中考數(shù)學真題《二次函數(shù)解答壓軸題》專項測試卷(帶答案)

中考數(shù)學真題《二次函數(shù)解答壓軸題》專項測試卷(帶答案)

學校:班級：姓名：考號：-----------

(30道)

一、解答題

1.(2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線丁="+加+3與x軸交于點力㈠,0)8(3,0)與V軸交

(1)求拋物線的解析式.

4

(2)如圖1點。是x軸上方拋物線上一點射線。MLr軸于點N若QM=BM且tanNMBN=§請

直接寫出點。的坐標.

(3)如圖2點E是第一象限內(nèi)一點連接力E交N軸于點O/E的延長線交拋物線于點P點b在線段

CO上且6=0。連接口，F(xiàn)E,BE,BP若以g=5人的求以"面積.

2.(2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題)如圖1拋物線廣/+gx+c經(jīng)過點(3/)與y軸交于點以0,5)點

￡為第一象限內(nèi)拋物線上一動點.

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(1)求拋物線的解析式.

2

(2)直線歹=§x-4與x軸交于點4與y軸交于點。過點E作直線軸交4D于點尸連接8E.當

BE=DF時求點￡的橫坐標.

3

(3)如圖2點N為x軸正半軸上一點0E與BN交于息M.若OE=BNtanZ^WE=-求點E的坐標.

3.(2023?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中二次函數(shù)的圖象與x軸交

于點4—3,0)和點8(1,0)

圖I

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)如圖1二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線力C：y=x+3交于點力若點M是直線力。上方拋物線上的一個動

點求△MC。面積的最大值.

(3)如圖2點P是直線4C上的一個動點過點P的直線/與3C平行，則在直線/上是否存在點。使點4

與點P關于直線。。對稱？若存在請直接寫出點。的坐標若不存在請說明理由.

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4.（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中。為坐標原點拋物線），=仆2+后+6耳與x

軸交于點題-6,0）8（8,0）與5軸交于點C.

（2）如圖①E是第二象限拋物線上的一個動點連接OECE設點上的橫坐標為//XOCE的面積為S

求S關于，的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量，的取值范圍）

⑶如圖②在（2）的條件下當S=6石時連接8E交N軸于點H點E在N軸負半軸上連接8尸點。

在爐上連接點L在線段R〃上（點￡不與點8重合）過點L作曲的垂線與過點〃且平行于EQ的

直線交于點GM為￡G的延長線上一點連接8WEG使NGBM=；NBEGP是4軸上一點且在

點8的右側(cè)/PBA/-NGBM=/FRB+；NDEG過點M作MNJ.BG交BG的延長線于點N點/在

8G上連接使BL—NP若ZEBF=4VMN求直線8尸的解析式.

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5.(2023?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系xOy中直線/：)，=?丫+2)(0>0)與x軸交于點力與

圖I圖2

(1)求4點的坐標

(2)如圖1若8點關于x軸的對稱點為8，點當以點/B'。為頂點的三角形是直角三角形時求實數(shù)a

的值

(3)定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點叫俏格點如(-2,1)(2,0)等均為格點.如圖

2直線/與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分(不包含邊界)中的格點數(shù)恰好是26個求。的取值范

圍.

6.(2023?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=64+&+cSwO)的圖象的頂點坐標是(2,1)并且經(jīng)過

點(4,2)直線y=；x+l與拋物線交于8。兩點以3。為直徑作圓圓心為點C圓。與直線加交于對

稱軸右側(cè)的點歷(，/)直線m上每一點的縱坐標都等于I.

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(1)求拋物線的解析式

(2)證明：圓C與x軸相切

(3)過點B作垂足為E再過點。作垂足為/求4無/尸的值.

7.(2023?陜西?統(tǒng)考中考真題)某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門并要求所設計的拱門的

跨度與拱高之積為48m2還要兼顧美觀大方和諧通暢等因素設計部門按要求給出了兩個設計方

案.現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中如圖所示：

方案一拋物線型拱門的跨度ON=12m拱高尸E=4m.其中點N在x軸上PE1ONOE=EN.

方案二拋物線型拱門的跨度ON'=8m拱高P￡=6m.其中點M在x軸上PELONOE=EN.

要在拱門中設置高為3m的矩形框架其面積越大越好(框架的粗細忽略不計).方案一中矩形框架力BCD

的面積記為S點力。在拋物線上邊BC在ON上方案二中矩形框架的面積記為S?點H

“在拋物線上邊4C’在OM上.現(xiàn)知小華已正確求出方案二中當H*=3m時邑=12萬/請你

根據(jù)以上提供的相關信息解答下列問題：

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(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式

(2)在方案一中當48=3m時求矩形框架48CZ)的面積$并比較S昆的大小.

8.12023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題)如圖(1)二次函數(shù)尸加_5x+c的圖像與x軸交于4(-4,0)80,0)

兩點與V軸交于點。(0,-4).

(1)求二次函數(shù)的解析式和人的值.

(2)在二次函數(shù)位于x軸上方的圖像上是否存在點加使?若存在請求出點A1的坐標

若不存在請說明理由.

(3)如圖(2)作點A關于原點。的對稱點E連接CE作以CE為直徑的圓.點燈是圓在x軸上方圓弧

上的動點(點&不與圓弧的端點E重合但與圓弧的另一個端點可以重合)平移線段4E使點E移動

AA9

到點￡'線段/七的對應線段為“￡連接E'CAA力力的延長線交直線E'C于點N求等的值.

V--JV

9.(2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線)，=-6/+及+c交x軸于點力(-1,0)和8交V軸于點

C(0,3>/3)頂點為O.

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(1)求拋物線的表達式

⑵若點E在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上四邊形OQE4的面積為7白求點E的坐標

⑶在(2)的條件下若點F是對禰軸上一點點H是坐標平面內(nèi)一點在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在

點G使以EFG”為頂點的四邊形是菱形且NEFG=60。如果存在請直接寫出點G的坐標

如果不存在請說明理由.

10.(2023?山東濟南?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系X。)，中正方形48co的頂點A8在x軸上

C(2,3)。㈠,3).拋物線N=加一2公+°(。＜0)與x軸交于點E(—2,0)和點尸.

(2)如圖2在(1)的條件下連接。尸作直線CE平移線段。尸使點。的對應點P落在直線CE上點

F的對應點。落在拋物線上求京。的坐標

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⑶若拋物線V=ad-2at+c（。＜0）與正方形4BCD恰有兩個交點求a的取值范圍.

11.（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材探究完成任務.

如何把實心球擲得更遠？

素材I

小林在練習投擲實心球其示意圖如圖，笫一次練習時球從點力處被拋出其路線是拋物線.點力距離

地面1.6m當球到CM的水平距離為1m時達到最大高度為1.8m.

OR

素材2

根據(jù)體育老師建議第二次練習時小林在正前方1m處（如圖）架起距離地面高為2.45m的楨線.球從點

力處被拋出恰好越過橫線測得投擲距離OC=8m.

OC

問題解決

任務1

計算投擲距離建立合適的直角坐標系求素材1中的投擲距離05.

任務2

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探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量

任務3

提出訓練建議為了把球擲得更遠請給小林提出一條合理的訓練建議.

12.(2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=M+gx+c與x釉交于點力和點8(3.0)與y軸交于點

0(0,4)點P為第一象限內(nèi)拋物線上的動點過點尸作軸于點E交8C于點立

(1)求拋物線的解析式

(2)當/XBEF的周長是線段PF長度的2倍時求點P的坐標

(3)當點尸運動到拋物線頂點時點。是)，軸上的動點連接4。過點4作直線/JL40連接。廠并延長

交直線/于點當歷時請直接寫出點的坐標.

13.(2023?湖南婁底?統(tǒng)考中考真題)如圖，腦物線y=。過點,4(-1,0)點4(5,0)交y軸于點C.

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⑴求方C的值.

⑵點P"oJo)(0<Xo<5)是拋物線上的動點

①當天取何值時MBC的面積最大？并求出aP8c面積的最大值

②過點P作PE_Lx軸交4C于點E再過點尸作所〃X軸交拋物線于點尸連接Eb問:是否存在點

P使！尸物為等腰直角三角形？若存在請求出點尸的坐標若不存在請說明理由.

14.(2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中二次函數(shù)y=；/+bx+c的圖象經(jīng)過點

力似2)與x軸的交點為點網(wǎng)Go)和點C.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式

(2)點EG在V軸正半軸上OG=2OE點。在線段OC上。。=6。￡以線段0。OE為鄰邊作矩

形ODFE連接GO設。E=

①連接尸C當△GO。與△F0C1相似時求。的值

②當點。與點。重合時將線段GO繞點G按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到線段G”連接修FG將

△GE”繞點/按順時針方向旋轉(zhuǎn)夕(0°<。4180。)后得到VG77/'點G〃的對應點分別為G'W連

接DE.當VGFH'的邊與線段DE垂直時請直接寫出點力的橫坐標.

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15.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)），=o?+bx+c的圖象與x軸交于46兩點且自

變量x的部分取值與對應函數(shù)值V如下表：

備用圖

（1）求二次函數(shù)y+6+。的表達式

（2）若將線段向下平移得到的線段與二次函數(shù)y=ax2+版+c的圖象交于p。兩點（P在。左邊）R

為二次函數(shù)卜=公2+/次+。的圖象上的一點當點。的橫坐標為加點R的橫坐標為加+及時求

tan/RP。的值

（3）若將線段44先向上平移3個單位長度再向右平移1個單位長度得到的線段與二次函數(shù)

），=：（4/+隊+,）的圖象只有一個交點其中，為常數(shù)請直接寫出/的取值范圍.

16.（2023?寧夏?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ad+云+3（。=0）與x軸交于AB兩點與，軸交于點

C.已知點A的坐標是（7,0）拋物線的對稱軸是直線x=l.

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備用圖

(1)亙接寫出點8的坐標

(2)在對稱軸上找一點P使PA+PC的值最小.求點尸的坐標和PA+PC的最小值

(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點M過點"作A/N_Lx軸垂足為N連接BC交MN于點Q.依題意

補全圖形當"。+四。的值最大時求點例的坐標.

17.(2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題)已知：在平面直角坐標系中拋物線與x軸交于點4-4,0)8(2,0)與

y軸交于點。(0,-4).

(1)求拋物線的解析式

(2)如圖1如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180。拋物線的其余部分保持不變得到一個新圖象.當

平面內(nèi)的直線V=6+6與新圖象有三個公共點時求k的值

⑶如圖2如果把直線/E沿y軸向上平移至經(jīng)過點。與拋物線的交點分別是EF直線8c交E廠于

點，過點尸作/GJ.CH于點G若名=2石.求點尸的坐標.

〃(/

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18.(2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中已知拋物線)，=/+隊+c過點力(0,2)對稱軸

是直線x=2.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的電標

(2)若點8在拋物線上過點4作x軸的平行線交拋物線十點C當△BCM是等邊三角形時求出此三角形

的邊長

(3)已知點E在拋物線的對稱軸上點。的坐標為(LT)是否存在點尸使以點力DE尸為頂點的四

邊形為菱形？若存在請直接寫出點尸的坐標若不存在請說明理由.

=a/+瓜+4的圖象經(jīng)過點力(-4,0),仇一1,0).

(1)求二次函數(shù)的表達式

(2)若點P在二次函數(shù)對稱軸上當面積為5時求P坐標

(3)小明認為在第三象限拋物線上有一點。使ND44+N/CE=90。請判斷小明的說法是否正確如果

正確請求出。的出標如果不正確請說明理由.

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20.（2023?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系my中。為坐標原點已知拋物線^=-5/+瓜+c

與7軸交于點A拋物線的對稱粕與x軸交于點4.

備用圖

⑴如圖，若力（0,6）拋物線的對稱軸為x=3.求拋物線的解析式并直接寫出百時x的取值范圍

（2）在（1）的條件卜若夕為N軸上的點C為x軸上方拋物線上的點當APBC為等邊三角形時求點P

C的坐標

⑶若拋物線^=-；/+瓜+6經(jīng)過點。（嘰2）E（%2）且〃?<〃求正整數(shù)小〃的值.

21.（2023?遼寧營口?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線歹=仆2+瓜_1（。。（））與x軸交于點力Q,o）和點8與y軸

交千點C拋物線的對稱軸交4軸于點。（3,0）過點8作直線/_1_》軸過點D作DEJ.CD交直線/于點

（1）求拋物線的解析式

（2）如圖，點P為第三象限內(nèi)拋物線上的點連接CE和8P交于點。當制=］時.求點P的坐標

（3）在（2）的條件下連接/C在直線8尸上是否存在點尸使得/DEF=N4CD+NBED?若存在請直

接寫出點尸的坐標若不存在請說明理由.

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22.(2023?北京?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中M(xpZ)N(.q,%)是拋物線

y=a/+bx+c(a＞0)上任意兩點設拋物線的對稱軸為戈=t.

(1)若對于內(nèi)=1毛=2有乂=為求，的值

(2)若對于0＜再＜[1＜X2＜2都有必＜必求，的取值范圍.

23.(2023?山東FI照?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系xOy內(nèi)拋物線y=-㈠2+5以+2(。＞0)交y軸于點

C過點。作x軸的平行線交該拋物線于點D.

⑴求點C。的坐標

(2)當時如圖1該拋物線與x軸交于力4兩點(點力在點4的左側(cè))點P為直線力。上方拋物

線上一點將直線PO沿直線4。翻折交x軸于點M(4,0)求點尸的坐標

⑶坐標平面內(nèi)有兩點dLa+11/(5,〃+1)以線段EF為邊向上作正方形EFGH.

①若。=1求正方形EFGH的邊與拋物線的所有交點坐標

②當正方形EFG”的邊與該拋物線有且僅有兩個交點且這兩個交點到工軸的距離之差為g時求。的值.

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24.(2023?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)了=絲(，+江+。)的圖像與^軸交于點人且經(jīng)過點

8(4,0)和點。(一1,&).

(1)請直接寫出6c?的值

(2)直線BC交V軸于點。點￡是二次函數(shù)丁=孝卜2+屬+°.)圖像上位于直線48下方的動點過點E作

直線48的垂線垂足為尸.

①求E”的最大值

②若AAEF中有一個內(nèi)角是ZABC的兩倍求點￡的橫坐標.

25.(2023?山東?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中拋物線4交x軸于?點力(L0),C(5,0)頂點坐

標為E的㈤.拋物線4交x軸于點8(2,0),0(10,0)頂點坐標為尸(嗎㈤.

(1)連接￡尸求線段￡產(chǎn)的長

(2)點，”(-7,4)在拋物線。上點N(16,dJ在拋物線右上.比較大?。?d2

(3)若點尸(〃+3J),0(2〃-1J)在拋物線。上/＜人求〃的取值范圍.

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26.(2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平而直角坐標系中二次函數(shù)y=+26T勺圖象與x軸

分別交于點04頂點為8.連接08/8將線段48繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段4C連接

BC.點。,E分別在線段。8刀。上連接4),0瓦E40E與48交于點￡/。￡4=60。.

(1)求點44的坐標

(2)隨著點E在線段8c上運動.

①NED4的大小是否發(fā)生變化？請說明理由

②線段8〃的長度是否存在最大值？若存在求出最大值若不存在請說明理由

(3)當線段的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時△4Q￡的面積為

27.(2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=-；/+以+。與x軸交于點A和點8(4,0)與N軸交于點

。(。，4)點E在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式

(2)點上在笫一象限內(nèi)過點E作跖〃歹軸交BC于點F作EHIIx軸交拋物線于點〃點〃在點E的

左側(cè)以線段為鄰邊作矩形EFGH當矩形月產(chǎn)GH的周長為11時求線段EH的長

(3)點切在直線4C上點N在平面內(nèi)當四邊形OENM是正方形時請直接寫出點N的坐標.

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28.（2023?黃州?統(tǒng)考中考真題）如圖①是一座拋物線型拱橋小星學習二次函數(shù)后受到該圖啟示設計

了一建筑物造型它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示）拋物線的頂點在。處對稱釉OC與水平

線。力垂直O(jiān)C=9點A在拋物線上且點A到對稱軸的距離。力=3點8在拋物線上點3到對稱軸

的距離是1.

圖①

（1）求拋物線的表達式

（2）如圖②為更加穩(wěn)固小星想在。。上找一點P加裝拉桿P4Q8同時使拉桿的長度之和最短請你

幫小星找到點P的位置并求出坐標

⑶為了造型更加美觀小星重新設計拋物線其表達式為），=-12+2隊+人13>0）當44x46時函數(shù)

V的值總大于等于9.求6的取值范圍.

29.（2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中點。為坐標原點拋物線yu-V+ZuTZ（b是

常數(shù)）經(jīng)過點（2,2）.點A的坐標為（叫0）點8在該拋物線上橫坐標為1-機.其中〃?<0.

（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標

（2）當點8在x軸上時求點A的坐標

⑶該拋物線與x軸的左交點為尸當拋物線在點尸和點8之間的部分（包括P8兩點）的最高點與最低點

的縱坐標之差為2-機時求〃?的值.

（4）當點4在x軸上方時過點4作8C_Ly軸于點。連結(jié)力C30.若四邊形/O8C的邊和拋物線有兩個

交點（不包括四邊形408c的頂點）設這兩個交點分別為點￡點、F線段4。的中點為。.當以點。

EO。（或以點CFO。）為頂點的四邊形的面積是四邊形力08c面積的一半時直接寫出所

有滿足條件的〃?的值.

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30.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中拋物線產(chǎn)-/+3區(qū)+1交V軸于點A直線

，=-；1+2交拋物線于4,C兩點（點8在點。的左側(cè)）交y軸于點。交X軸于點E.

⑴求點。，旦C的坐標

（2）尸是線段OE上一點（。/vEF）連接AF,DF、CF且/產(chǎn)+七尸=21.

①求證：是直角三角形

②■的平分線EK交線段DC于點K,尸是直線8。上方拋物線上一動點當3tan//YK=l時求點產(chǎn)

的坐標.

參考答案

一解答題

1.（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y="+加+3與x軸交于點力（-1,0）8（3,0）與歹軸交

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⑴求拋物線的解析式.

4

(2)如圖1點。是x軸上方拋物線上一點射線軸于點N若QM=BM且tan/M6N=g請

直接寫出點。的坐標.

(3)如圖2點E是笫一象限內(nèi)一點連接交N軸于點。力￡的延長線交拋物線于點P點F在線段

C。上且3=0。連接尸4FE,BE,BP若5之莊=5△小求48面積.

【答案】⑴)，=*+2》+3

⑵。(2,3)

嗎

/、/、、[a-b+3=0

【分析】(1)將點力(-1，0)8(3,0)代入拋物線'="+^+3得到+3H3=o解方程組即可得到答案

(2)設MN=4/〃BN=3)n,則用必=。河=3桁，則QN=9〃？ON=3-3m從血表木由點。的坐標為

(3-3川,9川)代入拋物線解析式求出〃，的值即可得到答案

(3)求出直線力P的表達式利用％旌=5a踹得到;。求出點P的坐標再根

據(jù)S.進行計算即可得到答案.

【詳解】⑴解:???拋物線廣/+m+3與”軸交于點力㈠,0)4(3,0)

fa-〃+3=0

,'9a+3H3=0

「?拋物線的解析式為：y=-/+2x+3

4

(2)解：vtan/MRN=-

3

???設MN=4/〃BN=3m

BM“MN，+8*=J(4前"3靖=5zr.

:.QM=BM=5rn

QN=QM+MN=S〃+4%=5n

???點8(3,0)

第20頁共117頁

.?.04=3

0N=0B-BN=3-3m

???點。的坐標為(3-3〃?9〃)

???點。是x軸上方拋物線上一點

「.-(3-3〃?)~+2(3-3〃?)+3=9/〃

解得：m=o(舍去)或，〃=；

.?.0(2,3)

(3)解：設點尸(〃7,一〃/+2〃?+3：1直線4尸的解析式為y=H+6

???/(-1,0)

k\b=b

km+b=-nr+2m+3

k=_(〃？_3)

解得:

b=-(m-3)

???直線AP的解析式為y=-(m-3卜-(〃?-3)

當x=0時y=-(m-3)=3-m

(0,3-w)

0D=3-m

.\CF=OD=3-m

在拋物線y=*+2x+3中當x=0時V=3

/.C(03)

二.0C=3

DF=0C-0D-CF=3-(3-w>(3-〃？>2m-3

設點E的坐標為(f，-(加-3)Z-(/H-3))

vJ(-1,0)8(3,0)

AB=4

第21頁共117頁

：.^DF\XA-XE)=^AByE

二.gx(2〃？-3)x"+1)x4>￡-(掰-'t-(-J]

解得：

57

.??點P的坐標為

23454

1177

/.S,?=—ABxy=—x4x—=—

4PpAB2p242

【點睛】本題為二次函數(shù)綜合主要考查了求二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)圖象和性質(zhì)一次函數(shù)的應用

銳角三角函數(shù)三角形面積的計算確定關鍵點的坐標是解本題的關鍵.

2.（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖1拋物線J=oihgx+c經(jīng)過點（3,1）與y軸交于點8（0,5）點

七為第一象限內(nèi)拋物線上一動點.

（1）求拋物線的解析式.

2

（2）直線歹=§工-4與x軸交于點4與y軸交于點。過點E作直線軸交AD于點、F連接8E.當

8E=D尸時求點E的橫坐標.

（3）如圖2點N為x軸正半軸上一點OE與BN交于點、M.若OE=BNtan/8"￡=:求點￡的坐標.

【答案】（l）y=-/+gx+5

3915

⑶磯777）或E5，5）

4163

【分析】（1）利用待定系數(shù)法把已知點坐標代入解析式即可求解函數(shù)的解析式

（2）分別過￡/向y軸作垂線垂足為GH根據(jù)HL證得RaBEG之RaDFH從而8G=?！痹O

第22頁共117頁

E點坐標分別表示出G〃坐標再列方程求解即可

(3)將OE平移到NP連接￡尸，則tanN8NP=tan/8M￡=3過尸作于。過。作QH_Ly軸

4

于R過P作尸SJ.P。交延長線于S延長PE交y軸于r設尸。=3〃?，則。N=4/〃BN=0E=NP=5m

BQ=m由ABRQSABON可得絲=些從而BR=1設也=〃由ABRQS^QSP可得PS=3〃

BOB\

91

QS=3RS=3+〃再求出石點坐標為(3-4〃,3〃+4)代入拋物線解析式中即可求得〃=/或〃=§從

而可得E點坐標.

9。+5+c=1

【詳解】(1)解：把(3,1)和(0,5)代入到解析式中可得c=5解得

拋物線的解析式為：^=-X2+|X+5

22

(2)直線y—4中令y=0,則x=6所以4(6,0)直線y=]X-4中令x=0,則y=-4所以

JJ

￡)(0,-4)

垂足為GH

根據(jù)題意可得EG="

,：EG1y軸FH1y軸

「.△BEG和為直角三角形

在RtZ^EG和Rt△。自”中

BE=DF

EG=FH

RaBEG學RaDFH

BG=DH

設即,一/+++5)

2

則尸叼-4)

第23頁共117頁

52

???G(0,-產(chǎn)+[+5)/7(0,yZ-4)

從而86=5_(_/+]/+5)=/_]/DH=y/-4-(-4)=1/

<77

貝IJ有/一會=$解得/=o(舍去)或/

故點E的橫坐標為：y

3

(3)將OE平移到NP連接E尸，則四邊形ONPE為平行四邊形tanZ^VP=tanZBME=-過尸作

4

PQ1BN于Q過。作軸于K過戶作PSJ_R0交延長線于S延長尸E交V軸于7

vtan4BNP=a=>

QN4

可設PQ=3m,則。N=4〃I

:.BN=OE=NP=7(3W)2+(4W)2=5m

???\0〃"軸

:△BRQSABON

BRBQRQ

''Bd~~BN~~ON

BR=^BO=\火0=4EP=NO=5RQ=5n

?/PQ1BMPSIRSBRIRS

:.NBR。=4QSP=4BQP=90°

￡BQR4-4PQS=90°NBQR4-/QBR=90°

ZPQS=NQBR

:ABRQSAQSP

."="=絲=3

BRRQBQ

第24頁共117頁

:.PS=3nQS=3,則&S=3+〃

:.XE=TE=TP-EP=RS-EP=3+H-5?=3-4/yE=T0=TR+RO=PS+RO=3?+4

/.￡(3—4/7,3〃+4)

代人拋物線解析式中有：3〃+4=-(3-4〃)2+g(3-4〃)+5

9、1

解得：〃=77或〃=彳

163

當"=5時Eg部

當〃=；時F(1,5).

【點睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式相似三角形的判定

與性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)正切的定義等知識解題關鍵是在坐標系中利用等線段構(gòu)造全等進行

計算構(gòu)造相似三角形解決問題.

3.(2023?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中二次函數(shù)y=-/+bx-c的圖象與x軸交

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)如圖1二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線力C：y=x+3交于點力若點M是直線4c上方拋物線上的一個動

點求△MC。面積的最大值.

⑶如圖2點尸是直線力C上的一個動點過點P的直線/與3C平行，則在直線/上是否存在點。使點8

與點「關于直線C。對稱？若存在請直接寫出點。的坐標若不存在請說明理由.

【答案】(l)y=-/-2x+3

,9

⑵S&WCO鼓大=W

⑶0(3-柄,-石)或(3+K6)

【分析】(1)根據(jù)拋物線的交點式直接得出結(jié)果

(2)作河。_L<C于。作"七于下交力C于E先求出拋物線的對稱軸進而求得C。坐標及

第25頁共117頁

C。的長從而得出過M的直線戶X+〃?與拋物線相切時4MCD的面積最大根據(jù)X+川=-X2-2x+3的

△=0求得機的值進而求得M的坐標進一步求得CQ上的高M。的值進一步得出結(jié)果

（3）分兩種情形：當點P在線段力。上時連接交。。于R設Q"，，+3）根據(jù)CP=C4求得Z的值

可推出四邊形是平行四邊形進而求得。點坐標當點尸在力。的延長線上時同樣方法得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：由題意得

y=-(.r+3)(x-1)=-x2-2x+3

（2）解：如圖1

作MQ_L4C于。作"￡_L44于/交AC于E

-OA=OC=3ZAOC=90°

ZCAO=ZACO=45°

ZMEQ=Z.AEF=900-ACAO=45°

拋物線的對稱軸是直線：x=^l=-l

???0(1,2)

vC(0,3)

:(D=6

故只需4MCD的邊CD上的高最大時△MCO的面積最大

設過點M與/1C平行的直線的解析式為：N=x?加

當直線y=x+/〃與拋物線相切時△A/CO的面積最大

由x+〃？=-x2-2x+3得

x2+3.v+(〃?-3)=0

由△=()得

32-4(Z?-3)=0W

第26頁共117頁

/.x2+3x+—=0

4

3

■■Xx=x2=--

+33

y=-

14

y=X+3=--+3=-

■22

424

MQ=ME-sinZMEQ=ME-sin45。=：x字=半

S△"c。最大

88

當點P在線段4c上時連接8〃交。。于A

;點B和點。關于C。對稱

:<P=CB

設P”,f+3）

由。產(chǎn)=。爐得2/二|0

=—^5/,=y/5（舍去）

二.P1石,3-石）

?；PQ//BC

CRBR,

—=—=1

QRPR

:.CR=QR

???四邊形8CP0是平行四邊形

第27頁共117頁

?.?3+（—右）-0=3—逐O+（3-^）-3=-V5

???2（3-V5,-V5）

當點P在4C的延長線上時由上可知：川區(qū)3+碼

同理可得：。（3卜石,々）

綜上所述：0（3-石,一石）或（3+底⑸.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)一元二次方程的解法平行四邊形的判定和性質(zhì)軸對稱

的性質(zhì)等知識解決問題的關鍵是分類討論.

4.（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中。為坐標原點拋物線），=以2+后+66與丫

釉交于點月（-6,0）5（8,0）與）,軸交于點C.

（1）求“〃的值

（2）如圖①E是第二象限拋物線上的一個動點連接OECE設點E的橫坐標為f△OCE的面積為S

求S關于，的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量，的取值范圍）

（3）如圖②在（2）的條件下當S=6G時連接8E交N軸于點A點尸在N軸負半軸上連接"點力

第28頁共117頁

在加上連接點上在線段上（點上不與點8重合）討點L作船的垂線與過點片且平行于的

直線交于點GM為LG的延長線上一點連接剛/EG使NG3M=；N3EGP是x軸上一點且在

點8的右側(cè)NPBM一/GBM="RR+；NDEG過點、M作MN上BG交8G的延長線于點N點/在

8G上連接使BL-N展;若ZEBF=4VMN求直線段'的解析式.

【答案】（l）a-—巫b且

84

（2）S=-3①

(3)y=2x巫

55

36"6H65=0

【分析】（1）把點力（一6,0）8（8,0）代入拋物線解析式丁=加+及+6括得方程組求

64a+8〃+6石=()

出。b的值即可

（2）過點E作￡力，），軸垂足為此由（1）知拋物線的解析式是》=一4/+曰x+6百得。。二66

根據(jù)“E是第二象限拋物線上的一個動點點七的橫坐標為尸得EW=T根據(jù)S=g0C?引。代入整

理即可得到S關于/的函數(shù)解析式

（3）以BM為一邊作NMBT=NMBN/M87的另一邊87交的延長線于點7作MK18T垂足為

K作FS上BE垂足為S作￡Q_Lx軸垂足為。根據(jù)S=和S=-3百，求出七(一2,56)根據(jù)

“砂〃BGNGBM=L/BEG/PBM-/GBM=/FRB+、NDEGNRB。+NE8T+/78尸=180?！蓖?/p>

22

理出/￡87=60。Z7=30°得到4乙=^57結(jié)合BL-NV=；BV推理出N/=KT用AAS證

△MNB&MKB用HL證RtANMJ/絲Rt^KA/r推理出"8"=60。根據(jù)“4(80)網(wǎng)一2,56)”得出

08=8￡。=5石。8=10代入311/￡8。=黑=第求出OA勾股定理算出8A根據(jù)

utanZ.FRB=—=—=-^==—tan^FBS=tan600=x/3=—^設FS=2&，則RS=3〃？

RSOR4G3BS

BS=2m代入RS+BS=BR算出機運用勾股定理計算3=J”？+SR°計算OF=RF-OR結(jié)合

得“考）（義八

點尸在丁軸負半軸.上設直線"的解析式為y=h+c把8（&0）F0,-受代入求

出完整解析式即可.

第29頁共117頁

【詳解】（1）???點力（一6,0）8（&0）在拋物線》=加+尻+6后上

36。一6力+66=0

.644+86+66=0

6

a=-----

8

解得：

4

:…至b=&

84

（2）由（1）知拋物線的解析式是》=一//+日工+66

???C是拋物線與歹軸的交點

.，.x=0時y=65/3

，0C=6百

如下圖過點E作軸垂足為力

???E是第二象限拋物線上?點點E的橫坐標為，

EW=-t

二S=goc?E*gX66（T）=-36