現(xiàn)代控制系統(tǒng)第十二版課后習(xí)題6章答案

第6章線性反饋系統(tǒng)的稔定性

基礎(chǔ)練習(xí)題

E6.1某系統(tǒng)的特征方程為s3+Kd+(l+K)s+6=0,試確定K的取值范圍，以便保證該

系統(tǒng)穩(wěn)定0

1K+\

2

5K6,K(K+\)-6

【解析】勞斯判定表為?其中」—。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則需K>0

5b0

6

且〃>0。因此，運(yùn)用〃〉0的條件可得K2+K-6>0解得K>2或K<—3。

因?yàn)镵>0,所以K>2.

E6.2某系統(tǒng)的特征方程為I+10S2+2S+30=(),試?yán)脛谒?赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)證明,

該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的°

12

1030

【解析】勞斯判定表為11C,因?yàn)榈谝涣性氐耐踟?fù)號(hào)變化了兩次所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

-10

5°30

E6.3某系統(tǒng)的特征方程為/+1()$3+32/+37S+20=(),試?yán)脛谒?赫爾維茨穩(wěn)定性判

據(jù)確定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

s413220

s31037

【解析】勞斯判定表為S?28.320,根據(jù)勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,

S129.9

5°20

即第一列中的所有元素都為正。

E6.4某控制系統(tǒng)的框圖如圖E6.4所示,試確定將會(huì)導(dǎo)致該系統(tǒng)失穩(wěn)的增益K的取值范圍°

圖E6.4前饋系統(tǒng)

-K（s-2）

【解析】閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為7(。二因此特征方程為

/+5/+（4-K）s+2K

4-K

52K

s3+5/+(4—K)s+2K=0,勞斯判定表為，其中

sb0

s°2K

,5(4-K)-2K20-7K

b=-^-j——=---。要使系統(tǒng)穩(wěn)定則需使K>0且〃>0。因此，使系統(tǒng)穩(wěn)定的

K的范圍為()<K<2()/7。

E6.5某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為"s)=其中，K=20,試

(s+l)(s+3)(s+6)

求該系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。

K

【解析】閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為T(s)=,當(dāng)K=20時(shí)，特征方程

$3+10s~+27s+18+K

的根為$L2=T-56±/L76,*=-6.88。

E6.6繼續(xù)考慮習(xí)題E6.5中給出的反饋系統(tǒng)，若該系統(tǒng)在虛軸上有兩個(gè)特征根，試確定K的

取值，并求出與此對(duì)應(yīng)的三個(gè)特征根。

【解析】當(dāng)K=252時(shí)，特征方程的根在虛軸上。根為與2=±/5.2,邑二T0。

E6.7某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(zhǎng)(s)="號(hào)

s(sT)

(a)當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)為q=0.707時(shí)，求增益K的值。

(b)當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)在虛粕上有兩個(gè)特征根時(shí)，求增益K的值。

【解析】(a)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+G”(s)=1+*{+?=0,即

Ms—)

$2+(K—1)S+2K=0,貝Ijq=7^,2g〃)“=K-l,苴中,=0.707.因此，

2閨式1即用偏J

且K2—6K+l=0。解得K=5.83或

K=0.17。若使系統(tǒng)穩(wěn)定需使K>1,故K=5.83。

(b)當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有兩個(gè)特征根時(shí)，K=l,且.2=±八石。

E6.8工程師們發(fā)明了一種小型戰(zhàn)斗機(jī)它能夠快速機(jī)動(dòng)，垂直起飛，且不會(huì)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)(即

隱形飛機(jī))。這種戰(zhàn)斗機(jī)采用快速轉(zhuǎn)動(dòng)的噴管來(lái)控制航向，其航向控制系統(tǒng)如圖E6.8所示。

試確定能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定的最大增益值。

丫⑶

R⑸

航向

圖E6.8隱形飛機(jī)航向控制系統(tǒng)

【解析】閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為S3+20S2+(100+K)S+20K=0,對(duì)應(yīng)的勞斯判定表為

1(10()+K)

2020K,20(100+K)-20K20(100)

,其中方二=100。因此，K>0時(shí)系

b2020

20K

統(tǒng)穩(wěn)定O

E6.9某系統(tǒng)的特征方程為/+2/+(K+1)S+8=。試確定K的取值范圍，以便保證系統(tǒng)

穩(wěn)定。

1K+l

e228

【解析】特征方程為￡3+2S2+(K+1)S+8=O,勞斯判定表為:?！渲?/p>

b

8

6/(K+l)-8

=K-3,令人=0,則K—3=0,即K>3。

2

E6.10人類通過眼睛和耳朵來(lái)保持平衡。人體中的方位系統(tǒng)可以使自己準(zhǔn)確穩(wěn)定地靜坐或站

立在預(yù)期位置上，即使是在運(yùn)動(dòng)過程中，方位系統(tǒng)也能使人準(zhǔn)確地定位。方位系統(tǒng)所需要的

基本信息主要來(lái)自于內(nèi)耳其中半圓溝負(fù)責(zé)敏感角加速度信息,耳石負(fù)責(zé)敏感線加速度信息,

而且這些加速度信息還需要用視覺信息加以補(bǔ)充。試做下面的試驗(yàn)：

(a)一腳在前，一腳在后站立，雙手放在臀部，雙肘朝外。

(b)閉上雙眼。

閉上雙眼之后,是否感覺到身體在做低頻振蕩,而且這種振蕩還會(huì)不斷加強(qiáng)，直至失去平衡？

閉上雙眼之前，是否也存在這一現(xiàn)象？試據(jù)此判斷，在閉上雙眼之前和之后，方位系統(tǒng)是否

都能穩(wěn)定工作？

【解析】眼睛睜開時(shí)穩(wěn)定，眼睛閉上時(shí)不穩(wěn)定。

Y(s)24(s+l)

E6.ll某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為弓Y=試確定系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)

R(s)/+6?+2?+5+3

誤差，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

【解析】系統(tǒng)不穩(wěn)定，極點(diǎn)為當(dāng)=一5.66,52=-0.90,邑,4=0.28±/0.714。

EG12某系統(tǒng)具有二階特征方程-十心十〃=0其中，。和〃均為常數(shù)。試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的充

131.2567.7515

55961.2514.75

s424.4466.1115

定。勞斯判定表為一31.9099.22730,輔助方程為60/+15=0,求解輔助

r6015

00

方程得到兩個(gè)根為”2=±川.5。在計(jì)算了一行零后，勞斯陣列驗(yàn)證了系統(tǒng)在右半平面中沒

有極點(diǎn)。

E6.16某系統(tǒng)的特征方程為9(s)=T+9/+45/+875+50=0

(a)利用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(b)求特征方程的根。

4550

987

【解析】勞斯判定表為/35.335(),系統(tǒng)穩(wěn)定。特征方程的根為.2=-3±』4,

74.260

50

01-1

E6.17某系統(tǒng)狀態(tài)變量模型的系統(tǒng)矩陣為A=-8-128

-8-125

(a)確定系統(tǒng)的特征方程。

(b)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(c)求特征方程的根。

【解析】特征方程為一+7/+365+24=0,系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的根為0.77,

s?3=-3.12±4.64/o

E6.18某系統(tǒng)的特征方程為^(5)=?+20s2+5.5+100=0

(a)利用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(b)求特征方程的根。

【解析】特征方程的根為*=-20,523=±72.240系統(tǒng)基本穩(wěn)定，勞斯判定表為

/15

/20100,

I八c,輔助方程為20$2+100=0,根為5=±/2.24。故系統(tǒng)的根為s=±〃.24°

s00

5°

根據(jù)勞斯判據(jù)(在計(jì)算了一行零后)驗(yàn)證沒有極點(diǎn)位于右半平面。

E6.19考慮如下三個(gè)特征方程，試分別判斷所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(a)?+4?+65+l(X)=0(b)/+6?+10r+175+6=0

(c)s?+6s+3=0

【解析】(a)不穩(wěn)定；(b)穩(wěn)定；(c)穩(wěn)定。

E6.20試求下列特征方程的根：

(a)?+5/+85+4=0(b)?+9?+275+27=0

【解析】(a)根為近2=-2,S3=7；⑻根為4,2,3=一3。

E6.21某系統(tǒng)的特征方程為9(S)=S3+10S2+2%+K=。若將虛軸向左平移兩個(gè)單位，即

令5=%-2,試確定增益K的取值，使得原方程有共輕復(fù)根$=-2±/。

【解析】特征方程為(S〃—2)3+10(S“—2)2+29(S〃—2)+K=0,即

-11

24K-26

S]+4S：+L-26+K=0。勞斯判定表為,30—K八.如果K=30,則輔助方程

J4

5K-26

為4s：+4=。，即s“二士，。因此，s=s”-2即$=-2±/。

E6.22某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為y(s)/R(s)=7(s)=\/s0

(a)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(h)如果輸入r(r)為單位階躍信號(hào)，試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(r)。

【解析】系統(tǒng)不穩(wěn)定，單位階躍的輸出響應(yīng)為斜坡信號(hào)=

-010-

E6.23考慮式(6.22)所示的狀態(tài)變量系統(tǒng)，其系統(tǒng)矩歸為4=001試確定k的

-8-k-4

取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

1

§248

【解析】特征多項(xiàng)式為$3+4/+抬+8=0,勞斯判定表為|4&一8,所以K>2時(shí)系

4

8

統(tǒng)穩(wěn)定。

-01o-

x=Ax+Bu

E6.24某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為尸以+。〃其中‘A=001M

-k-k-krl

C=[l00],D=[0]

（a）試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

（b）試確定Z的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

【解析】傳遞函數(shù)為

s-100

G(s)=C(sI-A「B+D=[l00]0s-10

kks+k1

s2+ks+ks+k0

=[100]-ks2+ks0

2△($)

-ks-ks-k

其中△（5）=/+62+公+&。因此，傳遞函數(shù)為G（S）=勞斯判捱表為

53+ks2+ks+k

左>1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

E6.25考慮圖E6.25所示的閉環(huán)反饋系統(tǒng)，試確定參數(shù)K和〃的取值范圍，以便保證近環(huán)系

統(tǒng)穩(wěn)定。

圖E6.25閉環(huán)系統(tǒng)，參數(shù)K和p可調(diào)

Ks+1

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為7（s）=,因此，特征方程為

S2(5+〃)+Ks+l

K

s3+ps2+Ks+\=O,勞斯判據(jù)表為:p1

,當(dāng)〃〉0且〃K—1>0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)

(pK-1)/p

?0I

定。

E6.26考慮圖E6.26所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其中受控對(duì)象G(s)和控制器G,(s)分別為

'7s-i0'72s+K

(a)試求閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。

(b)試確定K的取值范圍，以便保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖E6.26閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，參數(shù)K可調(diào)

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為小)=2八-2；篙07?！ㄒ虼恕卣鞣匠虨?/p>

52210-10/C

2s2+(K-20)S+10-1()K=(),勞斯判據(jù)表為51K—20,當(dāng)K>20且

10-10/C

K<1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，對(duì)于所有K>0,系統(tǒng)均不穩(wěn)定，因?yàn)樵鲆鍷不能同時(shí)大于20

小于lo

一般習(xí)題

P6.1考慮下列特征多項(xiàng)式：

(a)s2+5^+2(b)?+45-2+85>+4

(c)/+2s~—6s+20(d)544-?+252+125+10

(e)s'+s'+3s~+2s+K(f)55+/+2?+5+6

(g)s'+s4+2,/+s~+s+K

利用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，分別分析它們的穩(wěn)定性。當(dāng)這些特征多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的特征方

程在s右半面有根時(shí)，試確定位于s右半面的根的個(gè)數(shù)。就包含參數(shù)K的多項(xiàng)式而言，試進(jìn)

一步確定K的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

12

【解析】(a)勞斯判定表為小50,第一列的每個(gè)元素都是正的，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

5°2

8

⑹勞斯判定表為；44

第一列的每個(gè)元素都是正的，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

70

『4

(c)因?yàn)樗邢禂?shù)必須具有相同的符號(hào)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，在右半平面有兩個(gè)根。

/I210

120

(d)勞斯判定表為--10100,第一列元素的符號(hào)改變了兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，在

51130

5°10

右半平面有兩個(gè)根。

/13K

/120

(e)勞斯判定表為52IK,當(dāng)0<K<2時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

512-K0

5°K

(f)由于『的系數(shù)為0,系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。在右半平面有兩個(gè)根。

12I

11K

\-K

(g)勞斯判定表為：，當(dāng)K>()且K<0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定,因此此系統(tǒng)不穩(wěn)定。

KK

-K0

,0K

P6.2習(xí)題P4.5曾經(jīng)分析了大型天線的控制系統(tǒng)，并得出了如下結(jié)論：為了戒小風(fēng)力干擾的

影響，應(yīng)該使得放大器增益尤盡可能大。

(a)試確定增益3的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(b)假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的復(fù)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)，且系統(tǒng)的預(yù)期調(diào)節(jié)時(shí)間為1.5s,試應(yīng)用平移虛

軸方法和勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，確定能夠滿足要求的增益心的取值。并說明

在這種情況下，復(fù)極點(diǎn)能否有效地主導(dǎo)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

【解析】(a)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為<+27.88/+366.4『+1500s+1500勺=0,勞斯判據(jù)表

366.41500勺

$327.881500

為s?312.61500幺,其中方二15()0-133.78(,根據(jù)勞斯判據(jù)，當(dāng)〃〉0且

?b

?15002

1500燈>0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此0<總<11.21。

4

(b)7；=1.5=——，則“。”=2.67,因此，將軸移動(dòng)s=”-2.67,則

肛

42

(%-2.67)+27.88(s0-2.67)'+366.4(s0-2.67)+15(X)(50-2.67)+150(%

=s：+17.2s：+185.85s：+63.55%—1872.8+1500Z”

541185.851500^-1872.8

$317.263.55

勞斯判據(jù)表為-182.161500^-1872.8.其中

51b

?1500^-1872.8

b=240.38一141.63勺，當(dāng)〃>0且1500(-1872.8>0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定,因此1.25<ka<1.69°

P6.3電弧焊是工業(yè)機(jī)器人最重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一。在很多實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，由于工件的尺寸偏

差、焊接線的幾何形狀及焊接過程本身的誤差等原因，可能將導(dǎo)致焊接點(diǎn)燒結(jié)起球或虛焊。

因此，需要為機(jī)器人配置合適的傳感器，以便保證焊接質(zhì)量。如圖P6.3所示，在該焊接系

統(tǒng)中，焊條的熔化速度保持恒定，并采用計(jì)算機(jī)視覺系統(tǒng)來(lái)監(jiān)測(cè)金屬燒結(jié)體的幾何形狀。

(a)確定能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的最大值。

(b)當(dāng)K取(a)所得結(jié)果的1/2時(shí)，求解特征方程的根。

(c)在(b)所得結(jié)果的基礎(chǔ)上，估算系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量,

預(yù)期的燒結(jié)體

燒結(jié)體直徑的直徑

圖P6.3焊接控制

［解析］⑸G(S)=(，+K)(O.5S+>")=麗三T'閉環(huán)傳遞函數(shù)為

K(0.005s+1)

T(s)0.0025/+0,5125s3+2,52s2+4.015+2+AT,因此特征方程為

0.0025/+0.5125?+2,52?+4.0Is+2+K=0,勞斯判據(jù)表為

s40.00252.522+K

/0.51254.010

522.502+K,故當(dāng)-2<K<17.6時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

M3.6-0.205A：0

5°2+K

(b)K=9時(shí)特征方程的根為s[=—200,52J=-0.33±2.23；,%=Y.350

假設(shè)復(fù)根占優(yōu)勢(shì)，阻尼比為[=0.15。因此，超調(diào)量為P.O.=100e-"3=62%。

實(shí)際超調(diào)量為27%,因此假設(shè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)占主導(dǎo)地位并不會(huì)導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

P6.4考慮圖P6.4所示的反饋控制系統(tǒng)，其中控制器G,(s)和受控對(duì)象G(s)分別為

G<(s)=K,G(s)=s；不：反饋回路的傳遞函數(shù)為H(s)=l/(s+20)

(a)確定K的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(b)確定K的取值，使得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，并計(jì)算系統(tǒng)的虛根。

(c)當(dāng)增益K取(b)所得結(jié)果的1/2時(shí)，分別利用這兩種方法分析系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性：

(1)移動(dòng)虛軸和勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),(2)估計(jì)特征根在s平面的位置。并

證明，系統(tǒng)的根位于-1和-2之間。

R(s)Y(s)

圖P6.4非單位反饋系統(tǒng)

【解析】(a)閉環(huán)特征方程為l+G"(s)=M瑞抵T。.即

120()+K

3040K

32

5+30s+2005+K5+40K=0,勞斯判據(jù)表為，,因此要使系統(tǒng)穩(wěn)

200——

3

乙0K

定需滿足200—4>0且40K>0,故0<K<600°

3

(b)K=600時(shí)輔助方程為30s2+4O(6(x))=O即$2+800=0。輔助方程的根為

s=±J28.3。

(c)令K=^=300,為了移動(dòng)軸，首先定義So=s+1。將5=5。-1代入特征方程的得

到(%—1)3+30(-1)2+500(%-1)+12000=4+27學(xué)+443%+11529,勞斯判據(jù)表

1443

2711529

八.第一列所有的元素都為正，因此所有的根都位于s=T的左邊。

16

5011529

將s=%-2重復(fù)上述過程得到s；+24s：+392%+10992=0,勞斯判據(jù)表為

392

2410992

八，第一列元素符號(hào)變化兩次，即有兩個(gè)根位于，=-2的右邊。綜上所述

-66

010992

有兩個(gè)根位于$=-1和s=-2之間。特征方程的根為耳二-27.6250,

j23=-1.1875±20.8082；?？梢钥闯?23=-1.1875±20.8082；這兩個(gè)根確實(shí)位于

5=-1和5=-2之間。

P6.5考慮三個(gè)控制系統(tǒng)，其特征方程如下：

(a)53+3?+45+2=0(b)/+953+3052+425+20=0

(c)?+19?+1105+200=0

試分別利用下列兩種方法分析這些系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性：(1)移動(dòng)虛軸和勞斯-赫爾維茨穩(wěn)

定性判據(jù)，(2)估計(jì)復(fù)特征根在s平面的位置。

【解析】(a)根據(jù)特征方程可計(jì)算出特征根為電=-1,邑.3=-1±/。

(b)特征方程的根為環(huán)二-1,邑=一2,$3.4=-3±力。

(c)特征方程的根為［二-4,5=-5,

253=-10O

P6.6考慮圖P6.6所示的單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為

(a)G，(s)G(s)=(b)Ge(s)G(s)=——-----------------

s-(s+l)c\，'，5p+1052+355+50)

(s+2)(s+3)

(c)G(s)G(s)=

s(s+4)(s+6)

試通過估計(jì)閉環(huán)特征根在s平面的位置，分析這些反饋系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

圖P6.6單位反饋系統(tǒng)

【解析】⑸特征方程為l+G(s)=0即$3+/+10$+2=(),特征根為。=—0.2033,

*3=-03984±J3.ll12o

(b)特征方程為f+10/+354+50s+24=0,特征根為丁=-1,s2=-2,53=-3,

(c)特征方程為/+1卜2+295,+6=0,特征根為4=-0.2258,52=-3.8206,

%=—6.95360

P6.7某相位檢測(cè)器(鎖相環(huán))的線性模型如圖P6.7所示。鎖相環(huán)的作用在于使壓控振蕩器

的輸出與輸入載波信號(hào)保持相位同步。鎖相環(huán)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于彩色電視機(jī)、導(dǎo)彈跟蹤和太空

望遠(yuǎn)鏡等系統(tǒng)中。在某個(gè)具體應(yīng)用中，鎖相環(huán)中的濾波器傳遞函數(shù)為

F(5)=嗎+1。)當(dāng)相位的變換規(guī)律為斜坡信號(hào)時(shí),我們希望系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差盡

(5+l)(5+l(X))

可能小。

(a)確定增益K&K=K、.的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(b)假定系統(tǒng)的指標(biāo)設(shè)計(jì)要求為，當(dāng)斜坡輸入信號(hào)的變化率為100rad/s時(shí)，系統(tǒng)鈍穩(wěn)態(tài)

誤差為「。選擇增益的合適取值，使得系統(tǒng)性能滿足這個(gè)指標(biāo)設(shè)計(jì)要求，并計(jì)算

此時(shí)的系統(tǒng)特征根。

圖P6.7鎖相環(huán)系統(tǒng)

【解析】(a)閉環(huán)特征方程為一+10k2+(]0G+[0KK“)S+1OOKK“=O,勞斯判據(jù)表為

J1100+10KK”

$2101100KK,910

“，其中。=100+-7/儲(chǔ)＞0。要使系統(tǒng)穩(wěn)定則需有KK〃〉0。

sb101

s°100KK,

跟蹤誤差為(鑼

(b)e(s)=lims(l-Ts))^=要使石=0.01745,故

sKK,1

KK0>=5729°當(dāng)KKa=5729,特征多項(xiàng)式的根為*=TO.15

Cv-/?VzJL，iJ

523=—45.43±,233.25。

P6.8工程師們?cè)O(shè)計(jì)了一種新型的輪椅速度控制系統(tǒng)。配置了這種新型速度控制系統(tǒng)之后，頸

部以下有殘障的人_L,也能白行駕駛電動(dòng)輪椅。該系統(tǒng)在輪椅乘坐者的頭盔上，以90的問

隔安裝了4個(gè)速度傳感器，分別用來(lái)接受來(lái)自前、后、左、右的4個(gè)方向的指令，頭盔傳感

系統(tǒng)的輸出與頭部運(yùn)動(dòng)的幅度成正比。該控制系統(tǒng)的框圖模型如圖P6.8所示，其中時(shí)間常

數(shù)分別為巧=0.5s,j=合和q=l/4so

（a）確定K=（K2K3的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

（b）當(dāng)K的取值是使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的臨界值的1/3時(shí)，分析系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間（按2%準(zhǔn)

則）是否小于4s。

（c）選擇增益K的合適取值，使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間等于4s,并計(jì)算此時(shí)的系統(tǒng)特征根。

預(yù)期實(shí)際

速度速度

圖P6,8輪椅速度控制系統(tǒng)

【解析】（a）閉環(huán)特征方程為1+----------幺7——r=0,即

（0.5s+1）（s+1）—5+1j

114

c21'UK）其中

?+7?+145+8（1+/C）=0O勞斯判據(jù)表為:

sb

?08（1+K）

,7（14）-8（1+K）.\

b='）；——。要使系統(tǒng)穩(wěn)定則需滿足8>0且8（l+K）>0,因此-lvKvll.25。

1125337

（b）令長(zhǎng)=1^=3.75,則閉環(huán)傳遞函數(shù)為T（s）二,二：.一—―,階躍輸入的調(diào)

37<+7r+145+38

節(jié)時(shí)間為］?6s<>

4

（c）要使7；=4s,則7；=4=——即我們期望的特征多項(xiàng)式為

（5+租/+2雙$+說）=$3+（2+6）$2+（a+2/?）s+b<y：。

實(shí)際的特征多項(xiàng)式為S3+7/+14S+8（1+K）=（）,對(duì)比實(shí)際和期望特征多項(xiàng)式的系數(shù)，可

得2+人=7,^；+2/?=14,b3；=8（l+K）,解得人=5,q=2,K=i.5o

實(shí)際的調(diào)節(jié)時(shí)間為（-4.17除由于在s=-5處有附加極點(diǎn)，故這不是我們期望的調(diào)節(jié)E寸間。

閉環(huán)極點(diǎn)為山=-5,523=-1±1.73JO

P6.9盒式磁帶存儲(chǔ)器是一種大容量的存儲(chǔ)裝置，在記錄和讀取數(shù)據(jù)時(shí)，必須精確地控制磁帶

的運(yùn)行速度。磁帶驅(qū)動(dòng)器的速度控制系統(tǒng)如圖P6.9所示。

(a)確定增益K的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(b)確定增益K的合適取值，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量約為5%o

的

轉(zhuǎn)速

圖P6.9磁帶驅(qū)動(dòng)器控制系統(tǒng)

10K

【解析】(a)閉環(huán)特征方程為1+677(5)=1+7---------------r，即

(s+100](s+20y

144(X)

2

53+140s2+44005+40CO0+\0K=0,勞斯判據(jù)表為,14040000+1OK

sb

40000+1OK

140(4400)-(40000+10/C)

其中〃二o第一列的元素需均為正.系統(tǒng)穩(wěn)定，即

-4000<AT<57600o

(b)期望的特征多項(xiàng)式為

(s+/?)(?+1.38^5+明=/+(]3婀+Z?)/+同+1.3843s+bi￡,其中運(yùn)用了

G=0.69來(lái)使超調(diào)量達(dá)到5猊實(shí)際的特征多項(xiàng)式為?+140.52+44005+40000+10/C=0,

求實(shí)際和期望特征多項(xiàng)式系數(shù)的等式可得6=104.2,例=25.9,K=3003。因此，合適

的增益K=3003。

P6.10機(jī)器人在執(zhí)行制造和裝配任務(wù)時(shí)，必須能夠快速準(zhǔn)確地完成各種操作。其中，某型直

K(s+10)

接驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的開環(huán)傳遞函數(shù)近似為G(s)”(s)=

S(S+3)J+4S+8)

(a)選擇增益K的合適取值，使得系統(tǒng)響應(yīng)處于振蕩狀態(tài)(即臨界穩(wěn)定)。

(b)在(a)中所求K值的基礎(chǔ)上，求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。

【解析】⑸閉環(huán)特征方程為S4+7S3+20S2+(24+K)S+10K=0,勞斯判據(jù)表為

2010K

724+K0116—K)(24+K)―70K

116-K

1()K,其中6=^-7/乙--------.令b>0,即

Ilo-A

b<7；

,0

10/C

2784-398K-K2>O,

-404.88<^<6,876O

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需有K<116且K>00綜上所述，0<K<6.876。

(b)當(dāng)K=6.876時(shí)，根為“2=-3.5±1.63,，534=±2.1;o

P6.ll某反饋控制系統(tǒng)的特征方程為s3+(l+K)s2+10§+(5+15K)=0其中，K>0。試

確定系統(tǒng)失穩(wěn)之前K的最大取值，此時(shí)系統(tǒng)輸出將出現(xiàn)持續(xù)振蕩，試求系統(tǒng)輸出的振蕩頻

率。

110

$21+K5+15K

【解析】由特征方程可得勞斯判據(jù)表為、，其中

Sb

5°5+15K

(l+K)l()-(5+15K)_5-5K

u=----------------------------------=--,--由----于---K>0,且要使系統(tǒng)穩(wěn)定則需有5—5K>0,即

\+K1+K

當(dāng)K=1時(shí)，輔助方程為2卡+20=(),根為s=±/JI6。所以系統(tǒng)的振蕩頻率為

\/\()rads/sec。

P6.12某系統(tǒng)具有三階特彳工方程：/+a/+歷+c=。其中，“，人和。均為常數(shù)。試確定

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，并說明能否只通過考察其特征方程的系數(shù)，來(lái)判斷三階系統(tǒng)的穩(wěn)

定性。

Ib

3

ac

c2

【解析】特征方程為$3+"/+加+。=0,故勞斯判據(jù)表為:ab-c,要使系統(tǒng)穩(wěn)定,

需有。>0,ab-c>0,且c>0。

當(dāng)。>0且c>0時(shí)，>0。故，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為。，b,C均為正值。系統(tǒng)穩(wěn)定的

充要條件為。>0,c>0,b>-o

P6.13考慮圖P6.13所示的反饋系統(tǒng)，試確定參數(shù)K,p和z應(yīng)滿足的條件，使得閉環(huán)系統(tǒng)

穩(wěn)定。假設(shè)K>0,4>0且

控制器受控對(duì)象

+OS+Z?n2.、

R(S)--X)——>K—---->/\—f*-丫⑸

八/1s+psS(s(+S2+^(2o3n)J

圖P6.13含有可調(diào)參數(shù)K,P和Z的控制系統(tǒng)

【解析】特征方程為53+(〃+2。3“)/+(2第％p+K成)s+K0；z=O,若使系統(tǒng)穩(wěn)定需

有p+2gg>0,+>(K<y；z)/(〃+2GsJ,K0；z>。。由于K>0,;〉0,

①”>。,系統(tǒng)穩(wěn)定需要有z>0,p>-2^,,2G4P+K癡〉零4。

〃+2的，

P6.14某反饋控制系統(tǒng)的特征方程為56+2￡5+12/+4/+21/+25+10=0試判斷系統(tǒng)

是否穩(wěn)定，并求出系統(tǒng)所有的特征根◎

【解析】系統(tǒng)的根為二士。由于在/制軸上存在重復(fù)根，故

.2siA=±j,556=-1±3J.

系統(tǒng)不穩(wěn)定。

P6.15目前，很多摩托車的設(shè)計(jì)都給駕駛操控帶來(lái)了一定的困難，因此研究摩托車和駕駛員

的穩(wěn)定性問題非常重要。在研究摩托車的駕駛特性時(shí)，必須同時(shí)考慮駕駛員模型和摩托車模

型，整個(gè)摩托車駕駛系統(tǒng)的模型如圖P6.4所示，其中駕駛員對(duì)應(yīng)于控制器，摩托車對(duì)應(yīng)于

受控對(duì)象。這樣，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)就同時(shí)包含了摩壬車和駕駛員的模型，即

,、K(/+30s+1125)

L(S)=-----------/、'--------T7-;-----------r

'75(5+20)(?+105+125)(?+605+3400)

(a)忽略分子多項(xiàng)式(零點(diǎn)項(xiàng))和分母多項(xiàng)式中12+60s+3400)的項(xiàng)，根據(jù)近似模型，

確定K的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(b)考慮所有零點(diǎn)和極點(diǎn)，即根據(jù)原有模型，確定K的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

【解析】(a)忽略零點(diǎn)和極點(diǎn)，特征方程為S4+30$3+325S2+2500S+K=0,勞斯判據(jù)

1325K

3025000

〈

表為$2241.67K其中"(Ml：；第3()K因此OK<2O139時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

b

(b)考慮所有零點(diǎn)和極點(diǎn)，閉環(huán)特征方程為

2

S+90/+5525s4+12400,d255(XX)+K)s+(85(X)000+30K)s+1125K=0

要使系統(tǒng)穩(wěn)定需有0<K<61818。

可以看出，額外的極點(diǎn)和零點(diǎn)使得系統(tǒng)對(duì)于更大的增益K是穩(wěn)定的。

]

P6.16某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s)=

s'+5s2+20s+6

(a)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(b)求解特征方程的根。

(c)繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。

JI5

【解析】(a)勞斯判據(jù)表為，：6

,第一列所有的元素均為正，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

s3.o

s°6

(b)系統(tǒng)的根為4=—0.3246,,為3=-2.3377±3.6080/。

(c)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為

StepResponse

3

P

m

-

Time(sec)

P6.171993年7月16日，在日本橫濱70層的摩天大樓LandmarkTower里，電梯的運(yùn)行峰

值速度為45km/h(28mph)。在如此高的運(yùn)行速度下，為了不使乘客感到由失重導(dǎo)致的不適，

電梯不能驟然加速，而只能緩慢加速。實(shí)際上，在上行時(shí)，電梯要升到27層時(shí)才達(dá)到峰值

運(yùn)行速度；而在下行時(shí)，在15層時(shí)就開始減速。同大多數(shù)摩天大樓中的電梯一樣，Landmark

Tower中電梯的最大加速度也應(yīng)該比重力加速度的1/10還要稍微小一些。

為了確保電梯安全運(yùn)行，并提高乘客的舒適度，電梯的設(shè)計(jì)要有很多獨(dú)到之處。例如，電梯

采用的是陶瓷制動(dòng)片而非鐵質(zhì)制動(dòng)片，以免制動(dòng)時(shí)由于高溫導(dǎo)致鐵質(zhì)制動(dòng)片熔化；電梯采用

了計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)來(lái)降低振動(dòng)程度；要將電梯的外形設(shè)計(jì)為流線型，以便減小電梯高速上下

運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的風(fēng)噪聲，等等。電梯垂直方向上的位移控制系統(tǒng)如圖P6.17所示，試確定K的

取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

電梯的動(dòng)力學(xué)模型

控制器

R⑸+r(s)

垂直方向

S(S2+3S+3)

垂直方向上上的位置

的預(yù)期位置

圖P6.17電梯控制系統(tǒng)

勞斯判據(jù)表為:

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(s)=8-K

s3+3s2+3s+K+1s

3

K+1

故當(dāng)＜8時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

P6.18考慮描述澳洲大陸上的兔子和狐貍數(shù)量關(guān)系的種群模型。當(dāng)僅僅考慮兔子的數(shù)量用時(shí),

種群模型為玉=依由此可見，兔子數(shù)量將會(huì)無(wú)限地增長(zhǎng)(直到食物供應(yīng)枯竭)。但隨著狐貍

的出現(xiàn)，兔子的種群模型將修改為用二心：一研2其中，當(dāng)為狐貍的數(shù)量。狐貍必須依賴于

兔子才能生存，因此又得到狐貍的種群模型為％試分析：

(a)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

(b)當(dāng)時(shí)，是否會(huì)有％(1)=工2(，)=0?

(C)為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，"〃和k必須滿足何種關(guān)系？

(d)當(dāng)上＞〃時(shí)，將會(huì)導(dǎo)致何種結(jié)果？

【解析】(a)(b)(c)(d)系統(tǒng)特征方程為一+(〃一攵)5+而一協(xié)=(),要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需

有h＞k且ab＞kh。如果攵＞/?,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

P6.19垂直起降(VerticalTakeoffandLanding,VTOL)飛機(jī)能夠在相對(duì)狹小的機(jī)場(chǎng)上起降，

而在水平飛行時(shí)，其操控性能與普通飛機(jī)一樣。垂直起降飛機(jī)的起飛過程與導(dǎo)彈升空有些類

似，本質(zhì)上是不穩(wěn)定的(見例3.4中的倒立擺系統(tǒng))。因此，設(shè)計(jì)人員為這類飛機(jī)設(shè)計(jì)了圖

P6.19所示的起飛控制系統(tǒng)，它利用可調(diào)噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)控制飛機(jī)。

(a)確定增益K的取值范圍，以便保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

(b)確定增益K的取值，以便使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，并求此時(shí)的系統(tǒng)特征根。

R⑸丫⑶