2024-2025學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高一下學(xué)期3月適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高一下學(xué)期3月適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.向量AB?CB+A.0 B.?2AC C.2BC 2.已知i是虛數(shù)單位，a,b∈R，則“a=b=1”是“a+bi2=2i”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.在△ABC中，點E是AB上靠近A的三等分點，F(xiàn)是CE上靠近C的三等分點，則AF=(

)A.19AB+13AC B.24.在?ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=x，b=2，B=45°，若三角形有兩個解，則x的取值范圍是(

)A.x>2 B.x<2 C.2<x<22 5.已知向量a=(2,?1)，b=(1,n)，若a⊥b，則a+bA.(2,1) B.(1,1) C.(1,2) D.((?2,1)6.在一堂數(shù)學(xué)實踐探究課中，同學(xué)們用鏡面反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為a1=1.00m，之后將小鏡子前移a=6.00m，重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為a2=0.60m，已知人的眼睛距離地面的高度為?=1.75m，則鐘樓的高度大約是(

)A.27.75m B.27.25m C.26.75m D.26.25m7.已知?ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足sin2B=3sin2A?2sin2A.2 B.1 C.12 D.8.若?ABC的三個內(nèi)角均小于120°，點M滿足∠AMB=∠AMC=∠BMC=120°,則點M到三角形三個頂點的距離之和最小，點M被人們稱為費馬點．根據(jù)以上性質(zhì)，已知a是平面內(nèi)的任意一個向量，向量b,c滿足b⊥c，且A.9 B.43 C.6 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=21+3i，其中A.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

C.復(fù)數(shù)z是方程x2+x+1=0的解 10.已知D為?ABC所在平面內(nèi)的一點，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若AD=13AB+12AC，則S△BCDS△ABD=16

B.若AB|AB|+AC|AC11.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形A′B′C′拼成的一個大等邊三角形ABC.對于圖2.下列結(jié)論錯誤的是(

)

A.這三個全等的鈍角三角形可能是等腰三角形

B.若BB′=3，sin∠ABB′=5314，則A′B′=2

C.若AB=2A′B′，則AB′=10BB′

D.若A′是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知OA=1,2,AB=4,?2，則13.在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，且?ABC的周長為asinBsinA+sinB?sin14.如圖，在?ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O.若AB??AC?=6AO??EC四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知向量a=m,1，b=(1)若向量a，b能構(gòu)成一組基底，求實數(shù)m的范圍；(2)若c=1,3，且c⊥a?b16.(本小題12分)如圖，觀測站C在目標A的南偏西20°方向，經(jīng)過A處有一條南偏東40°走向的公路，在C處觀測到與C相距31km的B處有一人正沿此公路向A處行走，走20km到達D處，此時測得(1)求sin∠BDC(2)求D，A之間的距離．17.(本小題12分)在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=1，asinA?sin(1)求?ABC的外接圓半徑；(2)若?ABC為銳角三角形，求?ABC周長的取值范圍．18.(本小題12分)折紙是一項玩法多樣的活動.通過折疊紙張，可以創(chuàng)造出各種各樣的形狀和模型，如動物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術(shù)形式，還蘊含了豐富的數(shù)學(xué)知識.在紙片?ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，?ABC的面積為S1，a=(1)證明：S1(2)若83S(3)在(2)的條件下，若b=3，D是AB的中點，現(xiàn)需要對紙片?ABC做一次折疊，使C點與D點重合，求折疊后紙片重疊部分的面積S19.(本小題12分)在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù).其中，雙曲余弦函數(shù)：cos?(x)=ex+e?x2，雙曲正弦函數(shù)：sin?(x)=ex?e?x2，雙曲正切函數(shù)：tan?(x)=sin?(x)cos?(x).在?ABC中，(1)若tan?(x)=32，證明：(2)若A=π3，作AD平分∠BAC交BC于D點，求(3)若A(cos?(θ),sin?(θ))(θ≠0)，B(2,0)，C(?2參考答案1.A

2.A

3.C

4.C

5.C

6.D

7.C

8.C

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.5

13.2π314.3．15.(1)若向量a，b能構(gòu)成一組基底，則向量a，b不共線，則mm+1?2≠0，解得m≠?2且(2)因為c⊥a?即m+3?2?3m+1=0，解得所以a=?1,1，則cosa又因為0≤a,b即向量a與b的夾角為3π4

16.(1)由題意知：BD=20km，CD=21km，BC=31km在?BCD中，由余弦定理cos因為0所以sin(2)∵cos∠CDA=cos180由題意知：∠CAD=2在?ACD中，由正弦定理得：CDsin∠CAD由余弦定理得：AD即AD解得：AD=15km或AD=?9km(舍)∴D，A之間的距離為15km

17.(1)由asinA?sin故a2+b2由余弦定理得cos由于C∈0,π，所以C=sinC=32，根據(jù)所以?ABC的外接圓半徑為3(2)由(1)知，C=π3，B+A=2π由正弦定理有csin所以b+a==2因為?ABC為銳角三角形，所以0<B<π20<2π所以B+π6∈所以3<b+a<2，則所以?ABC周長的取值范圍為1+

18.(1)證明：由正弦定理可得b=asinB又因為a=5，所以(2)將S1=5得20即103(即103cos又因為A∈0,π，所以sin(3)由余弦定理得a2=b即c2?c?2=則cosB=設(shè)折痕為線段EF，其中E在BC上，F(xiàn)在AC上，設(shè)CE=DE=x，CF=DF=y，則BE=5?x，AF=在?BDE中，由余弦定理得x2=(在?ADF中，由余弦定理得y2=(重疊部分的面積為△CEF的面積，S2因為cos所以sinC=所以S

19.(1)cos?2因為x>ln2，則因為tan?(x)=sin?(x)化簡可得cos?(x)=2，則sin?(x)=3，故a=所以三角形為等腰三角形．(2)余弦定理得sin?又因cos?代入解得c=cos?(x)=5法1：由題可知∠CAD=∠BAD=30°，等面積法求AD：∴12b?AD在?ABD中余弦定理得BD2=法2：內(nèi)角平分線，?ABD中，ABsin?ACD中，ACsin∠ADC=所以BD=5(3)設(shè)BC，CA，AB分別長為a，b，c．法1：b=|AC|=注意到cos?故b=類似地，c=2cos如圖，記內(nèi)切圓在BC，CA，AB上的切點分別為D，E，F(xiàn)，由于同一點向同一圓引出的兩切線長度相等，故|AE|=|AF|，|BD|=|BF|，|CE|=|CD|而2=|AC|?|AB|=|CE|+|AE|?(|BF|+|AF|)=|CE|?|BF|=|CD|?|BD|，又|CD|+|BD|=|BC|=22，故|CD|=2又由切線的性質(zhì)知ID⊥OD，故點I的橫坐標為1法2：設(shè)I坐標為(x,y)，IA=(