2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)14變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算文北師大版

PAGE1-課后限時集訓(xùn)14改變率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算建議用時：45分鐘一、選擇題1．下列求導(dǎo)運算正確的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up14(′)＝1＋eq\f(1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2sinxB[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up14(′)＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up14(′)＝1－eq\f(1,x2)；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故選項B正確．]2．(2024·成都模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿意f(x)＝2xf′(e)＋lnx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f′(e)＝()A．1 B．－1C．－e D．－e－1D[由已知得f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，則f′(e)＝－eq\f(1,e).故選D.]3．一質(zhì)點沿直線運動，假如由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝eq\f(1,3)t3－3t2＋8t，那么速度為零的時刻是()A．1秒末B．1秒末和2秒末C．4秒末D．2秒末和4秒末D[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由導(dǎo)數(shù)的定義可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度為零，故選D.]4．(2024·貴陽模擬)曲線y＝xlnx在點(e，e)處的切線方程為()A．y＝2x－e B．y＝－2x－eC．y＝2x＋e D．y＝－x－1A[對y＝xlnx求導(dǎo)可得y′＝lnx＋1，則曲線在點(e，e)處的切線斜率為lne＋1＝2，因此切線方程為y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故選A.]5．已知直線y＝ax是曲線y＝lnx的切線，則實數(shù)a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,2e)C.eq\f(1,e) D.eq\f(1,e2)C[設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，lnx0)，由y＝lnx的導(dǎo)函數(shù)為y′＝eq\f(1,x)知切線方程為y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(x,x0)＋lnx0－1.由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,x0)，,lnx0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,e).故選C.]二、填空題6.已知函數(shù)y＝f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，則曲線y＝f(x)在點P處的切線方程是________．x－y－2＝0[依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖像可知，曲線y＝f(x)在點P處的切線的斜率k＝f′(2)＝1，又過點P(2,0)，所以切線方程為x－y－2＝0.]7．若曲線f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．(－∞，0)[由題意，可知f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，又存在垂直于y軸的切線，所以3ax2＋eq\f(1,x)＝0，即a＝－eq\f(1,3x3)(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2，若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標(biāo)為________．(1，－1)或(－1,1)[由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0，又切線方程為x＋y＝0，所以x0≠0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x\o\al(2,0)＋2ax0＝－1，,x0＋x\o\al(3,0)＋ax\o\al(2,0)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,a＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,a＝－2，))所以當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,a＝－2))時，點P的坐標(biāo)為(1，－1)；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,a＝2))時，點P的坐標(biāo)為(－1,1)．]三、解答題9．已知點M是曲線y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上隨意一點，曲線在M處的切線為l，求：(1)斜率最小的切線方程；(2)切線l的傾斜角α的取值范圍．[解](1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴當(dāng)x＝2時，y′min＝－1，此時y＝eq\f(5,3)，∴斜率最小時的切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))，斜率k＝－1，∴切線方程為3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故α的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖像為曲線C.(1)求過曲線C上隨意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍．[解](1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上隨意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由已知(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．1．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝xD[因為函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因為x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x.故選D.]2．曲線y＝eeq\s\up14(eq\f(1,2)x)在點(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()A.eq\f(9,2)e2 B．4e2C．2e2 D．e2D[易知曲線y＝eeq\s\up14(eq\f(1,2)x)在點(4，e2)處的切線斜率存在，設(shè)其為k.∵y′＝eq\f(1,2)eeq\s\up14(eq\f(1,2)x)，∴k＝eq\f(1,2)eeq\s\up14(eq\f(1,2)×4)＝eq\f(1,2)e2，∴切線方程為y－e2＝eq\f(1,2)e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面積為S＝eq\f(1,2)×2×|－e2|＝e2.]3．若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ex的切線，則b＝________.0或1[設(shè)直線y＝kx＋b與曲線y＝lnx＋2的切點為(x1，y1)，與曲線y＝ex的切點為(x2，y2)，y＝lnx＋2的導(dǎo)數(shù)為y′＝eq\f(1,x)，y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，可得k＝ex2＝eq\f(1,x1).又由k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(ex2－lnx1－2,x2－x1)，消去x2，可得(1＋lnx1)·(x1－1)＝0，則x1＝eq\f(1,e)或x1＝1，則直線y＝kx＋b與曲線y＝lnx＋2的切點為eq\f(1,e)，1或(1,2)，與曲線y＝ex的切點為(1，e)或(0,1)，所以k＝eq\f(e－1,1－\f(1,e))＝e或k＝eq\f(1－2,0－1)＝1，則切線方程為y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.]4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．[解]f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－eq\f(1,2).所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).1．定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記作f″(x)＝[f′(x)]′.定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正，即f″(x)＞0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù)．已知函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))[因為f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1，所以f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)＞0得x＞eq\f(1,2)，故x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞)).]2．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.(1)求f(x)的解析式；(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．[解](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3a＋2b＋c＝0，,f′－1＝3a－2b＋c＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,3a＋c＝0))又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x.(2)設(shè)切點為(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，因為f′(x)＝3x2－3，所以f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，所以切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(