數(shù)列章節(jié)課后習(xí)題及答案

數(shù)列習(xí)題及答案詳解

一、選擇題

1.在數(shù)列｛m｝中,m=l,斯=2斯T+1,則痣的值為().

A.30B.31C.32D.33

解析公=2由+1=2(2^34-1)4-I=22仍+2+1=23^+22+2+1=2%l+23+22+2+1=31.

答案B

2.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S〃=〃2,則“8的值為().

A.15B.16C.49D.64

解析由于S“=〃2,.\￡1|=51=1.

22

當(dāng)論2時(shí),a?=Sn~Sn-i=n—(n—\)=2n-1,又m=l適合上式.

.\cin=2n—1,.*.08=2x8—1=15.

答案A

3.設(shè)數(shù)列｛“〃｝是等差數(shù)歹L，其前〃項(xiàng)和為S〃，若恁=2且$5=30,則晶等于

().

A.31B.32C.33D.34

26

“i+5d=2,0十

解析由已知可得解得，

50+101=30,

答案B

4.已知｛?。堑缺葦?shù)列，“2=2,“5=/則公比q等于().

A.B.-2C.2D.1

解析由題意知：爐=?=!，?,?4=:

答案D

5.在等比數(shù)列｛〃“｝中，04=4,則等于().

A.4B.8C.16D.32

解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得：6。6=屆=16.

答案C

6.設(shè)｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，3=2且0，內(nèi)，的成等比數(shù)列，則｛。〃｝的前〃項(xiàng)和S”

=()?

.n2.In匹ir.5n—層3〃

八彳+工B.y+yC.y+~^~D.

7.設(shè)S“為等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，8例+45=0,則蔑=().

A.-11B.-8C.5D.11

解析設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為/因?yàn)?s+a5=0，所以8aq+ai/=0.

"+8=0,???g=-2,

.卬(11-g

F――0一..(1一.2)

答案A

8.等差數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式為斯=2〃+1,其前〃項(xiàng)的和為S“，則數(shù)歹”小］的前10項(xiàng)的和

為().

A.120B.70

C.75D.100

解析???S“="C+2"+l)=+2),牛=〃+2.

，數(shù)列榭前10項(xiàng)的和為:(1+2+...+10)+20=75.

答案C

9.設(shè)數(shù)列｛(-1)”｝的前〃項(xiàng)和為S〃，則對(duì)任意正整數(shù)〃，S?=().

K-l)n-，+1]C[(—n[(-ir-l]

AA?------------oD.-----------------------L).---------------

(-1)[-1-

解析因?yàn)閿?shù)列｛(一1)”｝是首項(xiàng)與公比均為一1的等比數(shù)列，所以S產(chǎn)

1-(-1)

小1)"-1]

2

答案D

10.等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”若m=1,且4aL2色，〃3成等差數(shù)列，則§4=().

A.7B.8C.15D.16

解析設(shè)數(shù)列｛“”｝的公比為q,貝lj4s=4"iI”,,*.4ci\c/=4a\Ya\q2>^2—4</l4=0,:.q

1—24

=2.SA=~[^~=15.

1—2

答案C

H.已知數(shù)列｛〃”｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列｛兒｝是等差數(shù)列，且恁=力，則有().

A.6+的江兒+6。

B.。3+。侖力4+〃10

C.。3+。9初4+/力0

D.。3+。9與。4+從0的大小關(guān)系不確定

解析出+。9=。爐+64'=4](/+/)2=2qq5=2R=二d+狐

12.已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”(〃wN.),且S3=-3,S7=7,那么數(shù)列｛〃“｝的

公差d二()

A.1B.2C.3D.4

答案A

二、填空題

13.若S”=1—2+3—4+…+(—1)"I?,$50=.

解析550=1-2+3-4+...+49-50

=(-l)x25=-25.

答案一25

14.等差數(shù)列｛斯｝前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若4=1,公+3=0,則k=.

QxR4x41

解析設(shè)｛&｝的公差為d,由S9=S4及〃1=1,得9xl+〉-d=4xl+-Td,所以]=一?又

伙+如=0,所以[1+伙-1)(—』)]+[1+(4—1)(—』)]=0,即k=10.

66

答案10

15.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，

上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為升.

解析設(shè)竹子從上到下的容積依次為0，念，…，。9,由題意可得3+念+。3+。4=3,s+

“8+〃9=4,設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬椤?，則有4。1+6"=3①，3。1+214=4②，由①②可得〃

713所以的=%+4d=另+4**=普

=n，"產(chǎn)22,

答案0

16.已知數(shù)列(小)的前〃項(xiàng)和5”=3序一2〃+1,則其通項(xiàng)公式為.

解析當(dāng)〃=1時(shí)，0=51=3x12—2x1+1=2；

當(dāng)n>2時(shí),a”=S“一S〃一I=3〃2—2〃+1—[3(〃-I)?一2(〃-1)+1]=6〃-5,顯然當(dāng)n—\時(shí),

不滿足上式.

2,n=\9

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為小=/ur

16〃一5,n>2.

2,n=\

答案Q=

n6〃-5,n>2

17.等比數(shù)列(〃〃｝中，若。1=9,出=—4,則公比4=；同+|〃2|+…+|〃”|=.

解析設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為％則。4=內(nèi)爐，代入數(shù)據(jù)解得夕3=一8,所以夕=一2；等

比數(shù)列｛|為|｝的公比為⑷=2,則|小|=表2門，所以仙|+罔+悶+...+|如昌(1+2+2；+...

+2”人)=處-1)=2n~1-^.

答案一22”「一￡

三、解答題

18.知數(shù)列(〃”｝的前〃項(xiàng)和S”是〃的二次函數(shù)，且出=一2,s=2,§3=6.

⑴求S〃：

(2)證明:數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.

—2=A+8+C,

⑴解設(shè)S”=4產(chǎn)+8〃+C(A?0),則<0=4A+2B+C,

、6=9A+38+C,

解得：A=2,D=4?C=0.

.*.S?=2w2—4/L

(2)證明當(dāng)〃=1時(shí)，a\=S\=~2.

當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn—Sn-i=2r^—4n—[2(〃-1)2—4(〃-1)]

=4/7-6.

6(〃￡N.).

當(dāng)n—1時(shí)符合上式,故j=4/i—6,

，4〃+1一?！?4，

???數(shù)列｛小｝成等差數(shù)列.

19.知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S“=一〃2+24〃(〃￡N*).

(1)求｛々〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)〃％何值時(shí)，S”達(dá)到最大？最大值是多少？

解(1>=1時(shí)，6/I=S)=23.

n>2時(shí)，a”=S〃-S”-i=-/+24〃+(〃-1)2—24(〃-1)=-2〃+25.經(jīng)驗(yàn)證，ai=23符合。”=

-2〃+25,

，斯=-2〃+25(〃WN).

(2)法一???$=一〃2+24。，.??〃=12時(shí)，S”最大且S〃=144.

法二—2〃+25,

???%=-2〃+25>0,有〃〈冬.???n2>0，?13<0,

故Si?最大，最大值為144.

2

20.d為非零實(shí)數(shù)，?W=-[C,W+2C^+...-1)。2尸+〃C”](〃￡N*).

(1)寫出.，硝，“3并判斷他”｝是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；

⑵設(shè)兒=〃da“(〃WN*),求數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和S〃.

解(1)由已知可得a1=d,。2=或1+①,。3=<1+4月

當(dāng)我2,Q1時(shí)，黜=田,因此

斯=力黜"=力防]/=d￡c/d=d3+i廠.

由此可見，當(dāng)今一1時(shí)，aJ是以d為首項(xiàng)，d+i為公立的等比數(shù)列；

當(dāng)”=—1時(shí)，〃i=-1,a?=0(n>2)f此時(shí)｛%｝不是等比數(shù)列.

⑵由⑴可知,%=43+1產(chǎn)，從而。=〃/(d+l)”r

Se=/[l+2(d+l)+3?+l)2+...+(〃-l)3+l)k2+〃(d+i)Li].①

當(dāng)d=—l時(shí)，S?=d2=\.

當(dāng)今一1時(shí)，①式兩邊同乘d+1得

3+1)5,,=/[(d+1)+20—1/+…+(〃一1)(d+l)n-,+〃("+1)M].②

①，②式相減可得

一ds〃=a?”+("+])+("+])2++(d+1尸1_〃([+]力

=d~.

n

化簡(jiǎn)即得Sit=(6Z+1)(nd—1)+1.

綜上，S“=(d+1)”(/W—1)+1.

21.知數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，設(shè)么+2=3k)g](〃￡N'),數(shù)

4

歹U｛金｝滿足cn=an-bn.

⑴求數(shù)列｛/%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和S”.

[嘗試解答](1)由題意，知an=G>(〃￡N*),

又2=3log]-2,故d=3〃-2(〃UN').

4

(2)由(1),知知=(；>,b“=3〃-2(〃￡N?),

???c“=(3〃-2)x(3〃(〃EN").

???5“=”；+4乂6)2+7乂(；)3+.+閉2—5?6)廠1+(3〃-2怵0，

于是卜=1XQ)2+4XG〉+7XQ>+.