2025年上海市大學附屬中學高三數(shù)學試題二模沖刺試題（八）含解析

2025年上海市大學附屬中學高三數(shù)學試題二模沖刺試題（八）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關系，共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是()A．這五年，出口總額之和比進口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降2．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點，又P、Q分別在線段、上，且，設平面平面，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面 B．C．當時，平面 D．當m變化時，直線l的位置不變3．設等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．294．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A． B． C． D．5．設點，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件6．國務院發(fā)布《關于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實教育投入．某研究機構(gòu)統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B．年以來，國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年7．若與互為共軛復數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．48．已知直線：與圓：交于，兩點，與平行的直線與圓交于，兩點，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④9．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．11．設x、y、z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②12．已知復數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的虛部是（）A． B．1 C． D．i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，且，則的最小值為___________．14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數(shù)列{}前2020項和為_____15．已知點為雙曲線的右焦點，兩點在雙曲線上，且關于原點對稱，若，設，且，則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.16．過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點，且過的直線與橢圓交于兩點，設且.（1）求點的坐標；（2）求的取值范圍.18．（12分）如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.19．（12分）已知數(shù)列的前項和和通項滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和.20．（12分）[選修4-4：極坐標與參數(shù)方程]在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）若射線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，求取最大值時的值21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點為棱的中點．（Ⅰ）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；（Ⅱ）當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．22．（10分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進行判斷即可.【詳解】對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統(tǒng)計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎題.2．C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立；因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選：C本題考查直線與平面的位置關系.屬于中檔題.3．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D考查等差數(shù)列的有關性質(zhì)、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.4．D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結(jié)合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.5．C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.6．C【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎．7．C【解析】

計算，由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數(shù)概念得：，.故選：C本題主要考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念.8．D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時滿足條件，根據(jù)點到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.本題考查直線與圓的位置關系的應用，涉及點到直線的距離公式.9．D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據(jù)，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.10．B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導公式計算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．本題考查等差數(shù)列的下標和公式的應用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎題．11．C【解析】

①舉反例，如直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個共點側(cè)面時.【詳解】①當直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時,不正確；②因為垂直于同一平面的兩直線平行,正確；③因為垂直于同一直線的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個共點側(cè)面時,不正確.故選:C.此題考查立體幾何中線面關系，選擇題一般可通過特殊值法進行排除，屬于簡單題目.12．A【解析】

由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)可得，則答案可求.【詳解】解：∵，∴，，則化為，∴z的虛部為.故選：A.本題考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)、復數(shù)的概念，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由，先將變形為，運用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因為，，，且，所以因為，所以，當且僅當時，取等號，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運算能力，屬于中檔題.14．【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿足上式，.∴2（）.∴數(shù)列{}前2020項和為2（1）＝2（1）.故答案為：.本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、數(shù)列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.15．【解析】

設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故，由雙曲線定義可得，再求的值域即可.【詳解】如圖，設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故.在中，由雙曲線的定義可得，.故答案為：本題考查雙曲線定義及其性質(zhì)，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學生的運算能力，是一道中檔題.16．【解析】

由切線的性質(zhì)，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可設，進而表示，由圖像觀察可知進而求出x的范圍，再用的式子表示，整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知，，設，由切線的性質(zhì)可知，則顯然，則或（舍去）因為令，則，由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以故答案為：本題考查在以直線與圓的位置關系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題，應用函數(shù)形式表示所求式子，進而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）設出的坐標，代入，結(jié)合在拋物線上，求得兩點的橫坐標，進而求得點的坐標.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結(jié)合，求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】（1）可知，設則，又，所以解得所以.（2）據(jù)題意，直線的斜率必不為所以設將直線方程代入橢圓的方程中，整理得，設則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又，所以令，則所以本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線和橢圓的位置關系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查向量模的坐標運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于難題.18．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由已知線面垂直得，結(jié)合菱形對角線垂直，可證得線面垂直；（2）由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，由已知線面垂直知與平面所成角為，這樣可計算出的長，寫出各點坐標，求出平面的法向量，由法向量夾角可得二面角．【詳解】證明：（1）因為平面，平面，所以.因為四邊形是菱形，所以.又因為，平面，平面，所以平面.解：（2）據(jù)題設知，兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，因為與平面所成角為，即，所以又，所以，所以所以設平面的一個法向量，則令，則.因為平面，所以為平面的一個法向量，且所以，．所以二面角的正弦值為.本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查用向量法求二面角．立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空間角，這樣可減少思維量，把問題轉(zhuǎn)化為計算．19．（1）；（2）【解析】

（1）當時，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項.（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，①，②所以，即，又因為，故，所以，所以是首項，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.本題考查數(shù)列的通項與求和，注意數(shù)列求和關鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.20．(1)的極坐標方程為.曲線的直角坐標方程為.(2)【解析】

(1)先得到的一般方程，再由極坐標化直角坐標的公式得到一般方程，將代入得，得到曲線的直角坐標方程；（2）設點、的極坐標分別為，，將分別代入曲線、極坐標方程得：，，，之后進行化一，可得到最值，此時，可求解.【詳解】（1）由得，將代入得：，故曲線的極坐標方程為.由得，將代入得，故曲線的直角坐標方程為.（2）設點、的極坐標分別為，，將分別代入曲線、極坐標方程得：，，則，其中為銳角，且滿足，，當時，取最大值，此時，這個題目考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，極坐標化為直角坐標的方法，以及極坐標中極徑的幾何意義，極徑代表的是曲線上的點到極點的距離，在參數(shù)方程和極坐標方程中，能表示距離的量一個是極徑，一個是t的幾何意義，其中極徑多數(shù)用于過極點的曲線，而t的應用更廣泛一些.21．（1）見解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中點，連結(jié)、，得到故且，進而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（Ⅱ）以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設，求得平面的法向量為，和平面的法向量，利用向量的夾角公式，求得，進而得到為直線與平面所成的角，即可求解.【詳解】（Ⅰ）在棱上存在點，使得平面，點為棱的中點．理由如下：取的中點，連結(jié)、