初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題10 多變的行程問(wèn)題

專題10多變的行程問(wèn)題

閱讀與思考

ss

行程問(wèn)題的三要素是：距離（s）、速度（v）、時(shí)間（t），基本關(guān)系是：svt，v，t．

tv

行程問(wèn)題按運(yùn)動(dòng)方向可分為相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題；按運(yùn)動(dòng)路線可分為直線形問(wèn)題、環(huán)形問(wèn)題等．其

中相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題是最基本的類型，它們的特點(diǎn)與常用的等量關(guān)系如下：

1．相遇問(wèn)題

其特點(diǎn)是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的

路程＝兩地之間的距離．

2．追及問(wèn)題

其特點(diǎn)是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運(yùn)動(dòng)，由于位置或者出發(fā)時(shí)間不同，造成一前一后，

又因?yàn)樗俣鹊牟町愂沟煤笳咦罱K能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝兩地之間的距離．

例題與求解

【例1】在公路上，汽車A、B、C分別以80千米/時(shí)，70千米/時(shí)，50千米/時(shí)的速度勻速行駛，

A從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)，B、C從乙站開(kāi)往甲站．A在與B相遇后兩小時(shí)又與C相遇，則甲、乙兩

站相距__________千米．

（“希望杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：本例為直線上的相遇問(wèn)題，可依據(jù)時(shí)間關(guān)系列方程．

【例2】如圖，某人沿著邊長(zhǎng)為90來(lái)的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲從A以65

米/分的速度，乙從B以72米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的（）．

A．AB邊上B．DA邊上C．BC邊上D．CD邊上

（安徽省競(jìng)賽試題）

解題思路：本例是一個(gè)特殊的環(huán)形追及問(wèn)題，注意甲實(shí)際在乙的前面390270（米）處．

【例3】亞州鐵人三項(xiàng)賽在徐州市風(fēng)光秀麗的云龍湖畔舉行．比賽程序是：運(yùn)動(dòng)員先同時(shí)下水游泳

1.5千米到第一換項(xiàng)點(diǎn)，在第一換項(xiàng)點(diǎn)整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項(xiàng)點(diǎn)，再跑步10千

米到終點(diǎn)．下表是亞洲鐵人三項(xiàng)賽女子組（19歲以下）三名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的成績(jī)（游泳成績(jī)即游泳所

用時(shí)間，其他類推，表內(nèi)時(shí)間單位為秒）．

第一換項(xiàng)點(diǎn)第二換項(xiàng)點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼游泳成績(jī)白行車成績(jī)長(zhǎng)跑成績(jī)

所用時(shí)間所用時(shí)間

1911997754927403220

19415031105686573652

1951354745351443195

（1）填空（精確到0.01）：

第191號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是__________米/秒；

第194號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是__________米/秒；

第195號(hào)運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速摩是__________米/秒；

（2）如果運(yùn)動(dòng)員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號(hào)運(yùn)動(dòng)員會(huì)追上195號(hào)或194

號(hào)嗎？如果會(huì)，那么追上時(shí)離第一換項(xiàng)點(diǎn)有多少米（精確到0.01）？如果不會(huì)，為什么？

（3）如果運(yùn)動(dòng)員長(zhǎng)跑也都是勻速的，那么在長(zhǎng)跑途中這三名運(yùn)動(dòng)員有可能某人追上某人嗎？為什

么？

（江蘇省徐州市中考試題）

解題思路：從表格中獲取信息，注意速度、時(shí)間的比較是解本例的關(guān)鍵．

【例4】一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí)．一天，小船從早

晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流行至B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時(shí)后找到救生圈，

問(wèn)：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港時(shí)需多少小時(shí)？

（2）救生圈是何時(shí)掉人水中的？

（天津市中考試題）

解題思路：要求小船按水流速度由A港漂流到B港時(shí)所需時(shí)間，需求兩港間的距離及水流速度，考

慮增設(shè)輔助未知數(shù)．

【例5】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時(shí)到達(dá)學(xué)校后，接參觀的師生立即

出發(fā)去縣城，由于汽車在赴校的途中發(fā)生故障，不得不停車修理，學(xué)校師生等到7時(shí)10分，仍未見(jiàn)汽

車來(lái)接，就步行走向縣城．在行進(jìn)途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比預(yù)定到達(dá)

縣城的時(shí)間晚了半小時(shí)，如果汽車的速度是步行速度的6倍，汽車在途中排除故障花了多少時(shí)間？

（山東省中考試題）

解題思路：從題中比原定時(shí)間晚到半小時(shí)入手，選好未知量，找出汽車所用時(shí)間與師生步趕所用時(shí)

間之間的關(guān)系．依時(shí)間、速度和路程之間的關(guān)系列出方程．

【例6】甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，在距離B地6千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)

按原方向、原速度前進(jìn)，當(dāng)他們分別到達(dá)B地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米處相遇，求A，

B兩地相距多少千米？

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．某人以4千米/小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時(shí)的速度從乙地返回甲地，那

么某人往返一次的平均速度是__________千米/小時(shí)．

2．汽車以每小時(shí)72千米的速度筆直地開(kāi)向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽(tīng)到回響，已

知聲音的速度是每秒340米，聽(tīng)到回響時(shí)汽車離山谷的距離是__________米．

（江蘇省競(jìng)賽試題）

3．甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時(shí)從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地

開(kāi)出的為第一輛汽車，每小時(shí)行30千米，從乙地開(kāi)出的為第二輛汽車，每小時(shí)行40千米．當(dāng)從甲地開(kāi)

出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了__________千米和

__________千米．

（武漢市選拔賽試題）

4．上午9時(shí)整，時(shí)計(jì)與分針成直角，那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是（）．

58

A．9時(shí)30分B．10時(shí)5分C．10時(shí)5分D．9時(shí)32分

1111

（“希望杯”競(jìng)賽試題）

5．甲、乙兩人同時(shí)從A地到B地，如果乙的速度v保持不變，而甲先用2v的速度到達(dá)中點(diǎn)，再用

1

v的速度到達(dá)B地，則下列結(jié)論中正確的是（）．

2

A．甲、乙同時(shí)到達(dá)B地B．甲先到B地

C．乙先到B地D．無(wú)法確定誰(shuí)先到

6．甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長(zhǎng)江大廈底層出發(fā)，當(dāng)甲到達(dá)6樓時(shí)，乙剛到達(dá)5樓，按此速

度，當(dāng)甲到達(dá)頂層時(shí)，乙可到達(dá)（）．

A．31層B．30層C．29層D．28層

7．如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C同時(shí)沿正方形的邊開(kāi)始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順

時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們的第2007次相遇在邊

（）上．

A．ABB．BCC．CDD．DA

（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）

8．甲、乙兩列火車同時(shí)從相距120千米的兩地相向行駛，甲速為每小時(shí)84千米，乙速為每小時(shí)60

千米，則當(dāng)兩車相距24千米時(shí)行駛的時(shí)間為（）．

A．40分鐘B．1小時(shí)C．1小時(shí)或20分鐘D．40分鐘或1小時(shí)

9．有一個(gè)只允許單向通過(guò)的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過(guò)9人，一天王老師到達(dá)道口時(shí)，

發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過(guò)道口，此時(shí)自己前面還有36人等待通過(guò)（假定先到的先過(guò)，王

老師過(guò)道口的時(shí)間忽略不計(jì)）．通過(guò)道口后，還需7分鐘到達(dá)學(xué)校：

（1）此時(shí)，若繞道而行，要15分鐘到達(dá)學(xué)校，從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)繞道去學(xué)校，還是選擇

通過(guò)擁擠的道口去學(xué)校？

（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過(guò)

道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過(guò)逬口，求維持秩序的時(shí)間．

（江西省中考試題）

10．某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開(kāi)車時(shí)間早到15分鐘，若

每小時(shí)行18千米，則比火車開(kāi)車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開(kāi)車前10分鐘到達(dá)火車站，

求此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)該是多少？

（湖北省孝感市競(jìng)賽試題）

11．鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時(shí)向東行進(jìn)，行人速度為3.6千米/小時(shí)，騎車

人速度為16.8千米/小時(shí)，如果有一列火車從他們背后開(kāi)過(guò)來(lái)，它通過(guò)行人用22秒，通過(guò)騎車人用26

秒，問(wèn)這列火車的車身長(zhǎng)為多少米？

（河北省競(jìng)賽試題）

B級(jí)

1．甲、乙兩人從兩地同時(shí)出發(fā)，若相向而行，a小時(shí)相遇；若同向而行，則b小時(shí)甲追及乙，那

么甲、乙兩人的速度之比為_(kāi)_________．

（江蘇省競(jìng)賽試題）

2．甲、乙兩列客車的長(zhǎng)分別為150米和200米，它們相向行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘

客測(cè)得乙車在他窗口外經(jīng)過(guò)的時(shí)間是10秒，那么乙車上的乘客看見(jiàn)甲車在他窗口外經(jīng)過(guò)的時(shí)間是

__________秒．

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3．某人乘船由A地順流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小時(shí)，已知船在靜水中的

速度為每小時(shí)7.5千米，水流速度為每小時(shí)2.5千米，若A，C兩地的距離為10千米，則A，B的距

離為_(kāi)_________千米．

（重慶市競(jìng)賽試題）

4．某段公路由上坡、平坡、下坡三個(gè)等長(zhǎng)的路段組成，已知一輛汽車在三個(gè)路段上行駛的平均速

度分別為，，．則該汽車在這段公路上行駛的平均速度為（）．

v1v2v3

111

vvvvvv13

A．123B．123C．D．

111111

33

v1v2v3v1v2v3

（天津市競(jìng)賽試題）

5．靜水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不為零的河流中，甲、乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)，

同向航行1小時(shí)后立即返航，那么（）．

A．甲船先返回A港B．乙船先返回A港

C．甲、乙兩船同時(shí)返回A港D．不能確定哪條船先返回A港

（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

6．某商場(chǎng)有一部自動(dòng)扶梯勻速由下而上運(yùn)動(dòng)，甲、乙二人都急于上樓辦事，因此在乘扶梯的同時(shí)

勻速登梯，甲登了55級(jí)后到達(dá)樓上，乙登梯速度是甲的2倍（單位時(shí)間內(nèi)乙登樓級(jí)數(shù)是甲的2倍），他

登了60級(jí)后到達(dá)樓上，那么，由樓下到樓上的自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)為_(kāi)_________．

（北京市競(jìng)賽試題）

7．甲、乙兩同學(xué)從400米的環(huán)形跑道上的某一點(diǎn)背向出發(fā)，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢

跑．6秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6米的速度向甲

跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．