高中數(shù)學講義：導數(shù)的概念及其意義

高中數(shù)學講義：導數(shù)的概念及其意義

目錄

1.單元內容及其解析...........................................................1

2.單元目標及其解析...........................................................2

3.單元教學問題診斷分析.......................................................2

4.單元教學支持條件分析.......................................................3

5.導數(shù)的概念及其意義.........................................................3

6.第4課時教學設計...........................................................5

6.1.課程基本信息............................................................5

6.2.內容與內容解析..........................................................5

6.3.目標與目標解析..........................................................6

6.4.教學問題診斷分析........................................................6

6.5.教學支持條件分析........................................................6

6.6.教學過程設計............................................................7

7.教學板書設計................................................................11

5.1.2導數(shù)的幾何意義............................................................11

電子白屏........................................................................11

（播放課件）....................................................................11

例題講解........................................................................11

8.課后反思：..................................................................11

1.單元內容及其解析

1.內容

變化率的典型實例，導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義.

2?內容解析

導數(shù)是微積分的核心內容之一，是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念，導數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部

變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等性質的基本方法，也是解決增長率、膨脹

率，效率、密度、速度、加速度等實際問題的基本工具.

在大多數(shù)大學數(shù)學教科書所呈現(xiàn)的微積分知識體系中，都是先介紹極限概念，再介紹導

數(shù)樓念，但現(xiàn)在的高中數(shù)學教科書在給出導數(shù)概念之前并沒有介紹極限概念及其運算，因

此就不能用極限理論建立導數(shù)概念，導數(shù)的本質是函數(shù)的瞬時變化率，即函數(shù)平均變化率

的極限.教科書選取高臺跳水運動員的速度和拋物線的切線的斜率這兩個典型的變化率問題.

通過這些特殊案例.使學生經(jīng)歷由平均速度過渡到瞬時速度、由割線斜率過渡到切線斜率的

過程，以直觀的方式由平均變化率的極限引出瞬時變化率，進而建立導數(shù)的概念.

極限是人們從微觀層面認識世界變化規(guī)律的重要工具.由于導數(shù)是一種特殊的極限，其中

自然蘊含著極限思想，所以導數(shù)的學習對于發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)和正確的世界觀有著

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重要的作用.從瞬時速度、切線的斜率這些特殊的瞬時變化率出發(fā)，再抽象出導數(shù)概念，蘊

含了數(shù)形結合、從特殊到一般的數(shù)學思想方法，導數(shù)的幾何意義表明，函數(shù)在某點處的導

數(shù)是函數(shù)的圖象在相應點處切線的斜率，這對于幫助學生理解導數(shù)的意義，提升學生的

數(shù)形結合能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，有著重要的作用.

基于以上分析，確定本單元的教學重點:導數(shù)的概念及其幾何意義、極限思想

本單元數(shù)學需4課時，具體分配如下:第1課時，高臺跳水運動員的速度;第2課時,

拋物線的切線的斜率;第3課時，導數(shù)的概念;第4課時，導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的概念及其

幾何意義的綜合應用.

2.單元目標及其解析

1.目標

(1)通例，經(jīng)歷均變化率過渡到瞬時變化率的過程，理解導數(shù)的概念.

(2)通過數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義.

(3)通過經(jīng)歷導數(shù)概念的抽象概括過程，體會極限思想.

2.目標解析

達成上述目標的標志是：

(1)結合"高臺跳水運動員的速度”問題，學生能借助計算工具計算運動員的平均速度，并通

過觀察平均速度在自變量問隔不斷變小的過程中的變化趨勢，得出瞬時速度;結合"拋物線的

切線的斜率”問題，觀察從割線過渡到切線的過程中，割線斜率在兩交點的橫坐標間隔不斷

變小的過程中的變化趨勢，得出切線的斜半，從而了解導數(shù)概念的實際背景，知道導數(shù)是

關于瞬時變化率的數(shù)學表達，體會導數(shù)的內涵與思想.

(2)通過研究從曲線的割線過渡到切線、從割線斜率過渡到切線斜率的過程，得到導數(shù)的兒

何意義，能通過求函數(shù)在某點處的導數(shù)得出函數(shù)的圖象在對應點處的切線斜率，進而求出

切線的方程.

(3)結合"高臺跳水運動員的速度"和"拋物線的切線的斜率”問題，能從平均速度的數(shù)值變化

和圖象過某點處的割線斜率的變化趨勢直觀感知瞬時速度是平均速度的極限，切線斜率是

割線斜率的極限，能結合導數(shù)的概念和幾何意義知道函數(shù)在某指定點處的導數(shù)是一個確定

的數(shù)，是一個特殊的極限，對于簡單的函數(shù)，能通過計算平均變化率的極限得出導數(shù).

3.單元教學問題診斷分析

由于學生在學習導數(shù)之前沒有學習極限，所以學習導數(shù)的過程實際上是學生體會極限

思想的過程，因此，如何用平均速度的極限理解瞬時速度，用割線斜率的極限理解切線的

斜率，并由此體會極限思想，這是第一個教學難點，要突破這個難點，需要在“高臺跳水

運動員的速度”和“拋物線的切線的斜率”這兩個案例中，讓學生充分經(jīng)歷由“平均變化

率”過渡到“瞬時變化率”的過程，通過觀察平均速度的數(shù)值變化和圖象過某點處的割線

的變化趨勢，正確理解平均速度的極限就是瞬時速度，以及割線的極限位置就是切線，割

線斜率的極限就是切線斜率，在此過程中，幫助學生正確理解“極限”的含義是建立導數(shù)

念的關

“學生到高中階段已經(jīng)有了一定的歸納能力，但在歸納的基礎上抽象出數(shù)學概念的能力

仍有所欠缺，因此，如何從瞬時速度、切線的斜率這些具體案例中抽象出導數(shù)概念，是第

二個教學難點，要解決這個問題，需要先從學習過的具體案例中提煉出平均變化率的概念，

并用符號形式化地表示出來，在此基礎上，觀察隨著自變量的改變量趨于0,平均變化率

的數(shù)值變化和形式化后的變化趨勢，建立導數(shù)的概念.

導數(shù)概念的建立過程涉及大量的概念與符號，如何正確理解這些概念與符號的意義，

是第三個教學難點，教學中要通過具體案例進行剖析，不僅要使學生能正確理解這些概念

與符號，還要能準確運用相關概念與符號.

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4.單元教學支持條件分析

學生之前沒有學過極限的概念，而導數(shù)的本質便是極限，同時導數(shù)的表示要借助極限

符號，這些都增加了學生抽象概括出導數(shù)概念的難度，因此，教學中要借助信息技術工具，

使學生通過列表觀察平均變化率的變化趨勢，通過圖象直觀觀察割線變化到切線的過程，

感受“逼近”過程，以此降低學生對導數(shù)就是極限的認知難度

5.導數(shù)的概念及其意義

導數(shù)是微積分的一個基本概念，是用來描述函數(shù)局部變化率的度量。對于

給定的函數(shù)，它在某一點處的導數(shù)，就是函數(shù)曲線在該點處的切線斜率。

具體地說，若函數(shù)y=f(x)在點xO處可導，則點(xO,f(xO))處切線的斜率就是

f(x)在點xO處的導數(shù)F(xO)。導數(shù)本質上是一個極限，即函數(shù)在某個點xO處的

導數(shù)，就是其在此點附近取極限時的極限值，即:

F(xO)=lim(x->xO)[f(x)-f(xO)]/[x-xO]

O導數(shù)的概念

導數(shù)的意義非常廣泛，下面列出其中的幾個:

1.函數(shù)的增減性：如果導數(shù)在某個點X處為正，說明函數(shù)在這個點的左邊

是上升的，右邊是下降的；反之，如果導數(shù)在某個點X處為負，說明函數(shù)在這

個點的左邊是下降的，右邊是上升的。如果導數(shù)在某個點X處為零，說明函數(shù)

在這個點處達到了極值，可能是極大值或極小值。

2.函數(shù)的凸凹性：如果導數(shù)在某個點x處單調遞增，則說明函數(shù)在這個點

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處是凸向上的；反之，導數(shù)在某個點X處單調遞減，則說明函數(shù)在此點處是凸

向下的。

3.極值問題：如果函數(shù)在某個點x的導數(shù)為零，說明此點處可能存在一個

極值(局部最大值或最小值)。因此，求函數(shù)的極值問題可以轉化為求其導數(shù)

的零點問題。

函數(shù)在某個時間點xO處的導數(shù)F(xO)即是該物體在這個時刻的瞬時速度。物體

的加速度就是速度的導數(shù)，即f'(xO)o

5.切線，法線和曲率：在某個點xO處，函數(shù)曲線的切線斜率就是該點的導

數(shù)F(xO),法線斜率則是其相反數(shù)的倒數(shù)，即某一點處函數(shù)曲線的曲

率則是它的導數(shù)F'(xO)與切線斜率的比值。

6.泰勒展開：通過對函數(shù)在某個點的導數(shù)進行求解，我們可以對函數(shù)進行

泰勒展開，從而獲得關于該點附近的各個點的函數(shù)值的近似值。這是在數(shù)值計

算和科學計算中非常常用的技巧。

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基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

1.若〃x)=c(c為常數(shù))，貝「(")=0;

2.茍'(X)=x'XnGQ),貝葉(％)=nx"'

3.若f(x)=sinx,JJlJf(x)=cosx；

4.^f(x)=cosx,5!*]/(x)=-sinx；

5.若f(x)=〃x,則/(x)=a"In。；

6.茍(x)=e=貝始(x)=ev；

7.隱函數(shù)求導：有些函數(shù)不是顯式地表示為y=f(x)的形式，而是通過方程

式來定義的，例如/2+h2=1。在這種情況下，我們可以通過隱函數(shù)求導的

方法來求得函數(shù)的導數(shù)。

總之，導數(shù)是微積分學中的一個重要概念，它的應用涉及到幾乎所有數(shù)學

學科和實際問題，是學習高等數(shù)學和物理的必備內容。

6.第4課時教學設計

6.L課程基本信息

學科高中數(shù)學年級高二學期春季

課題5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義(第2課時)

教科書書名：數(shù)學選擇性必修第二冊教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月

6.2.內容與內容解析

1.課時內容

導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的概念及其幾何意義的綜合應用.

2.內容解析

微積分學是人類思維的偉大成果之一，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法.導數(shù)是微

積分的核心概念之一，有極其豐富的實際背景和廣泛的應用.導數(shù)的幾何意義作為導數(shù)的概念

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的下位知識課，是學生掌握了上位知識一一平均變化率、瞬時變化率以及導數(shù)的概念的基礎

上進一步從''形"的角度理解導數(shù)的含義與價值，體會逼近、以直代曲和數(shù)形結合的數(shù)學思

想方法.同時，本節(jié)的學習也為下位知識一一導數(shù)的計算以及導數(shù)在研究函數(shù)中的應用奠定堅

實的基礎.

3.核心素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算.

基于以上分析，本課時的教學重點：對導數(shù)的幾何意義的探究，及其在數(shù)學、實際問題

中的應用.

6.3.目標與目標解析

1.教學目標

(1)通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義；

(2)通過經(jīng)歷導數(shù)幾何意義的抽象概括過程，體會數(shù)形結合、以直代曲、極限思想；

(3)會應用導數(shù)的幾何意義求曲線上某點處的切線方程.

2.目標解析

達成上述目標的標志：

(1)通過研究從曲線的割線過渡到切線，從割線斜率過渡到切線斜率的過程，得到導數(shù)

的幾何意義；

(2)利用信息技術演示的動態(tài)變化效果，體會數(shù)形結合、以直代曲、極限思想；

(3)給定一個具體函數(shù)上某個已知點P(x°，yo)，會應用導數(shù)的概念得到/'Go)，進一

步用導數(shù)的幾何意義得到該點處的切線方程.

6.4.教學問題診斷分析

(-)已經(jīng)具備的基礎

從知識儲備上看，學生通過了對實例的分析，經(jīng)歷了由平均變化率過渡到瞬時變化率的

過程，了解了導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，從數(shù)上體會了“逼近”的思

想；同時，學生已經(jīng)學習了直線的斜率與直線方程的相關知識.

從學習能力上看，教學對象是高二理科班的學生，思維活躍，具有一定的想象能力和研

究問題的能力.經(jīng)過高中近兩年的訓練，學生逐步形成小組合作探究，代表上臺解釋概括總結

的學習模式.

(二)可能存在的困難

首先學生對切線認識存在一定的思維定勢一一“與曲線僅有一個公共點的直線是曲線的

切線”，其次學生對導數(shù)幾何意義的認知即找到數(shù)與形之間的聯(lián)系存在一定的困難.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點：用運動變化、極限的觀點理解導數(shù)的幾何意義.

在教學中借助信息技術工具，組織、引導學生通過圖象直觀觀察割線變化到切線的過程，感

受“逼近”過程，以此降低學生對導數(shù)幾何意義的認知難度，從而突破本節(jié)課的教學難點.

6.5.教學支持條件分析

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為突破本節(jié)課的教學難點，在教學中借助信息技術工具，使學生通過圖象直觀觀察割線

變化到切線的過程，感受“逼近”過程，以此降低學生對導數(shù)幾何意義的認知難度.

1、教法分析："啟發(fā)探究式”教學法，教學中遵循教師主導、學生主體、探究主線，教

師更多的是啟發(fā)引導學生的思維.

2、學法指導：（1）自主學習（2）合作學習（3）探究學習

3.教學媒體：PPT.GeoGebra

6.6.教學過程設計

復習：導數(shù)的概念

活動1：形成一般曲線的切線定義

活動2：探究導數(shù)幾何意義的應用

例1：鞏固導數(shù)的幾何意義，生成以直代曲的思想；（活動

3）例2：加深導數(shù)幾何意義的理解.（活動4）

從知識、方法、思想三個方面進行總結，一圖二義三思想

檢測教學目標（1）、（2）、（3）的達成情況

A組感受理解8組思考運用

（環(huán)節(jié)一）情境引入

問題1：求函數(shù)y=f（x）在x=%。處導數(shù)/'（xo）分哪兒步？

第一步：求增量Ay

第二步：求平均變化率包=+入）一，（/）；

AxAx

第三步：求瞬時變化率尸（%）=㈣/缶.

前面我們以物理為背景，從“數(shù)”的角度研究了導數(shù)，現(xiàn)在我們想從“形”的角度來

解讀導數(shù)，即導數(shù)的幾何意義.

【設計意圖】：由舊知引出問題，既復習了舊知，又啟發(fā)學生思考，引出本節(jié)課課題.

（環(huán)節(jié)二）探索建構

1.切線的定義

問題2：平均變化率”="X。+―）二f（X。）的幾何意義是什么？

AxAx

【學情預設】：平均變化率表示的是割線p°p的斜率.

師：這就是平均變化率（電）的幾何意義

..........Ax...........

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【設計意圖】：以求導數(shù)的兩個步驟為依據(jù)，從平均變化率的幾何意義入手，探索導數(shù)的

幾何意義，抓住Arf0的聯(lián)系，在圖形上從割線入手來研究問題.

?多媒體演示【動畫1】：

學生自己拖動點P(&+Ax,/(x0+Ax))沿著曲線/(x)趨近于點Po(xo，f(&))時，割線P°P的

變化趨勢圖.教師引導學生觀察割線與切線是否有某種內在聯(lián)系呢？

【學情預設】：學生觀察【動畫1】，類比得出一般曲線的切線

切線定義：在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x)),如果當P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點

Po(xoj(x。))時，割線P°P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為曲線

y=f(x)在點R)處的切線.

【設計意圖】：讓學生在獲得直觀感知的基礎上，通過合作探索，親身經(jīng)歷一般曲線切線

的發(fā)生、發(fā)展過程，上升理性思維，形成切線定義，體會“逼近”思想.

問題3：初中時，我們怎樣定義圓的切線？

追問1：圓的切線定義適合于任意曲線嗎？

活動1：小組合作列舉必修一中基本初等函數(shù)的圖象，探究圓的切線定義是否適合以上函

數(shù)？

【學情預設】：(1)切線與曲線的相對位置(二次函數(shù))：(2)切線與曲線公共點的個

數(shù)(三次函數(shù)，正弦函數(shù)).二.

追問2：今天對切線的定義符合初中圓的切線定義嗎？

多媒體演示【動畫2】：圓上點P。處的切線P°T和割線4P，

演示點P從右邊沿著圓逼近點卅,然后再從左邊沿著圓逼近點P。，即&f(),割線P°P的

變化趨勢.

【學情預設】：先感知后發(fā)現(xiàn)，當△龍-0,隨著點P沿著圓逼近點P。，割線P°P無限趨

近于點Po處的切線.

【設臺意圖】：帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點處的割線和切線，學生更易感

知當"f0,割線的變化趨勢.

2.導數(shù)的幾何意義

問題:4：曲線上兩點卅@),'。),P(x()+Ax,/?+Ax)),Axf0,割線P0P-＞點P處的切

線，那么：Ax.0,割線的斜率f?與導數(shù)/'(4)又有何關系呢？

【學情預設】：生：k°=lim

Ax-tOfAxg)

.多媒體演示【動畫1】：

三三.,n(1)結合動畫中具體函數(shù)，由導數(shù)的定義求出/'(4)=0.8

(2)結合動畫，由切線的定義觀察平均變化率的極限即外處的切線的

斜率.k=0.8

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問題5：你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)的幾何意義嗎？

【學情預設】：生：函數(shù)/（X）在x=x0處的導數(shù)就是曲線在該點處的切線斜率A，即:

人1而小。+公）一/禺）=八/）

導數(shù)的幾何意義：k=lim/（X。+&）-"/）=/'（X。）

20Ar

活動2：小組討論利用導數(shù)的幾何意義能幫助我們解決哪些函數(shù)問題？以f（x）=M為例.

【學情預設】：（1）求瞬時變化率.（2）求曲線上某點處的切線方程.

【設計意圖】：體會導數(shù)的幾何意義，抓住求導數(shù)的點與切點的聯(lián)系.

（環(huán)節(jié)三）應用拓展

3.了解以直代曲思想

例1（課本例5）：圖5.1-7表示人體血管中的

藥物濃度。=/（0（阜位；ing/mL）隨時間f

（單位：min）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，

估計1=0.2,0.4,0.6,0.8min時，血管中藥物

濃度的瞬時變化率（精確到0.1）.

解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，

就是藥物濃度/⑺在此時刻的導數(shù)，從圖像上

看，它表示曲線/?）在此點處的切線的斜率.

如圖5.1-7,畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時

刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.作f=0.8處的切線，并在切線上去兩點，如（0.7,0.91）,

（1.0,0.48）則該切線的斜率：k=?048-0491=—1.4所以/z（0.8）?-l.4

1.0—0.7

活動3：小組合作利用網(wǎng)格估t=0.2,0.4,0.6min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率

下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：

t0.8

0.20.40.6

藥物濃度瞬時變化率/?）

0.40-0.71.4

【設計意圖】：要求學生動腦（審題）、動手（畫切線）、動口（說出如

何估計切線斜率），進一步體會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)

形結合”、“以直代曲”的思想方法.

問題6：圖中哪條直線最貼近點P。附近的曲線？

師：帶領學生利用信息技術工具將P。附近的曲線不斷放大，引導學生發(fā)現(xiàn)P。附近的曲線越

來越接近于直線，引導學生理解以直代曲思想是指某點附近一個很小的研究區(qū)域內，曲線

與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線.

以直代曲：在點P。附近，曲線y=可以用點處的切線RT近似代替，這是微積分中重

要的思想方法

【設計意圖】：通過將曲線一點處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼

真地再現(xiàn)“以直代曲”思想.

例2（課本例4）：圖5.1-6是高臺跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化

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的函數(shù)h（t）=-492+4.8t+11的圖象.根據(jù)圖像，請描述、比較曲線11仕）在1=力出出附

近的變化情況.

%tl，t2附近的變化情況.

解：我們用曲線60）在務、6、q處的切線，刻畫曲線力。）在上述三個時刻附近的變化情

況.

（1）當r=f0時，曲線〃?）在處的切線％平行于x軸，所以，在^=務附近曲線比較平

坦，幾乎沒有升降；

⑵當t=4時，曲線〃⑺在％處的切線4的斜率1儲）＜0,所以，在if附近曲線下降，

即函數(shù)〃（x）=—4.9f+6.5x+10在，=%附近單調遞減；

（3）當f=L時，曲線6。）在與處的切線4的斜率〃*2）＜0，所以，在r=f2附近曲線下

降，即函數(shù)/z（x）=—4.9/+6.5尤+10在/=今附近單調遞減.

從圖3.1-3可以看出，直線4的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在內附近比在

弓附近下降的緩慢.

問題7:比較曲線h（t）在t=功/4附近的變化情況.

【設計意圖】：要求學生動腦（審題）、動手（畫切線）、動口（討論），體會利用導數(shù)的幾何意

義及運用導數(shù)來研究函數(shù)在某點附近的單調性，滲透“數(shù)形結合”的思想方法，運用“以

直代曲”的思想方法.

導函數(shù)：內（X）的導函數(shù)/（加廣/出&F

（環(huán)節(jié)四）歸納總結

數(shù):

形:

【設計意圖】：引導學生回顧本節(jié)課所學知識并從中體會數(shù)學思想與方法，幫助學生建構

知識體系。

（環(huán)節(jié)五）目標檢測

1.已知函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，/'（X）是/（X）的導函數(shù)，則下列結論正確的是（）

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A.o<r(i)<r⑶⑴B.0<r(3)<〃3)”i)<r⑴

C.0(尸(3)<6(1)<“3)；”1)D.0<"3)；〃l)<r⑴<r(3)

2.如圖，函數(shù)y=/(x)的圖象在點尸處的切線方程是y=-x+8,則lim“5+口一〃5)二