微積分初步形成性考核冊答案

微積分初步形成性考核冊答案?一、函數(shù)

（一）單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x1}}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\leq1\)答案：A解析：要使根式有意義，則根號下的數(shù)大于\(0\)，即\(x1\gt0\)，解得\(x\gt1\)。

2.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)，當(dāng)\(x=1\)時，函數(shù)值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.無定義答案：D解析：當(dāng)\(x=1\)時，分母\(x1=0\)，分式無意義。

3.函數(shù)\(y=\sinx\)是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案：A解析：根據(jù)奇函數(shù)的定義\(f(x)=f(x)\)，對于\(y=\sinx\)，\(\sin(x)=\sinx\)，所以是奇函數(shù)。

4.函數(shù)\(y=x^3+1\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\sqrt[3]{x1}\)B.\(y=\sqrt[3]{x+1}\)C.\(y=\sqrt[3]{x1}1\)D.\(y=\sqrt[3]{x+1}1\)答案：A解析：由\(y=x^3+1\)，得\(x^3=y1\)，所以\(x=\sqrt[3]{y1}\)，將\(x,y\)互換得反函數(shù)\(y=\sqrt[3]{x1}\)。

5.下列函數(shù)中，（）是基本初等函數(shù)。A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\sinx+\cosx\)答案：C解析：基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，\(y=2^x\)是指數(shù)函數(shù)，屬于基本初等函數(shù)。

（二）填空題1.函數(shù)\(y=\sqrt{2x+3}\)的定義域是______。答案：\(x\geq\frac{3}{2}\)解析：要使根式有意義，則\(2x+3\geq0\)，解得\(x\geq\frac{3}{2}\)。

2.已知函數(shù)\(f(x)=x^22x+3\)，則\(f(0)=\)______。答案：\(3\)解析：將\(x=0\)代入\(f(x)=x^22x+3\)，得\(f(0)=0^22\times0+3=3\)。

3.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是______。答案：\(2\pi\)解析：根據(jù)余弦函數(shù)的周期性質(zhì)，\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。

4.函數(shù)\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)的圖象關(guān)于直線______對稱。答案：\(y=x\)解析：指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)與對數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱。

5.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是______。答案：\((0,+\infty)\)解析：對數(shù)函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是\((0,+\infty)\)。

（三）解答題1.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{2x1}{x+1}\)，求\(f(0),f(1),f(1)\)。解：\(f(0)=\frac{2\times01}{0+1}=\frac{1}{1}=1\)；\(f(1)=\frac{2\times11}{1+1}=\frac{1}{2}\)；\(f(1)=\frac{2\times(1)1}{1+1}\)，分母為\(0\)，無意義。

2.判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{e^xe^{x}}{2}\)的奇偶性。解：首先，函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，關(guān)于原點(diǎn)對稱。然后，計算\(f(x)\)：\(f(x)=\frac{e^{x}e^{x}}{2}=\frac{e^{x}e^{x}}{2}=f(x)\)所以，函數(shù)\(f(x)=\frac{e^xe^{x}}{2}\)是奇函數(shù)。

3.求函數(shù)\(y=3x^22x+1\)的單調(diào)區(qū)間。解：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其對稱軸為\(x=\frac{2a}\)。在函數(shù)\(y=3x^22x+1\)中，\(a=3\)，\(b=2\)，則對稱軸為\(x=\frac{2}{2\times3}=\frac{1}{3}\)。因?yàn)閈(a=3\gt0\)，所以函數(shù)圖象開口向上。那么函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((\infty,\frac{1}{3})\)，單調(diào)遞增區(qū)間是\((\frac{1}{3},+\infty)\)。

4.已知函數(shù)\(y=\frac{1}{x1}\)，作出其圖象，并求其值域。解：列表：|\(x\)|\(y\)|||||\(0\)|\(1\)||\(2\)|\(1\)||\(1\)|\(\frac{1}{2}\)||\(3\)|\(\frac{1}{2}\)|描點(diǎn)、連線，得到函數(shù)圖象。由圖象可知，當(dāng)\(x\neq1\)時，\(y\neq0\)，所以函數(shù)的值域是\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。

二、極限與連續(xù)

（一）單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)\(x\to0\)時，\(\sin2x\)與\(x\)相比是（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.等價無窮小D.同階但不等價無窮小答案：D解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin2x}{2x}=2\)，極限為常數(shù)且不為\(1\)，所以是同階但不等價無窮小。

2.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}=(\)\)A.\(e^2\)B.\(e^3\)C.\(e^6\)D.\(e\)答案：C解析：根據(jù)重要極限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^6=e^6\)。

3.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)在\(x=1\)處（）A.有定義B.連續(xù)C.有極限D(zhuǎn).既無定義又無極限答案：C解析：\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)，所以在\(x=1\)處有極限。

4.若函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，則\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)=(\)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.不存在答案：B解析：當(dāng)\(x\to0^\)時，\(f(x)=x+1\)，所以\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)=\lim\limits_{x\to0^}(x+1)=1\)。

5.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^21}\)的間斷點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=1\)C.\(x=1\)和\(x=1\)D.無間斷點(diǎn)答案：C解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^21}\)的分母不能為\(0\)，即\(x^21=0\)，解得\(x=\pm1\)，所以\(x=1\)和\(x=1\)是間斷點(diǎn)。

（二）填空題1.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2+\sinx\)是比\(x\)______階的無窮小。答案：同解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2+\sinx}{x}=\lim\limits_{x\to0}(x+\frac{\sinx}{x})=0+1=1\)，所以是同階無窮小。

2.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x1}{2x^23x+2}=\)______。答案：\(\frac{3}{2}\)解析：分子分母同時除以\(x^2\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x1}{2x^23x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}\frac{1}{x^2}}{2\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}=\frac{3}{2}\)。

3.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，則\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)]^2=\)______。答案：\(A^2\)解析：根據(jù)極限的運(yùn)算法則，\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)]^2=[\lim\limits_{x\toa}f(x)]^2=A^2\)。

4.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^24}{x2}\)在\(x=2\)處______（填"連續(xù)"或"不連續(xù)"）。答案：不連續(xù)解析：\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^24}{x2}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=4\)，但\(f(2)\)無定義，所以不連續(xù)。

5.函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt1\\2x,&x\geq1\end{cases}\)，則\(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\)______。答案：\(2\)解析：當(dāng)\(x\to1^+\)時，\(f(x)=2x\)，所以\(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}2x=2\)。

（三）解答題1.計算極限\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}\)。解：\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)

2.計算極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。解：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3\sin3x}{3x}=3\)

3.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt0\\2x1,&x\geq0\end{cases}\)，討論\(x=0\)處的連續(xù)性。解：首先計算\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)\)：當(dāng)\(x\to0^\)時，\(f(x)=x^2+1\)，所以\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)=\lim\limits_{x\to0^}(x^2+1)=1\)。然后計算\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\)：當(dāng)\(x\to0^+\)時，\(f(x)=2x1\)，所以\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(2x1)=1\)。因?yàn)閈(\lim\limits_{x\to0^}f(x)\neq\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\)，所以函數(shù)在\(x=0\)處不連續(xù)。

4.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x2}\)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。解：函數(shù)\(y=\frac{1}{x2}\)的分母不能為\(0\)，即\(x2=0\)，解得\(x=2\)。當(dāng)\(x\to2\)時，\(\lim\limits_{x\to2}\frac{1}{x2}=\infty\)，所以\(x=2\)是無窮間斷點(diǎn)。

三、導(dǎo)數(shù)與微分

（一）單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(6\)D.\(9\)答案：B解析：對\(y=x^3\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2\)，將\(x=1\)代入得\(y^\prime|_{x=1}=3\times1^2=3\)，即切線斜率為\(3\)。

2.設(shè)\(y=