數(shù)學 第四冊（五年制高職） 教案 3.2-18.2.1雙曲線的定義及其標準方程

五年制高等職業(yè)教育公共基礎課程教材《數(shù)學（第四冊）》教案課題18.2.1雙曲線的定義及其標準方授課時間學習目標1.知道雙曲線的概念及形成過程，知道如何化簡形成雙曲線的標準方程，能區(qū)分不同焦點坐標對應的不同方程；2.能根據(jù)條件求出雙曲線的標準方程；3.逐步提升直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)教學重點根據(jù)條件求雙曲線的標準方程教學難點雙曲線標準方程的推導與化簡教學準備PPT教學過程教學內(nèi)容一、問題探究二、抽象概括（一）雙曲線的概念（二）雙曲線的標準方程：教師活動取一條兩邊長度不等的拉鏈（如圖18-11），將拉鏈的兩邊分別固定在兩個定點F1，F(xiàn)2上（拉鏈兩邊的長度之差小于F1把鉛筆尖固定在拉鏈鎖口M處，隨著拉鏈逐漸打開，筆尖就畫出一條曲線；再將拉鏈的兩邊交換位置，用同樣的方法可以畫出另一條曲線．筆尖到兩固定點的距離之差有什么特點？圖18-11容易發(fā)現(xiàn)，在移動筆尖的過程中，即使拉鏈兩端交換了位置，始終保持了筆尖到拉鏈兩端的長度差不變，即筆尖到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)（即拉鏈長的一邊多出的部分）.二、抽象概括（一）雙曲線的概念1雙曲線的定義：一般地，平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡稱為雙曲線，這兩個定點F2辨析：雙曲線定義中的常數(shù)為什么要小于|F絕對值又起到了什么作用？（二）雙曲線的標準方程：如圖18-12，以經(jīng)過雙曲線兩焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2學生活動討論并總結(jié)，抽象出雙曲線定義體會雙曲線定義中常數(shù)小于|F教學過程教學內(nèi)容教師活動學生活動三、例題講析圖18-12設M(x,y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距F1F2=2c(c>0)，那么焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(-c,0)，(c,0)，設M圖18-12則，即．于是有.將上式化簡（類似于求橢圓的方程），得．由雙曲線的定義知，，即，因此．令，則上式變?yōu)?，兩邊同時除以，得1.雙曲線的標準方程方程稱為焦點在軸上的雙曲線的標準方程，其中焦點坐標為，且.三、例題講析例1已知雙曲線的焦點分別為，，且雙曲線上任一點到它們的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.帶領(lǐng)學生經(jīng)歷建系，設點，列式，化簡等過程，得到焦點在x軸的雙曲線的標準方程。辨析雙曲線與橢圓a,b,c的大小關(guān)系的不同教學過程教學內(nèi)容教師活動學生活動四、思維拓展五、課內(nèi)練習六、問題探究例2求下列雙曲線的焦點坐標與焦距.；（2）.四、思維拓展平面內(nèi)到兩個定點，的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是雙曲線嗎？五、課內(nèi)練習1.已知兩點，，求到它們的距離之差的絕對值等于2的動點的軌跡方程.2.求下列雙曲線的焦點坐標與焦距.（1）；（2）.六、問題探究圖18-13圖18-13如圖18-13，以經(jīng)過雙曲線兩焦點，的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，則雙曲線的標準方程是什么？設為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距，則焦點，的坐標分別為，.設與兩個焦點距離之差的絕對值為，由，令，可推導出雙曲線的方程為.練習討論、交流、記憶讓學生獨立完成焦點在y軸的雙曲線的標準方程。七、合作交流八、例題講析九、思維拓展十、課內(nèi)練習十一、課堂小結(jié)2.雙曲線的標準方程方程是焦點在軸上的雙曲線的標準方程，其中的關(guān)系仍為.七、合作交流焦點在軸上與軸上兩種形式雙曲線的標準方程有何異同？八、例題講析例3已知雙曲線的焦點在軸上，焦距為10，且雙曲線上的點到兩個焦點距離之差的絕對值為6，求雙曲線的標準方程.例4根據(jù)下列雙曲線的方程求出其焦點坐標和焦距.；（2）.例5已知表示焦點在x軸上的雙曲線，求的取值范圍.九、思維拓展已知表示雙曲線，求的取值范圍.十、課內(nèi)練習1.已知雙曲線的焦點在軸上，焦距為6，雙曲線上的點到兩個焦點距離之差的絕對值為2，求雙曲線的標準方程.2.根據(jù)下列雙曲線的方程求出其焦點坐標和焦距.（1）；（2）.3.已知表示焦點在y軸上的雙曲線，求的取