內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2024年中考數(shù)學試卷含真題解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2024年中考數(shù)學試卷一、單選題1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是()A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：A、是軸對稱圖形，故符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故不符合題意；故答案為：A.【分析】軸對稱圖形：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，據(jù)此判斷即可.2．央視新聞年5月日報道，世界最大清潔能源走廊今年一季度累計發(fā)電超度，為我國經(jīng)濟社會綠色發(fā)展提供了強勁動能.將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為()A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：=.故答案為：D.【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞1時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)，據(jù)此判斷即可.3．將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：

由刻度線的兩邊互相平行，

∴∴故選：B．

【分析】利用平行線的性質(zhì)即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目標角推理即可．4．下列計算正確的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、a2與a3不是同類項，不能合并，故不符合題意；

B、，故不符合題意；

C、，故不符合題意；

D、，正確，故符合題意；故答案為：D.【分析】根據(jù)合并同類項，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方分別計算，再判斷即可.5．在數(shù)據(jù)收集、整理、描述的過程中，下列說法錯誤的是()A．為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50B．了解某校一個班級學生的身高情況，適合全面調(diào)查C．了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性D．甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差，，則發(fā)揮穩(wěn)定的是甲【答案】D【解析】【解答】解：A、為了解1000只燈泡的使用壽命，從中抽取50只進行檢測，此次抽樣的樣本容量是50，正確，故不符合題意；

B、了解某校一個班級學生的身高情況，適合全面調(diào)查，正確，故不符合題意；

C、了解商場的平均日營業(yè)額，選在周末進行調(diào)查，這種調(diào)查不具有代表性，正確，故不符合題意；

D、甲、乙二人10次測試的平均分都是96分，且方差，，則發(fā)揮穩(wěn)定的是乙，故符合題意.故答案為：D.【分析】根據(jù)樣本容量，全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，抽樣調(diào)查的可靠性，方差的意義逐項判斷即可.6．解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：組

解不等式①得：x＜2，

解不等式②得：x≥-3，

將兩個解集在數(shù)軸上表示為：故答案為：C.【分析】分別求出每個不等式的解集，再將解集在數(shù)軸上表示即可.7．如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，若l，m所在的直線相交形成的銳角為，則n的值是()A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【解答】解：如圖，由題意得∠A=60°，∵正多邊形的每個內(nèi)角都相等，

∴正多邊形的每個外角也相等，

∴∠1=∠2=（180°-60°）=60°，

∴n=360°÷60°=6.

故答案為：B.【分析】求出正多邊形每個外角的度數(shù)，再利用多邊形外角和360°除以外角的度數(shù)即得結(jié)論.8．某市為了解初中學生的視力情況，隨機抽取200名初中學生進行調(diào)查，整理樣本數(shù)據(jù)如下表.根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計該市16000名初中學生中，視力不低于4.8的人數(shù)是()視力4.7以下4.74.84.94.9以上人數(shù)3941334047A．120 B．200 C．6960 D．9600【答案】D【解析】【解答】解：16000×=9600（名）

∴該市16000名初中學生中，視力不低于4.8的人數(shù)估計為9600名.故答案為：D.【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中視力不低于4.8的人數(shù)所占比例即得結(jié)論.9．等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為()A．或 B．或 C． D．【答案】C【解析】【解答】解：

（x-3）(x-7)=0，

解得x1=3x2=7，

當?shù)妊切蔚娜呴L是3，3，7時，

由3+3＜7，則不符合三角形三邊關系，故舍去；

當?shù)妊切蔚娜呴L是3，7，7時，這個三角形的周長為3+7+7=17.故答案為：C.【分析】解方程求出x值，利用等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況，再利用三角形的三邊關系確定三邊，繼而求解.10．如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是()A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵半徑，

∴，

∴∠AOC=∠BOC=42°，

∴∠D=∠AOC=21°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠D=21°，

∴∠AOC=∠C+∠BOC=21°+42°=63°.故答案為：B.【分析】由垂徑定理可得，則∠AOC=∠BOC=42°，由圓周角定理可得∠D=∠AOC=21°，再根據(jù)OC=OD，可得∠C=∠D=21°，最后利用三角形的外角的性質(zhì)即可求解.11．用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板.現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為()A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，

依題意可得：故答案為：C.【分析】設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，根據(jù)“需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板”列出方程組即可.12．如圖，中，，.將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點與點B是對應點，點與點C是對應點.若點恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是；②；③；④.其中正確的結(jié)論是()A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】A【解析】【解答】解：∵，，

∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°-2∠C=36°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠AB'C'=∠ABC=36°，∠B'AC'=∠BAC=∠AC'B'=∠C=∠ADC=72°，AC'=AC，

∴∠AC'C=∠C=72°，

∴∠C'AC=36°，

∴∠C'AC=∠BAC'=36°，

∴∠B'AB=72°-36°=36°，

由旋轉(zhuǎn)得AB=AB'，

∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-36°）=72°，

①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是，故正確；

②∠B'AB=∠ABC=36°，

∴，故②正確；

③∵∠DC'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=36°，

∴∠DC'B=∠ABC，

∴；故③正確；

④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠DBB'=∠BAC=72°，

∴△BB'D∽△ABC

∴.故④正確.

綜上可知：①②③④都正確.故答案為：A.【分析】先求出點B旋轉(zhuǎn)的角度，再利用弧長公式求解，即可判斷①；易求∠B'AB=∠ABC=36°，可得，據(jù)此判斷②；利用角度可得∠DC'B=∠ABC=36°，可得，據(jù)此判斷③，利用“AA”證△BB'D∽△ABC，可得，據(jù)此判斷④.13．如圖，數(shù)軸上點A，M，B分別表示數(shù)，若，則下列運算結(jié)果一定是正數(shù)的是（）A． B． C．a(chǎn)b D．【答案】A【解析】【解答】解：∵A，M，B分別表示數(shù)，且由數(shù)軸可知，

∴，，

又∵，

∴，即a+b>0.故答案為：A.

【分析】由數(shù)軸可判斷數(shù)的大小，從而利用數(shù)與距離關系表示AM和BM的距離，得出a與b的關系即可.14．如圖，正方形的頂點A，C在拋物線上，點D在y軸上.若A，C兩點的橫坐標分別為m，n（），下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，過點A作AM⊥y軸，過點C作CN⊥y軸，則∠DNC=∠AMD=90°，當x=m時，y=-m2+4，當x=n時，y=-n2+4，

∴A（m，-m2+4，），B（n，-n2+4），AM=m，MO=-m2+4，CN=n，NO=-n2+4，

在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°，

∴∠CDN=∠DAM，

∴△CDN≌△DAM（AAS），

∴DM=CN=n，DN=AM=m，

∴MN=DM+DN=m+n，

∵MN=ON-OM=-n2+4-（-m2+4）=m2-n2，

∴m2-n2=m+n，即（m+n）（m-n）=m+n，

由題意知m+n≠0，

∴m-n=1.

故答案為：B.【分析】過點A作AM⊥y軸，過點C作CN⊥y軸，由題意知A（m，-m2+4，），B（n，-n2+4），從而得出AM=m，MO=-m2+4，CN=n，NO=-n2+4，可證△CDN≌△DAM（AAS），可得DM=CN=n，DN=AM=m，從而得出MN=m+n=m2-n2，據(jù)此即可求解.二、填空題15．請寫出一個比小的整數(shù)【答案】1（或2）【解析】【解答】解：∵2＜＜3，

∴比小的整數(shù)可能為1.故答案為：1（答案不唯一）.【分析】由于2＜＜3，據(jù)此即可求解.16．因式分解：.【答案】【解析】【解答】解：3a(m2-1)=.故答案為：.【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.17．綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹的高度.如圖，點C處與古樹底部A處在同一水平面上，且米，無人機從C處豎直上升到達D處，測得古樹頂部B的俯角為，古樹底部A的俯角為，則古樹AB的高度約為米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，）.【答案】11.5【解析】【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB交齊延長線于點E，則四邊形ACDE為矩形，由題意得：∠EDB=45°，∠EDA=65°，ED=AC=10米，

在Rt△BDE中，則∠EBD=∠EDB=45°，

∴BE=DE=10米，

在Rt△ADE中，AE=DE·tan65°≈10×2.145=21.45米，

∴AB=AE-DE=21.45-10=11.45≈11.5米

故答案為：11.5.【分析】過點D作DE⊥AB交齊延長線于點E，則四邊形ACDE為矩形，可得ED=AC=10米，結(jié)合題意可得△BDE為等腰直角三角形，可得BE=DE=10米，在Rt△ADE中，由AE=DE·tan65°可求AE的長，利用AB=AE-DE即可求解.18．編號為A，B，C，D，E的五臺收割機，若同時啟動其中兩臺收割機，收割面積相同的田地所需時間如下表：收割機編號A，BB，CC，DD，EA，E所需時間（小時）2319202218則收割最快的一臺收割機編號是.【答案】C【解析】【解答】解：∵A、B所需時間為23小時，C、B所需時間為19小時，

∴C比A快4小時，

∵C、D所需時間為20小時，C、B所需時間為19小時，

∴B比D快1小時，

∵C、D所需時間為20小時，D、E所需時間為22小時，

∴C比E快2小時，

∵A、E所需時間為18小時，D、E所需時間為22小時，

∴A比D快4小時，

∴C＞E＞A＞B＞D，

∴收割最快的一臺收割機編號是C.故答案為：C.【分析】由A、B所需時間為23小時，C、B所需時間為19小時，可得C比A快4小時，依次類推可得B比D快1小時，C比E快2小時，A比D快4小時，據(jù)此比較即可.三、解答題19．（1）計算：；（2）已知，求代數(shù)式的值.【答案】（1）原式，；（2），，，，，=2×3+1，.【解析】【分析】（1）利用算術平方根、零指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值及絕對值先化簡，再計算加減即可；

（2）由，可得，然后利用完全平方公式，多項式乘多項式將原式展開，再去括號、合并即可化簡，再整體代入計算即可.20．如圖，在中，D是中點.（1）求作：的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若l交于點E，連接并延長至點F，使，連接，，補全圖形，并證明四邊形是平行四邊形.【答案】（1）直線l如圖所示，；（2）證明：補全圖形，如圖，由（1）作圖知，E為的中點，D，E分別為，的中點，，，，即：，，，四邊形是平行四邊形.【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖步驟作圖即可；

（2）由題意先補圖，由三角形中位線定理可得，，結(jié)合已知，可得EF=BC，利用一組對邊平行且相等即證四邊形是平行四邊形.21．某校田徑隊為了調(diào)動隊員體育訓練的積極性，計劃根據(jù)成績情況對隊員進行獎勵.為確定一個適當?shù)某煽兡繕?，進行了體育成績測試，統(tǒng)計了每個隊員的成績，數(shù)據(jù)如下：收集數(shù)據(jù)77787672847591857879

82787679919176747585

75918077757587857677整理、描述數(shù)據(jù)成績/分72747576777879808284858791人數(shù)/人11a433b111314分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)80c78解決問題（1）表格中的；；；（2）分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，你認為成績目標應定為分，如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應定為分；（3）學校要從91分的A，B，C，D四名隊員中，隨機抽取兩名隊員去市里參加系統(tǒng)培訓.請利用畫樹狀圖法或列表法，求A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率.【答案】（1）5；2；75（2）78；80（3）畫樹狀圖表示所有等可能結(jié)果如圖所示，共有種等可能結(jié)果，A，B兩名隊員恰好同時被選中的情況有種，A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率為，答：A，B兩名隊員恰好同時被選中的概率為.【解析】【解答】解：（1）由統(tǒng)計表數(shù)據(jù)可得a=5，b=2，

成績75出現(xiàn)了5次，次數(shù)最多，

∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.

故答案為：5，2，75.

（2）∵樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為78，

∴如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，成績目標應定為78分；

∵平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)中，平均數(shù)為80，最大，

∴如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應定為80分.

故答案為：78，80.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)直接求解；

（2）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義解答即可；

（3）利用樹狀圖列舉出共有種等可能結(jié)果，A，B兩名隊員恰好同時被選中的情況有種，然后利用概率公式計算即可.22．一段高速公路需要修復，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等.（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別多少千米；（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？【答案】（1）設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路千米，由題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；（2）設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復公路w千米，由題意得，，解得，，w隨m的增加而減少，當時，w有最大值，最大值為，答：15天的工期，兩隊最多能修復公路千米.【解析】【分析】（1）設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路千米，根據(jù)“甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等.”列方程并解之即可；

（2）設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復公路w千米，從而得出，由“要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍”求出m的范圍，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.23．在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點，滿足時，稱點N是點M的等和點.（1）已知點，在，，中，是點M等和點的有；（2）若點的等和點N在直線上，求b的值；（3）已知，雙曲線和直線，滿足的x取值范圍是或.若點P在雙曲線上，點P的等和點Q在直線上，求點P的坐標.【答案】（1）和；（2）解：設點N的橫坐標為a，點N是點的等和點，點N的縱坐標為，點N的坐標為，點N在直線上，a+5=a+b，b=5；（3）解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設直線與雙曲線的交點分別為點A、B，如圖，

由時x的取值范圍是或-2＜x＜0，可得點A的橫坐標為4，點B的橫坐標為，把x=4代入得，y=4-2=2，，把代入得，，，反比例函數(shù)解析式為，設，點Q的橫坐標為n，點Q是點P的等和點，點Q的縱坐標為，，點Q在直線上，，整理得，，去分母得，，解得，，經(jīng)檢驗，，是原方程的解，∴點P的坐標為或.【解析】【解答】解：（1）由，得，，點是點M的等和點；由，得，，，，不是點M的等和點；由，得，，是點M的等和點；

故答案為：和；

【分析】（1）根據(jù)等和點的定義逐個驗證即可；

（2）設點N的橫坐標為a，由點N是點M為等和點，則點N的縱坐標為，故N，那點N的坐標代入直線中，即可求出b值；

（3）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設直線與雙曲線的交點分別為點A、B，由時x的取值范圍是或-2＜x＜0，可得點A的橫坐標為4，點B的橫坐標為，從而求出A（4，2），繼而求出為，可設，點Q的橫坐標為n，由點Q是點P的等和點，可求，把其坐標代入直線中，可得關于m的方程，解之即可.24．如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F.（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長.【答案】（1）證明：連接，延長，交于點P，連接，，如圖，，是等腰直角三角形，，是的直徑，，，，，，即，是的半徑，是的切線；（2），，，，，，，，，，，，在等腰直角三角形中，，，解得，，，，在中，，，又，，，，.【解析】【分析】（1）連接，延長，交于點P，連接，，可得△ABC為等腰直角三角形，可得∠ABC=45°，由CD是的直徑可得∠DBC=90°，從而求出∠DBE=45°，根據(jù)圓周角定理可得∠DOE=2∠DPE=2∠DBE=90°，可證EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠FEO=∠DOE=90°，根據(jù)切線的判定定理即證；

（2）證明，可得，從而可求AM、AB的長，在等腰直角三角形中，由勾股定理求出AC的長，從而得出DB的長，在中，利用勾股定理求出CD=，即得，結(jié)合可求出DM，利用OM=OD-DM即可求解.25．如圖，是某公園的一種水上娛樂項目.數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究.下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池.以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系.他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分.根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設計了以下三個問題，請你解決.（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為；（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米.若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱.①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固.如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架.現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上.請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）.【答案】（1）（2）①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱，則設人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標與拋物線的頂點坐標關于點成中心對稱，，人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標為，即，，∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，則，即或（舍去，不符合題意），點，，，，此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)；（3）根據(jù)題意可得M點的縱坐標為4，令，即，（舍去，不符合題意）或，，設所在直線的解析式為，將代入得：，解得：，所在直線的解析式為，如圖，設這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，這條鋼架與平行，設該鋼架所在直線的解析式為，聯(lián)立，即，整理得：，該鋼架與水滑道有唯一公共點，，即該鋼架所在直線的解析式為，點H與點O重合，，，，，這條鋼架的長度為米.【解析】【解