數(shù)學(xué)-高考數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)高考知識點總結(jié)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”，

如：集合A={x[y=]gx},B={y|y=lgx},C={（x,y）|y=Igx},A、B、C中元素各

表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如:集合A=k|x2-2x—3=0},B={x|ax=l}

若BuA,則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

（答:卜,0,1））

3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合{a1，a2,……，aj的所有子集的個數(shù)是2%

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CUA）Q（CUB）,Cu（Af）B）=（CVA）U（CVB）

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

的取值范圍。

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且"（人）和“非”（「）.

若pAq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為由

若pvq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個為真

若「P為真，當(dāng)且僅當(dāng)P為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同其同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A~B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)

元素的唯?性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有明F些常見類型？

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f（x）的定義域是［a,b］,b>-a>0,則函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x）的定義域是一。

（答：［a,-a］）

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

（一一對應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換X、y；③注明定義域）

>

-

如：求函數(shù)的反函數(shù)

f(x)=?X<

X-1(X>1)

(答：L(X)=<_\\)

-V-x(x<0)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負)

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有r(x)20則f(x)為增函數(shù)。(在個別點上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若r(x)wo呢?

值是（）

A.OB.1C.2D.3

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則右WLWa<3

???a的最大值為3)

16.函數(shù)7U)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立<=>f(x)為奇函數(shù)<=>函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立<=>f(x)為偶函數(shù)<=>函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；

個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘枳是奇函數(shù)。

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

函數(shù),T是一個周期.）

如:

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

[5）與其一*）的圖象關(guān)于例_對稱

f（x）與-f（x）的圖象關(guān)于x軸對稱

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點對稱

f(x)與fix)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱

將丫=曲)圖象左/心>。)個單位,y=改+a)

右移a(a>0)個單位y=1(x-a)

上移b(b>0)個單位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”變換：

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(1)一次函數(shù)：y-kx+b(k7*0)

（2）反比例函數(shù)：丫=&化工0）推廣為丫4+上（1<=0）是中心0，但，b）的雙曲線。

xx-a

2一+至二^圖象為拋物線

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(awO)=

V2a，4a

應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系一一二次方程

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

A>0

b.

如：二次方程ax'+bx+c=O的兩根都大于k=---;>k

2a

f(k)>0

由圖象記性質(zhì)!(注意底數(shù)的限定！)

(6)“對勾函數(shù)"y=x+-(k>0)

X

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

loga—=logaM-logaN,logaVM=-^logaM

21.如何解抽象函數(shù)問題？

(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)

性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值:

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

又如：求函數(shù)y=，-遮co(5-x)的定義域和值域。

sinx<—,如圖:

2

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、對

稱軸嗎？

jrTT

y=sinx的增區(qū)間為2k兀-萬，2kn+—(kGZ)

減區(qū)間為2k加+.,2kK+y(kGZ)

圖象的對稱點為(k7G0),對稱軸為x=k兀+^(kwZ)

y=cosx的增區(qū)間為［2k;r,2kn+可(keZ)

減區(qū)間為［2k兀+兀，2k.+2可(keZ)

圖象的對稱點為(k兀十0),對稱軸為x=k兀(keZ)

y=lanx的增區(qū)間為(k兀一/,k兀+§kwZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin((ox+卬)的圖象和性質(zhì)要熟記。［或y=Acos(a)x+(p)j

(1)振幅|A|,周期T二裔

若f(x())=±A,貝ijx=X。為對稱軸。

若f(xo)=0,則(X。，0)為對稱點，反之也對。

(2)五點作圖：令(ox+(p依次為0,—,兀，與，2兀，求出x與y,依點(X,y)作

圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、⑴、①值)

解條件組求0）、?值

△正切型函數(shù)y=Atan（cox+（p）,T=pj

27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面一一先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的

范圍。

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性了嗎？

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變換、伸縮變換）

平移公式:

x'=x+h

（1）點P（x,y）_P"（叱?。▁'，y'）,貝卜

平移至y*=y4-k

（2）曲線f（x,、，，二口沿向量：=6，k）平移后的方程為f（x-h,y-k）=0

如：函數(shù)y=2si“2x-勺-1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的圖象?

30.熟練掌握同角一:角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎?

“k.>a”化為a的三角函數(shù)一“奇變，偶不變'符號看象限”'“奇“偶”

指k取奇、偶數(shù)。

cos^+lan^--j+sin（21n）=

如:

又如：函數(shù)y=sina+tana,貝如的值為

cosa+cota

A.正值或負值B.負值C.非負值D.正值

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降哥公式及其逆向應(yīng)月了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系:

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含

三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）

具體方法:

（1）角的變換：如0=（a+P）-a.苫。二("切-(>0)……

（2）名的變換：化蘢或化切

（3）次數(shù)的變換：升、降哥公式

（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。

如:已知sinacosa=八tan(a-p)=,求tan(0-2a)的值。

I-cos2a3

/日sinacosacosa,.I

(由已知得：----；—=------=1,..tana=-

2sin-a2sina2

2_1

???un(-2a)=tan[(-a)-al=叱⑹產(chǎn)=31

P'，LVP7Jl+tan(p-a)-tana"2.1T

32

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

a=2RsinA

b

正弦定理：—b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

（1）求角C：

((1)由已知式得：1-COS(A+B)+2COS2C-1

⑵由正弦定理及a』\卡得:

33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

反正弦：arcsinxG--,—,xG[-1,1

22jL

反余弦：arccosxe[0,兀],xe[-l,1]

反正切：arctanxw,yj,(xGR)

34.不等式的性質(zhì)有哪些?

答案：c

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,beR+)；a+b>2Vab;abW('；求最值時，你是否注

意到“a,bwR-”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a+b)其中之一為定值？(一正、

二定、三相等)

注意如下結(jié)論：

當(dāng)且僅當(dāng)@=b時等號成立。

4

如：若x>0,2-3x-2的最大值為

x-------------

當(dāng)且僅當(dāng)3x=J又x>0,??1=也時，丫3=2-46)

x3

(V2X+22y>2\l2x+2y=2VF,???最小值為2應(yīng))

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

37.解分式不等式齦>a（a。0）的一般步驟是什么？

（移項通分，分子分母因式分解，X的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x-3卜k+1|<1

（解集為卜|x〉g'

41.會用不等式|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|證明較簡單的不等問題

如：設(shè)f（x）=x2—x+13,實數(shù)a滿足|x—a|<l

證明:

(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？(可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題)

如：a<f(x)恒成立oa<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立<=>a>f(x)的最大值

a>f(x)能成立=a>f(x)的最小值

例如：對于一切實數(shù)x,若卜-3|+卜+2|>@恒成立，貝人的取值范圍是

(iSu=|x-3|+|x-t-2|,它表示數(shù)軸上到兩定點-2和3距離之和

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an+i-a。=d(d為常數(shù))，an=a1+(n-l)d

等差中項：x,A,y成等差數(shù)列=2A=x+y

v(a.+an)nn(n-1)

刖n項和S0=<?2'=皿|+I2d

性質(zhì)：｛a0｝是等差數(shù)列

(2)數(shù)列耳時?。鸻2nb｛ka1,+b｝仍為等差數(shù)列;

(3)若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d；

(4)若a_,一是等差數(shù)列Sn,「為前n項和，則黑二期」；

(5)｛aj為等差數(shù)列=Sn=an2+bn(a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二

次函數(shù))

Sn的最值可求二次函數(shù)Sn=ai?+bn的最值；或者求出｛aj中的正、負分界項，即:

a>0

當(dāng)時>0,d<0,解不等式組八一八可得3達到最大值時的n值。

a

ln+l?°

a<0

當(dāng)a|V0,d>0,由彳“八可得Sn達到最小值時的n值。

lan+i>0

如：等差數(shù)列｛a4Sn=18,an+a-i+a-2=3,S3=l,則n=

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

等比中項：x、G、y成等比數(shù)歹ijnG?=xy,或G=±J^

呵（q=1）

前0項和：S”，all-qn）（要注意!）

——1）

1i-q

性質(zhì)：｛aj是等比數(shù)列

（2）S0,S2n-Sn,S3n-S2n仍為等比數(shù)列

45.由Sn求a”時應(yīng)注意K么？

,

（n=l時，at=Sf,n>2IH,an=Sn）

46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

如：｛aj滿足ga1+........+/a“=2n+5<1>

解：

+

n?2時，+-^-a2+.......T7q-an-i=2n-1+5<2>

4JJ

［練習(xí)］

數(shù)列｛明｝滿足Sn+Sm=京向，a1=4,求a”

(注意到az-Sn+「Sn代入得：要三4

n

又加=4,???｛Sj是等比數(shù)列，Sn=4

n>2W,……=3?4~

(2)疊乘法

例如：數(shù)列E｝中，a|=3,咀=，一，求明

ann+1

解：

(3)等差型遞推公式

由a”-a,1=f(n),=a°,求a。，用迭加法

nN2時,a2-a1=f(2)

a3f=f(3).兩邊相加，得：

anf_］=f(n).

［練習(xí)］

數(shù)列｛aj，a1=1,an=3"i+a-](n22),求

（4）等比型遞推公式

an=can_）+dd為常數(shù)，cwO,cwl,dw。）

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)1nT+X）

?Ia”+”-］是首項為％+“一,c為公比的等比數(shù)列

c-11c-I

［練習(xí)］

數(shù)列hn｝滿足a】=9,3an+1+an=4,求a。

(5)倒數(shù)法

例如：aI=1,an+1=^-5-,求a0

a。+2

由已知得：—=^-^=-+—

a2

n+ian2an

為等差數(shù)列，-=1,公差為J

47.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

如：｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，求才」一

k=l*^k^k+l

解：

［練習(xí)］

]

求和:I+-+

1+21+2+31+2+3+

（2）錯位相減法：

若E｝為等差數(shù)列，｛b4為等比數(shù)列，求數(shù)列｛anb“｝（差比數(shù)列）前n項

和,可由Sn-qSn求Sn，其中q為｛%｝的公比。

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

s..=a|+a?++a_,+an

n，相加

Sn=an+ae++a2+a]

［練習(xí)］

畫(x)+f(]=4+與7=

x2

,+U

?,?原式=f(l)+f(2)+f(Jf（3）+《g+f（4）+f（y

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

△若按復(fù)利，如貸款問題一一按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款一一分期等額歸

還本息的借款種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）

后為第一次還款日，如此下去，笫n次還清。如果每期利率為「（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還

x元，滿足

p一一貸款數(shù)，1一一利率，n一一還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

（m1為各類辦法中的方法數(shù)）

分步計數(shù)原理：N=0）1,m2...mn

（mj為各步驟中的方法數(shù)）

（2）排列：從n個不同元素中，任取m（mWn）個元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A）

（3）組合：從n個不同元素中任取m（mWn）個元素并組成一組，叫做從n個不

規(guī)定：C=1

（4）組合數(shù)性質(zhì)：

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問

題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號為1，2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（）

A.24B.15C.12D.10

解析?：可分成兩類：

（1）中間兩個分?jǐn)?shù)不相等，

(2)中間兩個分?jǐn)?shù)相等

相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3,4,3利J???有10種。

?,?共有5+10=15(種)情況

51.二項式定理

C：為二項式系數(shù)(區(qū)別于該項的系數(shù))

性質(zhì)：

(1)對稱性：C：=C7(r=(),1,2,……,n)

(2)系數(shù)和：C：+C：+…+C：=2。

(3)最值：n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第

(5+1)項，二項式系數(shù)為C，；n為奇數(shù)時，(n+1)為偶數(shù)，中間兩項的二項式

系數(shù)最大即第肉」項及第三+1項，其二項式系數(shù)為C3

如：在二項式(x-l)”的展開式中，系數(shù)最小的項系數(shù)為(用數(shù)字表示)

???共有12項，中間兩項系數(shù)的絕對值最大，且為第口=6或第7項

2

由C；X-(-l)"，取r=5即第6項系數(shù)為負值為最?。?/p>

20042

又如：(1-2X)=a0+ajX+a2x+(XGR),則

a0+a,)+(a0+a2)+(a(l+a3)+....+(a0+a20M)=(用數(shù)字作答)

令x=L得：a0+a2+....4-a^=1

原式=2(X)3a0+(a0+a.+....+a^1al)=2(X)3x1+1=2(X)4)

52.你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

(1)必然事件C,P(Q)=1,不可能事件*P(<|))=0

(2)包含關(guān)系：AuB,“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。

（3）事件的和（并）：A+BWcAUB“A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B的和

（并）。

（4）事件的積（交）：A-B或AC1B“A與B同時發(fā)生”叫做A與B的積。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

（6）對立事件（互逆事件）：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立（逆）事件，AAUA=Q,AnA=（|）

(7)獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立

事件。

A與B獨立，A與氐與B,無與m也相互獨立。

53.對某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法，即

A包含的等可能結(jié)果m

(‘一=一次試驗的等可能結(jié)果的總數(shù)一=五

(2)若A、B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)若A、B相互獨立,則P(A?B)=P(A)-P(B)

(4)P(A)=1-P(A)

(5)如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中A恰好發(fā)生

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)從中任取2件都是次品；

(2)從中任取5件恰有2件次品；

(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，???n=103

而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

._?42?6+43_44_

3-10^-125

（4）從中依次取5件恰有2件次品。

解析：:一件一件抽?。ㄓ许樞颍?/p>

分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重史排列問題，（4）是無重亞排列問題。

54.抽樣方法主要有：筒單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，

它的特征是從總體中逐個抽取；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成

若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明

顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

55.對總體分布的估計一一用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方

差去估計總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（2）決定組距和組數(shù):

（3）決定分點；

（4）列頻率分布表；

（5）畫頻率直方圖。

其中，頻率二小長方形的面積=組距義舞

組距

樣本平均值：又小小++xj

2222

樣本方差：s=^(x,-X)+(x2-X)+...+(xt-x)j

如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組

成此參賽隊的概率為

56.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？

（1）向量---既有大小又有方向的量。

（2）向量的?！邢蚓€段的長度，面

(3)單位向量|ao|=I.ao=

（4）零向量6,向=0

長度相等f-

(5)相等的向量oa=b

方向相同

在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。

（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

規(guī)定零向量與任意向量平行。

二〃；色=6）=存在唯一實數(shù)入，使二二3

（7）向量的加、減法如圖：

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一組基底。

（9）向量的坐標(biāo)表示

j是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數(shù)X,y,使得

a=xi+yj,稱（x,y）為向量a的坐標(biāo)，記作：a=（x,y）,即為向量的坐標(biāo)

表示。

57.平面向量的數(shù)量枳

（1）a?b=|a|?啟|cos。叫做向量a與E的數(shù)量積（或內(nèi)積）。

數(shù)量積的幾何意義：

a?$等于|a|與l在a的方向上的射影|b|cosO的乘積。

（2）數(shù)量積的運算法則

-?-?—>—>—>—>

注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a?b)?c*a?(b?c)

(3)重要性質(zhì)：設(shè)a=(xj,yj,b=(x2,y2)

@a/7b<=>a?b=|a|?而或；?b=-|a|?|b|

<=>a=Xb(bwO,九惟一確定)

［練習(xí)］

->->—>-?―>T

(1)已知正方形ABCD,邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c,貝U

答案：

(2)若向量a=(x,1),b=(4,x),當(dāng)乂=時a與匕共線且方向相同

答案：2

(3)已知］g均為單位向量，它們的夾角為60",那么「+3，|=

答案；

58.線段的定比分點

設(shè)R(X1,yj,P2(x2,y2),分點P(x,y),設(shè)P「R是直線/上兩點，P點在

/上且不同于P「P2,若存在一實數(shù)篙使用=九話，則九叫做P分有向線段

港所成的比(九>0,P在線段PF?內(nèi)，入<0，P在PR外)，且

如：AABC,A（xPyj,B（x2,y2）,C（x3,y3）

則AABC重心G的坐標(biāo)是（xT；+、3,.+,+丫3）

※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線〃線＜~~＞線〃面＜~~＞面〃面

—劃定＞線_1_線《——＞線_1_面＜——＞面J■面?性——

線〃線＜__＞線_1_面＜__＞面〃面

線面平行的判定：

a/7b,bu面a,aaana〃面a

線面平行的性質(zhì):

三垂線定理（及逆定理）：

PAJ_j?a,AO為P0在a內(nèi)射影，au面a,則

線面垂直:

面面垂直：

a_L面a,au面pnP-La

面（1_1_面口，aAp=/,aua,a±/=>a±p

a_l_面a,5_1_面。=>2/^

面a_La,面0_Lana〃0

60.三類角的定義及求法

(1)異面直線所成的角0,0°<0<90°

(2)直線與平面所成的角0,0°<0W90°

(3)二面角：二面角a-/-。的平面角0,0°<0<180°

(三垂線定理法：A￡a作或證AB_LB于B,作BO_L棱于O,連AO,則人0_1棱/,

，NAOB為所求。)

三類角的求法：

①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。

③計算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。

［練習(xí)］

(1)如圖，OA為a的斜線OB為其在a內(nèi)射影，OC為a內(nèi)過O點任一直線。

（0為線面成角，ZAOC=ZBOC=p）

（2）如圖，正四棱柱ABCD—AIBIGDI中對角線BDi=8,BDi與側(cè)面&BCG所成的

為30°。

①求BDi和底面ABCD所成的角；

②求異面直線BD（和AD所成的角;

③求二面角C）—BD1-B）的大小。

（3）如圖ABCD為菱形，/DAB=60°,PD_L面ABCD,且PD=AD,求面PAB與

面PCD所成的銳二面角的大小。

（VAB//DC,P為面PAB與面PCD的公共點，作PF〃AB,則PF為面PCD與面PAB

的交線……）

61.空間有幾種距離？如何求距離？

點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法,

或者用等積轉(zhuǎn)化法）。

如:正方形ABCD—AIBIGDI中，棱長為a,則：

（1）點C到面ABiG的距離為

（2）點B到面ACB.的距離為；

（3）直線AQi到面ABiG的距離為:

（4）面ABC與面AQG的距離為；

（5）點B到直線A.Ci的距離為0

62.你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱一一底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐一一底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

RtASOB,RtASOE,RtABOE和RtASBE

它們各包含哪些元素？

S正極錐側(cè)=：C?h'（C——底面周長，h'為斜高）

=g底面積X高

63.球有哪些性質(zhì)？

（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r=A/R2-C12

（2）球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角!

（3）如圖，。為緯度角，它是線面成角；a為經(jīng)度角，它是面面成角。

⑷S，”4欣2,VJ"?R3

（5）球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之

比為R：r=3：Io

如：一正四面體的棱長均為五，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為（）

A.3兀B.4HC.兀D.6兀

答案：A

64.熟記下列公式了嗎？

（1）/直線的傾斜角aw[0,兀），k=tana=———y?x1*x2J

P|（X|,yj,Pz（x2，y2）是,上兩點,直線/的方向向量a=（1,k）

（2）直線方程：

點斜式：y-y0=k（x-x0）（k存在）

斜截式：y=kx+b

截距式：-+^=1

ab

一般式：Ax+By+C=0（A、B不同時為零）

（3）點P（x0,y。）到直線/：Ax+By+C=0的距離d=的展奧士9

VA2+B2

（4）人至必的到角公式：tanO=莖二1

1-kH

4與4的夾角公式：⑶[9=k2a

65.如何判斷兩直線平行、垂直？

A,B=A,B

2)>=/i〃4

AJC2WA,C)

k1=k2(反之不一定成立)

A,A2+B,B2=00/)±/2

66.怎樣判斷直線/與圓C的位置關(guān)系？

圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。

67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置.？

聯(lián)立方程組=>關(guān)于x（或y）的一元二次方程=

△>0u>相交；^二。。相切；AvOo相離

68.分清圓錐曲線的定義

橢圓o|PFj+|PF2|=2a,2a>2c=|F,E|

第一定義,雙曲線=|PFj-|PF2b2a,2a<2c=|F,E|

拋物線=PF|=|PK|

第二定義：e=^=￡

|PK|a

0<e<lo橢圓；e>lo雙曲線；e=lu>拋物線

69.與雙曲線*7=1有相同焦點的雙曲線系為5-"7=九(入W0)

70.在圓錐曲線與直線聯(lián)M求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數(shù)是否為零？

△20的限制。(求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△》()下進行。)

22

弦長公式RP2I=^(l+k^(+x2)-4X(X2]

71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？

如:

通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者；以焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

72.有關(guān)中點弦問題可考慮用“代點法”。

如：橢圓mx?+ny2=I與直線y=l-x交于M、N兩點，原點與MN中點連

線的斜率為零，則蟲的值為

2n--------

答案：

73.如何求解“對稱”問題？

(1)證明曲線C：F(x,y)=0關(guān)于點M(a,b)成中心對稱，設(shè)A(x,y)為曲線

C上任意一點，設(shè)A，(X、y')為A關(guān)于點M的對稱點.

(由a=x：x,_j,x'_2a-x,y'=2b-y)

只要證明A〈2a-x,2b-y）也在曲線（2上，即f（x'）=y'

AA'±/

（2）點A、A，關(guān)于直線/對稱oJ

AA，中點在/上

ojk&v?k/=-l

[AA，中點坐標(biāo)滿足/方程

v=rccsQ

74.圓乂2+丫2=產(chǎn)的參數(shù)方程為-（。為參數(shù)）

y=rsinG

丫22Y-QCCSA

橢圓/營=|的參數(shù)方程為isin。（9為參數(shù)）

75.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。

（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）

76.對線性規(guī)劃問題：作出可行域，作出以口標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線,

求出目標(biāo)函數(shù)的最值。

高考數(shù)學(xué)課本知識點分布

1.研究集合問題時，一定要抓住集合的代表元素。

2、在應(yīng)用條件AUB=B,AnB=A,AU5時，忽略A為空集的情況，不

要忘了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解。

3、幾種命題的真值表、四種命題、充要條件的概念及判斷方法。

4、映射與函數(shù)的概念了解了嗎？映射f:A-B中，你是否注意到了A

中元素的任意性和B中與它對應(yīng)的元素的唯一性。

5.求不等式（方程）的解集，或求定義域時，你按要求寫成集合形式

了嗎？

6、求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，你注明函數(shù)的定義域

了嗎？

7、求一個函數(shù)的反函數(shù)的解題步驟是什么？函數(shù)和反函數(shù)的定義域與

值域的對應(yīng)關(guān)系你明確了嗎？

8、在求解與函數(shù)有關(guān)的問題時，你是否突出了〃定義域優(yōu)先”的原則.

9、判斷函數(shù)的奇偶性時，忽略檢驗函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。

10.求函數(shù)單調(diào)性時，錯誤地在各個單調(diào)區(qū)間之間添加符號"U"和

〃或〃。

11,函數(shù)單調(diào)性的證明方法是什么？

12、特別注意函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的逆用（①比較大?、诮獠坏仁舰?/p>

求參數(shù)范圍）

13.三個二次（那三個二次？）的關(guān)系和應(yīng)用掌握了嗎？如何利用二次

函數(shù)求最值，注意到對二次項的系數(shù)和對稱軸位置的討論了嗎？

14.特別提醒：二次方程ax［拈彳+c=。的兩根為不等式

ax'+K+c<。解集的端點值，也是二次函數(shù)y=ax，W+c的圖像

與x軸交點的橫坐標(biāo)。

15,不等式+"+?>c（c>°）的解法掌握了嗎？

16.研究函數(shù)問題準(zhǔn)備好〃數(shù)形結(jié)合〃這個工具了嗎？

17.函數(shù)圖象的平移、方程的平移以及點的平移易混，應(yīng)特別注意：

(1)函數(shù)圖象的平移為〃左+右?，上+下?〃

(2)方程表示圖形的平移為〃左+右-,上-下+〃

(3)點的平移公式：點P(x,y)按向量之二(31<)的平移得到

則

P(x,y)x=x+hfy=y+k

18以下結(jié)論你記住了嗎?

(1)如果函數(shù)滿足f(x)=f(2a-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=a

對稱。

(2如果函數(shù)滿足f(x)=-f(2a-x)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)

對稱。

(3)如果函數(shù)的圖像同時關(guān)于直線x=a和x=b對稱，那么函數(shù)f(x)

為周期函數(shù)，周期為T=2b-N

(4)如果函數(shù)f(x)滿足f(x-a)=f(x-b),那么函數(shù)f(x)為周

期函數(shù)，周期為T=T二…

19、恒成立問題不要忘了〃主參換位”及驗證等號是否成立。

20.解分式不等式應(yīng)注意什么問題？（不能去分母，常采用移項求解）

21、解對數(shù)不等式應(yīng)注意什么問題？（化同底，利用單調(diào)性.底數(shù)和真

數(shù)大于0且底數(shù)不為1）

22、會用不等式同小歸口士b|』a|+|b|解（證）一些簡單問題。

23、利用基本不等式求最值時，易忽略其使用條件，驗證"三點”是

否成立。

24.函數(shù)y=x+—x（3p>0）的圖像及單調(diào)區(qū)間掌握了嗎？如何利用它求

函數(shù)的最值？與利用不等式求函數(shù)的最值的聯(lián)系是什么？

25導(dǎo)數(shù)的定義還記得嗎？它的幾何意義和物理意義分別是什么？利用

導(dǎo)數(shù)可解決哪些問題，具體步驟是什么？

26.常見函數(shù)的求導(dǎo)公式及和、差、積.商的求導(dǎo)法則你都熟記了嗎？

27.”函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0〃是否會靈活應(yīng)用？

28、在分類討論時，分類要做到“不重不漏，層次分明，進行總結(jié)〃。

29.重要不等式是指哪幾個不等式，由它可以推出的不等式鏈?zhǔn)鞘裁矗?/p>

30,不等式證明的基本方法都掌握了嗎？（比較法.分析法、綜合法、

數(shù)學(xué)歸納法）

31.求數(shù)列通項公式時，一定單獨考慮n=l的情景。

32.等差.等比數(shù)列應(yīng)用定義式：14”）要重視條件

*2。

33.求等比數(shù)列前n項和時，要注意q=1和＞1兩種情況。

34數(shù)列求通項有幾種方法？數(shù)列求和有幾種常用的方法？

35.求通項中的疊加（疊乘）法.遞推法你掌握了嗎？

36極限兜//存在時，q滿足什么條件？。

37.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時，一要注意步驟齊全二要注意從n=k到n=k=I

過程中應(yīng)先用歸納假設(shè)，在靈活應(yīng)用比較法，分析法等其他數(shù)學(xué)方法。

38、利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)值的大小要熟練掌握。

39.求涉及三角函數(shù)線的定義域千萬不要忘記三角函數(shù)本身的定義域。

40.利用三角函數(shù)線和圖像解三角不等式是否熟練。

41.求三角函數(shù)在定義區(qū)間上的值域，一定要結(jié)合圖像。

42、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要注意x的系數(shù)的正負，最好經(jīng)過變形使x

的系數(shù)為正。

43、求y=cos5的周期，一定要注意。的正負。