2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 3.1.1 變化率問題 3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念（教師用書）教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版選修1-1

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.13.1.1變化率問題3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念（教師用書）教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版選修1-1授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課主要圍繞新人教A版選修1-1教材第3章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中的3.1.1“變化率問題”和3.1.2“導(dǎo)數(shù)的概念”展開。具體內(nèi)容包括：通過實(shí)例引入變化率的概念，講解導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值等應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，通過導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型；提升邏輯推理能力，通過導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理；增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)，通過解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值；提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，通過導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，鍛煉學(xué)生的運(yùn)算技巧和精度。學(xué)情分析本節(jié)課面向的是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們?cè)谶M(jìn)入高中階段之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在知識(shí)層面，學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)、極限等基本概念，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的基礎(chǔ)，對(duì)于他們來說是一個(gè)全新的概念，需要教師引導(dǎo)他們從直觀到抽象的理解過程。

在能力方面，學(xué)生具備一定的分析問題和解決問題的能力，但面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念和理論時(shí)，可能會(huì)感到困惑。他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力也是影響學(xué)習(xí)效果的重要因素。此外，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力參差不齊，部分學(xué)生在處理復(fù)雜運(yùn)算時(shí)可能存在困難。

在素質(zhì)方面，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)意識(shí)有待提高。由于高中數(shù)學(xué)課程的難度逐漸增加，學(xué)生需要學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)，同時(shí)，合作學(xué)習(xí)有助于他們?cè)诮鉀Q問題時(shí)能夠互相啟發(fā)，共同進(jìn)步。

行為習(xí)慣上，學(xué)生在課堂上普遍能夠遵守紀(jì)律，但部分學(xué)生在面對(duì)困難時(shí)可能會(huì)表現(xiàn)出焦慮或放棄的態(tài)度，這需要教師在教學(xué)過程中給予適當(dāng)?shù)墓膭?lì)和引導(dǎo)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都具備新人教A版選修1-1教材，以便在課堂上進(jìn)行同步學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與導(dǎo)數(shù)概念相關(guān)的圖片、圖表和視頻，以幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和應(yīng)用。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器或計(jì)算軟件，以便在講解導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)輔助學(xué)生操作。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，便于學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，同時(shí)準(zhǔn)備白板或投影儀，以便展示教學(xué)過程和計(jì)算結(jié)果。教學(xué)過程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：以生活中常見的速度變化為例，提問學(xué)生如何描述物體運(yùn)動(dòng)的速度變化，引出變化率的概念。

-回顧舊知：回顧函數(shù)的概念、極限的基本思想，為導(dǎo)數(shù)的引入做好鋪墊。

2.新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

-講解新知：詳細(xì)講解導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。

-導(dǎo)數(shù)的定義：通過實(shí)例說明平均變化率，引導(dǎo)學(xué)生理解瞬時(shí)變化率的概念，進(jìn)而引入導(dǎo)數(shù)的定義。

-幾何意義：利用幾何圖形，展示導(dǎo)數(shù)在切線斜率中的應(yīng)用，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

-導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：講解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等性質(zhì)，使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則。

-舉例說明：通過具體的數(shù)學(xué)問題，如求函數(shù)的極值、判斷函數(shù)的單調(diào)性等，展示導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-互動(dòng)探究：分組討論，讓學(xué)生嘗試用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，如計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的速度變化率等。

3.鞏固練習(xí)（約30分鐘）

-學(xué)生活動(dòng)：分組進(jìn)行練習(xí)，鞏固導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法。

-分組討論：針對(duì)每個(gè)問題，學(xué)生分組討論，嘗試獨(dú)立解決問題。

-互評(píng)互學(xué)：每組選派代表展示解題過程，其他組進(jìn)行評(píng)價(jià)和提問。

-教師指導(dǎo)：對(duì)學(xué)生在練習(xí)過程中遇到的問題進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)和點(diǎn)撥，確保每個(gè)學(xué)生都能理解并掌握知識(shí)。

4.拓展延伸（約20分鐘）

-引導(dǎo)學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，如工程、物理等領(lǐng)域，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的興趣。

-提供一些拓展題目，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決更復(fù)雜的問題，如求函數(shù)的最大值和最小值、證明不等式等。

5.總結(jié)回顧（約5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。

-學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)，整理筆記，鞏固知識(shí)。

6.課后作業(yè)（約15分鐘）

-布置一些課后作業(yè)，包括計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)。

-要求學(xué)生在課后自主完成作業(yè)，并按時(shí)提交。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-**數(shù)學(xué)史上的導(dǎo)數(shù)發(fā)展**：介紹導(dǎo)數(shù)概念的演變過程，從古代的幾何學(xué)發(fā)展到現(xiàn)代的微積分，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的傳承和發(fā)展。

-**導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域**：探討導(dǎo)數(shù)在物理、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，如物體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度，曲線的斜率等。

-**導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用**：收集一些生活中常見的與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問題，如商品的定價(jià)策略、經(jīng)濟(jì)變化的趨勢(shì)分析等。

-**導(dǎo)數(shù)的計(jì)算技巧**：介紹一些導(dǎo)數(shù)計(jì)算的技巧，如復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)求導(dǎo)等。

2.拓展建議：

-**閱讀數(shù)學(xué)史資料**：推薦學(xué)生閱讀《數(shù)學(xué)的故事》等書籍，了解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷程。

-**實(shí)踐項(xiàng)目研究**：鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建?；蚩茖W(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，將導(dǎo)數(shù)的概念應(yīng)用于實(shí)際問題中。

-**網(wǎng)絡(luò)資源利用**：指導(dǎo)學(xué)生訪問學(xué)校圖書館或在線資源庫(kù)，查找相關(guān)教材和學(xué)術(shù)論文，以拓寬知識(shí)面。

-**小組合作學(xué)習(xí)**：組織學(xué)生以小組形式進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過討論和分享，共同解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

-**參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽**：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（AMC）、國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）等，提高解題能力和數(shù)學(xué)思維能力。

-**編寫數(shù)學(xué)小論文**：引導(dǎo)學(xué)生選擇感興趣的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行深入研究，并撰寫小論文，鍛煉學(xué)生的研究能力和寫作能力。

-**觀看數(shù)學(xué)教育視頻**：推薦一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育視頻，如“數(shù)獨(dú)”、“數(shù)學(xué)之美”等，以?shī)蕵泛蛦l(fā)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

-**參與數(shù)學(xué)討論**：鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)?；蛟诰€平臺(tái)上參與數(shù)學(xué)討論，與不同背景的同學(xué)交流學(xué)習(xí)心得。典型例題講解1.例題1：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+4\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)。

解答：首先，我們需要求出函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和冪函數(shù)的求導(dǎo)法則，我們有

\[f'(x)=3x^2-6x.\]

然后，將\(x=1\)代入\(f'(x)\)中，得到

\[f'(1)=3(1)^2-6(1)=3-6=-3.\]

所以，函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是\(-3\)。

2.例題2：已知函數(shù)\(f(x)=e^x-x\)，求\(f(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)。

解答：對(duì)于指數(shù)函數(shù)\(e^x\)，其導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)。因此，我們有

\[f'(x)=e^x-1.\]

將\(x=0\)代入\(f'(x)\)中，得到

\[f'(0)=e^0-1=1-1=0.\]

所以，函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)是\(0\)。

3.例題3：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)的導(dǎo)數(shù)。

解答：這是一個(gè)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，其中\(zhòng)(\sqrt{x}\)可以寫成\(x^{1/2}\)。根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)法則，我們有

\[f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

所以，函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。

4.例題4：已知函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)。

解答：對(duì)數(shù)函數(shù)\(\ln(x)\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{x}\)。因此，我們有

\[f'(x)=\frac{1}{x}.\]

所以，函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{x}\)。

5.例題5：求函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)的導(dǎo)數(shù)。

解答：三角函數(shù)\(\sin(x)\)的導(dǎo)數(shù)是\(\cos(x)\)。因此，我們有

\[f'(x)=\cos(x).\]

所以，函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)的導(dǎo)數(shù)是\(\cos(x)\)。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們共同探討了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)。首先，我們通過實(shí)例引入了變化率的概念，幫助學(xué)生理解了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義。接著，詳細(xì)講解了導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，使學(xué)生掌握了導(dǎo)數(shù)的基本計(jì)算方法。以下是本節(jié)課的主要內(nèi)容小結(jié)：

1.導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，是連接微積分與幾何學(xué)的重要橋梁。

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)可以表示曲線在某一點(diǎn)的切線斜率，幫助我們理解曲線的局部變化情況。

3.導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：包括導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)等，是進(jìn)行函數(shù)分析的基礎(chǔ)。

4.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等方面有著廣泛的應(yīng)用。

當(dāng)堂檢測(cè)：

為了檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握程度，以下提供幾道檢測(cè)題，請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成。

1.求函數(shù)\(f(x)=x^2+2x+1\)的導(dǎo)數(shù)，并求其在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)值。

2.已知函數(shù)\(f(x)=e^x-\ln(x)\)，求\(f(