高考數(shù)學向量及其運算 教案 教學設(shè)計

向量及其運算

教學內(nèi)容：

向量及其運算二.教學要求：

1.理解向量（平面向量、空間向量）的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念，掌

握向量的加法、減法，掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。了解向量的基本定理,

掌握向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直問題，理解直線

的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念。

2.理解向量（平面向量、空間向量）的坐標的概念，掌握向量的直角坐標運算及兩點間的距離

公式。

3.掌握線線的定比分點和中點坐標公式，并掌握平移公式。

二.知識串講：

平面向量及其運算

（一）向量的基本運算

1.有關(guān)概念

（1）向量——既有大小又有方向的量叫做向量。

常用有向線段表示向量

'方向

向量二要素

［長度

->—>

（2）向量的模一有向線段的長度IA8I,也1

長度等于1的向量叫做單位向量，％=￡

lai

—>—>——>

零向量0（0的方向不定），101=0

（3）共線向量（平行向量）一一方向相同或者相反的向量叫做平行向量或者共線向量。

（4）相等的向量?

長度相等rT方向相

同a=b

規(guī)定：0=0

向量可以在平面(或者空間)平行挪移而不變。

規(guī)定：零向量與任-一向量平行。

2.向量有二種形式(或者二種表示)

幾何表示一一幾何運算

代數(shù)表示一一代數(shù)運算

坐標表示<一一>坐標運算

3.向量的加法、減法與數(shù)乘

(1)向量的加法一三角形法則或者平行四邊形法則

如圖：

向量加法的多邊形法則

->—>—>如圖，求Q+Z?+C

(2)向量的減法：

一?——?——?一?..—?

a-b=a+(-b),即向量。加之Z?的相反向量。

(a—b的箭頭指向被減向量)

長度14a1=121*\a\

方向：2>0時與Q同向

2Vo時與。反向>A,a〃a

->—>

4=0時，>1(1=0

-->-->-->-->

淤b〃a(a?0)o存在惟一實數(shù)刀使b=Aa

4.向量的運算法則(加、減、數(shù)乘)

—>—>—>

設(shè)向量a,b,c及實數(shù)人，“，貝U：

T丁=b+

a

—>—>—>—>—>—>

(2)(a+b)+c=a+(b+c)

—>——>——>

(3)(2+〃)。=Na+#。

--->--->--->--->

@2(a+b)=Aa+Ab

->--—>

⑤12(1=121.lai

TTTTTT

@la1-1b\<\a+b1<1a\+\b\

(此不等式表示三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，也稱為三角不等式。)

5.平面向量基本定理(向量的分解定理)

e*,e?是平面內(nèi)的兩個不共線向量，那末對該平面內(nèi)任一向量a,存在

惟一實數(shù)對4,知使得3=扃：+人2二

(這個定理表明：平面內(nèi)的任一向量都可以沿兩個不共線向量分解為惟一一對向量的

和。ex+22e2叫做向量ei,e?的線性組合，q,e?叫做表這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

'①基底不惟一，關(guān)鍵是不共線、

、②基底給定，分解形式惟一>

應(yīng)用：

設(shè)51,昴不共線，點P在直線A3上（即A、B、P三點共線）

一>一〉—>

<?OP=20A+JLlOBM2+//=1（2,//e7?）

（二）向量的坐標運算

1.在直角坐標系內(nèi)，分別取與X軸，y軸同方向的兩個單位向量了，了作為基

底，則該平面內(nèi)任一向量3,有且惟獨一對實數(shù)x,y,使得3=

稱（尤，y）叫做向量a的（直角）坐標，記作a=（尤，y）,即為向量的坐標表

（如圖，當把向量a的起點移至原點時，（x,y）是向量a=0A終點A的坐標，即A

（x,y）,x,y是向量a在x,y軸上的射影，與a相等的向量的坐標也相同。）

2.向量的坐標運算

巳知a=（明,yi）,b=（工2,光）,尢￡R

—>—>—>—>—>—>

則：⑴Q+/?=(明i+yl/)+%1+丫2D

=(M+工2),+(ii+y2)j

=3+X2,y,+V2)

A

(2)a-b=(%］一心,為一光)，設(shè)A］/,yj,Bx2,y2j

BA=a-b=(x-x2,yx-y2)

IAB\=J(xi-xj+(M-無)2

(3)2a=4(X“)=(，，］

(三)平面向量的數(shù)量積

1.數(shù)量積的概念

—>—>—>—>—>—>

設(shè)向量0A=a,OB=b,ZAOB=0叫做向量a與b的夾角。記作

>,0°?a,b><180°

—>—>—>—>

⑴數(shù)量\a\?\bIcos。叫做Q與/?的數(shù)量積(或者內(nèi)積)，記作a?b

,b上\工\,\bTcos?

(2)數(shù)量積的幾何意義：

B

a?b等于a的模Ia1”在a」的方向上的射影Iblcos。的乘積。

2.數(shù)量積的運算法則

TaTTT0=0?a=0

(1)a?b=b?a,.

一)一>一>----?-?

⑵〃la)9b=從。?b)=a?(2Z?)(2G7?)

->一：T

(3)(a+b)?C+b?c

注數(shù)量積不滿足結(jié)合律!

意：T

(b1.C)

?b)?'ca9

,/),b:

T/b=(^yj?G3光)=

3.重要性質(zhì)

(1)設(shè)e是單位向量,0=<a,e>，貝I]e?a=a?e=\a\?cos0

__>—>—>—>、—>—>—>—>

(3)oab=1al?\b讖者。?b=-\a\?\b\

：a=2%(bR0)(4惟一確定)

=(X],為)=人(心，光)

0xx0

xy2-2yx=

(4)a=\a\29b\<\a\?\b\

與

⑸cos9=

\a\*\b\

（四）定比分點與平移

1.線段的定比分點

設(shè)當（.如乂），P2（.%光），分點P（x,》），設(shè)當，尸2是/上兩點，尸點在/上且

——>——>——>

不同于《、P?若存在一實數(shù)刀使P「=2PP”貝以叫做P分有向線段《己所

成的比。（人〉0,P在線段片當內(nèi)；人v°，F(xiàn)在稅外）

-u1

X*竺X=S一—工

1+?,若P為PR中點，〈2

1+22

2.平移

->

PP=(h,k)由opecrp+pp

=>('<,?/)=(x，￥)+,，4)

x'=x+h

平移公式

y'=y+k

空間向量及其運算

1.空間向量的定義及加減法

（D空間向量的定義和平面向量一樣，即具有大小和方向的量叫做向量。

空間向量也用有向線段表示，同向且等長的有向線段表示同一向量或者相等的向量。

（2）空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算與平面向量運算一樣，運算律相同。

如圖，驗證加法結(jié)合律。

2.共線向量與共面向量

(1)共線向量：a〃b(Z?±O)=Ab(2Gj?)

三點共線：/為經(jīng)過點A且平行于已知非零向量3的直線，那末對任一點

—>—>—>—>

。，點P在I上的充要條件是存在實數(shù)f，滿足OP=OA+ta(a叫/的方向

向量)

在I上取AB=a，貝U

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

OP=0A+tABAOP=0A+t(OB-OA)=(l-z)0A+tOB

當、=-時，點P是線段A3的中點，貝U2

OF3=—(OA+^OB)—中點坐標公式2

應(yīng)用：可用來證明三點共線或者兩線平行。

(2)共面向量(即平行于同一平面的向量)

共面向量定理：a,b是不共線向量，則向量p與以，b共面

0存在實數(shù)對X,y,使p=Xa+yb

四點共面：

點P在平面內(nèi)0存在實數(shù)對x,y,使MP=xMA+y-MB

—>—>—>—>

或者對空間任一定點。，vOP=0M+XMA+yMB

(OP=0M+x(OA-0M)+y(OB-OM)=x0A+y0B+(l-x-y)OM)

—>—>—>—>

0OP=x,0A+y?0B+z?OM(x+y+z=1)

應(yīng)用：可用來證明四點共面。

3.空間向量基本定理

定理：如果三個向量3,~b,T不共面，那末對空間任一向量；，存在

一個惟一的有序?qū)崝?shù)組X,y,乙使p=xa+yb+zc

—>—>—>—>—>—>

其中｛。，b,c｝叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向量，

(X,y,z)叫做向量p在基底｛。，b,c)下的坐標。

推論：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、

z,使

—>—>—>—>

OP=x?OA+y*OB+z.OC

如圖，三棱錐O—ABC,M、N分別為0A、BC中點，點G在MN上，且使

MG=2GN,用基向量OA,

4.空間直角坐標系

則這個基底叫做單位

如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長度都為1,正交基底,

常用｛了，了，7｝表示。

k為坐標向量,

如圖，為空間直角坐標系O-xyz,點。為原點，i,j,

任一向量a,則存在惟一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使

----------------a=xi+yj+zk

則（X,y,z）叫做向量a在空間直角坐標系中的坐標。

設(shè)0A=a,貝U(x,y,

5.向量的直角坐標運算

設(shè)3了二版卜g,如），則

a±b=(a.±b.,a2±b2,a3±Z?3)

2a=(*],*2,知3)(2cR)

(空間兩向量的數(shù)量積與平面兩個數(shù)量積相同)

->—>

a?b=+。2°2+°3°3

->—>

a/^boax=I/?],a2=Ab2，a3

->—>

。

一L/?=IaIb.+2a,2bo+3a?3b?=0

設(shè)A(M,>1,Z1),B(乂2,丫2，(％2一明，力一北，

即一個向量的坐標等于該向量的終點坐標減去起點

坐標。

AB=OB-0A

=6.夾角和距離

—>—>—>—>—>—>

(1)a,b的夾角記作<Q,b>,0<<tz,b><7i

設(shè)a=(%；,%,zj,b=(x2,y2,z2),PIU

~>II-------------------~?I---------

IQ1=Vq,3=JQ；+0；+0；,I?1=+&2+人;

->—>

a.'bab,+a2b2+a3b3

laiIZ?IJ"i,"2Jb]”+3,.2+奶

(2)距離公式

v,zi,B(%2,Vc>Z2),貝ij

A

IABI=x2-%!)2+(y2-Ji)2+(z2-zi)2

米若向量3上平面a,3叫做平面a的法向量。

【典型例題】

平面向量及其運算

例1.已知四邊形ABCD的邊AD與BC的中點分別為E、F.

T1TT

求證：EF=—(AB+DC)

2

證明一：連結(jié)EC、EB,則

T]TT]TT——

EF=-(EC+EB)=-[(ED+DC)+(EA+AB)]

->—>—>—>

又ED=-EA,ED+EA=Q

EF=-(DC+AB)

證明二：取BD中點O,連結(jié)EO,OF,則

TITTIT

EO=-AB,OF=-DC

22

^F^'to'+'OF=-(AB+DC)

說明：本題的證明中，運用定比分點向量式，中點公式或者三角形中位線性質(zhì)。

例2.已知G是AABC的重心，求證：GA+GB+GC=0

—>->—>—>—>—>—>

分析：要證G4+G3+GC=0，只要證明GB+GC=-GA

B、、、、P

證明：以向量GB,GC為鄰邊作平行四邊形GBEC,設(shè)D為BC中點，則

電+TGC=GE=2GD

又G為AA3C的重心，則GA=-2GD

-?-?

即2GD=-GA

?T.T-rGB+GC=-GA

TTTT

,.,GA+GB+GC=0

例3.已知OA,08不共線，OP=2-。4+日-OB

求證：A、P、B三點共線的充要條件是2+〃=1

思路分析：A、P、B三點共線即向量/〉，席共線，即AP=mAB

證明：必要性：

->->

若為、P、3三點共線，則存在實數(shù)m,使AP=mAB

即OP-0A=m(OB-0A)

OP=(1-m)0A+mOB

—>—>->—>—>

XVOP=AOA+/aOB,及OA、08不共線(由惟一性)

二人+//=1

充分性：

—>—>—>

若；1+〃=1,貝I]AP=OP-0A

—>—>—>

=(A0A+Ai0B)-0A

->—>

=(人-1).0A+以.0B

=-〃.0A+以?0B

=(0B—0A).以

->

”AB

->—>

LAP與A3共線，且它們都過點A,即A、B、P三點共線

—>—>—>—>—>—>—>—>

例4.已知Q,b都是非零向量，且a+3b與7a—5b垂直，a~4b與

—>—>—>—>

7a—2b垂直，求。與Z?的夾角。

~>>a.h

求a,b的夾角，即求cos9=------的值。

分析：\a\-\b\

解：由兩向量垂直的充分必要條件得：

(a+3b).(7a—55)=0

(a—4b).(7a—2b)=0

Fa-4-2

7a+16ab-15b=0<21>

7a-30a/?+8Z?=0

<1>><2>兩式相減，得2a9b=b

（注意：此時不能消去”？?。?/p>

—...Ff

代入〈1〉，得：a=b

：.\~t\=\~b\

—b

.aa.b21

??ccJs1一『

-T=12

\a\-\b\\b\2

...0=60。，即為向量。與b的夾角。

—>->-2—>->

說明：（1）解題過程中，由2a.b=b不能得2a=b,因為前者是實數(shù)等式，而后者是

向量等式。

（2）a僅僅是一種記號，并不表示平方運算，而是

-2—>->—>->->

a-a.a=\a\.\aIcos0°=lah

->->—>—>

同理，（a+Z?）2=Q+力12

例5已知Q=(1,2),b=(—2,n),Q與b的夾角是450

(1)求/?;

（2）若c與b同向，且c—a與Q垂直，求co

解.⑴由a.b=(1,2)(-2,n)=-2+2n

It?1=75,\b\=Ar)2+4

a.b2t2TlA/2

rcos45°=

V5.M+42

\a\-\b\

注意到-2+2〃>0,n>1

3n2-16?-12=0(2)

(舍)

b=(-2,6)

->T

⑵由⑴知：?b=10,IQ2=5

又c與力同向，故可設(shè)c=Ab(2>0)

->—>—>

又由c—a與。垂直

.*.2一檢n6/石>=0

1

102

-C=Ab=(-1,3)

說明：第(1)問直接由已知轉(zhuǎn)化為解方程求"；第(2)問，抓住“7與

~b同向”轉(zhuǎn)化為求;I,避免設(shè)T的坐標，簡化了運算。

，??b!=(8s/?「gi?n/—3\\ka'+Q=V3Ia-kb\,

wrnkJO〃,OilnliCl),'

例6.已知a其中

k>0o

(1)用上表示a?b；

⑵求a?b的最小值，并求此時了，的夾角的大小。

—?—，—，.-------，—，

解.(1)要求用化表示a/UTb,而己知比。1=V3Ia-kb\

*

故將上式兩邊平方，得：比3+~?|2=(VN3-*；1)2

F-2——F—2a

即好。+b+2ka?b=3(a?k2b-2kaZ?)

F->2

TT(3-r)a+"J)ba.—sic

cosa,sina),b=(cos'',sin")

Fb=1

=1,

3-『+3]-1」+1__________________________________________________

7k-

(2),：k>0,:.k2+l>2k

A：2+12k1

----2—=—

4k-4k2

…1

：.a.b的最小值為一

2

a.b=Aa\.\b\,<x)s6,

/.—=1x1xcos0,3=60°

2

此時，3與?的夾角為60.

說明：與代數(shù)運算相同，有時可以在含有向量的式子擺布兩邊平方，且有

_>_>_>__2_2_>_>_>_>\a+b\2=(a+b)2=a+2a.b+b=\a\2+\bh+2

a.b

例7.把函數(shù)y=log,(2x-1)+4的圖象按向量a平移后，得到y(tǒng)=log^x)的圖象，求3o

設(shè)日，。由平移公式｛y=E

解：

x=x'-hy=y-k

將之代入：y=log2(2x-l)+4

得：y-k=log2[2(x-/z)-1]+4

即y'=log?(2x'—2力-1)+4+*

由題設(shè)，該函數(shù)應(yīng)為y=log2(2x')

f1

2/2+1=0/?=-

<2

4+k=0)*

K—4

arr"4

說明.運用待定系數(shù)法解方程組求出ci,本題也可以由y=Iog2(2x-1)+4,得y-4=log2

人x'=X——.Tf1A

*2?〃-U

[y=y—4

例8.線段枷的端點M35),N(-2,y),點P(1,1)在直線”上，且I芯1=21茄I,求點M和點

N的坐標。

PP

I___IL___I

MN

解.弟與宗的方向可能相同或者可能相反HTV.

--?--?--?--?

:.MP=2PNAMP=-2PN

—>—>—>—>

(1)當與PN同向時，2=2,即MP=2PN

1-5)=2(-2-1,y-1)

f1_x=-4-2

4=2y—2

：.M(J,5),N(-2,-1)

(2)當航與尿反向時，2=-2

由定比分點公式(也可以由以上方法)

X+S2)X[2)_

1+(-2)

5+(-2)y]

5),N(-2,3)

說明：注意由長度比轉(zhuǎn)化為分比時，入的符號。不要將向量寫成比的形式。

—>例9.已

知。+cosa,sina),b=(l-cos",sin/?),c=(1,0),

A

aG(0,]),Pc(7T,2i),o與c的夾角為0,b與c的夾角為。2,jl0—02=-,求

a—P的值。

6

解./ae(Q,兀)，/?￡(",2i)

71

^-971

.a./3

..cos->0,sin一>022

Ia\—*T20a

+cosa)+-sina-2cosyA(l-cosyA)2+sin2[3=2siny

\b\=l"cl=l

T1,.°2a

c=1+cosa=2cos-

2

C=1Lcos=2sin

COSOcos—

cos%

IZH?Icl

..a

0,

—e

2

71

o,sin"=cos|只得：/371

由cos%=2'*2

空間向量及其運算

例10,求證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩直線平行。

已知：直線OAL平面a,直線BDX平面a,。、B為垂足。

求證：OA/7BD

證明：以點。為原點，以射線OA為非負z軸，建立空間直角坐標系O—xyz,i,j,k為沿x

軸，y軸，z軸的坐標向量，設(shè)BD=(x,y,z)

—>—>—>—>

'：BD±a,BD±i,BD±j

BDi=(x,y,z)?(l,0,0)=X=0

BDj=(x,y,z)(?,1,0)=y=0

ABD=(Q,0,z)

:.BD=z~k

:.BD//

又知0、3為兩個不同的點，：.BDIIon即BD/7OA

例11.如圖,平行六面"ABCD-A"D,中,以頂點A為端點的三條棱長都等于1,且兩兩夾角都為

(1)求ACi的長;

(2)求ACi與平面ABCD所成的角。

->—>—>—>—>—>—>—>—>解.(1)AC]=AC+CC[=A5+AD+

CC1=A5+AZ)+AA]

由IA'GF=.(AB+AD?A筋一)

=12+12+12+2cos600+2cos600+2cos60°

=6

2'：AAAADAAB所成的角都是60。

...徵1在底面ABCD上的射影在ZBAD的平分線上

平面A]ACq±平ffiABCD

/GA。為AG與平ffiABCD所成的角

TT2tttt

\AC\-=AC=(A5+AD)?(A5+AD)=I2+I2+2COS600=3

在AAQC中，由余弦定理

...AC；+AC2-CC,2COSZC,AC=—i

2IACJ-'lACi*

2?V6?V3

2A2

/.ZC.AC=arccos----------

13

【摹擬試題】

一.選擇題。

1.已知正方形ABCD邊長為1,A3=a,BC=b,AC=c，則。+方+c的模等于()

A.0B.3C.2-72D.V2

2.判斷下列各命題的真假：

(1)向量福的長度與向量弟的長度相等；

(2)向量a與方平行，則口與''的方向相同或者相反；

(3)兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；

(4)兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；

(5)向量房與向量是共線向量，則點A、B、C,D必在同一條直線上;

其中假命題的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

3.AABC中，AD、BE、CF分別是BC、CA、AB邊上的中線，G是它們的交點，則下列等

式不正確的是()

T2TT1T

BG=—BEDG=-AG

A.3B.2

1T2T1T

—DA+—FC=—BC

C.CG=—2FGD.332

4.若向量a=(L1),(LT),c=(-1,2),則等于(

IT3->------L3->—ab

abA.22B.22

3、—J3Tl->——a+—

C.’a-2bD.22b

5.平面直角坐標系中，0為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足

—>—>—>

OC=a0A+/30B其中a、0ER,a+”=1,則點c的軌跡方程是(

(

A.3x+2y-11=0B(x-l)?+(y-心5

D.x+2y-5=0

b=(6,2”1,2),若3〃則人與#的值分

6.已知向量。=(人+1,0,2勾

別為(

1

A.5B.5,2D-5,—2

7.設(shè)A(3,3,0,5),C(0,1,0),則AB的中點M與C的距離等于()

V5353V53V13

A."TB.Tc.TD."T

二.填空題。

(1,2),b=(x,v=2a-b且，"V,則

8.若向量。

X=_________

—>—>—>—>—>—>—>

)是夾角為60。的單位向量，則a=2i+j,b=-3i+2j的夾角是

—>—>—>

10.已知.9b均為單位向量，它們的夾角為60。，那末\a+3b\=

->(2,—1)平移后得到圖象F,則F對應(yīng)的函數(shù)的解

y

析式為=

12,同時與向量。=。，2,1),b=(4,5,3)都垂直的單位向量是.

三.解答題。

13.已知平面上三個向量a,b,c的模均為1,它們之間的夾角均為120。。

—>—>—>

(1)求證：(。一■》)上C；

—>—>—>

(2)若\ka+b+c\>l(ke7?),求k的取值范圍。

14.平面內(nèi)有向量。人=(1,7),03=(5,1),OP=(2,1),點M為直線OP上的一個動點。

(1)當心?翊取最小值時，求的坐標；

(2)當點M滿足(1)的條件和結(jié)論時，求cosZAMB的值。

15.如圖的直三棱柱ABC-ABC,中AC=3C=1,ZACB=90°,&人=扼，求二面角A-AxB-C的

大小。

A

【試題答案】

選擇題。

1.C

2.B

提示：其中(2),(4),(5)錯。

3.B

4.B

5.D

提示:設(shè)0C=(x,y),又0A=(3,1),08=(-1,3)

a.OA9OB=(3a-/3,a+3〃)=(x,y)

,{x=3a-/3

\y=a+3/3

a=—(3x+y)

10v7

\

^=￡(3y—x)

又a+"=1,?<x+2y—5=0

或者：由條件可知A、B、C三點共線。

6.A

7.C

二.填空題。

1

8.2

9.120°

提示：由也它=(2z+;4z+4zj+產(chǎn)

=4+4xlxlx——+1=7

2

->

Ia1=<7

TrTT7

Ib1=