小學(xué)奧數(shù)行程問題經(jīng)典

第一講行程問題〔一〕

教學(xué)目標(biāo)：

1、比例的根本性質(zhì)

2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題

3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化；

4、單位“1”變化的比例問題

5、方程解比例應(yīng)用題

知識點撥：

發(fā)車問題

（1L一般間隔發(fā)車問題。用3個公式迅速作答；

汽車間距二〔汽車速度+行人速度〕X相遇事件時間間隔

汽車間距二〔汽車速度-行人速度〕X追及事件時間間隔

汽車間距二汽車速度X汽車發(fā)車Eh間間隔

〔2〕、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖——盡可能多的列3個好使公式——結(jié)合s全程=i，Xr-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。

（3）當(dāng)出現(xiàn)星次相遇和逑及問題——柳卡

火車過橋

火車過橋問題常用方法

（1）火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時間，用此火車的路程是橋長與車身長度之和.

⑵火車與人錯身時，忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度；火車與火車錯身時，兩者路程

和那么為兩車身長度之和.

⑶火車與火車上的人錯身時，只要認(rèn)為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長度，那么他所看到的

錯車的相應(yīng)路程仍只是對面火車的長度.

對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的

淞目，在分析題目的時候一定將結(jié)合篇圖來遂行.

接送問題

根據(jù)校車速度〔來回不同〕、班級速度〔不同班不同遞〕、玨數(shù)是否變化分類為四種常見題型：

〔1〕車速不變-班速不變一班數(shù)2個〔最常見〕

〔2〕車速不變-班速不變一班數(shù)多個

〔3〕車速不變-班速變一班數(shù)2個

（4）車速變-班速不變-班數(shù)2，卜

標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖+列3個式子

1、總時間二一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間：

2、班車走的總路程：

3、一個隊伍步行的時間二班車同時出發(fā)后回來接它的時間。

時鐘問題：

時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追及問題，不過這里的兩個“人〃分別是時鐘

的分針和時針。

時鐘問題有別于其他行程問題亮因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規(guī)的米每秒或者千米每小

時，而是2個指針”每分鐘走多少角度〃或者“每分鐘走多少小格〃。

流水行船問題中的相遇與追及

①兩只船在河流中相遇問題，當(dāng)甲、乙兩船〔甲在上游、乙在下游〕在江河里相向開出：

甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度二〔甲船速+水速〕+〔乙船速-水速〕二甲船船速+乙船船速

②同樣道理，如果兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，與水速無關(guān).

甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣榷布状?水速〕-〔乙船速+水速〕二甲船速-乙船速

也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度二〔甲船速-水速〕-〔乙船速-水速〕二甲船速-乙船速.

說明：兩船在水中的相遇與追及問題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問題一樣，與水速沒有關(guān)

仞題精講:

模塊一發(fā)車問題

【例1】某停車場有10輛出租汽車，第一輛出租汽車出發(fā)后，每隔4分鐘，有一輛出租汽車開出.在

第一輛出租汽車開出2分鐘后，有一輛出租汽車進(jìn)場.以后每隔6分鐘有一輛出租汽車回場.

回場的出租汽車，在原有的10輛出租汽車之后又依次每隔4分鐘開出一輛，問：從第一輛出

租汽車開出后，經(jīng)過多少時間，停車場就沒有出租汽車了？

【解析】這個題可以簡單的找規(guī)律求解

時間車輛

4分鐘9輛

6分鐘10輛

8分鐘9輛

12分鐘9輛

16分鐘8輛

18分鐘9輛

20分鐘8輛

24分鐘8輛

由此可以看出：每12分鐘就減少一輛車，但該題需要注意的是：到了剩下一輛的時候是不符

合這種規(guī)律的到了12*9=108分鐘的時候，剩下一輛車，這時再經(jīng)過4分鐘車廠恰好沒有車了，

所以第112分鐘時就沒有車輛了，但題目中間從第一輛出租汽車開出后，所以應(yīng)該為108分鐘。

【例2】某人沿著電車道旁的要道以每小時4.5千米的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過，每

12分鐘有一輛電車從后面追過，如果電車按相等的時間間隔以同一速度不停地往返運行.問：

電車的速度是多少？電車之間的時間間隔是多少？

【解析】設(shè)電車的速度為每分鐘x米.人的速度為每小時4.5千米，相當(dāng)于每分鐘75米.根據(jù)題意可列

方程如下：（x+75）x7.2=（x—75）x12,解得x=300,即電車的速度為每分鐘300米，相當(dāng)于

每小時18千米.相同方向的兩輛電車之間的距離為：（300-75）x12=2700（米），所以電車之

間的時間間隔為：2700+300=9（分鐘）.

【鞏固】某人以勻速行走在一條公路上，公路的前后兩端每隔相同的時間發(fā)一輛公共汽車.他發(fā)現(xiàn)每隔

15分鐘有一輛公共汽車追上他；每隔10分鐘有一輛公共汽車迎面駛來擦身而過.問公共汽車

每隔多少分鐘發(fā)車一輛？

【解析】這類問題一般要求兩個根本量：相鄰兩電車間距離、電車的速度。是人與電車的相遇與追及問

題，他們的路程和〔差〕即為相鄰兩車間距離，設(shè)兩車之間相距S,

YSOV"

根據(jù)公式得5=（匕、+%）xl0min,——+——=7,那么6x-（6-/）y=3x+（3—。），，解得

12.55

x=(3一|f)y,

所以發(fā)車間隔7=2.5x+2.5y=3x+(3-f)y

【鞏固】某人沿電車線路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來.假

設(shè)兩個起點站的發(fā)車間隔是相同的，求這個發(fā)車間隔.

【解析】設(shè)電車的速度為4,行人的速度為b,因為每輛電車之間的距離為定值，設(shè)為/.由電,車能在

12分鐘追上行人/的距離知，x=(2f-l))，；由電車能在4分鐘能與行人共同走過/的距離知，

—，所以有/=123-〃尸43+。),有a=2h，即電車的速度是行人步行速度的2倍。那么/=43+與=6。，

12

那么發(fā)車間隔上：50^(1--)=54—.即發(fā)車間隔為6分鐘.

1211

【例3】一條公路上，有一個騎車人和一個步行人，騎車人速度是步行人速度的3倍，每隔6分鐘有

一輛公共汽車超過步行人，每隔10分鐘有一輛公共汽車超過騎車人，如果公共汽車始發(fā)站發(fā)

車的時間間隔保持不變，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公共汽車？

【解析】要求汽車的發(fā)車時間向隔，只要求出汽車的速度和柳鄰兩汽車之間的距離就可以了，但題目沒

有直接告訴我們這兩個條件，如何求出這兩個量呢？

由題可知：相鄰兩汽車之間的距離〔以下簡稱間隔距離〕是不變的，當(dāng)一輛公共汽車超過步行

人時，緊接著下一輛公共汽車與步行人之間的距離就是間隔距離，每隔6分鐘就有一輛汽車超

過步行人，

這就是說：當(dāng)一輛汽車超過步行人時，下一輛汽車要用6分鐘才能追上步行人，汽車與行人的

路程差就是相鄰兩汽車的間隔距離。對于騎車人可作同樣的分析.

因此，如果我們把汽車的速度記作1/汽，騎車人的速度為V自，步行人的速度為/人〔單位都

是米/分鐘〕，那么：間隔距離二〔/汽-V人〕X6〔米〕，間隔距離二〔/汽-V自〕X10〔米)，V

自=33人。綜合上面的三個式子，可得：/汽=6/人，即/人=1/6/汽，

那么：間隔距離二〔/汽T/6P汽〕X6=5/汽〔米〕

所以，汽車的發(fā)車時間間隔就等于：間隔距離汽=5/汽〔米〕汽〔來/分鐘〕=5〔分鐘〕。

【鞏固】從電車總站每隔一定時間開出一輛電車。甲與乙兩人在一條街上沿著同一方向步行。甲每分

鐘步行82米，每隔10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒

遇上迎面開來的一輛電車。那么電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？

【解析】這類問題一般要求兩個根本量：相鄰兩電車間距離、電車的速度。甲與電車屬于相遇問題，他

們的路程和即為相鄰兩車間距離，根據(jù)公式得549，類似可得(12-10)x60-549=65』，那

111111

么652，即解得54米/分，因此發(fā)車間隔為9020+820=11分鐘。

1112

【例4】甲城的車站總是以20分鐘的時間間隔向乙城發(fā)車，甲乙兩城之間既有平路又有上坡和下坡，

車輛(包括自行車)上坡和下坡的速度分別是平路上的80%和120%,有一名學(xué)生從乙城騎車

去甲城，該學(xué)生平路上的騎車速度是汽車在平路上速度的四分之一，那么這位學(xué)生騎車的學(xué)

生在平路、上坡、下坡時每隔多少分鐘遇到一輛汽車？

【解析】先看平路上的情況，汽車每分鐘行駛汽車平路上汽車間隔的1/20,那么每分鐘自行車在平路

上行駛汽車平路上間隔的1/80,所以在平路上自行車與汽車每分鐘合走汽車平路上間隔的

1/20+1/80=1/16,所以該學(xué)生每隔16分鐘遇到一輛汽車，對于上坡、下坡的情況同樣用這種

方法考慮，三種情況中該學(xué)生都是每幅16分鐘遇到一輛汽車.

【例5】甲、乙兩地是電車始發(fā)站，每隔一定時間兩地同時各發(fā)出一輛電車，小張和小王分別騎車從

甲、乙兩地出發(fā)，相向而行.每輛電車都隔4分鐘遇到迎面開來的一輛電車；小張每隔5分

鐘遇到迎面開來的一輛電車；小王每隔6分鐘遇到迎面開來的一輛電車.電車行駛?cè)淌?6

分鐘，那么小張與小王在途中相遇時他們已行走了分鐘.

【解析】由題意可知，兩輛電車之間的距離

10電車行8分鐘的路程〔每輛電車都隔4分鐘遇到迎面開來的一輛電車〕

10電車行5分鐘的路程1小張行5分鐘的路程

24電車行6分鐘的路程72小王行6分鐘的路程

由此可得，小張速度是電車速度的10,小王速度是電車速度的12,小張與小王的速度和是電車

速度的10,所以他們合走完全程所用的時間為電車行駛?cè)趟脮r間的12,即53分鐘，所以

小張與小王在途中相遇時他們已行走了60分鐘.

【例6］小峰騎自行車去小寶家聚會，一路上小峰注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從前方超越小

峰，小峰騎車到半路，車壞了，小峰只好打的去小寶家，這時小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9

分鐘超越一輛公交車，出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，那么如果公交車的發(fā)車時間間

隔和行駛速度固定的話，公交車的發(fā)車時間間隔為多少分鐘？

【解析】間隔距離二〔公交速度-騎車速度〕X9分鐘；間隔距離二〔出租車速度-公交速度〕X9分鐘所

以，公交速度-騎車速度二出租車速度-公交速度；公交速度二〔騎車速度+出租車速度）/2=3X

騎車速度.由此可知，間隔距離二〔公交速度-騎車速度〕X9分鐘二2X崎車速度X9分鐘二3X崎

車速度X6分鐘二公交速度X6分鐘.所以公交車站每隔6分鐘發(fā)一輛公交車.

［例7］某人乘坐觀光游船沿順流方向從A港到B港。發(fā)現(xiàn)每隔40分鐘就有一艘貨船從后面追上游

船，每隔20分鐘就會有一艘貨船迎面開過，A、“兩港間貨船的發(fā)船間隔時間相同，且船在

凈水中的速度相同，均是水速的7倍，那么貨船發(fā)出的時間間隔是_分鐘。

【解析】由于間隔時間相同，設(shè)順?biāo)畠韶洿g的距離為“1”,逆水兩貨船之間的距離為〔7一1〕4-

〔7+1〕=3/4。所以，貨船順?biāo)俣纫挥未標(biāo)俣?1/40,即貨船靜水速度一游船靜水速

度=1/4,貨船逆水速度+游船順?biāo)俣?3/4X1/20=3/80,即貨船靜水速度+游船靜水速度

=3/80,可以求得貨船靜水速度是〔1/40+3/80〕4-2=1/32,貨船順?biāo)俣仁?32X〔1+

1/7］=1/28］，所以貨船的發(fā)出間隔時間是1+1/28=28分鐘。

模塊二火車過橋

【例8】小李在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5米/秒，這時迎面開來

一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用了20秒.火車全長390米，求火車的速度.

【答案】18米/秒

［例9］小英和小敏為了測量飛駛而過的火車速度和車身長，他們拿了兩塊跑表.小英用一塊表記下了

火車從她面前通過所花的時間是15秒;小敏用另一塊表記下了從車頭過第一根電線桿到車尾

過第二根電線桿所花的時間是20秒.兩電線桿之間的距離是100米.你能幫助小英和小敏算出

火車的全長和時速嗎？

【解析】火車的時速是：100+（20-15）X60X60=72000（米/小時）,車身長是:20X15=300（米）

【例10］列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒,又知列車的前方有一輛

與它同向行駛的貨車，貨車車身長320米，速度為每秒17米.列車與貨車從相遇到相離

需要多少秒？

【解析】列車的速度是（250-210）+（25—23）=20（米/秒），列車的車身長：20X25—250=250

（米）.列車與貨車從相遇到相離的路程差為兩車車長，根據(jù)路程差=速度差x追擊時間，可得

列車與貨車從相遇到相離所用時間為:（250+320）4-（20-17）=190（秒）.

【例11】某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，假設(shè)該列車與另一

列長150米.時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？

【解析】根據(jù)另一個列車每小時走72千米,所以.它的速度為：72000:3600=20〔米/秒〕,

某列車的速度為：［25好210〕+（25-23］=40+2=20〔米/秒〕

某列車的車長為：20X25-250=500-250=250〔米〕，

兩列車的錯車時間為：〔250+150〕4-〔20+20］=4004-40=10〔秒〕。

【例12】李云靠窗坐在一列時速60千米的火車?yán)铮吹揭惠v有30節(jié)車廂的貨車迎面駛來，當(dāng)貨

車車頭經(jīng)過窗口時，他開始計時，直到最后一節(jié)車廂駛過窗口時，所計的時間是18秒.貨

車車廂長15.8米，車廂間距L2米，貨車車頭長1。米.問貨車行駛的速度是多少？

【解析】此題中從貨車車頭經(jīng)過窗口開始計算到貨車最后一節(jié)車廂駛過窗口，相當(dāng)于一個相遇問題，總

路程為貨車的車長.貨車總長為：（15.8X30+1.2X30+10）4-1000=0.52（千米），

火車行進(jìn)的距離為：60X18/3600=0.3T米），

貨車行進(jìn)的距離為：0.52-0.3=0.22（千米），

貨車的速度為：0.224-18/3600=44（千米/時）.

【例13】鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/

時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，

通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？

【解析】行人的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒。火車的車身長度

既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x

米/秒，那么火車的車身長度可表示為〔kI〕X22或〔尸3〕X26,由此不難列出方程.

法一:設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得［廠1）X22二〔尸3〕X26o

解得產(chǎn)14。所以火車的車身長為：（14-1）X22=286〔米）＜,

法二：直接設(shè)火車的車長是X,那么等量關(guān)系就在于火車的速度上。可得：x/26+3=x/22+l

這樣直接也可以長286米

法三：既然是路程相同我們同樣可以利用速度和時間成反比來解決。

兩次的追及時間比是：22:26=11:13,所以可得：〔夕車一1〕：〔夕車一3〕=13:11,

可得V車=14米/秒，所以火車的車長是〔14-1〕X22=286〔米〕

【例14］一列長110米的火車以每小時30千米的速度向北緩緩駛?cè)?，鐵路旁一條小路上，一位工

人也正向北步行。14時10分時火車追上這位工人，15秒后離開。14時16分迎面遇到

一個向南走的學(xué)生，12秒后離開這個學(xué)生。問：工人與學(xué)生將在何時相遇？

【解析】工人速度是每小時30-0.H/（15/3600）=3.6千米

學(xué)生速度是每小時（0.11/12/3600）-30=3千米

14時16分到兩人相遇需要時間〔30-3.6〕*6/60/〔3.6+3〕=0.4〔小時〕=24分鐘

14時16分+24分;14時40分

【例15］同方向行駛的火車，快車每秒行30米，慢車每秒行22米。如果從輛車頭對齊開始算，那么

行24秒后快車超過慢車，如果從輛車尾對齊開始算，那么行28秒后快車超過慢車?？燔囬L

多少米，滿車長多少米？

【解析】快車每秒行30米，慢車每秒行22米。如果從輛車頭對齊開始算，那么行24秒后快車超過慢

車，每秒快8米，24秒快出來的就是快車的車長192加，如果從輛車尾對齊開始算，那么行28

秒后快車超過慢車那么看來這個慢車比快車車長，長多少呢？長得就是快車這4秒內(nèi)比慢車多

跑的路程啊4X8=32,所以慢車224.

【例16】兩列火車相向而行，日車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，甲車上一乘

客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車

長.

【解析】首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000+3600=10〔米），乙車的速度是每秒鐘54000

4-3600=15〔米〕.此題中甲車上的乘客實際上是以甲車的速度在和乙車相遇。更具體的說是

和乙車的車尾相遇。路程和就是乙車的車長。這樣理解后其實就是一個簡單的相遇問題。（10

+15〕X14=350〔米〕，所以乙車的車長為350米.

【例17】在雙軌鐵道上，速度為54千米/小時的貨車10時到達(dá)鐵橋，10時1分24秒完全通過鐵橋，后

來一列速度為72千米/小時的列車，10時12分到達(dá)鐵橋，10時12分53秒完全通過鐵橋，10時

49分56秒列車完全超過在前面行使的貨車.求貨車、列車和鐵橋的長度各是多少米？

【解析】先統(tǒng)一單位：54千米/小時=15米/秒，72千米/小時=20米/秒，

1分24秒=84秒，48分56秒一12分=36分56秒=2216秒.

貨車的過橋路程等于貨車與鐵橋的長度之和，為：15x84=1260（米）；

列車的過橋路程等于列車與鐵橋的長度之和，為：20x53=1060（米）.

考慮列車與貨車的追及問題，貨車1。時到達(dá)鐵橋，列車10時12分到達(dá)鐵橋，在列主到達(dá)鐵橋

時，貨車已向前行進(jìn)了12分鐘（720秒），從這一刻開始列車開始追趕貨車，經(jīng)過2216秒的時

間完全超過貨車，這一過程中追及的路程為貨車12分鐘走的路程加上列車的車長，所以列車

的長度為（20-15）x2216-15x720=280（米），那么鐵橋的長度為1060-280=780（表），貨車

的長度為1260-780=480（米）.

【例181條單線鐵路上有A,6,GQE5個車站，它們之間的路程如下圖（單位：千米）.兩列火車同時

從A,￡兩站相對開出,從A站開出的每小時行60千米,從E站開出的每小時行50千米.由于

單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對面開來的列車通過,必須在車站停車,才能讓

開行車軌道.因此,應(yīng)安排哪個站相遇,才能使停車等候的時間最短.先到這一站的那一列火車

至少需要停車多少分鐘？

號到送暨圾擔(dān)氮揄儂年￡爆&4^1；不停?可求出兩車相遇的地點，從而知道應(yīng)

■哪一個車站或陣等班寸間破短￡

從圖中可知，彳￡的距離是：225+25+15+230=495（千米）

兩車相遇所用的時間是:495+（60+50）=4.5（小時）

相遇處距4站的距離是：60X4.5=270（千米）

而4。兩站的距離為：225+25+15=265（千米）

由于270千米＞265千米，從4站開出的火車應(yīng)安排在。站相遇，才能使停車等待的時間最

短.

因為相遇處離，站距離為270-265=5（千米），那么，先到達(dá)。站的火車至少需要等

待：2:1（小時）,x小時二11分鐘

模塊三流水行船

【例19]乙船順?biāo)叫?小時，行了120千米，返回原地用了4小時.甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用?/p>

3小時.甲船返回原地比去時多用了幾小時？

【解析】乙船順?biāo)俣龋?20：2二60〔千米/小時〕.乙船逆水速度：120：4二30〔千米/小時〕。水流速度：

〔60-30〕:2=15〔千米/小時〕.甲船順?biāo)俣龋?20=3=4。〔千米/小時〕。甲船逆水速度：

40-2X15=10〔千米/小時〕.甲船逆水航行時間：120-10=121小時）。甲船返回原地比去時多

用時間：12-3二9〔小時〕.

【例20】船往返于相距180千米的兩港之間，順?biāo)滦栌?0小時，逆水而上需用15小時。由于暴

雨后水速增加，該船順?biāo)兄恍?小時，那么逆水而行需要幾小時？

【解析】此題中船在順?biāo)?、逆水、靜水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影響，水

速發(fā)生變化，要求船逆水而行要幾小時，必須要先求出水速增加后的逆水速度.

船在靜水中的速度是:[180:10+180?15〕4-2=15〔千米/小時〕.

暴雨前水流的速度是:（1804-10-1804-15）4-2=3〔千米/小時〕.

暴雨后水流的速度是：180+9-15;5〔千米/小時〕.

暴雨后船逆水而上需用的時間為：180:〔15-5〕=18〔小時〕.

【例21】（2023年“學(xué)而思杯"六年級）甲、乙兩艘游艇，靜水中甲艇每小時行,千米，乙艇每小時

12

行54千米.現(xiàn)在甲、乙兩游艇于同一時刻相向出發(fā)，甲艇從下游上行，乙艇從相距27千米

的上游下行，兩艇于途中相遇后，又經(jīng)過4小時，甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地.水流速度是每小

時千米.

【解析】兩游艇相向而行時，速度和等于它們在靜水中的速度和，所以它們從出發(fā)到相遇所用的時間為

10小時.

相遇后又經(jīng)過4小時，甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地，說明甲艇逆水行駛27千米需要10小時，那么

甲艇的逆水速度為1（千米/小時），那么水流速度為24（千米/小時）.

【例22]一艘輪船順流航行120千米，逆流航行80千米共用16時；順流航行60千米，逆流航行120

千米也用16時。求水流的速度。

【解析】兩次航行都用16時，而第一次比第二次順流多行60千米，逆流少行40千米，這說明順流

行60千米與逆流行40千米所用的時間相等，即順流速度是逆流速度的1.5倍c將第一次

航行看成是16時順流航行了120+80X1.5=240〔千米〕，由此得到順流速度為240+16=

15〔千米/時），逆流速度為15:1.5=1?！睬?時〕，最后求出水流速度為:2=

2.5〔千米/時）。

【例23】一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲在乙的上游50千米處?？痛拓洿謩e從甲、乙兩碼頭出

發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同且始終保持不變?？痛霭l(fā)時有一物品從船上落入水中，

10分鐘后此物距客船5千米?？痛谛旭?0千米后折向下游追趕此物，追上時恰好和貨船

相遇。求水流的速度。

【解析】5:1/6=30（千米/小時：，所以兩處的靜水速度均為每小時30千米。50+30=5/3（小時），所

以貨船與物品相遇需要5/3小時，即兩船經(jīng)過5/3小時候相遇。由于兩船靜水速度相同，所

以客船行駛20千米后兩船仍相距50千米。50+（30+30）=5/6（小時），所以客船調(diào)頭后經(jīng)過

5/6小時兩船相遇。30-20;（5/3-5/6）=6（千米/小時），所以水流的速度是每小時6千米。

【例24】江上有甲、乙兩碼頭，相距15千米，甲碼頭在乙碼頭的上游，一艘貨船和一艘游船同時從

甲碼頭和乙碼頭出發(fā)向下游行駛，5小時后貨船追上游船。又行駛了1小時，貨船上有一物

品落入江中（該物品可以浮在水面上），6分鐘后貨船上的人發(fā)現(xiàn)了，便掉轉(zhuǎn)船頭去找，找到

時恰好又和游船相遇。那么游船在靜水中的速度為每小時多少千米？

【解析】此題可以分為幾個階段來考慮。第一個階段是一個追及問題。在貨艙追上游船的過程中，兩者

的追及距離是15千米，共用了5小時，故兩者的速度差是154-5=3千米。由于兩者都是順

水航行，故在靜水中兩者的速度差也是3千米。在緊接著的1個小時中，貨船開始領(lǐng)先游船，

兩者最后相距3X1二3千米。這時貨船上的東西落入水中，6分鐘后貨船上的人才發(fā)現(xiàn)。此時

貨船離落在水中的東西的距離已經(jīng)是貨船的靜水速度XI/10千米，從此時算起，到貨船和落

入水中的物體相遇，又是一個相遇問題，兩者的速度之和剛好等于貨船的靜水速度：所以這段

時間是貨船的靜水速度*1/10+貨船的靜水速度=1/10小時。按題意，此時也剛好遇上追上來

的游船。貨船開始回追物體時，貨船和游船剛好相距3+3*1/10=33/10千米，兩者到相遇共用

71/10小時，部兩者的速度和是每小時33/10+1/10=33千米，這與它們兩在靜水中的速度

和相等。〔解釋一下〕又在靜水中貨船比游船每小時快3千米，故游船的速度為每小時〔33-3〕

?2=15千米。

【例25】（2023年三帆中學(xué)考題）一艘船往返于甲、乙兩港之間，船在靜水中的速度為每小時9千米，

平時逆行與順行所用的時間比是2:1.一天因下暴雨，水流速度為原來的2倍，這艘船往返

共用10小時，問：甲、乙兩港相距千米.

【解析】設(shè)平時水流速度為x千米/時，那么平時順?biāo)俣葹椋?+x）千米/時，平時逆水速度為（9-x）千

米/時，由于平時順行所用時間是逆行所用時間的一半，所以平時順?biāo)俣仁瞧綍r逆水速度的

2倍，所以9+x=2（9-x）,解得x=3,即平時水流速度為3千米/時.

暴雨天水流速度為6千米/時，暴雨天順?biāo)俣葹?5千米/時，暴雨天逆水速度為3千米/時，

暴雨天順?biāo)俣葹槟嫠俣鹊?倍，那么順行時間為逆行時間的g,故順行時間為往返總時間

的J.,為10x'=3小時，甲、乙兩港的距離為15x3=25（千米）.

6633

【例26】一條小河流過A,B,C三鎮(zhèn).A,B兩鎮(zhèn)之間有汽船來往，汽船在靜水中的速度為每小時11千

米.BtC兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時3.5千米.A,C兩鎮(zhèn)水路相距50

千米,水流速度為每小時1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到4鎮(zhèn),吃午飯用去1小時,接著

乘木船又順流而下到C鎮(zhèn),共用8小時.那么4,B兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米？

【解析】如下畫出示意圖

有4—8段順?biāo)乃俣葹?1+1.5=12.5千米/小時，有8—C段順?biāo)乃俣葹?.5+1.5=5千米/

小時.而從/lfC全程的行駛時間為8T=7小時.設(shè)力8長x千術(shù)有上+笆二1=7,解得

12.55

工二25.所以48兩鎮(zhèn)間的距離是25千米.

【例27］河水是流動的，在“點處流入靜止的湖中，一游泳者在河中順流從4點到8點，然后穿過湖

到C點，共用3小時；假設(shè)他由。到“再到4共需6小時.如果湖水也是流動的，速度等

于河水速度，從3流向C,那么，這名游泳者從A到3再到。只需2.5小時；問在這樣的

條件下，他由。到5再到A,共需多少小時？

【解析】設(shè)人在靜水中的速度為x,水速為y,人在靜水中從B點游到C點需要t小時.根據(jù)題意，

有6%-(6-t)y=3x+(3-r)y,即x=(3-§/)y,同樣，有2.5x+2.5y=3x+(3-f)y,即

x=(2r-l)y;所以，—,即504-(1--)=54—,所以54—;(12-10)x60-54—=65—(小

121211II11II

時)，所以在這樣的條件下，他由C到8再到4共需7.5小時.

模塊四時鐘問題

【例28］現(xiàn)在是10點，再過多長時間，時針與分針將第一次在一條直線上？

【解析】時針的速度是360：12+60=0.5(度/分)，分針的速度是360+60=6(度/分)

印分針與時針的速度差是6-0.5=5.5(度/分)，10點時，分針與時針的夾角是60度，

第一次在一條直線時，分針與時針的夾角是180度，

即分針與時針從60度到180度經(jīng)過的時間為所求。所以答案為12(分)

【例29】有一座時鐘現(xiàn)在顯示10時整.那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過多少分

鐘，分針與時針第二次重合？

在/0點時，時針?biāo)谖恢脼榭潭?0,分針?biāo)谖恢脼榭潭?2;當(dāng)兩針重合時，分針必須追上

50個小刻度，設(shè)分針?biāo)俣葹椤?〃，有時針?biāo)俣葹椤啊?，于是需要時間：504-(1--)=54—.

121211

所以，再過54色分鐘，時針與分針將第一次重合.第二次重合時顯然為12點整，所以再經(jīng)過

11

(12-10)x60-54-^=65-^-^^,時針與分針第二次重合.

標(biāo)準(zhǔn)的時鐘，每隔65《分鐘，時針與分針重合一次.我們來熟悉一下常見鐘表(機(jī)械)的構(gòu)成：

一般時鐘的表盤大刻度有12個，即為小時數(shù)；小刻度有60個，即為分鐘數(shù).

所以時針一圄需要12小時，分針一國需要60分鐘(1小時)，時針的速度為分針?biāo)俣鹊腖.如

12

果設(shè)分針的速度為單位”/〃，那么時針的速度為“54〃.

【例30】某科學(xué)家設(shè)計了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10時，每時100分(如右圖所示)。當(dāng)這只鐘

顯示5點時，實際上是中午12點；當(dāng)這只鐘顯示6點75分時，實際上是什么時間？

【解析】標(biāo)準(zhǔn)鐘一晝夜是24X60=1440〔分〕，怪鐘一晝夜是100X10=100()〔分〕

怪鐘從5點到6點75分，經(jīng)過175分，根據(jù)十字交叉法，1440X175+18)0:252〔分〕即4點

12分。

【例31】手表比鬧鐘每時快60秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間每時慢6D秒。8點整將手表對準(zhǔn)，12點整手表顯

示的時間是幾點幾分幾秒？

【解析】按題意，鬧鐘走3600秒手表走3660秒，而在標(biāo)準(zhǔn)時間的一小時中，鬧鐘走了354。秒。所以

在標(biāo)準(zhǔn)時間的一小時中手表走3660+3600X3599二35991秒〕，即手表每小時慢1秒，所以

12點時手表顯示的時間是II點59分56秒。

【穩(wěn)固】某人有一塊手表和一個鬧鐘，手表比鬧鐘每時慢30秒，而鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間每時快30秒。問：

這塊

手表一晝夜比標(biāo)準(zhǔn)時間差多少秒？

【解析】根據(jù)題意可知，標(biāo)準(zhǔn)時間經(jīng)過60分，鬧鐘走了60.5分，

根據(jù)十字交叉法，可求鬧鐘走60分，標(biāo)準(zhǔn)時間走了60X60；60.5分，而手裹走了59.5分，

再根據(jù)十字交叉法，可求一晝夜手表走了59.5X24X60:〔60X60;60.5〕分，

所以答案為24X60-59.5X24X60^-(60X604-60.5)=0.11分〕，0.1分二6秒

【例32】一個快鐘每時比標(biāo)準(zhǔn)時間快1分，一個慢鐘每時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢3分。將兩個鐘同時調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)

時間，結(jié)果在24時內(nèi)，快鐘顯示9點整時，慢鐘恰好顯示8點整。此時的標(biāo)準(zhǔn)時間是多少？

【解析】根據(jù)題意可知，標(biāo)準(zhǔn)時間過60分鐘，快鐘走了61分鐘，慢鐘走了57分鐘，即標(biāo)準(zhǔn)時間

每60分鐘，快鐘比慢鐘多走4分鐘，604-4=15〔小時〕經(jīng)過15小時快鐘比標(biāo)準(zhǔn)葉間快

15分鐘，所以現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時間是8點45分。

課后練習(xí)：

練習(xí)1.一條街上，一個騎車人與一個步行人同向而行，騎車人的速度是步行人速度的3倍，每隔10

分鐘有一輛公共汽車超過行人，每隔20分鐘有一輛公共汽車超過騎車人.如果公共汽車從始

發(fā)站每次間隔同樣的時間發(fā)一輛車，那么間隔多少分鐘發(fā)一輛公共汽車？

【解析】緊鄰兩輛車間的距離不變，當(dāng)一輛公共汽車超過步行人時，緊接著下一輛公汽與步行人間的距

離，就是汽車間隔距離.當(dāng)一輛汽車超過行人時，下一輛汽車要用10分才能追上步行人.即

追及距離二〔汽車速度-步行速度〕X10.對汽車超過騎■車人的情形作同樣分析，再由倍速關(guān)系

可得汽車間隔時間等于汽車間隔距離除以5倍的步行速度.即：10X4X步行速度+〔5X步

行速度〕=8〔分〕

練習(xí)2.甲、乙兩地是電車始發(fā)站，每隔一定時間兩地同時各發(fā)出一輛電車，小張和小王分雙騎車從甲、

乙兩地出發(fā)，相向而行,每輛電車都隔6分鐘遇到迎面開來的一輛電車；小張每隔8分鐘遇到

迎面開來的一輛電車；小王每隔9分鐘遇到迎面開來的一輛電車.電車行駛?cè)淌?5分鐘，

那么小張與小王在途中相遇時他們已行走了分鐘.

【解析】由題意可知，兩輛電車之間的距離

10電(車行12分鐘的路程

48電車行8分鐘的路程56小張行8分鐘的路程

54電車行9分鐘的路程=15小王行9分鐘的路程

由此可得，小張速度是電車速度的72,小王速度是電車速度的=20,小張與小王的速度和是

電車速度的1,所以他們合走完全程所用的時間為電左行駛?cè)趟脮r間的24,即=84分鐘，

所以小張與小王在途中相遇時他們已行走了54分鐘.

練習(xí)3.慢車的車身長是142米，車速是每秒17米，快車車身長是173米，車速是每秒22,慢車

在前面行駛，快車從后面追上到完全超過慢車需要多少時間？

【解析】根據(jù)題目的條件可知，此題屬于兩列火車的追及情況，［142+173〕：C22-17)=63〔秒〕

練習(xí)4.高山氣象站上白天和夜間的氣溫相差很大，掛鐘受氣溫的影響走的不正常，每個白天快

30秒，每個夜晚慢20秒。如果在10月一日清晨將掛鐘對準(zhǔn)，那么掛鐘最早在什么時間

恰好快3分？

【解析】根據(jù)題意可知，一晝夜快10秒，〔3X60-30〕+10=15〔夭〕，所以掛鐘最早在第15*1=16

〔天〕黃昏恰好快3分鐘，即10月16日傍晚。

練習(xí)5.某河有相距45千米的上下兩港,每天定時有甲乙兩船速相同的客輪分別從兩港同時出發(fā)

相向而行，這天甲船從上港出發(fā)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)拢?分鐘后與甲船相距

1千米，預(yù)計乙船出發(fā)后幾小時可與此物相遇。

【解析】物體漂流的速度與水流速度相同，所以甲船與物體的速度差即為甲船本身的船速〔水速作用抵

消〕，甲的船速為1+1/15=15千米/小時：乙船與物體是個相遇問題，速度和正好為乙本身的

船速，所以相遇時間為:454-15=3小時

月測備選：

【備選I］小明騎自行車到朋友家聚會，一路上他注意到每隔12分鐘就有一輛公交車從后邊追上小樂,

小明

騎著騎著突然車胎爆了，小明只好以原來騎車三分之一的速度推著車往回走，這時他發(fā)現(xiàn)公

交車以每隔4分鐘一輛的頻率迎面開過來，公交車站發(fā)車的間隔時間到底為多少？

【解析】設(shè)公交車之間的間距為一個單位距離，設(shè)自行車的速度為x,汽車的速度為y,根據(jù)汽車空間

和時間間距與車輛速度的關(guān)系得到關(guān)系式：12X〔yx〕=4X〔yHx/3〕，化簡為3尸5%即

”看5/3,而公交車與自行車的速度差為1/12,由此可得到公交車的速度為5/24,自行車的速

度為1/8,因此公交車站發(fā)車的時間間隔為24/5=4.8分鐘.

【備選2】2點鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成直角？

【解析】根據(jù)題意可知，2點時，時針與分針成60度，第一次垂直需要90度，即分針追了90+60=150

⑶，

10〔分〕

【備選3】一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長是385米，坐在快車上的

人看

見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人看見塊車駛過的時間是多少秒？

【解析】8s,可以把車上的人紿抽象出來看成一點，那么就類同題1。得出快車和慢車的速度和是35,

反之，由車長和速度得到280/35=8

【備選41甲、乙兩艘小游艇，靜水中甲艇每小時行72千米，乙艇每小時行10千米.現(xiàn)甲、乙兩艘小

游艇丁

同一時刻相向出發(fā)，甲艇從下游上行，乙艇從相距18千米的上游下行，兩艇于途中相遇后，

又經(jīng)過4小時，甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地.問水流速度為每小時多少千米？

【解析】兩游艇相向而行時，速度和等于它們在靜水中的速度和，所以它們從出發(fā)到相遇所用的時間為

12小時.相遇后又經(jīng)過4小時，甲爬到達(dá)乙艇的出發(fā)地，說明