第一篇　專題二　計算題培優(yōu)練3　數(shù)學歸納法解決多次碰撞問題-2025高考物理二輪復習

計算題培優(yōu)練3數(shù)學歸納法解決多次碰撞問題1.(14分)(2024·河南省信陽高級中學模擬)如圖所示，質量為m的足夠長的木板放在光滑的水平地面上，與木板右端距離為x的地面上立有一柔性擋板，木板與擋板發(fā)生連續(xù)碰撞時速度都會連續(xù)發(fā)生衰減，當木板與擋板發(fā)生第n次碰撞時，碰后瞬間的速度大小vn'與第一次碰前瞬間的速度大小v1滿足關系式vn'=1n(n+1)v1?，F(xiàn)有一質量為2m的物塊以速度v0=4μgx從左端沖上木板，造成了木板與柔性擋板的連續(xù)碰撞(碰撞時間均忽略不計)，物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為(1)(3分)物塊剛滑上木板時，求物塊和木板的加速度大??；(2)(3分)從物塊滑上木板到木板與柔性擋板第一次碰撞時，求物塊與木板因摩擦產生的熱量；(3)(8分)從物塊滑上木板到木板與柔性擋板第n次碰撞時，求物塊運動的位移大小。2.(16分)(2023·全國乙卷·25)如圖，一豎直固定的長直圓管內有一質量為M的靜止薄圓盤，圓盤與管的上端口距離為l，圓管長度為20l。一質量為m=13M的小球從管的上端口由靜止下落，并撞在圓盤中心，圓盤向下滑動，所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等。小球在管內運動時與管壁不接觸，圓盤始終水平，小球與圓盤發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短。不計空氣阻力，重力加速度大小為g(1)(5分)第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大??；(2)(4分)在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離；(3)(7分)圓盤在管內運動過程中，小球與圓盤碰撞的次數(shù)。

答案精析1.(1)μg2μg(2)5μmgx(3)(152-2n-2解析(1)對物塊由牛頓第二定律有μ×2mg=2ma1解得a1=μg對木板由牛頓第二定律有μ×2mg=ma2解得a2=2μg(2)從木板開始運動到第一次碰撞擋板有x=12a2從木板開始運動到發(fā)生第一次碰撞時的時間為t1=x這段時間內，物塊的位移x1=v0t1-12a1解得x1=72故摩擦產生的熱量為Q=μ×2mg(x1-x)解得Q=5μmgx(3)第一次碰撞前，木板的速度大小v1=a2t1=2μgx第一次碰撞后的速度大小v1'=11×2v1=(1-12)由對稱性可知第二次碰前的速度v2=v1'故第一次碰撞到第二次碰撞的時間間隔為Δt1=2×v1'a2=2(1-故從木板開始運動到第二次碰撞時的時間間隔為t2=t1+Δt1=t1+2(1-12)t第二次碰撞后的速度v2'=12×3v1=(12-13第三次碰前的速度v3=v2'故第二次碰撞到第三次碰撞的時間間隔為Δt2=2×v2'a2=2(12故從木板開始運動到第三次碰撞時的時間間隔為t3=t2+Δt2=t1+2(1-13)t歸納可知，從木板開始運動到第n次碰撞時的時間間隔為tn=t1+2(1-1n)t1=(3-2n)該過程中，物塊始終做勻減速運動，故對物塊由運動學公式有x2=v0tn-12a1代入數(shù)據(jù)解得x2=(152-2n-2n2.(1)2gl22gl2解析(1)過程1：小球釋放后自由下落，下降l，根據(jù)機械能守恒定律有mgl=12m解得v0=2過程2：小球以v0=2gl12mv02=12mv12mv0=mv1+Mv1'解得v1=m-Mm+v1'=2mm+M即第一次碰撞后瞬間小球速度大小為2gl2，方向豎直向上，圓盤速度大小為(2)第一次碰撞后，小球做豎直上拋運動，圓盤所受摩擦力與重力平衡，勻速下滑，所以只要圓盤下降速度比小球快，二者間距就不斷增大，當二者速度相同時，間距最大，則有v1+gt=v1'解得t=v1'根據(jù)運動學公式得最大距離為dmax=x盤-x球=v1't-(v1t+12gt2)=v0(3)第一次碰撞后到第二次碰撞時，兩者位移相等，則有x球1=x盤1即v1t1+12gt12=v解得t1=2此時小球的速度v2=v1+gt1=32v圓盤的速度仍為v1'，這段時間內圓盤下降的位移x盤1=v1't1=v02之后第二次發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒有mv2+Mv1'=mv2'+Mv2″根據(jù)能量守恒定律有12mv22+12Mv1'2=12mv2'2+聯(lián)立解得v2'=0v2″=v0同理可得當位移相等時x盤2=x球2v2″t2=12g解得t2=2圓盤向下運動的位移大小x盤2=v2″t2=2v0此時圓盤距下端管口13l，之后二者第三次發(fā)生碰撞，碰前小球的速度v3=gt2=2v0由動量守恒有mv3+Mv2″=mv3'+Mv3″由機械能守恒有12mv32+12Mv2″2=12mv3'2+得碰后小球速度為v3'=v圓盤速度v3″=3當二者即將四次碰撞時x盤3=x球3即v3″t3=v3't3+12g得t3=2v0g=t1在這段時間內，圓盤向下移動x盤3=v3″t3=3v0此時圓盤距離下端管口長度為20l-l-2l-