初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題20正方形

專題20正方形

閱讀與思考

矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的

平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱

形的性質(zhì)來研究正方形的有關問題．

正方形問題常常轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形，

熟悉以下基本圖形．

例題與求解

AD

【例l】如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC，BD交于點O，折疊G

正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后，E

O

AD

折痕DE分別交AB，AC于點E，G.下列結(jié)論：①AGD112.50；②2；

AEF

③；④四邊形是菱形；⑤C

SAGDSOGDAEFGBE2OG.B

其中，正確結(jié)論的序號是______________．（重慶市中考試題）

解題思路：本題需綜合運用軸對稱、菱形判定、數(shù)形結(jié)合等知識方法．

【例2】如圖1，操作：把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上

(CGBC)，取線段AE的中點M.連MD，MF．

（1）探究線段MD，MF的關系，并加以證明．

（2）將正方形CGEF繞點C旋轉(zhuǎn)任意角后（如圖2），其他條件不變．

探究線段MD，MF的關系，并加以證明．

（大連市中考題改編）

解題思路：由M為AE中點，想到“中線倍長法”再證三角形全等．

【例3】如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)是AB，BC邊上兩點，且EFAEFC，DGEF

于G，求證：DGDA.

（重慶市競賽試題）

解題思路：構造AEFC的線段是解本例的關鍵．

【例4】如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個小矩形，P是EF與

GH的交點，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定HAF的大小，并證明你的

結(jié)論．

（北京市競賽試題）

解題思路：先猜測HAF的大小，再作出證明，解題的關鍵是由條件及圖形推出隱含的線段間的

關系．

AED

GH

P

BC

F

【例5】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，滿足EFBEDF，

AE,AF分別與對角線BD交于點M,N．

求證：（1）EAF450；

（2）MN2BM2DN2．（四川省競賽試題）

解題思路：對于（1），可作輔助線，創(chuàng)造條件，再通過三角形全等，即可解答；對于（2），很容易

聯(lián)想到直角三角形三邊關系．

【例6】已知：正方形ABCD中，MAN450，MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

CB，DC（或它們的延長線）于點M,N．

當MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BMDN時（如圖1），易證BMDNMN．

（1）當MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BMDN時（如圖2），線段BM,DN和MN之間有怎樣的數(shù)量

關系？寫出猜想，并加以證明；

（2）當MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系？

請直接寫出你的猜想．

（黑龍江省中考試題）

解題思路：對于（2），構造DNBM是解題的關鍵．

AD

C

MB

ADAD

N

N

BCBC

MMN

圖1圖2圖3

能力訓練

A級

1.如圖，若四邊形ABCD是正方形，CDE是等邊三角形，則EAB的度數(shù)為__________.

（北京市競賽試題）

2.四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出以下題設條件：

①ABBCCDDA；

②AOBOCODO,ACBD；

③AOCO,BODO,ACBD；

④ABBC,CDDA．

其中，能判定它是正方形的題設條件是______________.（把你認為正確的序號都填在橫線上）

（浙江省中考試題）

3．如圖，邊長為1的兩個正方形互相重合，按住一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)300，

則這兩個正方形重疊部分的面積是__________.

（青島市中考試題）

AD

D

P

AAD

CBC

BCP

第1題圖第3題圖第4題圖

4.如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，將ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)至能與CBP'重合，若

PB3，則PP'=__________.（河南省中考試題）

將個邊長都為的正方形按如圖所示擺放，點分別是正方形的中心，則個正

5.n1cmA1,A2,Ann

方形重疊形成的重疊部分的面積和為()

1nn11

A.cm2B．cm2C.cm2D.()ncm2

4444

（晉江市中考試題）

第5題圖第6題圖

6.如圖，以RtBCA的斜邊BC為一邊在BCA的同側(cè)作正方形BCEF，設正方形的中心為O，

連接AO，如果AB4,AO62，則AC的長為()

A.12B．8C.43D.82

（浙江省競賽試題）

7．如圖，正方形ABCD中，CEMN,MCE350，那么ANM是()

A.450B．550C.650D.750

8．如圖，正方形ABCD的面積為256，點F在AD上，點E在AB的延長線上，RtCEF的面

積為200，則BE的值是()

A．15B．12C．11D．10

9．如圖，在正方形ABCD中，E是AD邊的中點，BD與CE交于F點，求證：AFBE．

1

10.如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊的中點，F(xiàn)是AD上的一點，且AFAD．

4

求證：CE平分BCF．

11.如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點，PEDC,PFBC,E,F分別是垂足．

求證：APEF．

（揚州市中考試題）

12.（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CGEF(CGBC)，B,C,G在同一條直線上，M為

線段AE的中點．探究：線段MD,MF的關系．

（2）如圖2，若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)450，使得正方形CGEF的對角線CE在正方

形ABCD的邊BC的延長線上，M為AE的中點．試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請證

明；若不成立，請說明理由．

（大連市中考試題）

F

D

A

FE

M

MBE

ADC

G

BCG

圖1圖2

B級

1.如圖，在四邊形ABCD中，ADDC,ADCABC900，DEAB于E，若四邊形

ABCD的面積為8，則DE的長為__________.

1

2.如圖，M是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)一點，若MA2MB2,CMD900，則MCD

2

__________.

（北京市競賽試題）

3.如圖，在RtABC中，C900,AC3，以AB為一邊向三角形外作正方形ABEF，正方形

的中心為O，且OC42，則BC的長為__________.

（“希望杯”邀請賽試題）

4.如圖：邊長一定的正方形ABCD，Q是CD上一動點，AQ交BD于M，過M作MNAQ交

1

BC于N點，作NPBD于點P，連接NQ，下列結(jié)論：①AMMN；②MPBD；

2

ABBN

③BNDQNQ；④為定值，其中一定成立的是()

BM

A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④

5.如圖，ABCD是正方形，BF//AC，AEFC是菱形，則ACF與F度數(shù)的比值是()

A.3B．4C.5D.不是整數(shù)

6.一個周長為20的正方形內(nèi)接于一個周長為28的正方形，那么從里面正方形的頂點到外面正方形

的頂點的最大距離是()

7

A.58B．5C.8D.65E.53

2

（美國高中考試題）

7.如圖，正方形ABCD中，AB8，Q是CD的中點，設DAQ，在CD上取一點P，使

BAP2，則CP的長度等于()

A.1B．2C.3D.3

（“希望杯”邀請賽試題）

8.已知正方形ABCD中，M是AB中點，E是AB延長線上一點，MNDM且交CBE平分

線于N（如圖1）

（1）求證：MDMN；

（2）若將上述條件中的“M是AB中點”改為“M是AB上任意一點”其余條件不變（如圖2），

（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；

（3）如圖2，點M是AB的延長線上（除B點外）的任意一點，其他條件不變，則（1）中結(jié)論是

否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；

（臨汾市中考試題）

`

9.已知0a1,0b1,求證：

a2b2(1a)2b2a2(1b)2(1a)2(1b)222．

10.如果，點M,N分別在正方形ABCD的邊BC,CD上，已知MCN的周長等于正方形ABCD周

長的一半，求MAN的度數(shù)．（“祖沖之杯”邀請賽試題）

11.如圖，兩張大小適當?shù)恼叫渭埰?，重疊地放在一起，重疊部分是一個凸八邊形ABCDEFGH，

對角線AE,CG分這個八邊形為四個小的凸四邊形，請你證明：AECG，且AECG．

（北京市競賽試題）

12.如圖，正方形MNBC內(nèi)有一點A，以AB,AC為邊向ABC外作正方形ABRT和正方形

ACPQ，連接RM,BP．求證：BP//RM．

（武漢市競賽試題）

專題20正方形

例1①④⑤提示：在AD上取AH＝AE，連EH，則∠AHE＝45°，∴∠HED＝∠HDE＝22.5°，則HE

＝HD．又∵HE＝HD＞AE，故②不正確．又SAGDSFGDSCGD，故③不正確．

例2提示：(1)延長DM交CE于N，連DF，NF，先證明ADM≌△ENM，再證明CDF≌△ENF得

FD＝FN，∠DFN＝∠CFE＝90°，故MD⊥MF且MD＝MF．

△△

(2)延長DM到N點，使DM＝MN，連FD，F(xiàn)N，先證明ADM≌ENM，得AD＝EN，∠MAD＝∠MEN，

則AD∥EN．延長EN，DC交于S點，則∠ADC＝∠CSN＝90°．在四邊形FCSE中，∠FCS＋∠FEN＝

△△

180°，又∵∠FCS＋∠FCD＝180°，故∠FEN＝∠FCD，再證CDF≌△ENF．∴(1)中結(jié)論仍成立．

例3提示：延長BC至點H，使得CH＝AE，連結(jié)DE，DF，由RtDAE≌RtDCH得，DE＝DH，進

△

而推證DEF≌△DFH，RtDGE≌RtDCH．

△△

例4設AG＝a，BG＝b，AE＝x，ED＝y(tǒng)，則

△△△

abxy,①

2axby.②

由①得a－x＝y(tǒng)－b，平方得a2－2ax＋x2＝y(tǒng)2－2by＋b2．

將②代入得a2－2ax＋x2＝y(tǒng)2－4ax＋b2，

∴(a＋x)2＝b2＋y2，得a＋x＝b2y2．

∵b2＋y2＝CH2＋CF2＝FH2，

∴a＋x＝FH，即DH＋BF＝FH．

延長CB至M，使BM＝DH，連結(jié)AM，由RtABM≌RtADH，得AM＝AH，∠MAB＝∠HAD．

∴∠MAH＝∠MAB＋∠BAH＝∠BAH＋∠HAD＝90°．

△△

再證AMF≌△AHF．∴∠MAF＝∠HAF．

1

即∠H△AF＝∠MAH＝45°．

2

例5(1)如圖，延長CD至點E1，使DE1＝BE，連結(jié)AE1，則ADE1≌△ABE．

從而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，于是∠EAE1＝90°．

△

在△AEF和△AE1F中，EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，則△AEF≌△AE1F．

1

故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45°．

2

(2)如圖，在AE1上取一點M1，使得AM1＝AM，連結(jié)M1D，M1N．則

△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，

故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．

22222

∵∠NDM1＝90°，從而M1N＝M1D＋ND，∴MN2＝BM＋DN．

例6(1)BM＋DN＝MN成立．

如圖a，把△AND繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，E、B、M三點共線，則△DAN≌△BAE，

∴AE＝AN，∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，得△AEM≌△ANM，∴ME＝MN．

∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN．

(2)DN－BM＝MN．

如圖b，對于圖2，連BD交AM于E，交AN于F，連EN，

FM可進一步證明：①△CMN的周長等于正方形邊長的2倍；

②EF2＝BE2＋DF2；

③△AEN，△AFM都為等腰直角三角形；

④SAMN2SAEF．

A級