中考數(shù)學(xué)模型 專題24 瓜豆最值模型（直線與曲線）（學(xué)生版+解析版）

專題2?4瓜豆就最值模型：為什么我們喜歡手拉手（直線與曲線）

好■/題型?解讀7

【例題1）三種處理策略

【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問(wèn)題

【瓜豆圓介紹】

型。軌跡為直線型?構(gòu)造中位線求

2023?廣東深圳?統(tǒng)考三模

題型喳軌跡為直線型?構(gòu)造手拉手

經(jīng)典例題,宿遷中考

2023?黑龍江綏化?中考真題

2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題

2023?西安市交通大學(xué)附屬中學(xué)初三月考

霞S軌跡為直線型?將軍飲馬加權(quán)線段和問(wèn)題

胞幽回軌跡為圓弧型?構(gòu)造中位線

2023?山東泰安?中考真題

軌跡為圓弧型?構(gòu)造手拉手

2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題

2022沈陽(yáng)中考

2022?鹽城市一模

2023?深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考模擬

路徑相關(guān)問(wèn)題

2022?山東濱州.統(tǒng)考中考真題

2023?海南.統(tǒng)考中考真題

當(dāng)線段最小值時(shí)求其它量

2022?廣東廣州.中考真題

2023?四川?廣元中考真題

丘那/滿分?技巧/

初中階段如遇求枕跡長(zhǎng)度僅有2種類型：“直線型''和“圓弧型”（兩種類型中還會(huì)涉及點(diǎn)往返探究“往

返型''），對(duì)于兩大類型該如何斷定，通常老師會(huì)讓學(xué)生畫圖尋找3處以上的點(diǎn)來(lái)確定就跡類型進(jìn)而

求出答案，對(duì)于填空選擇題而言不外乎是個(gè)好方法，但如果要進(jìn)行說(shuō)理很多考生難以解釋清楚

一、我們先來(lái)解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯(lián)動(dòng)

瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)

點(diǎn)的凱跡相同.

只要滿足：

?------------------------------

//

1、兩“動(dòng)”，一“定”則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)

2、兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的

3、兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值、距離比相同。

、

X._________

［例題1］三種處理策咯

如圖，D、E是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形A8C」一的中點(diǎn)，P為中線力。」一的動(dòng)點(diǎn)，把線段

PC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到P',EP'的最小值

1]

結(jié)合這個(gè)例題我們?cè)賮?lái)熟悉一下瓜豆模型

第一層：點(diǎn)P'運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線嗎？

答：是直線，可以通過(guò)P在4。時(shí)，即始末位置時(shí)"'對(duì)應(yīng)的位置得到直線就跡，對(duì)于選填題，可

找出從動(dòng)點(diǎn)的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說(shuō)理財(cái)需要構(gòu)造手拉手證明.

第二層：點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度相同嗎？

答：因?yàn)辄c(diǎn)P'與點(diǎn)尸到定點(diǎn)C的距離相等，則有運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度相等，若要說(shuō)理則同樣需要構(gòu)造手拉

手結(jié)構(gòu)，通過(guò)全等證明.

第三層：手拉手模型怎么構(gòu)造？

答：以旋轉(zhuǎn)中心C為頂點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，其實(shí)只要再找一組對(duì)應(yīng)的主從點(diǎn)即可，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是從P點(diǎn)的

軌跡即線段49中再找一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行與P點(diǎn)類似的的旋轉(zhuǎn)，比如把線段4。中的點(diǎn)4繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°,即為點(diǎn)&連接8P'即可得到一組手拉手模型，雖然前面說(shuō)是任意點(diǎn)，但一般來(lái)說(shuō)我們選擇一

個(gè)特殊位置的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)位置也是比較容易確定的，比如說(shuō)點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較方便.

第四層：分析NC4P和/CBP'

答：由全等可知NG4P=NC8P’,因?yàn)?為定點(diǎn)，所以得到P'軌跡為直線BP'

第五層：點(diǎn)尸和點(diǎn)P'軌跡的夾角和旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系

答：不難得出本題主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，要注意的是如果旋轉(zhuǎn)角是鈍角，那么主

動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的補(bǔ)角，這個(gè)在后面的例題中會(huì)出現(xiàn).

大氣層：前面提到，如果是選填題，可以通過(guò)找從動(dòng)點(diǎn)的始末位置快速定位軌跡線段，或者通

過(guò)構(gòu)造手拉手，通過(guò)全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動(dòng)點(diǎn)/

的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長(zhǎng)得到最小值，那么還有其他方法嗎？

答：還可以對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造手拉手模型，從而代換所求線段，構(gòu)造如下.

將點(diǎn)EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,構(gòu)造手拉手模型（S4S全等型），從而得到P'E=PG,最小值即為點(diǎn)

G到AD的距離.

要注意的是因?yàn)橐鷵QPE,所以E點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方式應(yīng)該是從P'|P,所以是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求軌跡

時(shí)的旋轉(zhuǎn)方式則是P|P',注意區(qū)分.

解析

策略一：找從動(dòng)點(diǎn)軌跡

連接BP',

由旋轉(zhuǎn)可得，CP=CP\/P'CP=60。，

,:△45C是等邊三角形，

：,AC=BC,N4C8=60°,

:.NACB=NPCP',

JAACP*ABCP'(SAS),

：.NCBP'=NCAP,

???邊長(zhǎng)為4的等邊三角形力8C中，。是對(duì)稱軸40上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

???NC4P=30。，BD=2,

JNC8P'=30。，

即點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BP\

，當(dāng)DP_L8P'時(shí),EP'最短，

I

上匕日寸，EP'=5BD+ED=1+2=3

-x2

2

???EP'的最小值是3

策略二：反向旋轉(zhuǎn)關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)造手拉手代換所求線段

將點(diǎn)E繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)G,連接PG,CG,EP'

A

由旋轉(zhuǎn)可得EC=CG,CP=CP\NP'CP=60。，NECG=60。,

??.△ECG是等邊三角形，EG=2

NPCP'=/ECG

，4PCG=NECP'

:AGCP義△ECPXSAS),

：.EP'=GP,

過(guò)點(diǎn)G作4D的垂線垂足為比GH即為所求.

NGEC=NACD

：.HE//DC

???NGHD=NADC

J.HG//DC

故G,E,”三點(diǎn)共線，則有HE〃DC

又E是/IC中點(diǎn)，分線段成比例可知H是力。中點(diǎn)

：.HE=-DC=\

2

EP'=GP=HE+EG=2+1=3

???EP'的最小值是3

總共提到了3種處理方式：

1.找始末，定就跡

2.在跳跡上找一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，再通過(guò)角度相等得到從動(dòng)點(diǎn)擾跡.

3.反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點(diǎn)，構(gòu)造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構(gòu)造.

【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問(wèn)題

己知點(diǎn)4(2,0),點(diǎn)8是直線)，=—2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段A8繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段8c

角度1:反向旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手(不用求從動(dòng)點(diǎn)軌跡，直接轉(zhuǎn)換為垂線段最短)

(1)求OC的最小值

【簡(jiǎn)析】如圖，構(gòu)造等腰直角AAOE,區(qū)1,一1)由旋轉(zhuǎn)相似可知OC=aJ5

y

角度2：構(gòu)造手拉手求從動(dòng)點(diǎn)軌跡

(2)求&3C+OC的最小值

【簡(jiǎn)析】V58C+OC=AC+OC，求出c點(diǎn)軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點(diǎn)軌跡上取一點(diǎn)”(2,-2),

構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，易知ZQW=90°,可知C點(diǎn)軌跡為J=-x-2,作01(-2,-2),

AC+OC=AC+O,C>AO,=2y/5,補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)三邊之比

角度3：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求加權(quán)餞段和

(3)記。(0,2),①求力C+OB的最小值；②求&O8+OC的最小值

【簡(jiǎn)析】①由旋轉(zhuǎn)相似可知。。=血03,則。C+OB=(a+1)OAW2血+2

?y/2OB+OC=DC+OC=DC+O,C>DO'=2sf5,補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)相似比

【瓜豆圓介紹】

如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌

跡是？

【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO,取AO中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是

0P一半，任意時(shí)刻，均有△AMQs/^AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2

【小結(jié)】

確定Q點(diǎn)就跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，

由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=-AO.

2

Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)枕跡成比例縮放.

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析枕跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

2023?廣東深圳?統(tǒng)考三模

I.如圖所示，八3=4,AC=2,以8C為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCQ,連接/I。并延長(zhǎng)至

點(diǎn)P,使人。=9,則依長(zhǎng)的取值范圍為.

S軌跡為直線型?構(gòu)造手拉手

經(jīng)典例題?宿遷中考

2.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)、,且8E=1,尸為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

EF,以E/為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

AD

3.如圖，在平行四邊形A8CD中，點(diǎn)E為射線A力上一動(dòng)點(diǎn)，連接鹿，將跳:繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到打,連接人尸，八3=12,Z4BC=45°,求A產(chǎn)的最小值.

【思路點(diǎn)撥】將45順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,作等邊根據(jù)手拉手模型可知AF=EK,根據(jù)垂線段

最短可知，當(dāng)FK_LAO時(shí)，KE的值最小，利用勾股定理求解EK即可求解.

4.（2023?洛陽(yáng)?二模）如圖，在一ABC中，AB=AC=2,ZMC=120°,對(duì)稱軸AO交8C于點(diǎn)

點(diǎn)E是直線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8,將線段8繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得尸C,連接

則。廠長(zhǎng)的最小值為.

5.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在..ABC中，Z4C5=90°,AC=BC=4fP是.<8C的

高C。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以5點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把線段必逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到8尸，連接。尸’，則。戶的

最小值是.

2023?黑龍江綏化?中考真題

6.如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接AF,EF,DF，則-CD尸周長(zhǎng)的最小值是.

7.（2022?山東日照?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,4）,P是

x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段布繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段PF,連接OE則線段O/7長(zhǎng)的最小

值是.

2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題

8.如圖，已知點(diǎn)43,0）,點(diǎn)B在），軸正半軸上，將線段A8繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。到線段AC,若

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,6），則人=.

9.如圖，在中，乙4。5=90。，AC=I5,8c=9,點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8P,

將線段改繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。D,連接A。，則線段A。的最小值是

2023?西安市交通大學(xué)附屬中學(xué)初三月考

10.如圖，矩形ABCZ）中，AB=6,BC=8,E為8c上一點(diǎn)，且BE=2,/為人B邊上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連接E尸，將石F繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG和CG,則CG的最小值

為.

AD

BEC

II.如圖，矩形ABCQ中，AB=6,BC=4,點(diǎn)E,尸分別為邊人3,CD上的動(dòng)點(diǎn)，且=

將線段E尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段依，連接力G

(1)當(dāng)點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)是；

(2)當(dāng)點(diǎn)內(nèi)在邊AA上運(yùn)動(dòng)時(shí).線段DG的最小值是

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP,將直線DP

繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使Nl=/2,且過(guò)點(diǎn)D作DG1PG,連接CG.則CG最小值為一

13.如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且8E=1，F(xiàn)為48邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以E/為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG,則CG的最小值為-------

【變式訓(xùn)練】雙動(dòng)點(diǎn)

14.如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)、,F為A8邊上一點(diǎn)，連接”，以

EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG,連接CG,則4G的最小值為.

軌跡為直線型?將軍飲馬加權(quán)線段和問(wèn)題

15.如圖，在矩形ABCD中，48=5,BC=9,E是邊A8上一點(diǎn)，AE=2,尸是直線8c上一動(dòng)

點(diǎn)，將線EF繞點(diǎn)、上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EG,連接8,QG,則CG+DG的最小值是

16.如圖，已知NCAB=3O。，4B=2,點(diǎn)。在射線AC上，以8。為邊作正方形8OEF,連接4E、

BE,則AE+8E的最小值為.

AB

17.如圖，在矩形ABC。中，A8=5,BC=8,點(diǎn)”為邊3C的中點(diǎn)，P是直線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

以MP為邊在MP右側(cè)作RfMPQ,且QM=PQ,連結(jié)AM,AQ,則..4MQ周長(zhǎng)的最小值為

18.如圖，在矩形/WC。中，AB=2,AD=2x/3，點(diǎn)石為邊人。上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊向右作直角

三角形的'使/團(tuán)-9。。，N6E=3。。，連接*BF,求曲京尸的最小值.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)。是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接4P,

將線段”繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到AQ,連接。。，PQ,求&OQ+PQ的最小值.

@軌跡為圓弧型?構(gòu)造中位線

19.（2023?周口?三模）如圖，止方形A8C7）的邊長(zhǎng)是8,點(diǎn)E是8C邊的中點(diǎn)，連接DE,點(diǎn)尸是

線段OE上不與點(diǎn)。，E重合的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接彷，點(diǎn)G是線段M的中點(diǎn)，則線段AG的最小

值為.

AD

2023?山東泰安?中考真題

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZXAOB的一條直角邊08在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）；

RtCOD中，NCOZ)=90。，OD=4&ZD=30°,連接8C,點(diǎn)M是8c中點(diǎn)，連接AM.將

RtCO。以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AM的最小值是（）

C.2V13-2D.2

21.如圖，點(diǎn)A,〃的坐標(biāo)分別為42,0）,8（0,2）,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，8c=1,點(diǎn)”為線

段AC的中點(diǎn)，連接OM,則0M的最大值為（）

X

I1

血

A上+B+C2+D2

X/22-V22-

22.如圖，在半徑為4的。中，弦AC=4夜，3是（0上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），。是43的

中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則AM的最大值為.

B

軌跡為圓弧型?構(gòu)造手拉手

2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題

23.如圖，M是正方形ABCD邊CO的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接笈P,線段8Q以B為中心逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8。，連接MQ.若八B=4,MP=1,則的最小值為.

2022沈陽(yáng)中考

24.如圖，在△ABC中，AB=8,AC=30將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接4Z),則

AD的最大值是.

25.如圖，點(diǎn)尸是正方形A8CO所在平面內(nèi)一點(diǎn)，NAP8=90。，連接。尸，將線段。尸繞點(diǎn)。逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。Q,連接AQ,若48=2,則線段AQ的最大值為.

AD

2022?鹽城市一模

26.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)8的2標(biāo)為（6,0）,以8點(diǎn)為圓心，2長(zhǎng)為

半徑的圓交x軸于C、Q兩點(diǎn)，若尸是。8上一動(dòng)點(diǎn)，連接附,以以為一直角邊作心△%Q,

使得tanNAPQ=g,連接。Q,則。。的最小值為

2023?深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考模擬

27.如圖，已知正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為4,以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是二A上的任意一點(diǎn)，

將線段。石繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。并縮短到原來(lái)的一半，得到線段。下，連接AF,則AF的

最小值是.

28.如圖，AB=4,。為AB的中點(diǎn)，0。的半徑為1,點(diǎn)尸是0。上一動(dòng)點(diǎn)，以依為直角邊的等

腰直角三角形（點(diǎn)尸、6、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，貝J線段AC的長(zhǎng)的取值范圍為

29.如下圖，在正方形ABC。中，A8=6,點(diǎn)E是以BC為直徑的圓上的點(diǎn)，連接。￡,將線段￡>￡

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段。連接CF,則線段Cr的最大值與最小值的和

路徑相關(guān)問(wèn)題

2022?山東濱州?統(tǒng)考中考真題

30.正方形4KC7）的對(duì)角線相交于點(diǎn)O（如圖1）,如果20。。繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其兩邊

分別與邊A艮8c相交于點(diǎn)E、尸（如圖2）,連接EF,那么在點(diǎn)E由3到A的過(guò)程中，線段EF

的中點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路線是（）

A.線段B.圓弧C.折線D.波浪線

2023?海南?統(tǒng)考中考真題

31.如圖，在正方形ABCQ中，A8=8,點(diǎn)石在邊上，且AO=4AE,點(diǎn)P為邊A3上的動(dòng)點(diǎn),

連接PE,過(guò)點(diǎn)、E作EFJ.PE,交射線8。于點(diǎn)尸，則釬=_____.若點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn),

PE

則當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)人運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

32.如圖，在矩形A8CO中，A3=2,AD=4,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。，以C￡為邊在CE的右側(cè)

構(gòu)造正方形。:FG,連接AF,則4/的最小值為,點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

33.如圖，矩形A8CO中，AB=8,AD=4,E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8E,取BE的中點(diǎn)G,點(diǎn)G

繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)F,連接CF,在點(diǎn)E從A到。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑

=，尸面積的最小值是.

F

題型密當(dāng)線段最小值時(shí)求其它量

2022?廣東廣州?中考真題

34.如圖，在矩形48。中，BC=2AB,點(diǎn)P為邊AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段8戶繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。得到線段8P,連接PP,CP'.當(dāng)點(diǎn)P落在邊8C上時(shí)，NPP'C的度數(shù)為；當(dāng)線

段CP'的長(zhǎng)度最小時(shí)，NP產(chǎn)C的度數(shù)為

2023?遼寧?中考真題

35.如圖，線段A8=8,點(diǎn)C是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段8c繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段8。,

連接在人〃的上方作R1AQC行.使/DCE=90,/行=3。，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接A廣，

當(dāng)""最小時(shí)，A5C￡>的面積為.

36.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。在BC邊上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，且8E=C￡>,連接。E,將

線段。E繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)12()。得到OF,連接C凡當(dāng)CF取得最小值時(shí)，求殷的值.

CD

A

2023?四川?廣元中考真題

37.如圖1,已知線段AB,AC,線段AC繞點(diǎn)A在直線A8上方旋轉(zhuǎn)，連接8C,以BC為邊在8C

上方作R"8DC,且NZ)8c=30。.

圖1圖2圖3

(1)若/8￡心=90。，以/W為邊在48上方作RtZ\84￡,且4/沼=90。，NER4=30。，連接?！?用

等式表示線段AC與DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE上AB,AB=4,AC=2,求8c的長(zhǎng)：

(3)如圖3,若/BCD=90°,人8=4,AC=2,當(dāng)人￡)的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBA的值.

專題2?4瓜豆軌最值模型：為什么我們喜歡手拉手（直線與曲線）

窈■/題型?解讀7

［例題I］三種處理策略

【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問(wèn)題

【瓜百圓介紹】

酶O軌跡為直線型?構(gòu)造中位線求

2023?廣東深圳?統(tǒng)考三模

軌跡為直線型?構(gòu)造手拉手

經(jīng)典例題?宿遷中考

2023?黑龍江綏化?中考真題

2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題

2023?西安市交通大學(xué)附屬中學(xué)初三月考

軌跡為直線型?將軍飲馬加權(quán)線段和問(wèn)題

酶圓軌跡為圓弧型?構(gòu)造中位線

2023?山東泰安?中考真題

軌跡為圓弧型?構(gòu)造手拉手

2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題

2022沈陽(yáng)中考

2022?鹽城市一模

2023?深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考模擬

題型磕路徑相關(guān)問(wèn)題

2022.山東濱州?統(tǒng)考中考真題

2023?海南?統(tǒng)考中考真題

當(dāng)線段最小值時(shí)求其它量

2022?廣東廣州?中考真題

2023?四川?廣元中考真題

局理/滿分?技巧7

?——??■—??一—??—?—?—???

初中階段如遇求枕跡長(zhǎng)度僅有2種類型：“直線型''和“圓弧型’（兩種類型中還會(huì)涉及點(diǎn)往返探究“往

返型”），對(duì)于兩大類型該如何斷定，通常老師會(huì)讓學(xué)生畫圖尋找3處以上的點(diǎn)來(lái)確定軌跡類型進(jìn)而

求出答案，對(duì)于填空選擇題而言不外乎是個(gè)好方法，但如果要進(jìn)行說(shuō)理很多考生難以解釋者楚

一、我們先來(lái)解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯(lián)動(dòng)

瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)

點(diǎn)的軌跡相同.

只要滿足:

1、兩“動(dòng)”，一“定”則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)

2、兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的

3、兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值、距離比相同。

【例題1】三種處理策咯

如圖，D、E是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形A8C上的中點(diǎn)，P為中線4。上的動(dòng)點(diǎn)，把線段

PC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到P',EP'的最小值

A

結(jié)合這個(gè)例題我們?cè)賮?lái)熟悉一下瓜豆模型

第一層：點(diǎn)P'運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線嗎？

答：是直線，可以通過(guò)P右4。時(shí)，即始末后量時(shí)P'對(duì)應(yīng)的右置得到直線軌跡，對(duì)于選填題，可

找出從動(dòng)點(diǎn)的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說(shuō)理則需要構(gòu)造手拉手證明.

第二層：點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度相同嗎？

答：因?yàn)辄c(diǎn)尸'與點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離相等，則有運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度相等，若要說(shuō)理則同樣需要構(gòu)造手拉

手結(jié)構(gòu)，通過(guò)全等證明.

第三層：手拉手模型怎么構(gòu)造？

答：以旋轉(zhuǎn)中心C為頂點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，其實(shí)只要再找一組對(duì)應(yīng)的主從點(diǎn)即可，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是從P點(diǎn)的

軌跡即線段4）中再找一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行與P點(diǎn)類似的的旋轉(zhuǎn)，比如把線段中的點(diǎn)力繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°,即為點(diǎn)&連接8P'即可得到一組手拉手模型，雖然前面說(shuō)是任意點(diǎn)，但一般來(lái)說(shuō)我們選擇一

個(gè)特殊位置的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)位置也是比較容易確定的，比如說(shuō)點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較方便.

第四層：分析/C4P和/CBP'

答：由全等可知NG4P=NCBP',因?yàn)?為定點(diǎn)，所以得到P'筑跡為直線BP'

第五層：點(diǎn)P和點(diǎn)P'軌跡的夾角和旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系

答：不難得出本題主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，要注意的是如果旋轉(zhuǎn)角是鈍南，那么主

動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的補(bǔ)角，這個(gè)在后面的例題中會(huì)出現(xiàn).

大氣層：前面提到，如果是選填題，可以通過(guò)找從動(dòng)點(diǎn)的始末位置快速定位軌跡線段，或者通

過(guò)構(gòu)造手拉手，通過(guò)全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動(dòng)點(diǎn)/，’

的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長(zhǎng)得到最小值，那么還有其他方法嗎？

答：還可以對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造手拉手模型，從而代換所求線段，構(gòu)造如下.

將點(diǎn)EC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,構(gòu)造手拉手模型（S/1S全等型），從而得到P'E=PG,最小值即為點(diǎn)

G到AD的距離.

要注意的是因?yàn)橐鷵QP'E,所以E點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方式應(yīng)該是從P'|P,所以是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求機(jī)跡

時(shí)的旋轉(zhuǎn)方式則是P|P',注意區(qū)分.

AA

—.G

解析

策略一：找從動(dòng)點(diǎn)軌跡

連接BP',

由旋轉(zhuǎn)可得，CP=CP',NP'CP=60°,

是等邊三角形，

：,AC=BC,NAC8=60。，

ZACB=NPCP;

???△ACPgABCP<SAS),

???NCBP'=ZCAP,

???邊長(zhǎng)為4的等邊三角形48c中，P是對(duì)稱軸力。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

AZG4P=30°,80=2,

NCBP'=30°,

即點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BP',

工當(dāng)DP」BP'時(shí),EP'最短，

1I

此時(shí)，EP,=2BD+ED=-x2+2=3

???EP'的最小值是3

策略二：反向旋轉(zhuǎn)關(guān)健點(diǎn)構(gòu)造手拉手代換所求線段

將點(diǎn)E繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)G,連接PG,CG,EP'

c

由旋轉(zhuǎn)可得EC=CG,CP=CP\NP'CP=60。,ZECG=60f

???△ECG是等邊三角形，EG=2

???NPCP'=NECG

：?/PCG=NECP'

工4GCP@△ECPISAS),

：,EP'=GP,

過(guò)點(diǎn)G作4D的垂線GH垂足為“，GH即為所求.

A

——,G

P'

???NGEC=NACD

：.HE//DC

〈NGHD=NADC

：.HG//DC

故G,E,，三點(diǎn)共線，則有HE〃DC

又E是AC中點(diǎn)，分線段成比例可知”是力。中點(diǎn)

：,HE=-DC=\

2

EP=GP=HE+EG=2+1=3

.??EP'的最小值是3

總共提到了3種處理方式：

1.找始末，定軌跡

2.在規(guī)跡上找一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，再通過(guò)角度相等得到從動(dòng)點(diǎn)就跡.

3.反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點(diǎn)，構(gòu)造手拉手模型，代換所未線段，即逆向構(gòu)造.

【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問(wèn)題

已知點(diǎn)4(2,0),點(diǎn)B是直線？=一2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段4B繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段8c.

角度1:反向旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手(不用求從動(dòng)點(diǎn)軌跡，直接轉(zhuǎn)換為垂線段最短)

<1)求oc的最小值

【簡(jiǎn)析】如圖，構(gòu)造等腰直角AAOE,E(l,—1)由旋轉(zhuǎn)相似可知oc=a5EW

角度2：構(gòu)造手拉手求從動(dòng)點(diǎn)軌跡

(2)求及BC+OC的最小值

【簡(jiǎn)析】x/58C+OC=AC+OC，求出c點(diǎn)軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點(diǎn)軌跡上取一點(diǎn)"(2,-2),

構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，易知NC4N=90。，可知C點(diǎn)軌跡為y=-x-2,作O'(-2,-2),

AC+0C=AC+0'C>AO'=2>/5補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)三邊之比

角度3：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求加權(quán)線段和

(3)記。(0,2),①求DC+OB的最小值；②求行O8+OC的最小值

【簡(jiǎn)析】①由旋轉(zhuǎn)相似可知=則力C+OA=(&+l)OAM2j5+2

?y/2OB+OC=DC+OC=DC+(yC>D(r=2y/5,補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)相似比

【瓜豆圓介紹】

如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌

跡是？

【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO,取AO中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是

0P一半，任意時(shí)刻，均有△AMQsaAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2

【小結(jié)】

確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，

由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=^AO.

Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析筑跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

題型O軌跡為直線型?構(gòu)造中位線求

2023?廣東深圳?統(tǒng)考三模

I.如圖所示，八3=4,AC=2f以8c為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,連接并延長(zhǎng)至

點(diǎn)P，使AD=">,則依長(zhǎng)的取值范圍為.

【答案】4-2X/2<PB<4+2N/2

【分析】以4A為斜邊作等腰直.角三角形4H尸，延長(zhǎng)A尸至點(diǎn)E.使AF=EF,連接ERBE.利用

等腰直角三角形的性質(zhì)得出AABCs.BD利用相似三角形的性質(zhì)求出&,再利用三角形中位

線的性質(zhì)求出PE=2拉，由44BF是等腰直角三角形，人尸=莊，得出所垂直平分AE,進(jìn)而求出

BE=4,繼而利用三角形的三邊關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：如圖，以A8為斜邊作等腰直角三角形A8/"延長(zhǎng)"'至點(diǎn)￡使AF=EF,連接樣、

BE.

???AC8。和A4Z/都是等腰直角三角形，

；?==^BD，AB=yjAF2+BF2=>/2BF,

???■^二普二夜,，CBD="BF=45°,

BDBF

：.NCBD-NCBF=ZABF-Z.CBF,即AFBD=ZABC,

AABCSMBD.

???/=生=日

DFBD

???AC=2,

???”臉音也

VAD=DP,AF=FE,

???。戶是ZXAE尸的中位線，

EP=2DF=2叵，

丁A/V^是等腰直角三角形，AF=FE,

斯'垂直平分4E,

JBA=BE,

'：AB=4,

/.BE=4,

A4-25/2<PB<4+2x/2,

故答案為：4-25/2<P^<4+2x/2.

軌跡為直線型?構(gòu)造手拉手

經(jīng)典例題?宿遷中考

2.如圖，正方形A8CO的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)、,且8E=1,尸為A8邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊aE廣G,連接CG,則CG的最小值為.

【分析】

現(xiàn)在，我們分別用上面提到的3種策略來(lái)處理這個(gè)題目

策略一：找始末，定軌跡

我們分別以BE,AE為道,按題目要求構(gòu)造等邊三角形得到Gi與G2,連接G與G2得到點(diǎn)G的就

跡，再作垂線C”得到最小值.

前面提到過(guò)從動(dòng)點(diǎn)就跡和主動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角與旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，我們可以調(diào)用這個(gè)結(jié)論，得到NAMGi

=60°,

進(jìn)一步得到△MBGi為等腰三甭形后，求CH就不難了，可得C"=2

策略二：在點(diǎn)F軌跡上找一點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

我們分別對(duì)A,8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,構(gòu)造手拉手模型，再通過(guò)角度相等得到從動(dòng)點(diǎn)軌跡，

對(duì)A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)會(huì)得到一個(gè)正切值為'的角，即【anNGME=lanNAFE=,，然后進(jìn)一步算出最值

44

【簡(jiǎn)證】EM=AE=WinEN=\=/NEC=120。nIC=2陽(yáng)CH=-

22

對(duì)8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到N￡MG=NFBE=90°,相對(duì)來(lái)說(shuō)要容易一些.

ADAD

策略三：反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點(diǎn)，構(gòu)造手拉手模型，代換所求線段.

講點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到點(diǎn)”，易i正4CGE冬AHFE,則有CG=〃F,作于M,HM

即為所求.相比之下，先求就跡后再求垂線段時(shí)，比狡麻煩，而反向旋轉(zhuǎn)代換所求線段感覺(jué)清爽很

多.

3.如圖，在平行四邊形ABCZ)中，點(diǎn)E為射線4D上一動(dòng)點(diǎn)，連接鹿，將座繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到分，連接Af，A8=12,/A6c=45°,求的最小值.

F

【思路點(diǎn)撥】將A8順時(shí)針旋的6(r,作等邊.58K,根據(jù)手拉手模型可知AF=EK,根據(jù)垂線段

最短可知，當(dāng)KK_LA力時(shí)，KE的值最小，利用勾股定理求解EK即可求解.

【答案】3瓜+3叵

【詳解】解：如圖，以A3為邊向下作等邊4A3K,連接EK,在EK上取一點(diǎn)T使得A7=7X,

F

?:BE=BF,BK=BA./EBF=/ABK=6,AZABF=AKBE,:…ABFW&KBE(SAS],

:.AF=EK,根據(jù)垂線段最通可知，當(dāng)EK_LAO時(shí)，KE的值最小，二?四邊形A8CD時(shí)平行四邊形

.\AD//BCtVZ^BC=45%AZBAD=180°-ZABC=135°,VZBA/C=60°.:./EAK=7S、

???ZAEK=90'，???NAKE=15,???7X=L4,，/：TAK=ZAKT=\5°,AZATE=ATAK+ZAKT=30°

設(shè)=則AT=7X=2a,ET=,在RLAEK中，AK2=AE2+EK2

A?2+(2?+>/3t/)2=122,解得a=3(6一拉)，:.EK=2a+瓜=3限+3近

即AF的最小值為3#+3及

4.(2023?洛陽(yáng)?二模)如圖，在一ABC中，AB=AC=2,N5AC=12()。，對(duì)稱軸八￡)交8C于點(diǎn)。，

點(diǎn)E是更線人。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC,將線段反?繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得/C,連接。尸，

則。尸長(zhǎng)的最小值為

［答案］友二2

2

【分析】在4c上取一點(diǎn)G,使CG=CD,連接EG,根據(jù)全等三角賬的性質(zhì)可得CQ=CG=6,再

求出NDC^=NGCE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8=0"然后利用"邊角邊”證明4。。”和-GCE全等，

再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得。尸=EG,然后根據(jù)垂線段最短可得EG_LAO時(shí)最短，再根據(jù)

NC4Z)=60。求解即可.

【詳解】解：如圖，在AC上我一點(diǎn)G,優(yōu)CG=CD,連接￡G,

AB=AC=2,ZBAC=120°,

:.ZACB=30°,

：.CD=y/3,

旋轉(zhuǎn)角為30。,

...Z￡CF=30°,

:.AECF=ZACB,

;.NGCE=NDCF,

-CD=CG,

又-CE旋轉(zhuǎn)到。尸，

:CE=CF,

.-.△DCF^AGCE(SAS),

:.DF=EG,

根據(jù)垂線段最短，EG1ADH-,EG最短，即。尸最短，如圖所示:

A

.-.￡G=AGsin600=（2->/3）x—=>73--,:.DF=G-盤

222

5.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在/5C中，4c8=90。，AC=BC=4,〃是。的

高。。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以8點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把線段8。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到8戶，連接。P,則。尸的

最小值是.

【答案】2夜—2

【分析】在8C上截取BE=BD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得BA和BE,再證明

..BDP包BEP（SAS）,從而可得到?！?Q/，則當(dāng)小_LC。時(shí)，PE有最小值,即OP'有最小值，再

求得PE,從而求得OP'的最小值.

【詳解】解：如圖，在上裁取座=4￡>,連接￡P(guān)

VZACB=90°,AC=BC=4,CD工AB,

，BA=JAC?+8c*=次+4=4拉,ZABC=ZBAC=ZBCD=ZDCA=45°,BD=CD=AD=141=BE,

???以6點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把線段8產(chǎn)逆時(shí)針旋耕45c得到,

:,BP=BP,NPB9=45°,

/.ZABC=/PBP=45。,

ZABC-NPBD=4PBp-ZPBD,

即NEBP=NDBP,

3BE=BD,BP=BP,

BDPW^EP(SAS),

/.PE=DP',

???當(dāng)PE_LCZ)時(shí)，莊有最小值，即。產(chǎn)有最小值,

VPE±CD,ZBCD=45°,

CE=0PE=BC-BE=A-20

.??PE=與CE=與《—2塔=2五一2,

DP=PE=2五-2.

即力產(chǎn)的最小值是20-2

2023?黑龍江綏化?中考真題

6.如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊二角形，點(diǎn)上為島8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,將C左繞點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)6()。得到。尸.連接AF,EF,DF,則其發(fā)/周長(zhǎng)的最小值是.

【答案】3+3下)

【分析】根據(jù)題意，證明心8￡且人。4”,進(jìn)而得出尸點(diǎn)在射線A尸上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于4廠的對(duì)稱點(diǎn)

C,連接。C,設(shè)CC交A廠于點(diǎn)0,則N4OC=90°,則當(dāng)EC三點(diǎn)共線時(shí)，星+凡)取得最

小值，即FC+FD=尸。+F7)=CD',進(jìn)而求得C7),即可求解.

【詳解】解：???￡：為高8。上的動(dòng)點(diǎn).

.??ZCBE=-ZABC=30°

2

???將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.J^BC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，

.?.CE=CF/ECF=ZBCA=60°,BC=AC

ACBE^.CAF

???ZC4F=ZCTE=30°,

???尸點(diǎn)在射線"，上運(yùn)動(dòng)，

如圖所示，

作點(diǎn)C關(guān)于"'的對(duì)稱點(diǎn)C,連接。C,設(shè)CC交AF于點(diǎn)。，則/AOC=90°

在RUAOC中，ZC4O=30°,則（70=^40=3,

則當(dāng)。，產(chǎn),（7三點(diǎn)共線時(shí)，“C+”。取得最小值，即“C+/?〃=〃"+/?Z>=C/）'

-CC=AC=6tZACO=ZCCD,CO=CD

二?ACO^^CCD

???/CDC=ZAOC=90。

在&CDC中，CD=ylcC2-CD2=>/62-32=3X/3.

A..CDF周長(zhǎng)的最小值為CO+尸C+CO=CD+DC'=3+3yf3

7.（2022?山東日照?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,尸是

x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段附繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段PF,連接OF,則線段Of1長(zhǎng)的最小

【分析】點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，當(dāng)OFLBF2時(shí),垂線段?！ㄗ疃?，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，

由勾股定理得：qO=f；O=W，進(jìn)而得==A￡=乎，求得點(diǎn)打的坐標(biāo)為（殍，o）,當(dāng)

點(diǎn)乃在），軸上時(shí),求得點(diǎn)巧的坐標(biāo)為（0.-4）,最后根據(jù)特定系數(shù)法，求得支線凡F?的解析式為

y=y/3x-4t再由線段中垂線性質(zhì)得出6/^=A￡=W，在RtxOF尸2中，設(shè)點(diǎn)。到B乃的距離為兒

則根據(jù)面積法得!xOZxOQn?xZAx/?,即』x迪x4=Lx5叵x〃，解得分=2,根據(jù)垂線段最

2-21-2323

短，即可得到線段O尸的最小值為2.

【詳解】解:???將線段布繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6（）。得到線段尸F(xiàn),

ZAPF=60°tPF=PA,

.?.△AP/是等邊三角形，

：.AP=AF,

如圖，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，為等邊三角形,

則PIA=PIFI=AFI,NAP/B=60°,

*：AO±PiFit

Q

:.PQ=FQ,ZAOPf=90,

ZPMO=30°,且A0=4,

由勾股定理得：［O=￡O=述，

3

.pDC人口百

??AAA=6￡=必=—,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為，°，

為等邊三角形，AO，4。,

尸2。=4,

工點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為（0,-4）,

tan/OR8=至=-i-=6

*/1~OF,473.

3

.?.NO"2=60。，

???點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線,

，當(dāng)0F±FIF2時(shí),線段OF最短，

設(shè)直線FR的解析式為y=kx+b,

國(guó)+…

則《3

b=-4

k—./i

解得",J直線尸/尸2的解析式為產(chǎn)后44,t：AO=F0=4,AO^PiFt,

Z?=-42

??.￡E=AK=￥，在心△。尸/2中，OF工F后,

設(shè)點(diǎn)0到F/B的距離為九則,Xx=gx￡鳥x〃，

:._Lx迪x4=」x至X。，解得力二2,即線段。產(chǎn)的最小值為2

2323

2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題

8.如圖，已知點(diǎn)43,0）,點(diǎn)B在），軸正半軸上，將線段A3繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。到線段AC,若

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,〃），則/=

【分析】

思路一：構(gòu)造手拉手得出BC中點(diǎn)軌跡

思路二：在x軸上取點(diǎn)。和點(diǎn)E,使得/4￡>8=44￡。=120。,過(guò)點(diǎn)C作b_Lx于點(diǎn)￡在Rlz^CE/

中，解直角三角