專題17 全等三角形的九大經(jīng)典模型（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題L7全等三角形的九大經(jīng)典模型【九大題型】

【浙教版】

?題型梳理

【題型1平移模型】.............................................................................1

【題型2軸對(duì)稱模型】...........................................................................3

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】.............................................................................4

【題型4一線三等角模型】......................................................................6

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】.........................................................................8

【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型1........................................................................................................................10

【題型7手拉手模型】..........................................................................12

【題型8角平分線模型】........................................................................15

【題型9半角全等模型】........................................................................16

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1平移模型】

【模型解讀】把a(bǔ)ABC沿著某一條直線1平行移動(dòng)，所得到4DEF與aABC稱為平移型全等三角形，圖①,

圖②是常見(jiàn)的平移蟄全等三角線.

圖①

【常見(jiàn)模型】

【例1】（2023春映西咸陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿BC方向平移得到ADEF,使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰

好落在邊8c的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)?在BC的延長(zhǎng)線上，連接力D,AC.DE交于點(diǎn)0.下列結(jié)論一定正確的

是（）

A.LB=LFB.ACLDEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

【變式1-1]（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)。

為AE的中點(diǎn)，AB=CD,BC=DE.

（1）求證：△ABC沿ACDE；

（2）瘠△A8C沿射線AC方向平移得到△ABC,邊夕C'與邊CZ）的交點(diǎn)為尸，連接ER若即將CDE分

為面積相等的兩部分，且48=4,則CF=_

【變式1-2]（2023春?重慶?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△48C沿射線BC方向平移得到△DCE,連接80交4C于

點(diǎn)、F.

（2）若AB=9,BC=7,求的取值范圍.

【變式1-3]（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△48C,AB=AC,^ABC=^LACB,將△ABC沿BC方向平移得

到ADEr.如圖,連接BD、AF,則BDAF（填“>"y喊“=”）,并證明.

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見(jiàn)模型】

【題型2軸對(duì)稱模型】

【例2】（2023春?河北邯鄲?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在長(zhǎng)方形力BCD中，點(diǎn)M為CO中點(diǎn)，將△M8C沿翻

折至AM8E,若乙4ME=a,乙ABE=0,則a與￡之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.a+3/?=180°B./?-a=20°C.a+/?=80°D.3p-2a=90°

【變式2-1]（2023?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將RSABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F分別為DC,

BC邊上的點(diǎn)，且NEAF=：NDAB.試猜想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式2-2]（2023春?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在R3WC中，1=90°,將zL48c沿48向下翻折

后，再繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（aV乙4BC）.得到R￡A4DE,其中斜邊4E交8C于點(diǎn)心直角邊DE分別48、BC

于點(diǎn)G,H

（1）請(qǐng)根據(jù)題意用實(shí)線補(bǔ)全圖形；（不得用鉛筆作圖）.

（2）求證：AAFB=AAGE

(2)知識(shí)遷移：如圖2,在四邊形ABCO中，ZA/9C+Z?=180°,AB=AD,E,尸分別是邊8C,C。延長(zhǎng)

線上的點(diǎn)，連接AE,AF,且NZMQ=2NEA凡試寫(xiě)出線段BE,EF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3,在四邊形48CQ中，NA8c=90。，AC平分NOA3,點(diǎn)七在A8上，連接CE,

且ND48=NOCE=60。，若DE=a,AD=b,AE=c,求BE的長(zhǎng).(用含a,b,c的式子表示)

[變式3-1](2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，等邊△43c中，乙4。8=115。,"OC=125。,則以線段04,08,。。

為邊構(gòu)成的二角形的各角的度數(shù)分別為

【變式3-2](2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))已知，如圖1,四邊形是正方形，E,F分別在邊8C、CD

上，且NE4F=45°.

A

-------|D//\/

\/\X\7t

/1I7

GBECF

mi圖2

(I)在圖I中，連接后尸，為了證明結(jié)論“ET=EE+。尸”，小亮將ZU。尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后解答了這個(gè)

問(wèn)題，請(qǐng)按小亮的思路寫(xiě)出證明過(guò)程；

(2)如圖2,當(dāng)NE4/繞點(diǎn)乂旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究EF與。尸、8E之間有怎樣的數(shù)顯關(guān)系？

【變式3-3](2023春.江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，在銳角A48c中，△4=60。，點(diǎn)。，E分別是邊A8/C上

一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CO于點(diǎn)F.

AAA

M

N.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若AB>AC,曰.BD=CE,乙BCD=^CBE,求4C7?五的度數(shù);

（2）如圖2,若/1BFC,且BD=AE,在平面內(nèi)將線段4C繞點(diǎn)C順對(duì)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到線段CM,連接MF,

點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段B居C居CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的猜想.

【知識(shí)點(diǎn)4一線三等角模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD_LDE,AB1AC,CE±DE,那么一定有NB二NCAE.

【題型4一線三等角模型】

【例4】（2023春?山東前澤?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

直線，〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)（AQ_L直線5，。足1_直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)￡＞、E.求證：△ABD^ACAE-

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D.4、E三點(diǎn)都在直線〃?上，并且有N8D4

=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論△A3。且△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證

明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)（。，A,E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)產(chǎn)

為N84C平分線上的一點(diǎn)，且448尸和△AC尸均為等邊三角形，連接BQ,CE,^ZBDA=ZAEC=ZBAC,

求證：AOE廠是等邊三角形.

【變式4-1］（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在AABC中，A3=AC=9,點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線

交BC于點(diǎn)。，若NAOE=N8,CD=3BD,則CE等于（)

A.3B.2D-i

【變式4-2］（2023春?上海?八年級(jí)專題練習(xí)）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí),

解決下列問(wèn)題:

圖1圖2圖3

［模型呈現(xiàn)］如圖I,Z-BAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)B作14C于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作OE_L4c于點(diǎn)E.求證:

BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,力土工/^且7^二人氏8。_1。。且8。=。0,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所

圍戌的圖形的面積為

［深入探究］如圖3,/-BAD=^CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且BC14F于點(diǎn)凡DE與

直線力廣交于點(diǎn)G.若8c=21,AF=12,則AADG的面積為

【變式4-3］（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放："如圖①，^ACB=90°,AC=BC,AD1CE,

BEICE,垂足分別為>E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案：BE的長(zhǎng)為

（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B,C在NMAN的邊AM、4N上，AB=AC,點(diǎn)E,尸在ZM/N內(nèi)部的射線AO上，

KzBED=ZCFD=￡.BAC.求證：LABE=LCAF.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在A4BC中，AB=AC,AB>8C.點(diǎn)D在邊8C上，CD=2BO,點(diǎn)E、F在線段力。上,

乙BED=LCFD=LBAC.若ZL48c的面積為15,則△46與A3DE的面積之和為.（直接填寫(xiě)結(jié)果,

不需要寫(xiě)解答過(guò)程）

A

BM

【知識(shí)點(diǎn)5倍長(zhǎng)中線模型模型】

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加

輔助線.所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形

的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.

【常見(jiàn)模型】

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】

【例5】（2023春?甘肅慶陽(yáng)?八年級(jí)?？计谀┬∶饔龅竭@樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1,中，AB=7,AC=5,

點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍.小明發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問(wèn)題，所謂倍長(zhǎng)中線

法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題

的方法，他的做法是：如圖2,延長(zhǎng)4。到E,使OE=AD,連接BE,構(gòu)造△BED會(huì)△CAD,經(jīng)過(guò)推理和計(jì)

算使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)回答：

（1）小明證明/BED=△&4D用到的判定定理是:_（用字母表示）;

(2)/40的取值范圍是」

(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.參考小明思考

問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3,在△■員;中，力。為BC邊上的中線，且AD平分/44C,求證：AB=AC.

【變式5-1】(2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中)如圖，a/lBC中，點(diǎn)。在AC上，力。=

3"B+AC=10,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接CE,/ACB=4ABC+24BCE,則CZ)=.

【變式5-2](2023春?全國(guó)?八年級(jí)階段練習(xí))如圖，AB=AE,力B1/IE,=AC,力。14C,點(diǎn)M為BC的

【變式5-3](2023.江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，中，"=7,AC=5,點(diǎn)、D為BC

的中點(diǎn)，求4。的取值范圍.

小明的解法如下：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E,使。E=A。，連接C￡.

(BD=DC

在乙人笈八與4ECD^ADB=乙EDC

(AD=DE

/.ECD(SAS)

：,AB=.

XV^AAECH-1EC-ACCAECEC+AC,而A/=FC=7,AC=5,

,<AE<.

又?,?4E=2AD

,<AD<.

【探索應(yīng)用】如圖②,A例CO,AB=25,CD=8,點(diǎn)后為BC的中點(diǎn)，N。/芯=N3A￡,求的長(zhǎng)為.(直

接寫(xiě)答案)

【應(yīng)用拓展】如圖③，NBAC=60。，ZCDE=120°,AB=AC,DC=DE,連接BE,P為BE的中點(diǎn)，求證:

APA.DP,

【知識(shí)點(diǎn)6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長(zhǎng):指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線

段:補(bǔ)短:指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等服三角形、角平分線等關(guān)鍵詞

句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短怯構(gòu)造全等二角形來(lái)完成證明過(guò)程，截長(zhǎng)補(bǔ)短法(往往需證2次全等)。

【模型圖示】

(1)截長(zhǎng):在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。

例：如圖，求證BE+DC=AD；

方法:①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF二DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF二BE

(2)補(bǔ)短:將短線段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線段相等

【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【例6】(2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè))如圖①，△ABC^^BDC是等腰三角形，且48=AC,BD=CD,^BAC=

80。，^BDC=100°,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)50。角，角的兩邊分別交邊48.4。于點(diǎn)E、F,連接EE

（1）探究5E、EF、FC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)E、F分別在48、CA延長(zhǎng)線上，其他條件不變，如圖②所示，則8E、EF、FC之間存在什么樣的

關(guān)系？并說(shuō)明理由.

【變式6-1]（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△A3C中，ZZJ=2ZA,ZACZ7的平分線CD交A"于點(diǎn)Z）,

已知AG16,BC=9,則8D的長(zhǎng)為（）

A.6B.7C.8D.9

【變式6-2]（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△88。中，BE,CO為△的角平分線，BE,C。交于點(diǎn)￡

（1）求證：乙BFC=90。+：乙4；

（2）已知乙4=60°.

①如圖1,若BD=4,BC=6.5,求CE的長(zhǎng)；

②如圖2,若Bf=4C,求乙4EB的大小.

【變式6-3］（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面材料：

【原題呈現(xiàn)】如圖1,在△A3C中，N4=2N8,CO平分NAC8,AQ=2,2,AC=3.6,求8c的長(zhǎng).

【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃。平分NAC8,所以可在3c邊上取點(diǎn)已使￡C=4C,連接?！?這樣很容易得到

△DECZADAC,經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）.

【問(wèn)題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問(wèn)題；

（2）拓展提升：如圖3,已知AABC中，AB=AC,ZA=20°,8D平分NABC,BD=23,BC=2.求4。的

長(zhǎng).

【知識(shí)點(diǎn)7手拉手模型】

【模型解讀】如圖，AABC是等腰三角形、4ADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=^。結(jié)論：ABAD^ACAEo

【模型分析】手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。

【題型7手拉手模型】

【例7】（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是一個(gè)銳角三角形，分別以4B、4c為邊向外作等邊三

角形AABD、^ACE,連J妾BE、CO交于點(diǎn)尸，連接力打.

(1)求證:^ABE^hADC；

⑵求"”的度數(shù)；

⑶求證：AF平分4DFE.

【變式7-1](2023春?上海?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和AOEC直角頂點(diǎn)

重合在點(diǎn)C處，連接4E、8。，點(diǎn)A恰好在線段B。上.

(1)我出圖中的全等三角形，并說(shuō)明理由；

(2)猜想4E與8。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【變式7-2](2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))如圖，若2\力。8和均為等腰直角三角形,"C8=zDCE=90。,

點(diǎn)A、。、E在同一條直線上，CM為△OCE中DE邊上的高，連接BE.

(1)求證：AACD"BCE；

(2)若CM=2,BE=3,求力E的長(zhǎng).

【變式7-3](2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))已知ZiABC,分別以AB、AC為邊作△48。和△ACE,且A。

=AB,AC=AE,^DAB=ZCAE,連接DC與BE,G、尸分別是DC與BE的中點(diǎn).

(1)如圖1,若ND48=60°,則N4/G=

(2)如圖2,若ND4B=90。，則NAFG=；

(3)如圖3,若NDA8=a,試探究NAR7與a的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【知識(shí)點(diǎn)8角平分線模型】

模型一：如圖一，角平分線+對(duì)稱型

圖一

利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，

可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移,這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。

【理論依據(jù)】：三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

模型二：如圖二，角平分線+垂直兩邊型

如圖二

【幾何語(yǔ)言】：???0C為NAOB的隹平分線,D為0C上一點(diǎn)DE_LOA,DF_LOB

AACEDg△OFD(AAS),

ADE=DF

模型三：如圖三，角平分線+垂直平分線型

【說(shuō)明】構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的三線合一,也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而

得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合?聯(lián)系了起來(lái)。

模型四：如圖四，角平分線+平行線型

.M

如圖四

【說(shuō)明】有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的有邊的平行線,構(gòu)造等腰三角形，

為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。

【題型8角平分線模型】

【例8】（2023春?浙江?八年級(jí)期中）如圖，4ABC的外角NDAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn),

PD_LAB于D,PE_LAC于E.

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長(zhǎng).

【變式8-1］（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，ZkABC的外角NACO的平分線CP與內(nèi)角NA3c平分線3P

交于點(diǎn)P，若NBPC=36°,則NCAP=.

【變式8-2］（2023春?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，4B=4C,ZBAC=90°,CO平分/AC8,

BELCD,垂足七在CO的延長(zhǎng)線上.求證：BE=^CD.

B

【變式8-3](2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))⑴如圖I,射線8平分NMON,在射線OM,QV上分別截取

線段04,OB,使04=05,在射線OP上任取一點(diǎn)。，連接AD,BD.求證：AD=BD.

(2)如圖2,在M△A8C中，ZACB=90°,ZA=60°,CQ平分NAC8,求證：BC=AC+AD.

(3)如圖3,在四邊形A8QE中，AB=9,DE=\,BD=6,。為8。邊中點(diǎn)，若AC平分N84E,EC平分NAEQ,

ZACE=\2G0,求AE的值.

【知識(shí)點(diǎn)9半角模型】

【模型解讀】如圖：已知NZ^NAOB,OA=OB

【說(shuō)明】連接PB,將aFOB繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)至aFOA的位置，連接FE、FE,可得△()￡口也△OEF

【題型9半角全等模