中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編-專題14 圖形的相似（解析版）

中考數(shù)學(xué)模擬試題優(yōu)選匯編考前必練

專題14圖形的相似

一.選擇題

1.12020?寧波模擬）如圖，ZkABC是等邊三角形，。是BC邊上一點(diǎn)，。是A。上一點(diǎn)，連結(jié)P&PC,若點(diǎn)

=￡4,ZBPC=120°,則P音R■的值為（）

9rU

【解析】如圖，過點(diǎn)，作石。。交人。于耳交AC于",

'：EF//BC,

.AP_EP_PF

??而而F

.EP二」D二,

??而FT

A?PE=4a,PF=9a,

???N8PC=120°,

??.ZBPE+ZCPF=60°,

?/ZXAbC是等邊三角形，

??.NA8C=/ACB=N8心60。，AB=AC,

?：EF//BC,

/.ZAEF=ZABC=60Q,ZAFE=ZACB=60°,

???△AE”是等邊三角形，

：,AE=AF,

1

:.BE=CF,

??ZAEF=ZABP+ZBPE=60°,ZAFE=ZACP+ZCPF=60°,

???ZBPE=ZPCF,ZCPF=ZABP,

:.△BPEsNCF,

.PB_2E_BE

**PC=FC'PF，

；.R石?產(chǎn)卜=3呼=36。2,

BE=6a,

.PB_PE_4a_j

**PC=FC"6a

故選：C.

2.（2020?番禺區(qū)一模）如圖，在菱形ABC。中，48=4C,點(diǎn)七、尸分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF,

連接CE、AF交于點(diǎn)H,連接DH交AC于點(diǎn)O,則下列結(jié)論:①A4BF絲△CAE；②NFHC=NB；③AAEH一

LDAH,@AE*AD=AH*AF,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】???四邊形ABC。是菱形,

：.AB=BC,

'：AB=AC,

：.AB=BC=AC,

即"8C是等邊三角形,

同理：△ADC是等邊三角形

???ZB=ZEAC=60°,

{E/^ABF和ACAE中,

BF=AE

NB=NEAC，

BC=AC

???△人9/名△CAE（.SAS）；

2

：,ZBAF=ZACE,EC=AF,

??ZFHC=ZACE+ZFAC=ZBAF+ZFAC=ZBAC=（）OQ,

：?/FHC=/B,

故①正確，②正確；

■:^AHC+^ADC=120°+60°=180°,

??.點(diǎn)A,H,C,。四點(diǎn)共圓，

AZAHD=ZACD=60°,NACH=NADH=NBAF,

：.ZAHD=ZFHC=ZAHE=60°,

:AAEHfDAH,故③正確；

VZACE=ZBAF,ZAEH=ZAEC,

:.XAEHsxcEA,

.AE_AH

??而R

：.AE-AC=AH*EC,

：.AE?AD=AH*AFt

故④正確；

故選：。.

3.（2020?江干區(qū)一模）如圖.在A4BC中，DE//BC,ZB=ZACD,則圖中相似三角形有（）

A.2對B.3對C.4對D.5對

【解析】?：/B=NACD,ZA=ZA,

*：DE〃BC,

???△AOES/XABC,

??.△ACOs/viOE,

?：DE〃BC,

：.ZEDC=ZDCB,

3

*：ZB=ZDCEt

:?△CDES^BCD,

故共4對,

故選：C.

4.（2020?蕭山區(qū)模擬）已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)七是DA延長線上一點(diǎn)，則（）

EDAD

C典二此=

,CDBDBC-BM

【解析】???四邊形ABC。是平行四邊形,

AB//CD,AD//BC,

ED^CD，故A錯誤;

AM//CD,

姻=典故B正確.

ADMC改”止佩

BM〃CD,

△BMFS^DCF,

BMBF「神目

麗元，故0包品

ED//BC,

:.AEFD—ACFB,

.ED_DF

,?而方

'：AB//CD,

：.4BFMs叢DFC,

.CD=DF

一前一而

.ED=CD

故。錯誤.

故選:B.

4

5.（2020?寶安區(qū)二模）如圖，在A48ct中，NAC8=90。，AC=BC,點(diǎn)。為邊AC上一點(diǎn)，連接8。，作4〃

LBD的延長線于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作CE//AH與BD交與點(diǎn)E,連結(jié)AE并延長與BC交于點(diǎn)F,現(xiàn)有如下4

S/XCFF

個(gè)結(jié)論：①/HAD=NCBD:②bADEsRBFE、?CE^AH=HD?BE；④若。為AC中點(diǎn)，則《-------=

SABEF

2.其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】???4H_LBD,

???Z4/7Z)=90o,

VZBCD=90°,/ADH=NBDC,

；?NHAD=NCBD；所以①正確；

當(dāng)CQW時(shí)，

,：CA=CB,

???△CA&ZXCB。，

:.NCAF=/CBD,

此時(shí)△ADESABE凡所以②錯誤：

'：ZHAD=ZCBE,NAHD=/BEC,

：.△AHDsABEC,

：.AH：BE=DH：CE,

:.CE*AH=HD?BE,所以③正確；

,?，CE為上的高，

???C氏?！?8E,

..CE)2JE-BE_DE

?.BE-BE2BE'

???E尸與CO不平行，

,DECF

??BE=BF'

5

SACEFCF

???答里,（黑）2,所以④錯誤.

'△BEF

故選：B.

6.（2020?深圳模擬）如圖，正方形ABCD中，/為AB上一點(diǎn)，E是8c延長線上一點(diǎn)，KAF=EC,連結(jié)

EF,DE,DF,M是正中點(diǎn)，連結(jié)MC,設(shè)正與OC相交于點(diǎn)N.則4個(gè)結(jié)論：?DE=DF；②NCME=

ZCDZT；③DG=GN?GE；④若〃"=2,則MC=7歷；正確的結(jié)論有（）個(gè)

A.4B.3C.2D.1

【解析】正方形ABCD中，AD=CD,

rAD=AD

在AA。尸和△COE中，?ZA=ZDCE=90°，

AF=EC

???△AQ/匹△COE(SAS),

:?/ADF=NCDE,DE=DF,故①正確；

/.ZEDF=Z1FDC+ZCDE=/尸DC+/ADF=ZADC=90",

???ZDEF=45°,

連接8M、DM.

???M是斯的中點(diǎn),

；.MD=』：F,BM二工EF,

22

:.MD=MB,

6

DM=MB

在AOCM與"CM中，，BC=CD，

CM=CM

:.△DCM"ABCM(SSS),

???ZBCM=ZDCA/=yZ_BCD=45°,

???/MCN=/DEN=45°,

?/4CNM=^END,

:.NCME=NCDE,故②正確；

???ZGDN=ZDEG=45°，ZDGN:ZEGD，

:.ADGNSAEGD,

.DG_GN

，，GE-DG，

:?DG=GN，GE；故③正確；

過點(diǎn)M作于H,則ZMCH=45°,

??,"是E廠的中點(diǎn)，BFtBC,MH工BC,

???M〃是△3EF的中位線，

工MH=±BF=l,

2

???CM=&二行故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④.

故選：A.

7.（2020?中山市校級一模）如圖，正方形A8CO的邊長為6,點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，連接AE與對角線8。交

于點(diǎn)G,連接CG并延長，交A8于點(diǎn)F,連接。E交。產(chǎn)于點(diǎn)H,連接以下結(jié)論：?ZDEC=ZAEB；

@CFLDE；?AF=BF-,④裊三，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

7

DC

A.1B.2C.3D.4

【解析】???四邊形ABC。是邊長為6的正方形，點(diǎn)￡是8c的中點(diǎn)，

：?AB=AD=BC=CD=6,BE=CE=3,ZDCE=ZABE=90°,NABD=NCBD=45。,

：.4ABE迫叢DCE(SAS)

:./DEC=/AEB,ZBAE=ZCDE,DE=AE,故①正確，

?：AB=BC,ZABG=ZCBG,BG=BG,

/.^ABG^ACBG(SAS)

；?NBAE=/BCF,

：.NBCF=ZCOE,且NCDE+ZCED=90°,

NBCF+NCED=90°,

???NCHE=90°,

：.CFA.DE,故②正確，

VZCDE=ZBCF,DC=BC,ZDCE=ZCBF=90°,

:.XDCEm4CBF(ASA),

:,CE=BF,

?;CE=±BC=±AB,

22

：.BF=^AB,

：.AF=FB,故③正確，

VDC=6,CE=3,

???DF=VCD2-K：E2=762+32=3^

??,Smc二xCDxCE=gxDExCH,

乙乙

5

ZCHE=ZCBF,ZBCF=ZECH,

8

:.AECHSAFCB,

.CH_CE

一三一京

6X3

CF=6^5=3加，

5

：.HF=CF-CH=^^-

5

?,?寒=/故④正確,

nro

故選：D.

8.（2020?廣東一模）如圖，在正方形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，尸是C。上一點(diǎn)，AE1EF,下列結(jié)論:

①NBAE=30。：②△ABES/XAM：③CF=[<D；④&八8￡=45.廣.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

O

【解析】???四邊形八是正方形，

Z.ZB=ZC=90°,AB=BC=CD,

'：AELEF,

ZA￡:F=Z5=90°,

?.NBAE+NA￡B=900,ZAEB+FEC=90°f

J/BAE=NCEF,

:.△BAEsMEF,

.ABBE

’.前一而

9

?；BE=CE=±BC,

2

AABE

?.-=（空）2=4

??SAECFEC

**?S&ABE=4S&ECF，故④正確；

：,CF=^-EC=^CD,故③錯誤；

24

..mCF1

..tanZ,

AB2

???/84母30。，故①錯誤；

設(shè)CF=a,則BE=CE=2a,AB=CD=AD=4a,DF=3a,

:.AE=2^\[^a,EF=yJ~^i,AF=5a,

.AE_2V5a,2A/5BE2a2A/5

AF5a5EFV5a5

.AE_BE

?下一而，

A^ABE^/^AEF,故②正確.

???②與④正確.

???正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有2個(gè).

故選：B.

-.填空題

9.（2020?增城區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長是3,BP=CQ,連接AQ.DP交于點(diǎn)O,并分別與邊

CD、BC交于點(diǎn)RE,連接AE,下列結(jié)論：①AQ_LOP；②OA2=OE?OP；③S&AOD〈S網(wǎng)通形OECF；①當(dāng)

12

BP=\時(shí)，tanNOAE;整，其中正確結(jié)論的是—.（請將正確結(jié)論的序號填寫在橫線上）

【解析】???四邊形A8C。是正方形,

：,AD=BC,NZM8=N4BC=90°,

BP=CQ,

1

：.AP=BQ,

在△。4尸與△ABQ中，

'AD=AB

ZDAP=ZABQ>

AP=BQ

:.△DAP色(SAS),

???NP=N。，

???NQ+/QA8=90。，

???NP+NQAB=900,

???NA。0=90。，

???4Q_LQP,故①正確：

???NOOA=N4OP=90。，ZADO+ZP=ZADO+ZDAO=90°,

：.ZDAO=ZP,

???△OAOSZ\AP。，

.AO_0P

**0DW

：.AO2=OD>OP,

-：AE>AB,

：.AE>AD,

：.OD/OE,

：,OA2^OE-OP-,故②錯誤：

在ACQ/與ABPE中

'NFCQ:NEBP

CQ=BP，

ZQ=ZP

:.△CQF/XBPE(ASA),

:.CF=BE,

：.DF=CE,

在△4?！芭caOCE中，

'AD=CD

ZADC=ZDCE-

DF=CE

：.4ADF94DCE(SAS),

1

:.Sz\DF-ShDF戶SbDCE-SADOF，

即S△八ooVS內(nèi)邊彬O￡CF；故③錯誤；

■:BP=1,AB=3,

.\AP=4,

■:XPBEsgZ)、

.PBPA4

**BE=DA"3

.甌3

4

.八右

??QE=—13,

4

???△QOEs△以q,

12

.0Q0EQE今

??----=-----=----=4，

PAADPD-7-

b

.cc13??39

?3二T出而

19

：.AO=5-QO=S

5

AtanZOA月=黑*=-77-,故④正確,

0A16

故答案為：①④.

10.（2020?西湖區(qū)一?模）如圖，在A48C中，AB=AC,4D平分NBAC,點(diǎn)E在A8上，連結(jié)CE交A。于點(diǎn)

F,且AE=AF,以下命題：①4N/3CE=N/MC；②AE?DF=CF?EF：③器二音；④4。二~|(AE+AC).正

確的序號為

【解析】設(shè)N8CE=0,NAFE=a,

延長F。使得。G=OR連接CG,

?：AE=AF,

???ZAEF=ZAFE=ZDFC=d,

1

：.ZEAF=\SO0-2a,

'：AB=ACt4。平分NA4C,

/.ZBAC=2(180°-2a),

Va+p=90°,

Aa=90°-p,

?,.N8AO360。-4(90。-0)=4p=4ZBCE,故①正確.

若AE?DF=CF?EF,

則f■帶

由于尸與△CQF不相似，故AE?DF=CF?EF不成立,故②錯誤.

TAD是平分N84C,

,AE_AC

??而,

即落不故③正甌

VAD1BC,DF=DGt

：.CF=CG,

:?NG=/DFC=a,NFCG=2/BCE=2fi,

???ZB=a-p,

ZACE=a-[3-P=a-20,

:.ZACG=ZACE+ZECG=a-20+20=a,

：.AG=AC,

：.AG-AD=DG,AD-AF=DF,

：.AG-AD=AD-AF,

A2AD=AG+AF=AC+AF=AE+AC,故④正確，

故答案為：①④.

1

11.（2020?安慶模擬）如圖，。。的半徑為6,點(diǎn)尸在。。上，點(diǎn)A在。。內(nèi)，且AP=3,過點(diǎn)A作4。的

垂線交。。于點(diǎn)8、C.設(shè)PB=x,PC=y,則y與x的函數(shù)表達(dá)式為.

【解析】連接P。并延長交。。于從連接

由圓周角定理得，ZC=ZH,ZPBH=90°,

?：PA±BC,

.,.Z^4C=90°,

工/必C=NPBH,

/.△/MC-APW77,

.PBPHx12

-PTPC*即丁T

.?T

x

故答案為：尸逝.

-----H

12.（2020?大東區(qū)二模）如圖，在△八8c中，NACB=90。，AC=BC=2f。是邊AC的中點(diǎn)，CE1BD于E.若

尸是邊A4上的點(diǎn)，且使△?!￡尸為等腰三角形，則AF的長為—.

ZACB=90°,AC=BC=2,

?MB=2亞,

VZDCB=90°,CEA.BD,

:?△CDEsgDC,

:.Cr^DE-DB,

?：AD=CD,

:?AD2=DE?DB,

.AD_DB

**DEAD*

???NADENADB,

bDAEs/\DBM

?娼二現(xiàn)近

AB-BD-V,

...心^2/1^

5

?.?OE二普,BD二點(diǎn)

5

如圖1中,若AE=A尸時(shí),X警

如圖2中，若尸￡=4E時(shí)，過點(diǎn)七作E/_LA4于J,

?:JN=AU-八/二詡-BJ2,

??翁"嘿-(2亞--

-AJ-W2

5

?：AE=EFtEJ±AFt

：.AF=2AJ=^^-.

5

如圖3中，若EF=A/時(shí)，過點(diǎn)E作E/_LAB于J,

1

圖3

?:EJ2=AE1-AJ2=￡尸-FF,

???黑-箸人尸.（生反-4尸）2,

25255

....二返，

2

綜上所述：A。的長為耳頁或岑2或坐.

故答案為2叵或至返或返.

552

13.（2020?成都模擬）如圖，正方形ABC。的邊長為2,BE平分ND/3C交CD于點(diǎn)E,將△比E繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△￡）（?凡延長交?！ㄓ贕,則加的長為.

【解析】過點(diǎn)E作EM_LB。于點(diǎn)M,如圖所示.

???四邊形4BCO為正方形,

AZBDC=45°,NBCD=90°,

???△OEM為等腰直角三角形.

:.EM:&DE,

?:BE平分NDBC,EM上BD,

：.EM=EC,

設(shè)EM=EC=x,

?:CD=2,

：.DE=2-x,

1

?,?廣返(2-A-),

2

解得42亞-2,

.?.EM=2加-2,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CF=CE=2近-2,

???8G8C+C尸=2+2&-2=25.

放答案為：2a.

14.（2020?武漢模擬）如圖，在Rl△人中，ZC=90°,AO6,BC=8,。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)石在上，分

別連接B。、AE交于點(diǎn)尸.若NBFE=45°,則CE=

【解析】過點(diǎn)A,B分別作8C,4c的平行線交于點(diǎn)K,則四邊形4CBK為矩形,

過點(diǎn)A作AM//DB交KB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MALLAM交AE的延長線于點(diǎn)N,

過點(diǎn)N作8。的平行線分別交AC,KB的延長線于點(diǎn)〃，Q,

則四邊形CWBQ為矩形，

VZBFE=45°,AM//BD,

.../BFE=/MAN=45°,

???△八MN為等腰直角三角形,

1

：,AM=MN,

「N4MK+NNMQ=NAMK+NK4K=90。,

???/NMQ=/MAK,

又???NAKM=NMQN=900,

.?.△AKMgAV/QN(AAS),

:.KM=NQ,M0=AK=8,

???。為AC的中點(diǎn)，AC=6,

：.AD=DC=BM=3,

:?MK=NQ=3,

：,BQ=CH=5,

:?HN=HQ-NQ=8?3=5,

???CE////N,

:.△ACES/\A〃M

.CE_AC

??而加，

喈哈

?."=普

放答案為：招.

15.（2020?新都區(qū)模擬）A48C中，N4=60。，BM_LAC于點(diǎn)M,CN工AB于點(diǎn)、N,P為BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)

PM,PN,則下列結(jié)論：①PMnPN②修嘿③NMN為等邊三:角形④若82五。尸，則/AC8=75。.則

正確結(jié)論是

【解析】①???BM_LAC于點(diǎn)M,CN工AB于點(diǎn)N,P為BC邊的中點(diǎn),

：.PM2BC,PN=±BC,

22

1

:.PM=PN,故①正確;

②在△/WM與△ACN中，

VZA=ZA,NAMB=NANC=90°,

.AN_AC

**AMAB*

??.祟黑故②正確；

ADAC

③???NA=60。，BM_LAC于點(diǎn)M,CNLAB于點(diǎn)、N,

:./ABM=NACN=30°,

在A/WC中，NBCN+NC8M=180。-60°-30°x2=60°,

???點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，8W_LAC,CN_LAB,

:.PM=PN=PB=PC,

：,/BPN=2/BCN,/CPM=2/CBM,

：.NBPN+/CPM=2QBCNMCBM）=2x60°=120°,

；?/MPN=60。，

??.△PMN是等邊三角形，故③正確；

BN=^/2CP.BP=CP（尸為的中點(diǎn)），

???BN=&BR

/BPN=9伊,

???ZABC=45°,

4=60。，

:.ZACB=180°-NA-NA8c=75。，故④正確；

放答案為：①②③④.

16.（2020?河南一模）如圖，在RSA8C中，/AC8=90。，N84G60。，BC=近。是BC邊上一動點(diǎn)，過

點(diǎn)。作。EJ_48于點(diǎn)E,連接A。，“?！昱caAOE關(guān)于AO所在的直線對稱，且AE所在的直線與直線

BC相交于點(diǎn)片直線8E與直線AC相交于點(diǎn)H,若點(diǎn)F到RtzMBC的斜邊和一條直角邊的距離恰好相

等，則的長為—.

1

A

【解析】根據(jù)題意，得AC=1,AB=2,NA8C=30。,

①當(dāng)點(diǎn)E在NBAC的平分線上時(shí)，點(diǎn)尸落在邊上，過點(diǎn)尸作尸G_LAB于點(diǎn)G,

如圖1所示，：.ZFAC=ZFAB=30\CF=GF,AG=AC=\,

:,GF=CF=^~,BF=AF=^^,

33

VDElzAB,

JZDEB=90°,

設(shè)。E=x,則8E=?r,DB=2x,

???FD=BF-BD=^^--2x,

3

,:MADE與〉A(chǔ)DE關(guān)于AD所在的直線對稱，

：.AE'=AE=AB-BE=2-Vjr,DE=DE=x,NAED=NAED=9D。,

VZACF=ZDE,F=90°.ZAFC=ZDFE,,

1

,.△ACFsRDEF,.?.螞=逃-r_V3-l

，解得:A----------------,

AFDF2

33

??DE=DE4”BD=^[2-1，

DE岑

過點(diǎn)E作E'N工BC于N,如圖1,在RMDNE中，NNOE'=30。,

2

44

：.BN=BD+DN=

4，

?；CH上BC,E'N±BC,

：.E'N//CH,:,/\BNE's叢BCH,

.BN_NE'

**BC-CH1

即4=4,

~^3CH-

解得：CH=^~3；

13

②當(dāng)點(diǎn)E在NA8C的平分線上時(shí)，點(diǎn)尸落在BC的延長線上，如圖2,過點(diǎn)H作“M_LA8于點(diǎn)M,

設(shè)CH=a,

?.,點(diǎn)〃在N4BC的角平分線上，：.HM=CH=a,：.AH=AC-CH=\-a,

〃二〃，瑞1-a2

???NAM=/AC8=90°,NG48/MA???即

解得：折2然-3,???C〃=2代?3,

③當(dāng)點(diǎn)E在/8AC的外角平分線上時(shí)，點(diǎn)尸落在8c的延長線上，如圖3,過點(diǎn)？作￡618戶于點(diǎn)G,

圖3

VZ^AC=60°,：,ZFAC=60Q,：,ZBAC=ZFAC,

2

11q

?：AC1BF,???點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，孕。=字，的=等

乙乙乙

???E'GJ_BRAC-LBF,

:.EG"AC,

:.XXFEGSRFNC,

.FEZ_EyG_FG

“FAAC-CF,

o

.4E7GFG

〒石

?小L33*V^

..EG="T，F(xiàn)G=----，

44

■:EGHkC,

:.△BHCS^BEG,

5

綜上所述,CH的長為"1一3或2夷?3或春

軍0或2加-3或

放答案為:

三.解答題

17.（2020?匯川區(qū)三模）如圖，正方形4BCD的邊長等于近，P是8C邊上的一動點(diǎn)，NAPB、/APC的

角平分線夕從夕”分別交人8、CD于E、F兩點(diǎn),連接石工

(1)求證：ABEPS^CPF；

（2）當(dāng)/以8=30。時(shí)，求△口?的面積.

【解析】（1）:月石平分NAPB,P5平分NAPC,

2

???zlAPE=^ZAPBfNAP戶=±N4PC,

22

AZAPE+ZAPF=-(ZAPB+^APC)=90°,

2

???Z￡P(guān)F=90°,

???NEPB+NBEP=/EPB+/FPC=90°,

???NBEP=/FPC,

VZB=ZC=90°,

??.ABEPSACPF.

(2)VZB4B=30°,

/.ZBPA=60°,

???ZBPE=30Q,

在RtZkABP中，

/用8=30。，AB;班,

；?BP=1,

在R@8PE中，

NBPE=300,BP"

.”一2正

3

???CP=加-1,ZFPC=60°,

:?PF=2CP=2近-2,

??.△PEb的面積為：±PE?PF=2-主巨.

23

18.(202()?龍巖一模)如圖，已知48是。。的直徑，BC1AB,AC交。。于點(diǎn)D.

(1)求作：點(diǎn)￡使七點(diǎn)是弧AO的中點(diǎn)；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)連接8E,DE,若BE交AC于點(diǎn)F,REF=l,BF=2,求/4。七的度數(shù).

2

c

【解析】（1）如圖，作AQ的垂直平分線，交標(biāo)卜點(diǎn)E,

AE=DE'

???ZDAE=ZABE=ZADE,

???48是直徑,

???NAEB=90°,

2

?：/DAE;NABE,NAEB=90°=NAEB,

J/\AEF^ABEA,

.AE_EF

,?麗而

???AE^EF?BEnlx(1+2),

:,AE=M，

\'tnnZEAF=~=^-,

AE3

???ZE4F=30°,

???ZADE=30°.

19.(2020?安徽一模)如圖，。。內(nèi)兩條互相垂直的弦AB,CD(不是直徑)相交于點(diǎn)E,連接4D,BD,

4C,過點(diǎn)。作。凡LAC于點(diǎn)尸.過點(diǎn)4作的切線以，交CQ的延長線于點(diǎn)P..

(1)求證：2OF=BD.

(2)若菽=標(biāo)，BD=3,PD=l,求人。的長.

【解析】證明：(1)如圖，連接AO并延長交QO于從連接CW,

VOFIAC,

：.FC=AF,

又,：AO=OH,

：.OF//CH,CH=2OF,

：,ZHCA=ZOFA=90°,

???ZAHC+ZCAH=9Q0,

2

ZADC+ZBAD=90°,

又?:ZADC=ZAHC,

:./CAH=/DAB,

???CH=DB*

:?CH=BD,

:?BD=2OF；

???ZADC=ZBCA,

丁四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，

??.NAC8+/AQ8=180。，

ZADC+Z/1DP=180°,

???ZADB=ZADP,

???力是。。切線，

：,ZPAH=90\

.??N%O+N/)A〃=90。，

VZACH=9()Q=ZACD+ZHCD,/HCD=/HAD,

：.^PAD=^ACD,

???NACD=NABD,

：.ZR\D=ZABD,

???△AOPS^BOA,

.PD_AD

,,而討

???A￡>2=PZ>BO=3X1=3,

:.AD=氏.

20.(2020?新會區(qū)一模)如圖，在"AC中，點(diǎn)￡>、E、F分別是A8、BC、CA的中點(diǎn)，八〃是邊"C上的面.

2

(1)求證：四邊形AOE尸是平行四邊形.

【解析】(1)?:E、/分別為BC、4C的中點(diǎn)，

:.EF//AB且EF=LB,

2

???點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，

即EF//AD且EF=AD,

???四邊形AOEQ是平行四邊形；

(2)連接DF,

8c于“，點(diǎn)。、?分別是A3、CA的中點(diǎn),

：?DH=5AB,FH=《AC,

22

???點(diǎn)。、E、尸分別是A8、BC、CA的中點(diǎn)，

：.EF=-AI3,DE=-AC,

22

:?DH=EF,FH=DE,

.DHFHDF.

??麗-瓦一而

：,4DFESAFDH,

??.ZDHF=ZDEF.

C

21.(2020?長沙模擬)如圖，正方形ABC。的對角線AC、B。交于點(diǎn)。，/CB。的平分線BG交4。于

2

交CD于廣，且。G_LBG.

(1)求證：BF=2DG；

【解析】(1)證明：延長。G、BC交于點(diǎn)H,

???BG平分NC8。，

AZ1=Z2,

?；DG工BG,

工/BGD=NBGH=9()。,

又,：BG=BG,

:.ABGgABGH(ASA),

：.BD=BH,

:.DH=2DG,

,/四邊形ABCD是正方形.

：,BC=DC,ZBCF=ZDCH=9G0,

又?；/BGD=90。,Z3=Z4,

AZ2=Z5,

:?△BCF"ADCH(ASA),

：.BF=DH,

；?BF=2DG；

(2)???四邊形4BCQ是正方形，

???ZACB=ZBDC=45°,

??.ZBCE=ZBDF,

又???/l=N2,

:.△BECsARFD,

2

.BE二BC二BC二1

..而而二&BC二&，

,:BE=M，

:*BF=A

22.(2020?金昌一?模)如圖，在Rt/kABC中，ZACB=90\以AC為直徑的。。與AB邊交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是

邊BC的中點(diǎn).

(1)求證：B0=BD*BA；

(2)求證：石。是。。的切線.

???ZADC=90°,

AZBDC=l80o-90o=90o,

???NACB=900,

4BDC=/ACB,

???NB=NB,

：?4BCDs〉BAC,

.DC_BD

??加麗

即BC2:BD?BA；

(2)連接07),

???AC是。。的直徑,

2

r.ZADC=90°,

???ZCDB=90Q,

又?：EB=EC,

工力石為直角RiaOCB斜邊的中線，

:?DE=CE=BC,

?,.NDCE=/CDE,

,：OC=OD,

：?/OCD=NODC,

ZODC+ZCDE=ZOCD+ZDCE=ZACB=90°,

即NODE=90。，

：.ODLDE,

???￡>E是（DO的切線.

23.(2020?合肥二模)如圖，