2025年高考數(shù)學必刷題分類：第88講、隨機事件、頻率與概率（學生版）

第88講隨機事件、頻率與概率

知識梳理

知識點1、隨機試驗

我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示．

我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：

（1）試驗可以在相同條件下重復進行；

（2）試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；

（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．

知識點2、樣本空間

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E

的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有n個

可能結(jié)果，，，，則稱樣本空間為有限樣本空間．

12…n1,2,,n

知識點3、隨機事件、確定事件

（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，

為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本

點的事件稱為基本事件．當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生．

（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，

所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．

（3）空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為為不可能事件．

（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機事件的確定事件．

知識點4、事件的關系與運算

①包含關系：一般地，對于事件A和事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，

這時稱事件B包含事件A（或者稱事件A包含于事件B），記作BA或者AB．與兩個

集合的包含關系類比，可用下圖表示：

不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．

②相等關系：一般地，若BA且AB，稱事件A與事件B相等．與兩個集合的并集

類比，可用下圖表示：

③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為

事件A與事件B的并事件（或和事件），記作AB（或AB）．與兩個集合的并集類比，

可用下圖表示：

④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為

事件A與事件B的交事件（或積事件），記作AB（或AB）．與兩個集合的交集類比，可

用下圖表示：

知識點5、互斥事件與對立事件

（1）互斥事件：在一次試驗中，事件A和事件B不能同時發(fā)生，即AB=，則稱事

件A與事件B互斥，可用下圖表示：

如果，，，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，，

A1A2…AnA1A2…An

彼此互斥．

（2）對立事件：若事件A和事件B在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即AB

不發(fā)生，AB則稱事件A和事件B互為對立事件，事件A的對立事件記為A．

（3）互斥事件與對立事件的關系

①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，

還要求二者之一必須有一個發(fā)生．

②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”

的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．

知識點6、概率與頻率

（1）頻率：在n次重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)k稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)k與

k

總次數(shù)n的比值，叫做事件A發(fā)生的頻率．

n

k

（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，

n

并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)．

k

（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率隨著試驗

n

k

次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率來估計概率P(A)．

n

必考題型全歸納

題型一：隨機事件與樣本空間

例1．（2024·全國·高三專題練習）已知集合A是集合B的真子集，則下列關于非空集合

A，B的四個命題：

①若任取xA，則xB是必然事件；

②若任取xA，則xB是不可能事件；

③若任取xB，則xA是隨機事件；

④若任取xB，則xA是必然事件．

其中正確的命題有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例2．（2024·全國·高三專題練習）以下事件是隨機事件的是（）

A．標準大氣壓下，水加熱到100C，必會沸騰B．走到十字路口，遇到紅燈

C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為abD．實系數(shù)一元一次方程必有一實根

例3．（2024·全國·高三專題練習）袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的4個球，其中黑色球2個，

、、

記為B1B2，白色球2個，記為W1W2，從袋中任意取2個球，請寫出該隨機試驗一個不等

可能的樣本空間：.

變式1．（2024·全國·高一專題練習）將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試

驗樣本空間為.

變式2．（2024·高一課時練習）設樣本空間Ω＝{1，2，3}，則Ω的不同事件的總數(shù)是.

變式3．（2024·全國·高一專題練習）從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中

次品數(shù)，其樣本空間為．

【解題方法總結(jié)】

確定樣本空間的方法

（1）必須明確事件發(fā)生的條件．

（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的，

按規(guī)律去寫，要做到既不重復也不遺漏．

題型二：隨機事件的關系與運算

例4．（2024·全國·高三專題練習）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，記事件A“甲端午節(jié)來寶雞

13

旅游”，記事件B“乙端午節(jié)來寶雞旅游”，且P(A)，P(B)，假定兩人的行動相互

34

之間沒有影響，則P(AB)（）

5731

A．B．C．D．

61244

例5．（2024·全國·高三專題練習）已知事件A與事件B互斥，記事件B為事件B對立事

件.若P(A)0.6，P(B)0.2，則P(AB)（）

A．0.6B．0.8C．0.2D．0.48

例6．（2024·全國·高三專題練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，

設事件A表示隨機事件“兩枚炮彈都擊中飛機”，事件B表示隨機事件“兩枚炮彈都未擊中飛

機”，事件C表示隨機事件“恰有一枚炮彈擊中飛機”，事件D表示隨機事件“至少有一枚炮

彈擊中飛機”，則下列關系不正確的是（）

A．ADB．BD

C．ACDD．ABBD

變式4．（2024·全國·高三專題練習）某家族有X,Y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X

427

性狀的概率為，出現(xiàn)Y性狀的概率為，X,Y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成

151510

員X,Y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）

1124

A．B．C．D．

15101515

變式5．（2024·上海長寧·統(tǒng)考一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點數(shù)；設事件A為：至少

一個點數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為PA，事件B的概率為PB；

則1PAB是下列哪個事件的概率（）

A．兩個點數(shù)都是偶數(shù)B．至多有一個點數(shù)是偶數(shù)

C．兩個點數(shù)都是奇數(shù)D．至多有一個點數(shù)是奇數(shù)

變式6．（2024·全國·高三專題練習）如圖，甲、乙兩個元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設M“甲

元件故障”，N“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為（）

A．MNB．MNC．MND．MN

變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知PA0.3，PB0.1，若BA，則PAB

（）

A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4

【解題方法總結(jié)】

事件的關系運算策略

（1）互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生．

（2）進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗

可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析．也可類比集合的關系和運用

Venn圖分析事件．

題型三：頻率與概率

例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）在一個口袋中放有m個白球和n

個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后

放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨

機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為．（小數(shù)點后保留一位小數(shù)）

例8．（2024·全國·高三對口高考）下列說法：①設有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從

中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正

面的概率是0.51；③隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機事件A的概率趨近于0，即

PA趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出

9

現(xiàn)1點的頻率是；⑥隨機事件的頻率就是這個事件發(fā)生的概率；其中正確的有.

50

例9．（2024·全國·模擬預測）在對于一些敏感性問題調(diào)查時，被調(diào)查者往往不愿意給正

確答復，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設計了一個隨機化裝置，在其中裝有形狀、大

小、質(zhì)地完全相同的50個黑球和50個白球，每個被調(diào)查者隨機從該裝置中抽取一個球，若

摸到黑球則需要如實回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實回答問題二：你

是否在考試中做過弊．若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”．則問題二“考試是

否做過弊”回答“是”的百分比為（以100人的頻率估計概率）．

變式8．（2024·全國·高三對口高考）已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采

用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間

取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再以

每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為.

變式9．（2024·全國·高三專題練習）一家藥物公司試驗一種新藥，在500個病人中試驗，

其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻

率是．

變式10．（2024·全國·高三專題練習）若隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，則當試

m

驗次數(shù)n很大時，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計事件A的概率，即P(A)．

n

變式11．（2024·全國·高三專題練習）已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采

用隨機模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計算器產(chǎn)生0到9之間

取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，

再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)此估

計，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為.

變式12．（2024·廣東廣州·高三鐵一中學?？茧A段練習）長時間玩手機可能影響視力．據(jù)

調(diào)查，某校學生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩手機超過1小時，

這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調(diào)查一名學生，則

他近視的概率約為．

變式13．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）袋中有10個球，其中有

m個紅球，n個藍球，有放回地隨機抽取1000次，其中有597次取到紅球，403次取到藍

球，則其中紅球最有可能有個．

【解題方法總結(jié)】

（1）概率與頻率的關系

（2）隨機事件概率的求法

題型四：生活中的概率

例10．（2024·全國·高三專題練習）某購物網(wǎng)站開展一種商品的預約購買，規(guī)定每個手機

號只能預約一次，預約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（?。u號

的初始中簽率為0.19；（ⅱ）當中簽率不超過1時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀

請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加0.05.為了使中簽率超過0.9，則至少需要

邀請位好友參與到“好友助力”活動.

例11．（2024·江西吉安·江西省泰和中學校考一模）設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱

中有99個白球，1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球.隨機地抽取一箱，再從取出的一

箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，我們可以認為這球是從箱中取出的.

例12．（2024·全國·高三專題練習）有以下說法:

1

①一年按365天計算,兩名學生的生日相同的概率是;②買彩票中獎的概率為0.001,那么

365

買1000張彩票就一定能中獎;③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個數(shù)字

中各抽取1個,再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天

氣預報降水概率是90%”是錯誤的.

根據(jù)我們所學的概率知識,其中說法正確的序號是.

【解題方法總結(jié)】

概率和頻率的關系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)

生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近，只要次

數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率．

題型五：互斥事件與對立事件

例13．（2024·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1

個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）

A．至少有一個白球；都是白球B．至少有一個白球；至少有一個紅球

C．至少有一個白球；紅?黑球各一個D．恰有一個白球；一個白球一個黑球

例14．（2024·全國·高三專題練習）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那

么互斥而不對立的事件是（）

A．至少有一個黑球與都是黑球

B．至少有一個黑球與至少有一個紅球

C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球

D．至少有一個黑球與都是紅球

例15．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向

上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于

3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（）

A．事件1與事件3互斥B．事件1與事件2互為對立事件

C．事件2與事件3互斥D．事件3與事件4互為對立事件

變式14．（2024·廣西柳州·柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）從數(shù)學必修一、二和政治必修

一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A．至少有一本政治與都是數(shù)學B．至少有一本政治與都是政治

C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學D．恰有1本政治與恰有2本政治

變式15．（2024·全國·高二）袋內(nèi)分別有紅?白?黑球3，2，1個，從中任取2個，則互斥而不

對立的兩個事件是（）

A．至少有一個白球；都是白球B．至少有一個白球；至少有一個紅球

C．恰有一個白球；一個白球一個黑球D．至少有一個白球；紅?黑球各一個

變式16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）從1，2，3，L，9中任取三個不同的數(shù)，

則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有（）

A．“三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)”B．“至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”

C．“至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)”D．“一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇

數(shù)”

【解題方法總結(jié)】

1、準確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也

可以同時不發(fā)生；②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，

既有且僅有一個發(fā)生．

2、判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；

兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．

題型六：利用互斥事件與對立事件計算概率

11

例16．（2024·全國·高三專題練習）已知事件A，B，C兩兩互斥，若PA，PC，

53

8

PAB，則PBC．

15

例17．（2024·全國·高三專題練習）在一次運動會上，某單位派出了6名主力隊員和5名

替隊員組成代表隊參加比賽.如果隨機抽派5名隊員上場，則主力隊員多于替補隊員的概率

為.

21

例18．（2024·全國·模擬預測）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是，和棋的概率是，

34

則甲不輸?shù)母怕蕿椋?/p>

變式17．（2024·四川眉山·高三?？奸_學考試）一個盒子內(nèi)裝有若干個大小相同的紅球、

白球和黑球，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么從

盒中摸出1個球，摸出黑球或紅球的概率是．