初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題23圓與圓的位置關(guān)系

專題23圓與圓的位置關(guān)系

【閱讀與思考】

兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定圓與圓的外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關(guān)系.圓與圓

相交、相切等關(guān)系是研究圓與圓位置關(guān)系的重點，解題中經(jīng)常用到相關(guān)性質(zhì).

解圓與圓的位置關(guān)系問題，往往需要添加輔助線，常用的輔助線有：

1.相交兩圓作公共弦或連心線；

2.相切兩圓作過切點的公切線或連心線；

3.有關(guān)相切、相離兩圓的公切線問題常設(shè)法構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形.

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.

【例題與求解】

【例1】如圖，大圓⊙O的直徑ABacm，分別以O(shè)A，OB為直徑作⊙O1和⊙O2，并在⊙O與⊙O1

和⊙的空隙間作兩個等圓⊙和⊙，這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形的面積為

O2O3O4O1O4O2O3

________cm2.（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

解題思路：易證四邊形為菱形，求其面積只需求出兩條對角線的長.

O1O4O2O3

【例2】如圖，圓心為A，B，C的三個圓彼此相切，且均與直線l相切.若⊙A，⊙B，

1

⊙C的半徑分別為a，b，c（0cab），則a，b，c一定滿足的關(guān)系式為（）

A.2bacB.2bac

111111

C.D.

cabcab

（天津市競賽試題）

解題思路：從兩圓相切位置關(guān)系入手，分別探討兩圓半徑與分切線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作圓的基本

輔助線.

【例3】如圖，已知兩圓內(nèi)切于點P，大圓的弦AB切小圓于點C，PC的延長線交大圓于點D.求證：

（1）∠APD=∠BPD；

（2）PAPBPC2ACCB.（天津市中考試題）

解題思路：對于（1），作出相應(yīng)輔助線；對于（2），應(yīng)化簡待證式的右邊，不妨從AC·BC=PC·CD

入手.

【例4】如圖⊙O1和⊙O2相交于點A及B處，⊙O1的圓心落在⊙O2的圓周上，⊙O1的弦AC與⊙O2

交于點D.求證：O1D⊥BC.

（全俄中學(xué)生九年級競賽試題）

解題思路：連接AB，O1B，O1C，顯然△O1BC為等腰三角形，若證O1D⊥BC，只需證明O1D平分∠

BO1C.充分運用與圓相關(guān)的角.

【例5】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=22，點P在邊BC上

2

運動（與B，C不重合）.設(shè)PC=x，四邊形ABPD的面積為y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

1

（2）若以D為圓心，為半徑作⊙D，以P為圓心，以PC的長為半徑作⊙P，當(dāng)x為何值時，⊙D與

2

⊙P相切？并求出這兩圓相切時四邊形ABPD的面積.（河南省中考題）

解題思路：對于（2），⊙P與⊙D既可外切，也可能內(nèi)切，故需分類討論，解題的關(guān)鍵是由相切兩圓

的性質(zhì)建立關(guān)于x的方程.

【例6】如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交

BN

于另一點P，延長AP交BC于點N，求的值.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

NC

解題思路：AB為兩圓的公切線，BC為直徑，怎樣產(chǎn)生比例線段？豐富的知識，不同的視角激活想象，

可生成解題策略與方法.

【能力與訓(xùn)練】

A級

1.如圖，⊙A，⊙B的圓心A，B在直線l上，兩圓的半徑都為1cm.開始時圓心距AB＝4cm，現(xiàn)⊙A，⊙

3

B同時沿直線l以每秒2cm的速度相向移動，則當(dāng)兩圓相切時，⊙A運動的時間為_______秒.

（寧波市中考試題）

2.如圖，O2是⊙O1上任意一點，⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，E為優(yōu)弧AB上的一點，EO2及延長線

交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半徑為_______.

（四川省中考試題）

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

3.如圖，半圓O的直徑AB＝4,與半圓O內(nèi)切的動圓O1與AB切于點M.設(shè)⊙O1的半徑為y，AM的長

為x，則y與x的函數(shù)關(guān)系是_________________.（要求寫出自變量x的取值范圍）

（昆明市中考試題）

4.已知直徑分別為115和153的兩個圓，它們的圓心距為151，這兩圓的公切線的條數(shù)是

__________.

5.如圖，⊙O1和⊙O2相交于點A，B，且⊙O2的圓心O2在圓⊙O1的圓上，P是⊙O2上一點.已知∠AO1B

＝60°，那么∠APB的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

（甘肅省中考試題）

6.如圖，兩圓相交于A、B兩點，過點B的直線與兩圓分別交于C，D兩點.若⊙O1半徑為5，⊙O2

的半徑為2，則AC：AD為（）

A.3:25B.25:3C.25:1D.5:2

（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）

7.如圖，⊙O1和⊙O2外切于點T，它們的半徑之比為3:2，AB是它們的外公切線，A，B是切點，AB

＝46，那么⊙O1和⊙O2的圓心距是（）

2039

A.56B.10C.106D.

13

8.已知兩圓的半徑分別為R和r（Rr），圓心距為d.若關(guān)于x的方程x22rx(Rd)20有兩

相等的實數(shù)根，那么這兩圓的位置關(guān)系是（）

A.外切B.內(nèi)切C.外離D.外切或內(nèi)切

4

（連云港市中考試題）

⌒

9.如圖，⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，點O1在⊙O2上，點C為⊙O1中優(yōu)弧AB上任意一點，直線CB

交⊙O2于D，連接O1D.

（1）證明：DO1⊥AC；

⌒

（2）若點C在劣弧AB上，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請在圖中畫出圖形，并證明你的結(jié)論.

（大連市中考試題）

圖1圖2

10.如圖，已知⊙O1與⊙O2外切于點P，AB過點P且分別交⊙O1和⊙O2于點A，B，BH切⊙O2于點B，

交⊙O1于點C，H.

（1）求證：△BCP∽△HAP；

（2）若AP:PB＝3：2，且C為HB的中點，求HA:BC.

（福州市中考試題）

11.如圖，已知⊙B，⊙C的半徑不等，且外切于點A，不過點A的一條公切線切⊙B于點D，切⊙C于

點E，直線AF⊥DE，且與BC的垂直平分線交于點F.求證：BC＝2AF.

（英國數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

5

12.如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點.正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過

△ABC得內(nèi)切圓圓心O，且點E在半圓弧上.

（1）若正方形的頂點F也在半圓弧上，求半圓的半徑與正方形邊長的比；

（2）若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內(nèi)切圓半徑r4，求半圓的直徑AB.

（杭州市中考試題）

B級

1.相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，這兩圓的圓心距為_______.

2.如圖，⊙O過M點，⊙M交⊙O于A，延長⊙O的直徑AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，則AM＝

_______.

（黑龍江省中考試題）

（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）

3.已知圓環(huán)內(nèi)直徑為acm，外直徑為bcm，將50個這樣的圓環(huán)一個接著一個環(huán)套環(huán)地連成一條鎖鏈，

那么這條鎖鏈拉直后的長度為___________cm.

4.如圖，已知PQ＝10，以PQ為直徑的圓與一個以20為半徑的圓相切于點P.正方形ABCD的頂點A，

B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q.若AB＝mn，其中m，n為整數(shù)，則

6

mn___________.

（美國中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請賽試題）

5.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點M，且分正方形為4個三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，

⊙O4，分別為△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的內(nèi)切圓.已知AB＝1.則⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4

所夾的中心（陰影）部分的面積為（）

(4)(322)(322)

A.B.

164

(4)(322)4

C.D.

416

（太原市競賽試題）

（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）

6.如圖，⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點E，⊙O1的弦AB過⊙O2的圓心O2，交⊙O2于點C，D.若AC：CD:BD

＝2:4:3，則⊙O2與⊙O1的半徑之比為（）

A.2:3B.2:5C.1:3D.1:4

7.如圖，⊙O1與⊙O2外切于點A，兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公

切線平行，則⊙O1與⊙O2的半徑之比為（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8.如圖，已知⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，過點A作⊙O1的切線，交⊙O2于點C，過點B作兩圓的

割線分別交⊙O1，⊙O2于點D，E，DE與AC相交于點P.

（1）求證：PAPEPCPD

（2）當(dāng)AD與⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12時，求AD的長.（黃岡市中考試題）

9.如圖，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，切點為B，C.連接BA并延長交⊙O1

于D，過D點作CB的平行線交⊙O2于E，F(xiàn).

（1）求證：CD是⊙O1的直徑；

（2）試判斷線段BC，BE，BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（四川省中考試題）

7

10.如圖，兩個同心圓的圓心是O，大圓的半徑為13，小圓的半徑為5，AD是大圓的直徑，大圓的弦

AB，BE分別與小圓相切于點C，F(xiàn)，AD，BE相交于點G，連接BD.

（1）求BD的長；

（2）求ABE2D的度數(shù)；

BG

（3）求的值.（淄博市中考試題）

AG

11.如圖，點H為△ABC的垂心，以AB為直徑的⊙O1與△BCH的外接圓⊙O2相交于點D，延長AD交

CH于點P.求證：P為CH的中點.（“《數(shù)學(xué)周報杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

12.如圖，已知AB為半圓O的直徑，點P為直徑AB上的任意一點，以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，

⊙A與半圓O相交于點C，以點B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B與半圓O相交于點D，且線段CD的

中點為M.求證：MP分別與⊙A，⊙B相切.（“《數(shù)學(xué)周報杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

8

專題23圓與圓的位置關(guān)系

12提示：連接QP1必過點，則⊥，設(shè)⊙，⊙的半徑為，在

例1aOO3O4ABO3O4xcmRt

6CP4

222

△中，有aaa，解得a

O3O1Ox=xx=.

4246

提示：連接，，，作⊥，則222，即222，

例2DABAA1BB1AB2BB1ABAB2BB2ab=AB2ba

得22，同理，2，2，由得，故

AB2=A1B14abA1C14acC1B14bcA1B1=A1C1C1B14ab=4ac4bc

111

=.

cab

例3提示：⑴過P點作兩圓的公切線.⑵即證PAPBPCPD.

，1，則為的平分線，又，故

例4BO1C2BACBO1DBACBO1CO1DBO1CO1BO1C

2

O1DBC.

2

例5⑴過D作DQ⊥BC于Q，則BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=CD2DQ2=2222=2，故

1

y=13x2=4x（0<x<3）.

2

1

⑵分兩種情況討論：①當(dāng)⊙P與⊙D外切時，如圖1，QC=2，PC=x，QP=2x，PD=x+，DQ=2，在

2

2

221313149

Rt△DQP中，由2x2=x+得，x=，y=4=.

2202020

1

②當(dāng)⊙P與⊙D內(nèi)切時，如圖2，PC=x，QC=2，PQ=x-2，PD=x-，DQ=2，在Rt△DPQ中，由

2

2

221313117

x22=x-得，x=，y=4=.

2121212

例6就圖1給出解答：連接CP并延長交AB于點Q，連接BP，得∠BPC90°，又QA2QPCQQB2，

9

1BQ2QPCQQP1

得AQ=QB=AB，在Rt△CQP中，.過Q作QM∥BC交AN于M，則MQ=

2BC2CPCQCP4

1MQQP1BN2MQ1

BN.由△MQP∽△NCP，得，故＝.

2CNCP4NC4MQ2

131

A級1．或2.23．y＝x2＋x(0＜x＜4)4.3條5．D6．D7．B8．D9．提示：

224

連結(jié)，O，并延長交⊙O于，連結(jié)．結(jié)論仍然成立．．略提示：設(shè)

(1)ABA11ECE(2)10(1)(2)

HA15t

AP＝3t，由BC·BH＝BP·BA，BH＝2BC，BC＝5t.易證△HAP∽△BAH，得HA＝15t，故

BC5t

＝3.11．連結(jié)BD，CE，作BM⊥CE于M，作HN⊥CE于N，則BM∥HN．∵H是BC的中點，故N

11111

是CM的中點，∴CN＝CM＝（CE－EM）＝(CE－BD)，而AH＝BH－AB＝BC－AB＝(AB

22222

1

＋AC)–AB＝(AC－AB)，因此CN＝AH．由CE⊥DE，AF⊥DE，得CE//AF，故∠NCH＝∠HAF，又∠

2

CNH＝∠AHF＝90°，得△CNH≌△AHF，從而BC＝2CH＝2AF.

12.(l)5:2提示：由題意，設(shè)正方形邊長為l，則

2

2212

Rll，得R:l＝5:2．由ED＝AD×DB，DE

2

＝10，得AD×DB＝l00．設(shè)AC與內(nèi)切圓交點S，CB與內(nèi)切

100100

圓交點H，設(shè)AD＝r，DB＝．AB＝x＋，

xx

100

AS＝AD＝x，BH＝BD＝．又△ABC為直角三角形?！?/p>

x

22

2222100100100

ACCBAB，即x44x（四邊形OSCH為正方形），解得x＋

xxx

＝21，故AB＝AD＋BD＝21．

b-a

B級1.4±72.63.49a＋b提示：當(dāng)圓環(huán)為3個時，鏈長為3a＋×2＝2a＋b(cm)；當(dāng)圓

2

b-a

環(huán)為50個時，鏈長為50a＋×2＝49a＋b(cm)．4.312提示：設(shè)O為大圓圓心，R為AB與

2

10

2

x2x2

PQ的交點，AB＝x，OQ＝x－10，AR＝，x1020解得x＝8±304x>0，則x

22

＝8＋3045.C提示：S影=S正方形OOOO－一個內(nèi)切圓的面積．

1234

．．提示：設(shè)另一條公切線與⊙O切于點，與⊙O切于點，過O作OEOD，則由

6C7C1C2D11