初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題23與角相關(guān)的問題（解析版）

專題23與角相關(guān)的問題

閱讀與思考

角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角.角既可以看成有公共端點(diǎn)的兩條射

線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角.由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，

但兩角的和是一個(gè)直角或是一個(gè)平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注.兩角之和為直角的，這兩個(gè)角叫做

互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的概念及其應(yīng)用在幾何計(jì)算和證

明中都有十分重要的地位.

解與角有關(guān)的問題常用到以下知識(shí)與方法：

1.角的分類；

2.角平分線的概念；

3.互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系角；

4.用方程的觀點(diǎn)來進(jìn)行角的計(jì)算.

例題與求解

【例1】如圖，在3×3的網(wǎng)格上標(biāo)出了∠1和∠2，則12.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，通過拼補(bǔ)求出12的值.

【例2】如果與互補(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：①90；②

11

90；③()；④().其中正確的有（）

22

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

（2013年浙江省衢江市數(shù)學(xué)競賽試題）

解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān).

【例3】已知AOB80，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線.OM，ON分別平分∠AOC，

∠BOC.求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）

（湖北省武漢市武昌區(qū)調(diào)考試題）

解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵.

【例4】鐘表在12點(diǎn)鐘時(shí)三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分，求x的

值.

（湖北省黃岡市競賽試題）

解題思路：把秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個(gè)角用x的代數(shù)式表示，通過解方

程求出x的值.

【例5】（1）現(xiàn)有一個(gè)19°的“模板”（如圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙

上畫出1°的角來.

（2）現(xiàn)有一個(gè)17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？

（3）用一個(gè)21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？

對(duì)（2）（3）兩問，如果能，請(qǐng)你簡述畫法步驟；如果不能，請(qǐng)你說明理由.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個(gè)19°（或17°或21°）的整數(shù)倍的角，其實(shí)，解題的

關(guān)鍵是在于能否找到19°（或17°或21°）的一個(gè)倍數(shù)與某個(gè)特殊角的某個(gè)倍數(shù)相差1°.

【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC.

（1）如圖①，若AOC30，求∠DOE的度數(shù)；

（2）在圖①中，若AOC，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；

（3）將圖①中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置.

①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；

②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足AOC4AOF2BOEAOF，試確定∠AOF與

∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由

圖①圖②

（湖北省武漢市模擬試題）

解題思路：（1）利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出∠DOE的度數(shù)；

（2）先根據(jù)∠DOE與∠COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根據(jù)

互補(bǔ)角的關(guān)系用α表示出所求角的度數(shù)；

（3）①可設(shè)∠BOC為一個(gè)未知數(shù)，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；②結(jié)合①把所給

等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角余角的6倍，那么這個(gè)角等于.

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

2.如圖，BOD45，AOE90，那么不大于90°的角有個(gè)，它們的度數(shù)之和

是.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.如圖，AOCBOD150，若AOD3BOC，則BOC等于.

4.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，AOD120，AOC90，OE平分∠BOD，則圖中彼此互補(bǔ)

的角有對(duì).

（北京市“迎春杯”競賽試題）

1

5.一個(gè)角的補(bǔ)角的是6°，則這個(gè)角是（）

17

A.68°B.78°C.88°D.98°

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

6.用一副三角板可以畫出大于0°且小于176°的不同角度有（）種

A.9B.10C.11D.12

7.如圖，若AOB180，∠1是銳角，則∠1的余角是（）

11311

A.21B.21C.(21)D.(21)

22223

（甘肅省蘭州市競賽試題）

8.如圖，AOB180，OD是∠COB的平分線，OE是∠AOC的平分線，設(shè)BOD，則與α

的余角相等的角是（）

A.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA

9.如圖，已知COB2AOC，OD平分∠AOB，且COD19，求∠AOB的度數(shù).

（北京市“迎春杯”競賽試題）

10.如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，

1

BOEEOC，DOE72.求∠EOC的度數(shù).

2

11.已知AOB80，OC平分∠AOB，COD60，OE平分∠COD.求∠AOE的大小.

12.如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內(nèi)三條射線.

（1）圖中共有多少個(gè)角？

（2）若OB，OC，OD為∠AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400°，求∠AOE的度數(shù).

（3）若AOE89，BOD30，求圖中所有銳角的和.

B級(jí)

1.已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角余角的3倍大10°，則這個(gè)角的度數(shù)是.

（浙江省杭州市競賽試題）

1

2.α，β，γ中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算()的值時(shí)，有三位同學(xué)

15

分別算出了23°，24°，25°這三個(gè)不同的結(jié)果.其中只有一個(gè)是正確的答案，則.

（江蘇省競賽試題）

3.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個(gè)圖形中，

不大于平角的角共有個(gè).

（五城市聯(lián)賽試題）

4.如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若FOD24，

則AOB.

（2013年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

5.4點(diǎn)鐘后，從時(shí)針到分針第二次成90°角，共經(jīng)過（）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）

A.60B.30C.40D.33

（“五羊杯”競賽試題）

6.如圖是一個(gè)3×3的正方形，則圖中1239的和等于（）

A.270°B.315°C.360°D.405°

（廣西省競賽試題）

7.已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分線，則下列各式中成立的是（）

A.AOPMONB.AOPMONC.AOPMOND.以上情況都有可能

8.如圖，∠AOC是直角，COD21.5，且OB，OD分別是∠AOC，∠BOE的平分線，則∠AOE

等于（）

A.111.5°B.138°C.134.5°D.178°

（五城市聯(lián)賽試題）

9.如圖，在直線AB上取一點(diǎn)O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，

射線OF和OD分別平分∠COE和∠BOE.求證：AOFBOD3DOF.

如圖，∠是一個(gè)平角，

10.A1OA11A3OA2A2OA1A4OA3A3OA2A5OA4A4OA3

求的度數(shù)

A11OA10A10OA92.A11OA10.

（山東省競賽試題）

11.在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）.若現(xiàn)在時(shí)間恰

好是12點(diǎn)整，問經(jīng)過多少秒后，△OAB的面積第一次達(dá)到最大？

（“CASIO杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

專題23與角相關(guān)的問題

例145°提示：如圖，通過拼補(bǔ)得∠1+∠2=45°.

例2．B

提示：①（90°－∠）+∠=90°符合；

②（∠－90°）+∠=∠+∠－90°=180°－90°=90°符合；

11

③(）1809090；

22

111

④()+()18090符合.

222

故①②④能表示的余角.

13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，

11

∴∠AOM=∠COM=AOC，∠CON=∠BON=BOC

22

（1）如圖①，若OC在∠AOB內(nèi)，設(shè)∠BOC=x，則

圖

圖圖

例6（1）m-2n30，(6-n)2>0，且m-2n與(6-n)2互為相反數(shù)。\m-2n=0

且(6-n)2=0。\m=12，n=16，即AB=12，CD=6

（2）有兩種情況，如圖

11111

當(dāng)C在AB上時(shí)，MN=AC+BC+BD=(AB-BC)+BC+(CD-BC)=′

22222

1

(12-4)+4+′(6-4)=9；當(dāng)C在AB的延長線上時(shí)，MN=MB+BC+CN=AB

2

11

+BC+CD-AM-ND=12+4+6-′(12+4)-′(4+6)=22-8-5=9，綜上可

22

知，MN=9

（3）作圖如圖，結(jié)論正確，設(shè)BP=x，則AP=12+x，PC=6+x

PA+PBx+12+x12+2x

\===2，當(dāng)然對(duì)于我們也不難找出其值不為

PC6+x6+x

PA-PBx+12-x12

定值的原因。==，\x變化，其值也變化

PC6+x6+x

A級(jí)

4+6

15cm或1cm提示：當(dāng)A，B在O點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，EF==5cm；當(dāng)A，B在O同一側(cè)

2

6-4

時(shí)，EF==1cm

2

220

341.6提示：所有線段長度總和為4AB+6BC+6CD+∠AOC＝80°－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC

＝40°．

（2）如圖②，若OC在A′OB內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝80°＋x．

∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40°．

（3）如圖③，若OC在∠A′OB′內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝280°－x．

∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140°．

（4）如圖④，若OC在∠AOB′內(nèi)，設(shè)∠BOC＝x，則∠AOC＝x－80°．

∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40°．綜上所述：∠MON＝40°或140°．

1440

例4x＝提示：顯然x的值大于1小于2，

1427

依題意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0.5x．

例5提示：設(shè)“模板”角度為α，假設(shè)可由k個(gè)α角與t個(gè)180°角畫出1°的角來，即k，t滿足等式kα－

180t＝1．

（1）當(dāng)α＝19°時(shí)，取k＝19，t＝2，即用模板連續(xù)畫出19個(gè)19°的角，得到361°的角，去掉360°的周

角，即得1°的角．

（2）當(dāng)α＝17°時(shí)，即17k一180t＝1，此時(shí)，k＝53，t＝5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個(gè)17°的角，

得到901°的角，除去兩個(gè)周角和一個(gè)平角，即得1°的角．

（3）當(dāng)α＝21°時(shí)，即21k—180t＝1無整數(shù)解，不能用21°的模板與鉛筆畫出1°的角．

例6(1)∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°．

1

又∵QE平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75°，∠DOE＝90°－75°＝15°．

2

1801

（2）∠DOE＝90°－＝α．

22

（3）①∠AOC＝180°－2∠COE＝180°—2(90°—∠DOE)＝2∠DOE；②設(shè)∠DOE＝x，∠AOF＝y(tǒng)．則∠

AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠BOE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2(90°—∠DOE)

＋∠AOF＝2(90°一x)＋y＝180°一2x＋y．故2x—4y＝180°—2x＋y，即4x—5y＝180°．所以4∠DOE

－5∠AOF＝180°．

A級(jí)

1．72°

2．10450°提示：一共有10個(gè)角，其中∠AOE＝90°，∠BOD＝45°，∠AOB十∠BOE＝90°，∠

AOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠DOE＝90°，∠BOC＋∠COD＝45°．故這10個(gè)角的度數(shù)和為90°×4＋

45°×2＝360°＋90＝450°．

3．30

4．6提示：∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠DOE，∠AOE和

∠COD，∠AOD和∠COE．

5．B6．A7．C8．B

31

9．114°提示：設(shè)∠AOC＝x°，是∠BOC＝2x°，∠AOD＝(x)°，∠COD＝(x)°，∠AOB＝∠AOC＋

22

∠BOC＝114°

10．設(shè)∠AOD＝∠BOD＝x，則∠BOC＝180°—2x．

111

又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－2x)．

233

1

又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72°，∴x＋(180°－2x)＝72°，解得x＝36°．

3

22

則∠EOC＝∠BOC＝(180°—2x)＝72°．

33

11

11．（1）如圖①，若OD在∠A′OB內(nèi)時(shí)，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COE＝∠