河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

2024－2025學(xué)年度第二學(xué)期3月月考高二年級數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘，滿分150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.函數(shù)在處的瞬時變化率為（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】直接求導(dǎo)代入即可.【詳解】設(shè)，則，則，則函數(shù)在處的瞬時變化率為1.故選：C.2.已知數(shù)列的通項公式為，則146是該數(shù)列的（）A.第10項 B.第11項 C.第12項 D.第13項【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的通項公式，列式求出值即可.【詳解】依題意，，而，解得，所以146是該數(shù)列的第12項.故選：C3.如圖，函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，，可通過代入直線求解.【詳解】為曲線在處的切線斜率為1，.所以.故選：D.4.（）A10 B.15 C.20 D.40【答案】C【解析】【分析】由組合數(shù)公式計算求解即可.【詳解】，故選：C5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求解.【詳解】，，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：B6.已知數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（）A.360 B.480 C.960 D.1280【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式可得，再求出數(shù)列的前40項中的奇數(shù)項的和及偶數(shù)項的和即可.【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)，，，當(dāng)n為偶數(shù)，，，因此，的奇數(shù)項是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列；的偶數(shù)項是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以.故選：D7.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)計算可得.【詳解】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C8.有理數(shù)都能表示成（其中且與互質(zhì)）的形式.任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；反之，任一有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也可以化成的形式，從而是有理數(shù)，如.已知構(gòu)成無窮數(shù)列，令為數(shù)列的前項和，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列求和得到，然后由裂項相消法求和得到求解其取值范圍即可.【詳解】，，，，隨n的增大而增大，當(dāng)時，取最小值，所以.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.（多選）給出下列問題，屬于組合問題的有（）A.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別去參加兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法B.有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法C.某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種D.從2，3，5，7，11中任選兩個數(shù)相乘，可以得到多少個不同的積【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)選項中不涉及元素順序的為組合問題，即可確定結(jié)果.【詳解】對于A，從3名同學(xué)中選出2名同學(xué)后，分配到兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)涉及順序問題，是排列問題；對于B，從7人中選出4人觀看不涉及順序問題，是組合問題；對于C，射擊命中不涉及順序問題，是組合問題；對于D，乘法滿足交換律，兩數(shù)相乘的積不涉及順序，是組合問題.故選：BCD10.在數(shù)列中，，，，記的前n項和為，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合條件，，可依次求出數(shù)列的前幾項，從而判斷A、B；由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可判定數(shù)列為等差數(shù)列，從而判斷C、D.【詳解】若，，又，則，A正確；若，，由A選項可知，又，可得，，可得，B錯誤；若，，則，，，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，C正確；且，D正確.故選：ACD11.初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的復(fù)合產(chǎn)生的，且能用一個解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)，我們可作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù)，已知初等函數(shù)，，則（）A.極小值點為B.極小值為1C.D.直線是曲線與的一條公切線【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷．【詳解】，設(shè)，即，則，，同理，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點，A正確；時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞增，所以有極大值為，無極小值，B錯誤；，時，，，，；時，，即；時，，，，所以時，，所以，C正確；由C知，又，所以直線即直線是曲線的切線也是曲線的切線，即為它們的一條公切線，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.三角形的三條邊長均為整數(shù)，且最大邊長為12，則這樣的不同三角形共有_______個．【答案】30【解析】【分析】由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】設(shè)另外兩條邊分別為x，y，，則第一類：，；第二類：，，11；第三類：，，10，11；第四類：，，9，10，11；第五類：，，8，9，10，11；第六類：，，8，9，10，11；第七類：，，9，10，11；第八類：，，10，11；第九類：，，10，11；第十類：，，11；第十一類：，，所以共個．故答案為：30.13.已知函數(shù)在處取得極大值，則_________．【答案】0【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由求出并驗證即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，則；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，所以.故答案為：014.記表示正整數(shù)的所有正因數(shù)中最大的奇數(shù)，如6的正因數(shù)有1，2，3，6，則，10的正因數(shù)有1，2，5，10，則，記，______；______．【答案】①.5②.【解析】【分析】當(dāng)n為奇數(shù)時，R（n）＝n，當(dāng)n為偶數(shù)時，，再利用等差等比數(shù)列的前n項和公式及累加法求解．【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)時，R（n）＝n，當(dāng)n為偶數(shù)時，，，，∴．．n=1成立故答案為：（1）5（2）.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出過程或演算步驟．15.甲?乙?丙等6名同學(xué)利用周末到社區(qū)進行志愿服務(wù).（1）6名同學(xué)站成一排，若甲?乙?丙自左向右從高到矮排列，則不同的排列方案有多少種？（2）6名同學(xué)站成一排，甲?乙兩名同學(xué)之間恰有2人的不同排列方案有多少種？（3）6名同學(xué)分成三組（每組至少有一人），進行三項不同的社區(qū)服務(wù)，則不同的分配方案有多少種？【答案】（1）120（2）144（3）540【解析】【分析】（1）先將6人全排列，考慮到甲、乙、丙三人排列有種，進而可得所求排法；（2）先從除甲、乙以外的4人中選2人，再利用捆綁法計算可得；（3）分為三個組可分為三類，即①分組；②分組；③分組；再將再分好的三個組安排到三項不同的社區(qū)可求總的方法數(shù).【小問1詳解】先將6人全排列有種，考慮到甲、乙、丙三人排列有種，所以甲?乙?丙自左向右從高到矮排列時，不同排法有種；【小問2詳解】從除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之間，與甲、乙組成一個整體，再與余下2個人全排列，則有種排列方案；【小問3詳解】由題可得學(xué)生的分配方案可以有：①；②；③；①名學(xué)生按分為三個組有種方法，則人分配到三所學(xué)校共有種分配方法；②名學(xué)生按分為三個組有種分法，則人分配到三項不同的社區(qū)一社區(qū)人、一社區(qū)人、一社區(qū)人共有分配方法；③名學(xué)生平均分配到三項不同的社區(qū)有種方法；則人分配到三項不同的社區(qū)每個社區(qū)至少一人一共有：種方法.16.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和為；（3）若的前項和為，求證：.【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項公式直接求解即可；（2）利用錯位相減法求解數(shù)列的前項和；（3）結(jié)合等差數(shù)列前項和公式，即可得證.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，又因為，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，可得，解得，所以.【小問2詳解】因為，所以，則，兩式作差得：，則，整理.【小問3詳解】因為的前項和，則，，又，所以.17.已知函數(shù)(1)試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；(2)當(dāng)時，判斷和的大小，并說明理由；(3)求證：當(dāng)時，關(guān)于的方程在區(qū)間上，總有兩個不同的解.【答案】(1)﹣2＜t≤0(2)見解析(3)見解析【解析】【分析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍；(2)討論﹣2＜t≤0，0＜t＜1，t＞1確定函數(shù)單調(diào)性即可比較；(3)首先對關(guān)系式進行化簡，然后引入新函數(shù)，利用零點存在定理進行證明．【詳解】(1)因為＝(2x﹣3)ex+(x2﹣3x+3)ex=由＞0?x＞1或x＜0，由＜0?0＜x＜1，∴函數(shù)f(x)在(﹣∞，0)，(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f(x)在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則﹣2＜t≤0(2)①若﹣2＜t≤0，則f(x)在[﹣2，t]上單調(diào)遞增，∴f(t)＞f(﹣2)；②若0＜t＜1，則f(x)在[﹣2，0]上單調(diào)遞增，在[0，t]上單調(diào)遞減又f(﹣2)＝13，f(1)＝e，∴f(t)≥f(1)＞f(﹣2)；③若t＞1，則f(x)在(﹣∞，0)，(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減∴f(t)＞f(1)＞f(﹣2)，綜上，f(t)＞f(﹣2)．(3)證：∵，∴，即為x2﹣x，令g(x)＝x2﹣x，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g(x)0在[﹣2，t](1＜t＜4)上總有兩個不同的解因為g(﹣2)＝6(t﹣1)2，g(t)＝t(t﹣1)，所以當(dāng)1＜t＜4時，g(﹣2)＞0且g(t)＞0，但由于g(0)0，所以g(x)＝0在(﹣2，t)上有解，且有兩解.18.數(shù)列中，，，且，（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）數(shù)列的前n項和為，且滿足，，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到為等差數(shù)列；（2）由（1）利用累加法計算可得數(shù)列的通項公式；（3）由（2）可得，由，得到與同號，再對分類討論，利用并項求和法計算可得.【小問1詳解】因為，所以，所以數(shù)列是公差為8的等差數(shù)列，其首項為，【小問2詳解】由（1）問知，則，，…，，，所以，所以；而符合該式，故．【小問3詳解】由（1）問知，，則，又，則，兩式相乘得，即，因此與同號，因為，所以當(dāng)時，，此時，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)時，，此時，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，；綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖象上點到直線的最短距離；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與圖象存在公切線，求正實數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】由與平行且與相切的直線的切點到直線的距離最短，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點坐標(biāo)，應(yīng)用點線距離公式求結(jié)果；問題化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最值求參數(shù)范圍.利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求與的切線方程，結(jié)合公切線列方程得，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最值，即可得結(jié)果；【小問1詳解】設(shè)與平行且與相切的直線，