18.2.2　菱形（第1課時　菱形的性質(zhì)）

18.2.2菱形第1課時菱形的性質(zhì)“菱形”是繼“四邊形”“平行四邊形”和“矩形”之后的一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，它是在學(xué)生掌握了平行四邊形的性質(zhì)與判定，又學(xué)習(xí)了特殊的平行四邊形——矩形，具備了初步的觀察、操作等活動經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上講授的．通過探索和證明菱形的特殊性質(zhì)可以讓學(xué)生體會證明的必要性并進(jìn)一步豐富對圖形的認(rèn)識和感受．【置疑導(dǎo)入】問題：在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度，能否得到一個特殊的平行四邊形？它是什么圖形呢？它有什么性質(zhì)呢？運(yùn)用多媒體動態(tài)地展示將平行四邊形的一邊進(jìn)行平移的過程，讓學(xué)生觀察圖形的變化．【說明與建議】說明：通過提問可使學(xué)生的注意力集中起來．建議：讓學(xué)生通過觀察圖形的變化，從而引導(dǎo)學(xué)生探尋菱形的性質(zhì)．【歸納導(dǎo)入】如圖，準(zhǔn)備四根木棒拼成平行四邊形，使其一邊慢慢地平移，提出問題：整個變化過程中四邊形是否仍然是平行四邊形？當(dāng)相鄰兩邊長度相等時停止移動，此時的四邊形與原平行四邊形有什么不同？歸納：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【說明與建議】說明：通過圖形的變化讓學(xué)生感知菱形是平行四邊形中的一個特例，為菱形性質(zhì)及定義的得出做好鋪墊．建議：在得到菱形定義的時候要抓住兩個關(guān)鍵點(diǎn)．一是平行四邊形，二是一組鄰邊相等．命題角度1菱形的性質(zhì)1．如圖，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，則∠C的度數(shù)為(B)A．30°B．40°C．50°D．60°第1題圖第3題圖第5題圖2．菱形ABCD的兩條對角線AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的邊長是(B)A．6cmB．5cmC．4cmD．8cm3．兩個相同的菱形按如圖所示的方式拼接在一起，若∠ABD＝15°，則∠BCF的度數(shù)為60°.命題角度2菱形的面積4．已知菱形ABCD的面積為96cm2，對角線AC的長為16cm，則此菱形的邊長為(D)A．20cmB．14cmC．3eq\r(2)cmD．10cm5．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AD，CD邊上的中點(diǎn)，連接EF.若EF＝3，BD＝4，則菱形ABCD的面積為12．中國傳統(tǒng)紋樣——菱形紋菱形紋在中國傳統(tǒng)裝飾紋樣中有著悠久歷史，最早可以追溯到原始社會的新石器時代早期．起源于具象紋飾的模擬和抽象，兩種途徑相互影響，共同促進(jìn)，構(gòu)成了早期人類裝飾圖案的主體紋樣，如馬家窯彩陶文化的半山類型，菱形紋就是其典型特征．早在原始社會，菱形紋就已經(jīng)是多種幾何裝飾圖案的母題紋樣，李澤厚先生曾評價這一類幾何紋飾為“有意味的形式”．首先，菱形紋是作為一種幾何形式存在，能從自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)中傳達(dá)出形式上的美感．人們在長期的裝飾實(shí)踐中，將一直處于運(yùn)動變化的菱形紋予以概括、整合、提煉，依照事物美的規(guī)律構(gòu)造出多元化的造型，于變化中求多樣性，又于多樣性中求統(tǒng)一；其次，作為一種與人類生活密切相關(guān)的裝飾紋樣，菱形紋又是人們理想愿望和精神寄托的圖案之一，突出體現(xiàn)在其寓意美好的方面，它是人們內(nèi)心世界的主觀反映，也是菱形紋藝術(shù)魅力的內(nèi)在表象．課題18.2.2第1課時菱形的性質(zhì)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.經(jīng)歷菱形性質(zhì)的探究過程，掌握菱形的兩條性質(zhì)．2．經(jīng)歷菱形性質(zhì)的探究過程，培養(yǎng)動手實(shí)驗(yàn)、觀察推理的意識，發(fā)展形象思維和邏輯推理能力．3．根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明，培養(yǎng)邏輯推理能力和演繹能力．教學(xué)重點(diǎn)菱形性質(zhì)的探究．教學(xué)難點(diǎn)菱形性質(zhì)的探究和應(yīng)用．授課類型新授課課時教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖回顧1.(復(fù)習(xí))什么叫做平行四邊形？什么叫做矩形？平行四邊形和矩形之間的關(guān)系是什么？2．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，則直線AC是線段BD的垂直平分線，依據(jù)：到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．建立新舊知識之間的鏈接，為突破本節(jié)課難點(diǎn)做準(zhǔn)備．活動一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】剪一剪：將一個矩形的紙對折兩次，沿虛線剪下，再打開，就得到一個菱形．菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形也是中心對稱圖形．通過折紙的過程，菱形是不是軸對稱圖形呢？菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸．學(xué)生通過動手操作，探索菱形的對稱性，不僅增強(qiáng)了學(xué)生興趣，也為后面歸納菱形性質(zhì)做鋪墊．活動二：實(shí)踐探究、交流新知【探究新知】思考下列問題根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，猜想菱形具有哪些性質(zhì)？性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等．符號語言：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.性質(zhì)2：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．符號語言：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.學(xué)生試證明菱形的兩個性質(zhì)．求證：菱形的四條邊都相等．菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，AC與BD相交于點(diǎn)O.求證：(1)AB＝BC＝CD＝DA；(2)AC⊥BD，∠1＝∠2，∠5＝∠6，∠3＝∠4，∠7＝∠8.【探究】菱形的面積公式(教材第56頁例3)如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).【思路點(diǎn)撥】本題要求兩條小路的長和花壇的面積，可以在Rt△ABO中，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出OA，OB的長．解：∵花壇ABCD的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.在Rt△OAB中，AO＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×20＝10.BO＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3).∴花壇的兩條小路長AC＝2AO＝20(m).BD＝2BO＝20eq\r(3)≈34.64(m).花壇的面積S菱形ABCD＝4×S△OAB＝eq\f(1,2)AC·BD＝200eq\r(3)≈346.4(m2).【方法歸納】你有什么發(fā)現(xiàn)？(1)菱形的一條對角線將菱形分成兩個全等的等腰三角形；(2)菱形的兩條對角線將菱形分成四個全等的小直角三角形；(3)應(yīng)用菱形性質(zhì)計(jì)算的一般思路：①菱形對邊平行、對角相等、四條邊相等，所以在做題時，可利用等量代換來轉(zhuǎn)換為其他邊的長；②菱形的對角線互相垂直，故常借助對角線垂直和勾股定理來求線段的長．1.在學(xué)生獨(dú)立思考后再通過交流和引導(dǎo)，明確目前證明線段、角相等的常用方法，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力．2.在認(rèn)識菱形特征的基礎(chǔ)上，對菱形的性質(zhì)進(jìn)行歸納，是知識的一次升華，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力．活動三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，連接BE.求證：∠AFD＝∠CBE.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CB＝CD，CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.【變式訓(xùn)練】如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，AF.AE和AF有什么樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．解：AE＝AF.理由：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD.又∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴BE＝eq\f(1,2)BC，DF＝eq\f(1,2)CD.∴BE＝DF.∴△ABE≌△ADF(SAS).∴AE＝AF.師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．通過變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和邏輯思維能力．活動四：課堂檢測【課堂檢測】1．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是(D)A.對邊相等B．對角相等C.對角線互相平分D．對角線互相垂直2．如圖，在菱形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是(D)A.BO＝DOB．∠DAC＝∠BACC.AC⊥BDD．AO＝DO第2題圖第4題圖3．已知菱形ABCD的面積為24cm2，若對角線AC＝6cm，則這個菱形的邊長為5cm.4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是菱形．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8，4)．5．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6.(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)求AC的長．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，∴∠BCD＝2∠ACD＝60°，AB∥CD.∴∠ABC＝180°－60°＝120°.(2)連接BD交AC于點(diǎn)O，則∠AOB＝90°，AO＝CO.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝30°.∴OB＝eq\f(1,2)AB＝3.∴OA＝eq\r(AB2－OB2)＝3eq\r(3).∴AC＝6eq\r(3).師生活動：