初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題29 歸納與猜想

專(zhuān)題29歸納與猜想

閱讀與思考

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí)，可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況人手，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)

單情形或特殊情況的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問(wèn)題的途徑或方法，這種

研究問(wèn)題的方法叫歸納猜想法.

歸納是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開(kāi)始的，觀察是解決問(wèn)題的先導(dǎo)，解

題中的觀察活動(dòng)主要有三條途徑：

1．?dāng)?shù)與式的特征觀察．

2．幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察．

3．通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.

需要注意的是，用歸納猜想法得到的結(jié)果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗

的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫(xiě)成無(wú)懈可擊的證明．

【例1】下圖是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)

字是___________.

（“東方航空杯”上海市競(jìng)賽試題）

(A)(B)(C)

解題思路：認(rèn)真觀察A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷。

【例2】如圖，依次連結(jié)第一個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，再依次連結(jié)第二個(gè)正方形各

邊的中點(diǎn)得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，則第n個(gè)正方形的面積是

____．

（湖北省武漢市競(jìng)賽試題）

解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n＝1，2，3，4時(shí)的簡(jiǎn)單情形，進(jìn)而作出猜想．

【例3】如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線(xiàn)OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線(xiàn)OA開(kāi)始按逆

時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€(xiàn)上寫(xiě)出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…．

(1)“17”在射線(xiàn)____上．

(2)請(qǐng)任意寫(xiě)出三條射線(xiàn)上數(shù)字的排列規(guī)律．

(3)“2007”在哪條射線(xiàn)上？

（貴州省貴陽(yáng)市中考試題）

解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線(xiàn)上的數(shù)除以6的余數(shù)相同．

【例4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…(※)

1213214321543216

2

(1)在(※)中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F(m)，當(dāng)F(m)＝時(shí)，求m的值和這m個(gè)數(shù)的積．

2001

(2)在(※)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c．它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)c

和d，使cd＝2001000?如果存在，求出c和d；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（湖北省競(jìng)賽試題）

解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對(duì)原數(shù)列恰當(dāng)分組，明確每組中數(shù)的個(gè)數(shù)與分母的

關(guān)系、未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關(guān)鍵，

2＋32＋57

【例5】在2,3兩個(gè)數(shù)之間，第一次寫(xiě)上＝5，第二次在2.5之間和5，3之間分別寫(xiě)上＝和

122

5＋3

＝4，如圖所示：

2

1

第k次操作是在上一次操作的基礎(chǔ)上，在每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)之間寫(xiě)上這兩個(gè)數(shù)的和的．

k

(1)請(qǐng)寫(xiě)出第3次操作后所得到的9個(gè)數(shù)，并求出它們的和．

(2)經(jīng)過(guò)k次操作后所有的數(shù)的和記為Sk，第k＋1次操作后所有數(shù)的和記為

Sk＋1，寫(xiě)出Sk＋1與Sk之間的關(guān)系式．

(3)求S6的值．

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9個(gè)數(shù)，再把它們相加即可．

(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個(gè)數(shù)的時(shí)候，除了頭尾兩個(gè)數(shù)2和3之外，中間的

n－2個(gè)數(shù)均重復(fù)計(jì)算了2次，用Sk表示出Sk＋1

(3)根據(jù)(1)，(2)可算出S6的值．

能力訓(xùn)練

1．有數(shù)組(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，則第100組的三個(gè)數(shù)之和為．

（廣東省廣州市競(jìng)賽試題）

2．如圖有一長(zhǎng)條型鏈子，其外形由邊長(zhǎng)為1cm的正六邊形排列而成．其中每個(gè)黑色六邊形與6個(gè)

白色六邊形相鄰，若鏈子上有35個(gè)黑色六邊形，則此鏈子有________個(gè)白色六邊形．

（2013年“實(shí)中杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

3．按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)：

112312345123

．－，，－，，－，，－，，－，，－，…中，第98個(gè)數(shù)是__________.

133355555777

（山東省競(jìng)賽試題）

4．給出下列麗列數(shù)

2，4，6，8，10,…，1994

6，13,20,27,34,…，1994

則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個(gè)數(shù)是()．

A．142B．143C．284

（浙江省競(jìng)賽試題）

5．如圖，∠AOB＝45°，對(duì)OA上到點(diǎn)Ｏ的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點(diǎn)作OA的垂線(xiàn)

且與OB相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯

形，面積分別為S1，S2，S3，…，則S10＝.

6．一條直線(xiàn)分一張平面為兩部分，二條直線(xiàn)最多分一張平面為4部分，設(shè)五條直線(xiàn)最多分平面為

ｎ部分，則n等于()

A．16B．18Ｃ．24D．31

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

7．觀察下列正方形的四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律．那么2013這個(gè)數(shù)標(biāo)在()．

A．第503個(gè)正方形的左下角B．第503個(gè)正方形的右下角

C．第504個(gè)正方形的左下角D．第504個(gè)正方形的右下角

（2013年浙江省衢江市競(jìng)賽試題）

8．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：

(1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)．

(2)數(shù)127應(yīng)在上起第幾行，左起第幾列．

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

9．一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都是前兩

個(gè)數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

問(wèn)：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中（包括第100個(gè)數(shù)）有多少個(gè)偶數(shù)？

（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）

10.將一個(gè)圓形紙片用直線(xiàn)劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要

畫(huà)多少條直線(xiàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（“五羊杯”競(jìng)賽試題）

11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

1－1

第1個(gè)數(shù)：－(1＋)；

22

111213

第2個(gè)數(shù)：111；

3234

1112131415

第3個(gè)數(shù)：11111；

423456

…

11121312n1

第n個(gè)數(shù)：1111．

n12342n

那么