科f

(x)

1

a

ln(1

x)

x

2022年全國新高考I卷g(x)

ax

ln

x2022年全國新高考II卷f

(

x)

xeax

ex2022年全國高考乙卷（理）f

x

ln

1

x

axe

x2022年全國高考甲卷數(shù)學（理）ex2021年全國新高考I卷數(shù)學f

x

ln

x

x

axf

x

x

1

ln

x

2021年全國新高考II卷2021年（乙卷）理科f

(x)

(x

1)ex

ax2

bf

x

ln

a

x

y

xf

x

g(x)

x

f(

x)xf(

x)2021年理科甲卷2020年新高考Ⅰ卷2020年全國理科數(shù)學xaf(

x)

(

x

0)a

xf

(x)

aex

1

ln

x

ln

af(x)

ex

ax2

x2020年（理科）（新課標Ⅱ）f(x)=sin2xsin2xf

(x)

e

x

ax6.專題研究：導數(shù)（2）問題的類型和形式形式1

不等式恒成立，求參數(shù)的范圍6.專題研究：導數(shù)（2）問題的類型和形式形式2

存在性問題，求參數(shù)范圍6.專題研究：導數(shù)（2）問題的類型和形式形式3 證明不等式恒成立6.專題研究：導數(shù)（2）問題的類型和形式形式4 變量關系證明6.專題研究：導數(shù)（3）解題策略與真題溯源形式1

不等式恒成立，求參數(shù)的范圍【第二問】解法一:

利用表達式結構特征,先猜后證解法二:

整合教材結論直接探究6.專題研究：導數(shù)（3）解題策略與真題溯源解法三：函數(shù)的定義域對稱性，6.專題研究：導數(shù)（3）解題策略與真題溯源解法一：直接求導

分類討論6.專題研究：導數(shù)（3）解題策略與真題溯源解法二：參變分離

洛必達法則6.專題研究：導數(shù)（3）解題策略與真題溯源解法三：必要性探路

端點效應數(shù)據(jù)分析：優(yōu)化形式，簡化運算6.專題研究：導數(shù)（3）解題策略與真題溯源端點效應端點效應失效6.專題研究：導數(shù)6.專題研究：導數(shù)6.專題研究：導數(shù)6.專題研究：導數(shù)（3）解題策略與真題溯源考點1

切線方程及其應用（10年10考）

考點2

具體函數(shù)及含參函數(shù)的單調性（10年6考）考點3

含參函數(shù)的單調性（10年10考）

考點4

極值最值及其應用（10年10考）考點5

證明不等式（10年9考）

考點6

恒成立與能成立（有解）問題（10年9考）考點7

零點問題（10年8考）

考點8

方程的根（10年4考）

2022·浙江卷、

2022·全國新Ⅰ卷、

2021·浙江卷

2021·全國甲卷、

2019·全國卷、

2018·江蘇卷考點09

雙變量問題（10年6考）

2024·天津卷、

2022·浙江卷、

2022·北京卷