2025年高考數(shù)學必刷題分類：第48講、直線、平面平行的判定與性質(zhì)（學生版）

第48講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

知識梳理

知識點一：直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線l與平面平行，記作l∥

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這

l∥l1

∥

線∥線個平面內(nèi)的一條直線平行，那么l1l

l

線∥面這條直線和這個平面平行（簡記

為“線線平行線面平行

如果兩個平面平行，那么在∥

a∥

面∥面一個平面內(nèi)的所有直線都平行于a

線∥面另一個平面

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線l∥

和一個平面平行，ll∥l

l

線∥面線∥線經(jīng)過這條直線的平

面和這個平面相

交，那么這條直線

就和交線平行

知識點二：兩個平面平行

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，

則∥

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定如果一個平面內(nèi)a,b,abP

理線∥有兩條相交的直線都

平行于另一個平面，

面面

a∥，b∥∥

那么這兩個平面平行

∥面

（簡記為“線面平行

面面平行

線面如果兩個平面同l

∥

面∥垂直于一條直線，那l

面么這兩個平面平行

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面

面//面平行，那么在一個平

//

線//面面中的所有直線都a//

a

平行于另外一個平

面

如果兩個平行

平面同時和第三個//

平面相交，那么他們aa//b.

性質(zhì)定理

的交線平行（簡記為b

“面面平行線面

平行”）

如果兩個平面

中有一個垂直于一

面//面//

條直線，那么另一個l

線面l

平面也垂直于這條

直線

【解題方法總結(jié)】

線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．

線∥面判定

判定

性質(zhì)

性質(zhì)判定

線∥線面∥面

性質(zhì)

（1）證明直線與平面平行的常用方法：

①利用定義，證明直線a與平面沒有公共點，一般結(jié)合反證法證明；

②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線

的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三

邊的線段；

③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；

（2）證明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用兩個平面垂直于同一條直線；

④證明兩個平面同時平行于第三個平面．

（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

必考題型全歸納

題型一：平行的判定

例1．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學?？奸_學考試）若、是兩個不重

合的平面，

①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則//；

②設(shè)、相交于直線l，若內(nèi)有一條直線垂直于l，則；

③若外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行，則l//；

以上說法中成立的有（）個．

A．0B．1C．2D．3

例2．（2024·全國·高三對口高考）過直線l外兩點作與l平行的平面，那么這樣的平面（）

A．不存在B．只有一個C．有無數(shù)個D．不能確定

例3．（2024·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或

所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線MN//平面ABC的是（）

A．B．

C．D．

變式1．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學?？奸_學考試）a，b，c為三條不重

合的直線，，，為三個不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個命題：

①a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥，b∥，則a∥b；

③∥c，∥c，則∥；④若∥，∥，則∥；

⑤若∥c，a∥c，則aP；⑥若a∥，∥，則aP．

其中真命題的個數(shù)是（）

A．4B．3C．2D．1

變式2．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)，為兩個不同的平面，則∥的一個充分

條件是（）

A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．，垂直于同一個平面

C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一條直線

【解題方法總結(jié)】

排除法：畫一個正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進行排除．

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

例4．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在四棱錐PABCD中，E,F分別為

PD,PB的中點，連接EF．

（1）當G為PC上不與點P,C重合的一點時，證明：EF//平面BDG；

-

例5．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ACC1A1是

矩形，ACAB，ABAA12,ACt(t2)，A1AB120E,F分別為棱A1B1,BC的中點，

G為線段CF的中點．

（1）證明：A1G//平面AEF．

（2）若三棱錐AGEF的體積為1，求t．

例6．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖所示，在正四棱錐PABCD中，底面ABCD的

中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO于點F，PF2FO．

（1）證明：EO//平面PBC；

變式3．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為梯形，

AB//CD，ADAB，ABAP2DC4，PB2AD42，PD26，M，N分別是

PD，PB的中點．

（1）求證：直線MN//平面ABCD；

-

變式4．（2024·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，

且AA1ABBCAC2，點E是棱AB的中點．

（1）求證：BC1//平面A1CE；

（2）求三棱錐EA1CC1的體積．

變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是正方

形，PDAD1，PD平面ABCD，點E是棱PC的中點，點F是棱PB上的一點，且

EFPB．

（1）求證：PA//平面EDB；

（2）求點F到平面EDB的距離．

變式6．（2024·新疆昌吉·高三校考學業(yè)考試）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是

棱DD1的中點．

（1）證明：BD1//平面AEC；

（2）若正方體棱長為2，求三棱錐DAEC的體積．

【解題方法總結(jié)】

（1）初學者可以拿一把直尺放在PB位置（與PB平齊），如圖一；

（2）然后把直尺平行往平面ACE方向移動，直到直尺第一次落在平面ACE內(nèi)停止，

如圖二；

（3）此時剛好經(jīng)過點E（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點E），此時直尺所在

的位置就是我們要找的平行線，直尺與AC相交于點F，連接EF，如圖三；

（4）此時PB、EF長度有長有短，連接PB、EF并延長剛好交于一點D，剛好構(gòu)成A型

模型（E為PD中點，則F也為BD中點，若E為等分點，則F也為BD對應(yīng)等分點），

PB∥EF，如圖四．

圖一圖二圖三圖

四

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

例7．（2024·天津濱海新·高三校考期中）如圖，四棱錐PABCD的底面是菱形，平面PAD

底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，AB6，DPAP5，BAD60．

（1）求證：EF//平面PAD；

π

例8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺ABCDEFGH的底面是菱形，且BAD，

3

DH平面ABCD，EH2，DH3，AD4．

（1）求證：AE//平面BDG；

（2）求三棱錐FBDG的體積．

-

例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D,D1,F分別是BC，

B1C1，A1B1的中點，BC4BE，ABC的邊長為2．

（1）求證：：EF//平面ADD1A1；

-

變式7．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1

中，AA1底面ABC，ABAC5，BC2，AA12，D、E分別為棱BC、A1B1的

中點，A1P2PB，C1Q2QE．

（1）求證：PQ//平面C1AD；

變式8．（2024·天津紅橋·高三天津市復興中學?？茧A段練習）如圖所示，在四棱錐PABCD

1

中，BC平面PAD，BCAD，E是PD的中點．

2

（1）求證：BC∥AD；

（2）求證：CE平面PAB；

（3）若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點N，使MN平面PAB？說明理

由．

【解題方法總結(jié)】

（1）初學者可以拿一把直尺放在EF位置，如圖一；

（2）然后把直尺平行往平面PAB方向移動，直到直尺第一次落在平面PAB內(nèi)停止，

如圖二；

（3）此時剛好經(jīng)過點B（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點B），此時直尺所在的

位置就是我們要找的平行線，直尺與PA相交于點O，連接BO，如圖三；

（4）此時PB、EF長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平

行），連接OE，剛好構(gòu)成平行四邊形BFEO型模型（E為PD中點，O也為PA中點，OE為

三角形PAD中位線），OB∥EF，如圖四．

圖一圖二圖三圖四

題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行

例10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，且

四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點．

（1）求證：PE//平面BFG；

（2）若AB2，求點C到平面BFG的距離．

例11．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABCDMP中，四邊形ABCD是菱形，且

有DAB60，ABDM1，PB2，PB平面ABCD，PB∥DM．

（1）求證：AM//平面PBC；

-

例12．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是

矩形，側(cè)面BB1C1C是菱形，B1BC60，D、E分別為棱AB、B1C1的中點，F(xiàn)為線段C1E

的中點．

（1）證明：AF//平面A1DE；

變式9．（2024·上?！つM預(yù)測）直四棱柱ABCDA1B1C1D1，ABDC，AB⊥AD，AB＝

2，AD＝3，DC＝4

（1）求證：A1B//面DCC1D；

變式10．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？奸_學考試）如圖，多面體ABCDEF中，

四邊形ABCD為矩形，二面角ACDF的大小為45，DE//CF，CDDE，AD2，

DC3．

（1）求證：BF//平面ADE；

變式11．（2024·全國·高三對口高考）已知正方形ABCD和正方形ABEF，如圖所示，N、

ENBM

M分別是對角線AE、BD上的點，且．求證：MN//平面EBC．

ANMD

【解題方法總結(jié)】

本法原理：已知平面∥平面，則平面里的任意直線均與平面平行

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

例13．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知四棱錐PABCD，底面為菱形ABCD,PD

平面ABCD，PDADCD2,BAD,E為PC上一點．

3

（1）平面PAD平面PBCl，證明：BC∥l；

例14．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PD

π

平面ABCD，PDADCD2，BAD，E為PC上一點．

3

（1）平面PAD平面PBCl，證明：BC//l．

π

（2）當直線BE與平面BCD的夾角為時，求三棱錐PBDE的體積．

6

例15．（2024·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1所示，在四邊形ABCD中，BCCD，E

為BC上一點，AEBEAD2CD2，CE3，將四邊形AECD沿AE折起，使得

BC3，得到如圖2所示的四棱錐．

（1）若平面BCD平面ABEl，證明：CD//l；

變式12．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學?？茧A段練習）如圖所示，在直三棱柱

-

ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，點D、E分別為棱A1C1、B1C1的中點，

點F是線段BB1上的點（不包括兩個端點）．

（1）設(shè)平面DEF與平面ABC相交于直線m，求證：A1B1//m；

變式13．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐PABCD的底面邊長為8的正方形，

四條側(cè)棱長均為217．點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點，平面GEFH

平面ABCD，BC//平面GEFH．證明：GH//EF．

變式14．（2024·江蘇揚州·江蘇省高郵中學校考模擬預(yù)測）如圖，三棱臺ABCDEF中，

AB2DE，M是EF的中點，點N在線段AB上，AB4AN，平面DMN平面ADFCl．

（1）證明：MN∥l；

【解題方法總結(jié)】

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就

和交線平行

題型六：面面平行的證明

例16．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）如圖，在四棱錐P﹣ABCD

中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N

分別為AD，PA的中點．

（1）證明：平面BMN∥平面PCD；

例17．（2024·山東臨沂·高三?？茧A段練習）如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正

方形，AB2，DEBF，BF//DE，M為棱AE的中點．

（1）求證：平面BMD//平面EFC；

（1）求證：平面O1CG∥平面ADE；

例18．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊

長為2的菱形，BAD60，AC與BD交于點O，OP底面ABCD，OP3，點E，F(xiàn)

分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．

（1）求證：平面OEF//平面PCD；

（2）求三棱錐OPEF的體積．

變式15．（2024·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖所示，已知AC,BD是圓錐SO底面的兩條直徑，

M為劣弧BC的中點．

（1）證明：SMAD；

2π

（2）若BOC，E為線段SM上的一點，且SE2EM，求證：平面BCE平面SAD．

3

【解題方法總結(jié)】

常用證明面面平行的方法是在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或

找一條直線同時垂直于這兩個平面．證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行．

題型七：面面平行的性質(zhì)

例19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為

梯形，AD//BC，平面A1DCE與BB1交于點E．求證：EC//A1D．

例20．（2024·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1被

π

平面所截，截面為CDEF，且EFDC，DC2AD4AE2，ADC，平面EFCD

13

4

與平面ABCD所成角的正切值為3．

3

（1）證明：AD//BC；

-

例21．（2024·安徽滁州·安徽省定遠中學?？级＃┤鐖D，在三棱柱ABCA1B1C1中，四

邊形AA1C1C是邊長為4的菱形．ABBC13，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），

平面B1BD與棱A1C1交于點E．

（1）求證：BB1//DE；

變式16．（2024·北京·高三專題練習）如圖，在多面體ABCDEF中，面ABCD是正方形，

DE平面ABCD，平面ABF//平面CDE，A，D，E，F(xiàn)四點共面，ABDE2，AF1．

（1）求證：AF//DE；

變式17．（2024·全國·高三專題練習）在如圖所示的圓柱中，AB，CD分別是下底面圓O，

上底面圓O1的直徑，AD，BC是圓柱的母線，E為圓O上一點，P為DE上一點，且OP∥平

面BCE．

（1）求證：DPPE；

【解題方法總結(jié)】

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行

線面平行”）

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

例22．（2024·全國·高三專題練習）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，P?Q分別為對角線

CQBP2

BD?CD1上的點，且．

QD1PD3

（1）求證：PQ//平面A1D1DA；

AR

（2）若R是AB上的點，的值為多少時，能使平面PQR//平面ADDA？請給出證明．

AB11

-

例23．（2024·全國·高三專題練習）如圖、三棱柱ABC