高中數(shù)學(xué)解題模板專題19 解三角形高中數(shù)學(xué)黃金解題模板

專題19正、余弦定理的應(yīng)用

【高考地位】

正余弦定理是三角函數(shù)中有關(guān)三角知識的繼續(xù)與發(fā)展，進(jìn)一步揭示了任意三角形的邊與角之間的關(guān)系，

其邊角轉(zhuǎn)換功能在求解三角形及判斷三角形形狀時有著重要應(yīng)用.在高考各種題型均有出現(xiàn)如選擇題、填空

題和解答題，其試題難度屬中檔題.

【方法點(diǎn)評】

類型一判斷三角形的形狀

使用情景：已知邊與三角函數(shù)之間的等式關(guān)系

解題模板：第一步運(yùn)用正弦定理或余弦定理將已知等式全部轉(zhuǎn)化為都是角或都是邊的等式；

第二步利用三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)或者邊與邊之間的等式關(guān)系得出所求的三角形的形狀；

第三步得出結(jié)論.

例1在AA3C中，已知acosB=bcosA,那么AABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【變式演練1】在AABC中，角A,瓦C所對的邊分別為a,b,c,若￡<<?54,則AABC.為.

b

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

【變式演練2】在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若8=—,且。，b,c成等

3

比數(shù)列，則AABC一定是（）

A.不等邊三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

類型二解三角形中的邊和角

使用情景：三角形中

解題模板：第一步直接運(yùn)用正弦或余弦定理通常使用的條件判斷是運(yùn)用正弦定理還是余弦定理；

第二步利用相應(yīng)的正弦、余弦定理的計算公式即可得出所求的結(jié)論.

例2、設(shè)AA3C的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若。=b=K,B=^,

貝UA=（）

【變式演練3】已知△ABC中，a=x,b=2,5=45。，若三角形有兩解，則元的取值范圍是（）

A.x>2B.x<2

C.2<X<2A/2D.2<x<2A/3

【變式演練4】在AA3C中，角A,5c的對邊為a,dc,若a2—c2=上訛,則角8為()

TCTCTC_p,2/^TC_p.

T.一B.一C.—----D.—---

633366

【變式演練5】在AABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:V10,貝UcosC=()

類型三解決與面積有關(guān)問題

使用情景：三角形中

解題模板：第一步主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角與邊;

第二步結(jié)合三角形的面積公式直接計算其面積.

例3在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,"c,且A=2C,a=0c,若6曲+*=28,則AA3C

的面積為?

【變式演練6】在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，如果a,b,c成等差數(shù)列，5=30。,

3

△ABC的面積為一，廁6為（）

2

A.小空B.1+百

D.2+A/3

【變式演練7】頂點(diǎn)在單位圓上的AA3C中，角A,B,C所對的邊分別為a也c.若^+c2=5,

sinA=—,貝！IS麗?=-

【變式演練8】在AA5C中，角4、B、。所對的邊分別為a、b、c,已知a=2,b=近，B=6b.

（1）求c及AABC的面積S；

(2)求sin(2A+C).

【高考再現(xiàn)】

1.【2017全國I卷文，11】AABC的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為a、6、c.已知sin3+sinA(sinC-cosC)=0,

a=2,c=母，貝！IC=

71兀兀兀

A.—B.-C.—D.一

12643

2.12017山東，理9】在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c.若AABC為銳角三角形，且

滿足sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是

QA)a=2b(B)Z?=2G(C)A=2B(D)B=2A

3.【2018年全國卷m理數(shù)高考試題】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若aABC的面積為

af。則c=

4

TtIt71Tt

A.-B.-C.-D.-

2346

久22

4.【2018年全國卷皿理數(shù)高考試題】設(shè)乙,尸2是雙曲線。二v-之=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)

a2b2

原點(diǎn).過下2作。的一條漸近線的垂線，垂足為p.若|P七|=M|OP|,貝Ue的離心率為

A.冊B.y/3C.2D.”

5.【2018年全國卷n】在中，cos^=立,BC=1,AC=5,貝!|AB=

25

A.B.聞C.回D.2^/5

6.【2018年江蘇卷】在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,瓦c,乙4BC=120。，乙4BC的平分線交AC于點(diǎn)

且BD=1,貝l]4a+c的最小值為.

7.[2018年浙江卷】在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若。=々，b=2,A=60°,則sin

B=,c=.

/Qc

8.[2018年北京，卷】若AABC的面積為J(a?+c2-M),且NC為鈍角，則48=_______；-的取值范圍是

4CL

9.【2018年新課標(biāo)I卷】△4BC的內(nèi)角4,B,。的對邊分別為a,b,c,已知bs出C+csEB=4asEBsEC,

b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為.

71

10.【2018年天津卷】在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知=acos(B-?

(I)求角B的大??；

(II)設(shè)。=2,c=3,求b和sin(24-B)的值.

1

11.【2018年北京卷】在AABC中，a=7,6=8,cosB=—.

(I)求NA；

(II)求AC邊上的高.

12.【2018年新課標(biāo)I卷】在平面四邊形4BCD中，UDC=90°，乙4=45°，4B=2,BD=5.

(1)求cos乙4DB；

(2)若DC=25求BC.

【反饋練習(xí)】

1.【河北省石家莊市2018屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題】

在AABC中，AB=2,C=~,則AC+J§5C的最大值為()

6

A.幣B.2幣C.3aD.4A/7

2.【吉林省四平市2018屆高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題】在DABC中，已知a,b,c分別為角4,3,。的對邊且

1A=6。。,若S.差且2s?3sinC,則DABC的周長等于()

A.5+,\/7B.12C.10+,\/7D.5+2"\/7

3.【貴州省黔東南州2018屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】

在AABC中，內(nèi)角4,民。所對的邊分別為a,dc,己知(a+人—c)(a+〃+c)=3",且c=4,則AA3C面

積的最大值為

A.873B.C.2。D.小

4.【山東省棗莊市2018屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】

已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a+，)(sinA-sinfi)=(c-Z?)sinC,則

A=()

5.【山西省2018屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題】在AA3C中，點(diǎn)。為邊A3上一點(diǎn)，若

AC=3?,AD=6sinNA3C=?,則AABC的面積是（）

A.迪B.C.6A/2D.120

22

6.【河南安陽2018屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】已知在口43。中，角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,6cosc=a,點(diǎn)M在線段AB上，且NACM=ZBCMr.若Z?=6CM=6,貝UcosN3cM=（）

AMR3小加

4444

7.【四川省涼山州2018屆高中畢業(yè)班第二次診慚性檢測數(shù)學(xué)】在口43。中，a,b,c為角A,B,

C所對的邊，若（/+。2—62）tanB=ac,則角5的值為（）

7171713.5%713.2%

A.—B.—C.一或一D.一或——

636633

8.【廣東省肇慶市2018屆高三第三次模擬數(shù)學(xué)】已知AA3C的角AB,。對邊分別為a力,c，若

a1^b2+c2-bc,且AA3C的面積為壬，則。的最小值為.

4

9.[2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題（衡水金卷調(diào)研卷）文數(shù)五】我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦

九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中

斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里,

14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該三角形沙田外接圓的半徑為米.

【答案】4062.5

10.【上海市普陀區(qū)2018屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研（二模）數(shù)學(xué)試題】在銳角三角形ABC中，角4、B、C

的對邊分別為a、b、c,若僅2+<?-*tanA=Z?c,則角A的大小為.

11.【衡水金卷2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試分科綜合卷理科數(shù)學(xué)（二）模擬試題】AABC中,

角A,5c的對邊分別為a,b,c,2c=a+回，當(dāng)NC最大時，烏*=.

a-+b

12.【山東省濟(jì)南市2018屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題】已知A