初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題06從地平面到腳手架-分式的運(yùn)算

專題06從地平面到腳手架

------分式的運(yùn)算

閱讀與思考

分式的主要內(nèi)容包括分式的概念、分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算、簡單的分式方程等．

分式的運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類似，是以整式的變形、因式分解及計(jì)算為工具，以分式的基本性質(zhì)、運(yùn)

算法則和約分為基礎(chǔ)．分式的加減運(yùn)算是分式運(yùn)算的難點(diǎn)，解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)題目的特點(diǎn)恰當(dāng)

地通分，通分通常有以下策略與技巧：

1．分步通分，步步為營；

2．分組通分，化整為零；

3．減輕負(fù)擔(dān)，先約分再通分；

4．拆項(xiàng)相消后通分；

5．恰當(dāng)換元后通分，

學(xué)習(xí)分式時(shí)．應(yīng)注意：

(1)分式與分?jǐn)?shù)的類比．整數(shù)可以看做是分?jǐn)?shù)的特殊情形，但整式卻不能看做是分式的特殊情形；

(2)整式與分式的區(qū)別需要討論字母的取值范圍，這是分式區(qū)別于整式的關(guān)鍵所在．

分式問題比起整式問題，增加了幾個(gè)難點(diǎn)；

(1)從“平房”到“樓房”，在“腳手架”上活動(dòng)；

(2)分式的運(yùn)算中多了通分和約分這兩道技術(shù)性很強(qiáng)的工序；

(3)需要考慮字母的取值范圍，

例題與求解

(m1)(m3)

【例1】m＝_________時(shí)，分式的值為0.

m23m2

（杭州市中考試題）

解題思路：分母不為0時(shí)，分式有意義，分子與分母的公因式m1就不為0．

111

【例2】已知abc1，以abc2，a2b2c23，則

abc1bca1cab1

的值為()．

12

A.1B．C．2D．

23

（太原市競賽試題）

解題思路：不宜直接通分，運(yùn)用已知條件abc2，對(duì)分母分解因式，分解后再通分.

【例3】計(jì)算：

112a4a3

(1)

ababa2b2a4b4

（武漢市競賽試題）

ab11a23b2

(2)

a3a2bab2b3a3a2bab2b3a2b2a2b2a4b4

（天津市競賽試題）

x31x312(x21)

（3）

x32x22x1x32x22x1x21

（贛州市競賽試題）

b2a2ba

222

（4）abab

b3a3bab2a2

3()2

a3b3aba2b2

（漳州市競賽試題）

解題思路：由于各個(gè)分式復(fù)雜，因此，必須仔細(xì)觀察各式中分母的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用通分的相關(guān)策略

baba

與技巧；對(duì)于(4)，注意到題中各式是關(guān)于或的代數(shù)式，考慮設(shè)x，y，則xy1，通過

abab

換元可降低問題的難度．

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題不能或不便于從整體上加以解決時(shí)，我們可以從局部入手將原題分解。這便是解題

的分解策略．解絕對(duì)值問題時(shí)用的分類、分段討論；解分式問題時(shí)用的分步分組通分、因式分解的分組

分解法以及裂項(xiàng)求值等都是分解策略的具體運(yùn)用.

【例4】求最大的正整數(shù)n，使得n3100能被n＋10整除．

（美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：運(yùn)用長除法或把兩個(gè)整式整除的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)分式的問題加以解決.

類似于分?jǐn)?shù)，當(dāng)一個(gè)分式的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，那么就可以將分式化為整數(shù)部分與

分式部分的和，分式的這種變形稱為拆分變形，是拆項(xiàng)變形的一種．

ab1bc1ca1abc

【例5】已知，，，求的值．

ab15bc17ca16abbcca

（太原市競賽試題）

111

解題思路：設(shè)法求出的值．

abc

【例6】(1)設(shè)a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，并且ab2(ab)，bc3(bc)，ca4(ca)，則abc

等于多少？（北京市競賽試題）

(2)計(jì)算：

1222k2992

121005000222005000k2100k500099299005000

（上海市競賽試題）

解題思路：對(duì)于(1)，通過變換題中等式，即可列出方程組，解得a，b，c的值；對(duì)于(2)，仔細(xì)

觀察，即可發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律．

A級(jí)

1

1．要使分式有意義，則x的取值范圍是________.

1x

x

x211

2．代數(shù)式y(tǒng)的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是________.

x1

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

222x18

3．已知x為整數(shù)，且為整數(shù)，則所有符合條件的x值的和為________.

x33xx29

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

1112x3xy4y

4．若，則＝________.

x2y3x3xy2y

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

5．關(guān)于分式，下列四種說法中正確的是().

A．含有分母的代數(shù)式叫做分式

B.分式的分母、分子同乘以（或除以）2a＋3，分式的值不變

x21

C．當(dāng)x2時(shí)．分式的值為

x244

x

D．分式的最小值為零

x21

（重慶市競賽試題）

(x8)(x1)

6．已知分式的值為零，則x的值為().

x1

A．±1B．－lC．8D.－l或8

（江蘇省競賽試題）

6x3

7.若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x值有()．

2x1

A.3個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)

（江蘇省競賽試題）

mn8x

8．若對(duì)于±3以外的一切數(shù)均成立，則mn的值是()．

x3x3x29

A.8B．－8C．16D．－16

9．計(jì)算：

11248

(1)；

1x1x1x21x41x8

11abab

(2)；

ababa2abb2a2abb2

bccaab

(3)；

a2abacbcb2bcabacc2acbcab

1111

(4)

x(x1)(x1)(x2)(x2)(x3)(x99)(x100)

abbcca(ab)(bc)(ca)

(5)

abbcca(ab)(bc)(ca)

1111x2

10．當(dāng)x分別取，，…，，1，2，…，2006，2007，時(shí)．求出代數(shù)式的值，

2007200621x2

將所得結(jié)果相加求其和.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

11111111

11．已知，求證：

abcabca2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1

（波蘭奧林匹克試題）

xyzuxyyzzu1ux

12．已知，則的值．

yzuzuxuxyxyzzuuxxyyz

（北京市競賽試題）

B級(jí)

ax7

1．如果使分式有意義的一切x的值，都使這個(gè)分式的值是一個(gè)定值，那么a，b應(yīng)滿足的

bx11

條件是__________.

3x22x1ABxC

2．已知，其中A，B，C為常數(shù)，則B＝__________.

(x1)(x22)x1x22

（“五羊杯”競賽試題）

1111

3．設(shè)正整數(shù)m，n滿足m＜n且，則mn＝

m2m(m1)2(m1)n2n23

__________.

（“宇振杯”上海市競賽試題）

3x26x5

4．當(dāng)x＝_______時(shí)，分式有最小值，最小值是__________.

1

x2x1

2

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

115ba

5．已知，那么代數(shù)式的值是()．

ababab

1

A．5B．7C．3D．

3

11ab

6．已知a，b滿足ab＝1，記M，NN，則M，N的關(guān)系為()．

1a1b1a1b

A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．不確定

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

abcabcabc

7．以a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且abc0，若，解

cba

(ab)(bc)(ca)

等于()

abc

A.8B．4C．2D．1

（天津市競賽試題）

111

8．已知有理數(shù)a，b，c滿足abc0，abc＜0，那么的值是()．

abc

A.正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．不能確定

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

9．化簡：

11111111111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

abacabdabcabcd

(yx)(zx)(zy)(xy)(xz)(yz)

(2)

(x2yz)(xy2z)(xy2z)(yz2x)(yz2x)(x2yz)

10.n為自然數(shù)，若n6n31996，則稱n為1996的吉祥數(shù)，如46431996，4就是1996

的一個(gè)吉祥數(shù)，試求1996的所有吉祥數(shù)的和．

（北京市競賽試題）

11.用水清洗蔬菜上殘留的農(nóng)藥．設(shè)用x(x≥1)單位量的水清洗一次后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本

1

次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為．

1x

現(xiàn)有a（a≥2）單位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成兩份后清洗兩次．試問用哪種方

法清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量較少？說明理由．

（孝感市中考試題）

12.已知正整數(shù)n大于30，且使得4n1整除2002n，求n的值.

專題06從地平面到腳手架----分式的運(yùn)算

例13

例2D提示:abc1(a1)(b1），bca1(b1)(c1），cab1(c1)(c1），再代入原式

化簡即解.

722

例3(1)8a(2)0(3)0(4)ba提示(1)分步通分；(2)分組通分；(3)約分后再通分.

a8b8b2a2

n3100900

例4890提示:n210n100為整數(shù).

n10n10

111111111

例5由已知得15,17,16,三式相加得248.

abbccaabc

1

原式=24

111

abc

111111

例6(1)對(duì)已知三式取倒數(shù),得,,.

ab2(ab)bc3(bc)ca4(ca)

1111111112424

∴,,,解得:a,b,c24.

ab2bc3ca457

24241128

∴abc24.

5735

n2(100n)22n2200n10000

(2)2,而

n2100n5000(100n)2100(100n)5000n2100n5000

502

1,∴原式=492199.

502501005000

A級(jí)

1.x≠0且x≠±1

x211212

2.y==x-1+，即x+1/12.

x1x1

X可取值為1，2，3，5，11，∴全體自然數(shù)x的和為22.

5

3.124.5.D6.C7.B.

11

mn8

8.D提示：由已知得（m-n）x-3（m+n）=8x，則

mn0

166ab42100

9.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）0

1x16a6b6caxx100

2

1

1

1x2x

取值成對(duì)互為倒數(shù)，先計(jì)算：，故其和為

10.22=00.

1x1

1

x

1111abab

11.由條件得：，.

ababccababcc

∴ababcabc0，即abbcac0，∴a=-b，或b=-c，或c=-a.

1111

不妨設(shè)a=-b，則a2n1b2n1，左邊=；

b2n1b2n1c2n1c2n1

11

右邊=，故等式成立.

b2n1b2n1c2n1c2n1

xyzuxyzuxyzuxyzu

12.由條件得：=.

yzuzuxuxyxyz

（1）若x+y+z+u≠0，則由分母推得x=y=z=u，原式=1+1+1+1=4.

（2）若x+y+z+u=0，則x+y=-（z+u），y+z=-（u+x），原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.

B級(jí)

7

1.11a-7b=02.

3

3.（23-m）（n+24）=529∴23-m=1，n+24=529∴m=22，n=505m+n=5274.-1，4

5.C6.B7.A8.A

11111111111

9.原式=-1+1+1+1+11+111

a