浙江專用備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)考點一遍過考點05二次函數(shù)與冪函數(shù)含解析

PAGEPAGE1考點05二次函數(shù)與冪函數(shù)（1）了解冪函數(shù)的概念.駕馭冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).（2）了解冪函數(shù)的改變特征.（3）能將一些簡潔的實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或冪函數(shù)問題，并賜予解決.一、二次函數(shù)1．二次函數(shù)的概念形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).2．表示形式(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).(2)頂點式：f(x)=a(x?h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)為拋物線的頂點坐標(biāo).(3)兩根式：f(x)=a(x?x1)(x?x2)(a≠0)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo).3．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)解析式圖象(拋物線)定義域R值域?qū)ΨQ性函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱頂點坐標(biāo)奇偶性當(dāng)b=0時是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).最值當(dāng)時，當(dāng)時，4．常用結(jié)論(1)函數(shù)f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是方程ax2＋bx＋c=0的實根.(2)若x1，x2為f(x)=0的實根，則f(x)在x軸上截得的線段長應(yīng)為|x1?x2|=.(3)當(dāng)且()時，恒有f(x)>0()；當(dāng)且()時，恒有f(x)<0().二、冪函數(shù)1．冪函數(shù)的概念一般地，形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x為自變量，α為常數(shù).2．幾個常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減過定點過定點過定點3．常用結(jié)論(1)冪函數(shù)在上都有定義.(2)冪函數(shù)的圖象均過定點.(3)當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象均過定點，且在上單調(diào)遞增.(4)當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象均過定點，且在上單調(diào)遞減.(5)冪函數(shù)在第四象限無圖象.考向一求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)解析式的方法求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是依據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式．一般選擇規(guī)律如下：典例1若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)（常數(shù)a，b∈R）是偶函數(shù)，且它的值域為-∞,4，則該函數(shù)的解析式f(x)=__________【答案】f【解析】∵函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx∴2a+ab=0，即a(b+2)=0，∴a=0或b=-2，又∵函數(shù)f(x)的值域為-∞,4，∴2a2=4故該函數(shù)的解析式f(x)=-2x故答案為：f(x)=-2x【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的性質(zhì)的運用，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭水平和分析推理實力.1．已知二次函數(shù)f(x)滿意f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x+5.（1）求f(x)的解析式；（2）若x∈[-3,1]，求f(x)的值域.考向二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．冪函數(shù)y=xα的圖象與性質(zhì)，由于α值的不同而比較困難，一般從兩個方面考查：①α的正負(fù)：當(dāng)α>0時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當(dāng)α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立．②冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系當(dāng)α≠0，1時，冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象特征如下：αα>10<α<1α<0圖象特別點過(0，0)，(1，1)過(0，0)，(1，1)過(1，1)凹凸性下凸上凸下凸單調(diào)性遞增遞增遞減舉例y=x2、2．利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧：結(jié)合冪值的特點利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當(dāng)?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.典例2如圖所示的曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖象，已知，相應(yīng)曲線對應(yīng)的值依次為A． B．C． D．【答案】B【解析】結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性及圖象，易知曲線對應(yīng)的值依次為．故選B．2．已知函數(shù)f(x)=(m2A．-1 B．2C．3 D．2或-1典例3設(shè)，則的大小關(guān)系是A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【解析】因為在上是增函數(shù)，所以又因為在上是減函數(shù)，所以.【名師點睛】同底數(shù)的兩個數(shù)比較大小，考慮用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；同指數(shù)的兩個數(shù)比較大小，考慮用冪函數(shù)的單調(diào)性，有時須要取中間量.3．已知，，，則下列結(jié)論成立的是A． B．C． D．考向三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行單獨考查的頻率較低，常與一元二次方程、一元二次不等式等學(xué)問交匯命題，考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，有時也出現(xiàn)在解答題中，解題時要精確運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，駕馭數(shù)形結(jié)合的思想方法.常見類型及解題策略：1．圖象識別問題辨析二次函數(shù)的圖象應(yīng)從開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)以及圖象與坐標(biāo)軸的交點等方面著手探討或逐項解除．2．二次函數(shù)最值問題的類型及處理思路(1)類型：a.對稱軸、區(qū)間都是給定的；b.對稱軸動、區(qū)間固定；c.對稱軸定、區(qū)間變動．(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間的兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類探討的思想即可完成．3．解決一元二次方程根的分布問題的方法常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：a.開口方向；b.對稱軸位置；c.判別式；d.端點函數(shù)值符號四個方面分析．4．求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題往往先對已知條件進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為下面兩種狀況：(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要條件是.(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要條件是.另外，也可以實行分別變量法，把問題轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，此時就等價于在區(qū)間D上f(x)min>A，接下來求出函數(shù)f(x)的最小值；若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max<B，求出函數(shù)f(x)的最大值即可.典例4若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的最小值為_________.【答案】【解析】的定義域為，，因為在上為增函數(shù)，故在上恒成立，且不恒為零.在上恒成立等價于在上恒成立，故即，而當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時有，故不恒為零.的最小值為.故填.【名師點睛】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則且不恒為零．4．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件典例5已知函數(shù)，若對于隨意的都有，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】據(jù)題意解得．5．已知a，b，cR，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c．若f(0)＝f(4)＞f(1)，則A．a(chǎn)＞0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)＜0，4a＋C．a(chǎn)＞0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)＜0，2a＋1．若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2,2)，則函數(shù)A．1 B．C．2 D．2．已知，，，則的大小關(guān)系是A． B．C． D．3．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則A． B． C． D．24．函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．5．已知冪函數(shù)f（x）=xa（a是常數(shù)），則A．的定義域為R B．在上單調(diào)遞增C．的圖象肯定經(jīng)過點 D．的圖象有可能經(jīng)過點6．已知：冪函數(shù)在上單調(diào)遞增；則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是A． B．0C． D．8．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為A． B． C． D．9．已知點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)則的大小關(guān)系為A． B． C． D．10．已知函數(shù)（其中，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的定義域為A． B．C． D．11．已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)是上的奇函數(shù)，函數(shù)，則A．0 B．2024C．4036 D．403712．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值是__________．13．對冪函數(shù)有以下結(jié)論（1）的定義域是；（2）的值域是；（3）的圖象只在第一象限；（4）在上遞減；（5）是奇函數(shù)．則全部正確結(jié)論的序號是__________．14．已知二次函數(shù)的最小值為1,且．（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方，試確定實數(shù)的取值范圍．15．已知函數(shù)（1）對隨意實數(shù)恒成立，求的最大值；（2）若函數(shù)恰有一個零點，求的取值范圍.1．（2024年高考北京文數(shù)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是A． B．y=C． D．2．（2024年高考浙江卷）若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M–mA．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)3．（2024年高考山東卷理科）已知當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．4．（2024年高考新課標(biāo)III卷理科）已知，，，則A． B．C． D．5．（2024年高考浙江卷文科）已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2024年高考浙江卷）已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是___________.變式拓展變式拓展1．【答案】（1）f(x)=x2+4x+1【解析】（1）設(shè)f(x)=ax2+bx+c，因為f(0)=1當(dāng)x=0時，由f(x+1)-f(x)=2x+5，得f(1)=6；當(dāng)x=1時，由f(x+1)-f(x)=2x+5，得f(2)=13.由f(0)=1f(1)=6f(2)=13，得c=1a+b+c=6所以f(x)=x（2）∵f(x)=x2+4x+1在-∞,-2又因為-2∈-3,1，所以當(dāng)x=-2時，又因為當(dāng)x=-3時，f(-3)=-2，當(dāng)x=1時，f(1)=6，所以f(x)的值域是-32．【答案】A【解析】∵函數(shù)f(x)=(m∴m2-m-1=1，解得：m=2當(dāng)m=2時，，其圖象與兩坐標(biāo)軸有交點，不符合題意；當(dāng)m=-1時，，其圖象與兩坐標(biāo)軸都沒有交點，符合題意，故m=-1.故選A．3．【答案】A【解析】，，，，即，，故.選A．【名師點睛】本題主要考查了比較大小問題，其中解答中嫻熟運用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力.求解時，依據(jù)冪函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，得出，再依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，即可得到結(jié)論.4．【答案】A【解析】因為時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)時，．所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件．故選A．5．【答案】A【解析】由f(0)＝f(4)知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c對稱軸為x＝2，即．所以4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)且f(0)，f(1)在對稱軸同側(cè)，故函數(shù)f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞減，則拋物線開口向上，故a＞0，故選A．考點沖關(guān)考點沖關(guān)1．【答案】B【解析】設(shè)（是常數(shù)），∵f（x）的圖象過點（2，2），∴=2，則，則f（x）=x，y=故其最大值為.故選B.2．【答案】C【解析】易知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，，，即.故選C.3．【答案】B【解析】冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，

則，解得；

∴，

∴，

故選B．4．【答案】C【解析】函數(shù)可化為，當(dāng)時，求得，選項B，D不合題意，可解除選項B，D；當(dāng)時，求得，選項A不合題意，可解除選項A，故選C．5．【答案】C【解析】（1）對于A，冪函數(shù)f（x）=xa的定義域與a有關(guān)，不肯定為R，A錯誤；（2）對于B，a＞0時，冪函數(shù)f（x）=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞增，a＜0時，冪函數(shù)f（x）=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞減，B錯誤；（3）對于C，冪函數(shù)f（x）=xa的圖象過定點（1，1），C正確；（4）對于D，冪函數(shù)f（x）=xa的圖象肯定不過第四象限，D錯誤．故選：C．6．【答案】A【解析】由題意，命題冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，又，所以是的充分不必要條件，故選A．7．【答案】B【解析】由題設(shè)得，故在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時取最小值，最小值為，應(yīng)選B.8．【答案】B【解析】由題意得：，，，在上是增函數(shù)且，，故選B.【名師點睛】本題主要考查利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小問題.比較大小類問題常用的解決方法有構(gòu)造函數(shù)統(tǒng)一的函數(shù)模型，利用函數(shù)單調(diào)性來進(jìn)行比較.9．【答案】A【解析】由為冪函數(shù)得,因為點在冪函數(shù)上，所以,即，因為又,所以，選A.【名師點睛】本題考查冪函數(shù)定義以及奇偶性與單調(diào)性，考查基本分析推斷與求解實力，屬基礎(chǔ)題.10．【答案】B【解析】因為函數(shù)（其中，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以令故選B．11．【答案】D【解析】因為函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，所以，因此，因此故選D．12．【答案】【解析】設(shè)，則可化為當(dāng)時，有最小值，即時，函數(shù)的最小值是，故答案為.【名師點睛】求函數(shù)最值的常見方法有：①配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采納配方法求函數(shù)值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且肯定要先確定其定義域；②換元法：常用代數(shù)或三角代換法，用換元法求值域時需仔細(xì)分析換元參數(shù)的范圍改變；③不等式法：借助于基本不等式求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時，要留意基本不等式的運用條件“一正、二定、三相等”；④單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后精確地找出其單調(diào)區(qū)間，最終再依據(jù)其單調(diào)性求出函數(shù)的最值；⑤圖象法：畫出函數(shù)圖象，依據(jù)圖象的最高和最低點求最值.13．【答案】（2）（3）（4）【解析】對冪函數(shù)，以下結(jié)論（1）的定義域是，因此不正確；（2）的值域是，正確；（3）的圖象只在第一象限，正確；（4）在上單調(diào)遞減，正確；（5）是非奇非偶函數(shù)，因此不正確．則全部正確結(jié)論的序號是（2）（3）（4）．故答案為：（2）（3）（4）．【名師點睛】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．14．【答案】（1）f(x)=2x2-4x+3【解析】（1）依據(jù)題意，f(x)是二次函數(shù)，且f(x)=f(2-x)，可得函數(shù)f(x)的對稱軸為x=1，又其最小值為1，可設(shè)f(x)=a(x-1)又因為f(0)=3,則a+1=3,解可得a=2,則f(x)=2(x-1)（2）依據(jù)題意，2x2-4x+3>2x+2m+1在[-1,1]設(shè)g(x)=x2-3x+1,則g(x)在區(qū)間則g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為g(1)=-1,則有故m的取值范圍為(-∞,-1)．15．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），恒成立，故，即的最大值為.（2），或；，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，恰有一個零點，或即或.故的取值范圍是.直通高考直通高考1．【答案】A【解析】易知函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上