初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題05和差化積

專題05和差化積

——因式分解的應(yīng)用

閱讀與思考：

因式分解是代數(shù)變形的有力工具，在以后的學習中，因式分解是學習分式、一元二次方程等知識的

基礎(chǔ)，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1．復雜的數(shù)值計算；

2．代數(shù)式的化簡與求值；

3．簡單的不定方程（組）；

4．代數(shù)等式的證明等.

有些多項式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉這些結(jié)果：

1.x44(x22x2)(x22x2);

2.4x41(2x22x1)(2x22x1);

3.abab1(a1)(b1)；

4.abab1(a1)(b1)；

5.a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcac)．

例題與求解

2ab

【例1】已知ab0，a2ab2b20，那么的值為___________.

2ab

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

解題思路：對已知等式通過因式分解變形，尋求a，b之間的關(guān)系，代入關(guān)系求值．

【例2】a，b，c是正整數(shù)，a＞b，且a2abacbc7，則ac等于().

A.－1B．－1或－7C．1D.1或7

（江蘇省競賽試題）

解題思路：運用因式分解，從變形條件等式入手，

在字母允許的范圍內(nèi)，把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱代數(shù)式的恒等變形，它是

研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的重要工具，換元、待定系數(shù)、配方、因式分解又是恒等變形的有力工具．

求代數(shù)式的值的基本方法有；

(1)代入字母的值求值；

(2)代入字母間的關(guān)系求值；

(3)整體代入求值．

199732199721995

【例3】計算：(1)（“希望杯”邀請賽試題）

19973199721998

11111

(24)(44)(64)(84)(104)

（2）44444（江蘇省競賽試題）

11111

(14)(34)(54)(74)(94)

44444

解題思路：直接計算，則必然繁難，對于(1)，不妨用字母表示數(shù)，通過對分子、分母分解因式來

1

探求解題思路；對于(2)，可以先研究(x4)的規(guī)律．

4

【例4】求下列方程的整數(shù)解．

(1)6xy4x9y70;（上海市競賽試題）

(2)2x25xy2y22007.（四川省競賽試題）

解題思路：不定方程、方程組沒有固定的解法，需具體問題具體分析，觀察方程、方程組的特點，

利用整數(shù)解這個特殊條件，從分解因式入手．

解不定方程的常用方法有：

(1)窮舉法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分離參數(shù)法．

用這些方程解題時，都要靈活地運用質(zhì)數(shù)合數(shù)、奇數(shù)偶數(shù)、整除等與整數(shù)相關(guān)的知識.

【例5】已知ab3，ab2，求下列各式的值：

11

(1)a2bab2；(2)a2b2；(3)．

a2b2

解題思路：先分解因式再代入求值.

【例6】一個自然數(shù)a恰等于另一個自然數(shù)b的立方，則稱自然數(shù)a為完全立方數(shù)，如27＝33，27

就是一個完全立方數(shù)．若a＝19951993×199519953－19951994×199519923，求證：a是一個完全立方

數(shù)．（北京市競賽試題）

解題思路：用字母表示數(shù)，將a分解為完全立方式的形式即可．

能力訓練

A級

1.如圖，有三種卡片，其中邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的長方形卡片6張，

邊長為b的正方形卡片9張，用這16張卡片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為________．

（煙臺市初中考試題）

2．已知xy3,x2y2xy4，則x4y4x3yxy3的值為__________．（江蘇省競賽試題）

3．方程x2xy5x5y10的整數(shù)解是__________．（“希望杯”邀請賽試題）

4.如果x2(m1)x1是完全平方式，那么m的值為__________．（海南省競賽試題）

xy

5.已知2x23xyy20(xy0)，則的值是()．

yx

111

A．2，2B．2C．2D．2,2

222

6．當xy1，x4xy3x3y3x2y3xy2y4的值為()．

A.－1B．0C．2D．1

7．已知a＞b＞c，Ma2bb2cc2a，Nab2bc2ca2，則M與N的大小關(guān)

系是()．

A.M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能確定

（“希望杯”邀請賽試題）

8．n為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式n3n中計算其值時，四個同學算出如下四個結(jié)果，其中正確的

結(jié)果只能是()．

A.388944B.388945C.388954D.388948

（五城市聯(lián)賽試題）

9．計算：

19993100039993

(1)（北京市競賽試題）

19991000999

222233111123

(2)(安徽省競賽試題)

222233111113

10.一個自然數(shù)a恰好等于另一個自然數(shù)b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)，如64＝82，64就

是一個完全平方數(shù)，若a＝19982＋19982×19992＋19992，求證：a是一個完全平方數(shù)．

（北京市競賽試題）

11.已知四個實數(shù)a，b，c，d，且ab，cd，若四個關(guān)系式a2ac4,b2bc4，

c2ac8，d2ad8，同時成立.

(1)求ac的值；

(2)分別求a，b，c，d的值．

（湖州市競賽試題）

B級

1．已知n是正整數(shù)，且n416n2100是質(zhì)數(shù)，那么n____________.

（“希望杯”邀請賽試題）

2．已知三個質(zhì)數(shù)m,n,p的乘積等于這三個質(zhì)數(shù)的和的5倍，則m2n2p2＝________.

（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知正數(shù)a，b，c滿足ababbcbcacca3，則

(a1)(b1)(c1)＝_________.（北京市競賽試題）

4．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原

理是：如對于多項式x4y4，因式分解的結(jié)果是(xy)(xy)(x2y2)，若取x＝9，y＝9時，則各

個因式的值是：(xy)0,(xy)18,(x2y2)162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)

的密碼，對于多項式4x3xy2，取x＝10，y＝10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：__________．（寫出

一個即可）．

（浙江省中考試題）

5．已知a，b，c是一個三角形的三邊，則a4b4c42a2b22b2c22c2a2的值()．

A.恒正B．恒負C．可正可負D．非負

(太原市競賽試題)

6．若x是自然數(shù)，設(shè)yx42x32x22x1，則()．

A.y一定是完全平方數(shù)B．存在有限個x，使y是完全平方數(shù)

C.y一定不是完全平方數(shù)D．存在無限多個x，使y是完全平方數(shù)

7．方程2x23xy2x298的正整數(shù)解有()組．

A.3B．2C．1D．0

（“五羊杯”競賽試題）

8．方程xy2xy4的整數(shù)解有()組．

A.2B．4C．6D.8

（”希望杯”邀請賽試題）

9．設(shè)N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.試問有多少個正整數(shù)是N的因數(shù)？

（美國中學生數(shù)學競賽試題）

373133371350

10．當我們看到下面這個數(shù)學算式時，大概會覺得算題的人用錯了運算

373243372461

a3b3ab

法則吧，因為我們知道．但是，如果你動手計算一下，就會發(fā)現(xiàn)上式并沒有錯，不僅如

c3d3cd

此，我們還可以寫出任意多個這種算式：

33133153235273337310373107

，，，，…

33233253335373437410333103

你能發(fā)現(xiàn)以上等式的規(guī)律嗎？

11.按下面規(guī)則擴充新數(shù)：

已有a，b兩數(shù)，可按規(guī)則cabab擴充一個新數(shù)，而以a，b，c三個數(shù)中任取兩數(shù)，

按規(guī)則又可擴充一個新數(shù)，…每擴充一個新數(shù)叫做一次操作.現(xiàn)有數(shù)1和4，求：

(1)按上述規(guī)則操作三次得到擴充的最大新數(shù)；

(2)能否通過上述規(guī)則擴充得到新數(shù)1999，并說明理由．

（重慶市競賽試題）

12.設(shè)k，a，b為正整數(shù)．k被a2,b2整除所得的商分別為m，m16.

(1)若a，b互質(zhì)，證明a2b2與a2,b2互質(zhì)；

(2)當a，b互質(zhì)時．求k的值；

(3)若a，b的最大公約數(shù)為5，求k的值．

（江蘇省競賽試題）

專題05和差化積

——因式分解的應(yīng)用

15

例1或

33

例2D提示：（a－b）（a－c）＝7．a(chǎn)－b>0，a－c>0．

1995a32a2a2

例3（1）提示：設(shè)1997＝a，則原式＝

1998a3a2a1

412121

（2）221提示：xxxxx

422

例4（1）x＝1，y＝－1提示：（2x－3）（2＋3y）＝1；

x445,x445,x221,x445,

（2）提示：（2x＋y）（x＋2y）＝2007×1＝669×3＝223×9

y221;y221.y445.y221.

＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223）．

例5（1）a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2×3＝6．

（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5．

2

11a2b2ab2ab32225

（3）．

a2b2a2b2a2b2224

3

例6提示：設(shè)m＝19951993，則a＝2m1．

A組

1．a(chǎn)＋3b

2．36

3．（x，y）＝（6，5）或（4，5）

4．1或－3

5．A

6．D

7．B

8．A

33

．（）（）1提示：設(shè)＝，＝，則原式＝ab．10.設(shè)，則

91321a22223b111123x1998

33334a3ab

1999x1.

ax2x2(x1)2(x1)2x42x33x22x1(x2x1)2(19981999)2

11.(1)由(a2ac)(c2ac)4812,得(ac)212,故ac23.

(2)由(a2ac)(b2bc)440,(c2ac)(d2ad)880,得(ab)(abc)0

(cd)(acd)0,而ab,cd,

∴abc0,acd0,從而bd(ac),又(a2ac)(c2ac)484.

232343

當ac23時,ac,解得a,c,bd23；

333

232343

當ac23時,ac,解得a,c,bd23；

333

B級

1.3提示：原式=（n26n10)(n26n10)，n6n101

2.78

3.8提示：(a1)(b1)4,(b1)(c1)4,(a1)(c1)4,

4.101030或103010或301010

22222

5.Ｂ提示：原式=（abc)(2ab)(abc)(abc)(abc)(abc)

6.Ｃ提示：y(x1)2(x21)7.Ｃ8.Ｃ

52555

9.提示：原式=（691）70257，共有51（51（51）216個因數(shù).

a3b3(ab)(a2abb2)ab

332222

10.a(ab)=(ab)(aabb)=a(ab)(aabb)=a(ab)

aaba2aabab2

11.(1)499就是擴充三次的最大數(shù)

(2)cabab(a1)(b1)1，c1(a1)(b1)取a,c可得新數(shù)

2

d(a1)(c1)1(a1)(b1)(a1)1∴d1(a1)(b1)取b,c可得新數(shù)

2

e(b1)(c1)1(b1)(a1)(b1)1∴e1(b1)(a1),設(shè)擴充后的新數(shù)為x，則總可

mn

mn

以表示為x1(a1)(b1)，式中m,n為整數(shù).當a1,b4時,x125,又

1999120002453,故1999可以通過上述規(guī)則擴充得到.

a2b2a2