成信工大氣流體力學(xué)講義

流體力學(xué)基本知識

1流場的運(yùn)動學(xué)

1.1描述流體運(yùn)動的兩種方法

有兩種描述流體運(yùn)動的方法：Eulerian表述和Lagrangian表述。

Eulerian表述：將流體看作一個(gè)在時(shí)空上連續(xù)變化的場，所有物理量都定義

為空間x和時(shí)間t的函數(shù),例如速度場u(x,t)。

Lagrangian表述：跟蹤某一個(gè)流體粒字的運(yùn)動，所關(guān)心的物理量是該粒子的

質(zhì)心位置a和時(shí)間t的函數(shù)，例如粒子的速度v(a,t)-

相比于Lagrangian表述，Eulerian表述有很多優(yōu)點(diǎn)：(1)在大多數(shù)理論分

析中，采用Eulerian表述更加簡單明了，特別地，Eulerian表述所關(guān)心的是場

量，我們可以利用強(qiáng)大的場論工具對流場進(jìn)行分析；(2)流體力學(xué)中的許多

試驗(yàn)，諸如風(fēng)洞試驗(yàn)和外場試驗(yàn)，往往比較容易觀測到的是與流場有關(guān)的物理

量。(3)工程上關(guān)心的多是與流場有關(guān)的物理量，如速度、壓力或溫度等物理

量的時(shí)空分布，而不去關(guān)心一個(gè)流體粒子的運(yùn)動細(xì)節(jié)。考慮到上述因素，在下

面的章節(jié)中，除特別說明外，均選用Eulerian表述，來探討流場的運(yùn)動規(guī)律或者

通過場函數(shù)來探討流體粒子的運(yùn)動規(guī)律。

1.2流線

為了直觀地描述流體的速度場，我們引入流線的概念。在某一時(shí)刻，如果

流場中一條線上任何一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的速度方向平行，這條線稱為流

線。流線的方程為：

dxdvdz

u(x,t)=v(x,t)=w(x,t)-

如果已知速度場，對上式求積分可以求出流線的具體表達(dá)式，注意式中的時(shí)間

在求積分時(shí)應(yīng)看作常數(shù)。

只有當(dāng)流場平穩(wěn)的時(shí)候，流線與流體粒子的運(yùn)動軌跡才會重合。另外，流

管也是經(jīng)常使用的概念，它是指通過某一閉合曲線的所有流線組成的幾何體。

1.3隨體導(dǎo)數(shù)

隨體倒數(shù)建立了Eulerian表述和Lagrangian表述之間的聯(lián)系。下面以速度場

為例，給出隨體導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。

1

如果速度場u(x,t)已知，那么如何根據(jù)速度場求出流體粒子在某一時(shí)刻

某一位置的加速度呢？設(shè)流體粒子在t時(shí)刻的位置為X,t+bt時(shí)刻所在的位置

為x+u5to于是流體粒子的速度在時(shí)間t內(nèi)的改變量為：

(,)

u(x+u6t,t+6t)ju(x,t)=5t—+u-ru+0(612).

in

因此，粒子的加速度為：

上述推導(dǎo)可推廣到其它的物理量：已知采用Eulerian表述的物理量6(x,t)

(這個(gè)量可以是標(biāo)量，也可以是矢量)，可以求出流體粒子相應(yīng)的物理量

上式中對流體場，x,t)的求導(dǎo)，定義為隨體導(dǎo)數(shù):

1.4連續(xù)性方程

連續(xù)性方程又稱質(zhì)量守恒方程?？紤]空間中某一塊具有任意形狀的區(qū)域,

單位時(shí)間內(nèi)流入這個(gè)區(qū)域的流體質(zhì)量為：

pu-ndS.

式中的積分涵蓋該區(qū)域的整個(gè)表面積，并且根據(jù)Green公式,

r■(pu)dV.

另外，單位時(shí)間內(nèi)該區(qū)域中流體質(zhì)量的增加量等于

,\

pdV.

上式中的積分是在整個(gè)區(qū)域中進(jìn)行的。如果該區(qū)域內(nèi)不存在任何流體源(比如

任何排水管或水泵)的話，

pdV=r'(pu)dV.

由于積分區(qū)域是任意選取的，去掉積分，我們就可得到連續(xù)性方程:

2

1.5不可壓縮性

流體粒子在運(yùn)動過程中，如果其密度不隨壓力的變化而變化的話，我們就

說該流體是不可壓縮的。

根據(jù)（4）和（5）式，可以用隨體導(dǎo)數(shù)表示表示連續(xù)性方程：

IDe

+r?u=0.(6)

pDt

由于流體粒子的體積隨時(shí)間的變化率是：

\

lim--=lim12u-ndS

T!0rdtr\

=lim-r-udV

=r-u,(7)

因此（6）式的物理意義是：當(dāng)流體粒子質(zhì)量守恒的時(shí)候，流體粒子的體積變化

率和密度變化率大小相等，但相差一負(fù)號，這是很顯然的。當(dāng)流體不可壓縮的

時(shí)候，Dp/Dt=0o根據(jù)（6）式，

r-u=0.（8）

這就是無源不可壓縮流體的速度場所應(yīng)滿足的方程。

嚴(yán)格地說，現(xiàn)實(shí)世界中所有的流體都是可壓縮的。但是當(dāng)流體滿足下述條

件的時(shí)候，可以近似看作是不可壓縮的1：

1、如果流體是平穩(wěn)的，流體的速度|u|<c,其中C是聲速；

2、如果流體是不平穩(wěn)的，除了條件（1）滿足外，還要求T>I/C,其

中T和I是流體的速度發(fā)生明顯改變的特征時(shí)間和距離。

1.6流函數(shù)

如果流體是不可壓縮的或者是可壓縮的平穩(wěn)流，并且流體是二維的或者是

軸對稱的2,那么我們可以引入流函數(shù)，從而將兩個(gè)速度分量的求解轉(zhuǎn)化為對一

個(gè)標(biāo)量函數(shù)的求解。

首先，討論二維不可壓縮流體的流函數(shù)及其性質(zhì)。對于不可壓縮的二維流

體，連續(xù)性方程為：

duSv

-

—3x+Tdy=0-

因此，存在標(biāo)量函數(shù)中，其全微分為dip=udyjvdx。因此，

標(biāo)量函數(shù)qj（x,y）稱為流函數(shù)。

二維不可壓縮流體的流函數(shù)具有以下性質(zhì)：

1LandauandLifshitz,FluidMechanics,secondedition,p.21

2二舉流體的速度場在直角坐標(biāo)系下可以表示為(u(x,y),v(x,y),0)；軸對稱的流體在柱坐

標(biāo)(z,r,A)下，其速度場可以表示為(Uz(z,r),ur(z,r),UA(Z,r))0

3

1、設(shè)P和Q是xy平面內(nèi)任意兩點(diǎn)，如和qjQ是這兩點(diǎn)的流函數(shù)，于是:

\p

qjpiWQ=(udyjvdx)

Q

只要積分路徑上每一點(diǎn)都滿足不可壓縮的條件。另外可以證明，通過積分路徑

的面積通量為：

—?=u-ndl=(udyjvdx)

QQQ

其中，n是垂直于線元的單位矢量，并且從0往P看，n指向線元的右側(cè)。因此,

吐7Q==，?(10)

出Q

這說明，曲線兩端點(diǎn)的流函數(shù)之差等于單位時(shí)間通過這條曲線的面積，只要這

條曲線上每一點(diǎn)都滿足不可壓縮條件。

2、從Q出發(fā)沿不同的路徑到P,如果這兩條路徑上的每點(diǎn)滿足不可壓縮條

件，那么這兩條路徑圍起來的區(qū)域中面積的增加率為：

=/(udyjvdx)-I(udyjvdx).

dtJqiJqrz

如果這個(gè)區(qū)域中的流體是不可壓縮的，那么dSQp/dt=O,因此：

I(udyjvdx)=/(udyjvdx).

JQIJQI

相反地，如果區(qū)域中有部分不可壓縮的流體，上述等式不成立，這樣就會導(dǎo)

致中Pi"Q菖兩個(gè)不同的值，這種慢況下的流函數(shù)不再是單值函數(shù)。因此，如果

流體中莓一次都是不可壓縮的話，兼函數(shù)是單值函數(shù)。

3、因?yàn)闆]有任何通過流線的面積通量，所以流線上流函數(shù)處處相等。這個(gè)

結(jié)論也可以根據(jù)(10)式和流線方程得到。

其次，討論軸對稱不可壓縮流體的流函數(shù)及其性質(zhì)。對于軸對稱不可壓縮

流體，其連續(xù)性方程為：

:Uzl<9(rur)

C+C=0.

dzrdr

根據(jù)二維流體的討論，相應(yīng)地我們可以定義流函數(shù)qj(r,z),它與速度場的關(guān)系

是：

1加1加

Uz=5=jq.

r2drrdz

在二維流體中，流函數(shù)包含了整個(gè)速度場的信息。而在軸對稱流體中，根據(jù)流

函數(shù)不能求出UA的值。

軸對稱不可壓縮流體的性質(zhì)為：

1、設(shè)P和Q是軸平面內(nèi)任意兩點(diǎn)，于是只要積分路徑上每點(diǎn)都不可壓縮：

qjpiHJQ=r(uzdrjurdz).

Q

4

另外，如果將PQ曲線沿對稱軸z旋轉(zhuǎn)一圈構(gòu)成閉合曲面，那么流過這個(gè)閉合曲

面的體積流為

，八''P

—=u-ndS=2TTr(uzdrjurdz).

dtQ

因此，以軸平面上兩點(diǎn)之間曲線為母線，繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成閉合曲面，那

么在這兩點(diǎn)上的流函數(shù)之差等于通過閉合曲面的體積通量除以2TT。

2、相應(yīng)于二維流場，如果流體處處不可壓縮，流函數(shù)為單值函數(shù)。

3、如果軸對稱速度場沒有q)方向分量，此時(shí)流線上流函數(shù)處處相等，這是

因?yàn)闆]有體積通量通過流管的外壁。

1.7流體粒子速度的分解

流體粒子的運(yùn)動可以分解為平動、形變和剛體轉(zhuǎn)動，分析如下：

設(shè)流體中某一點(diǎn)。的速度為u(x,t),其附近另一點(diǎn)的速度為u(x+r,t),r是

這一點(diǎn)到。點(diǎn)的矢徑。通過Taylor展開，并保留一階小量，我們有：

Ui(x+r,t)=Ui(x,t)+6ui=Ui(x,t)+rj7T-

將二階張量手分解為對稱和反對稱張量:

dUi13Uj犯1gUjdUj

Sxj=iaxj+.)+2(dXji雙)=eij+G

其中，對稱部分用eg表示，反對稱部分用號表示。于是速度增量可以分解為：

5Ui=6u?+6u?,

其中

6u?=rjeybu?=rj&j.

先來考察對稱速度增量的物理意義。先將對稱增量寫成下面的形式：

MC獨(dú)

buf=neij=—,

前

其中，

①=&kheki.

然后旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)軸與二階張量e”的主軸重合。在新坐標(biāo)系下，

l222

(P=.r；e；.i=1(a<+br^+cr1).

并且，二階張量的跡是標(biāo)量，在坐標(biāo)變換時(shí)是不變量：

Gj=6ii=a+b+c.

因此，在新坐標(biāo)系下，速度的增量為

6u=(ar'；,br"cr)(11)

5

根據(jù)(11)式，可以看出：

1、平行于主軸的直線，只會沿主軸被拉伸或壓縮。在每個(gè)主軸方向，其

形變速率(單位時(shí)間內(nèi)的形變量除以形變前的長度)為分別a、b和c。對于其

它方向的直線，除受到拉升或壓縮外，一般還會向形變速率快的方向旋轉(zhuǎn)。如

果a=b=c'k,那么在任何方向的直線都會沿著自身的方向以相同的速率k伸

縮。因此，二階張量eg被稱為形變率張量，其在主軸坐標(biāo)系下的對角元，決定

了與主軸平行的直線的形變速率。

2、設(shè)想有一個(gè)球形的流體粒子，受(11)式支配，發(fā)生形變，變成一個(gè)橢

球體，橢球體的主軸即為eg的主軸方向。在形變過程中，主軸方向的直線會沿

著主軸拉升或壓縮，而偏離主軸的直線其在主軸平面上的投影會向橢圓的長軸

方向移動，這就好像氣球在短軸方向受到擠壓，球面上的點(diǎn)向長軸靠攏。

3、對于不可壓縮流體，r-u=0,因此不可壓縮流體粒子在形變過程中

體積不變，并且酬=0。而對于可壓縮流體，我們可以將形變率張量分為兩部

?ij=可+穌=9麗+eijj1e.所.

很明顯，e|j表示各向同性的伸縮，可的跡量=eK=r?u,表示流體粒子在形變

中體積的變化率或稱為局域體積變化率，參見(7)式。e：j的跡等于0,表示等

體積的形變。

綜上述，bus會引起流體粒的形變。對于不可壓縮流體，流體粒子的體積在

形變中保持恒定。而對于可壓縮流體，形變可看作是各向同性形變和等體積形

變的疊加，前一種形變會改變粒子的體積。

再來考察反對稱速度增量的物理意義。反對稱張量有三個(gè)獨(dú)立的變量，一

般可以寫成下面的形式：

*j=i-?ijkWk.

因此，反對稱速度增量為：

▼“1

6uf=-eikjwkrj,

寫成矢量形式：

6ua=￡r.(12)

根據(jù)(12)式，可以看出：

1、剛體的運(yùn)動可以分為平動和轉(zhuǎn)動，其中轉(zhuǎn)動的線速度：

u=wr￡r,(13)

其中，Wr=r￡u是剛體的角速度。將(12)式與(13)式進(jìn)行對比可知：如

果扣除形變，流體粒子可看作剛體，反對稱張量就是剛性流體粒子繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動

的線速度。相應(yīng)地，流體粒子的角速度為w=⑴￡，其中w稱為局域

渦旋(vortidty),所謂局域，指的是渦旋與空間巫標(biāo)有關(guān)，整個(gè)流體并不像剛體

那樣有相同的渦旋?！北硎緦κ笍角髮?dǎo)。

2、因?yàn)楸?1(2/、)，故而

W=rx￡U,

6

其中僅表示對坐標(biāo)求導(dǎo)，于是:

僅￡u="￡6ua'w.(14)

上式有什么物理含義呢？根據(jù)Stokes公式，在很小的一塊圓形面積內(nèi)，

w-n=1[r￡u(x)]-n%—[r￡u(x+r)]-ndS=—Lu(x+r)-dr.

其中，a表示這塊圓面的半徑，n表示圓面的法向單位矢量。上面的等式中最左

邊wn表示反對稱速度增量沿圓面邊界的切向速度(該切向速度在邊界上處

處相等)除以半徑a,等式最右邊3u(x+r)?dr表示沿著圓面邊界的平均

切向速度除以半徑a。因此，(14「發(fā)表示：扣除掉平動和變形后，流體粒子剛

性轉(zhuǎn)動的線速度(也即是反對稱速度增量)，沿其內(nèi)部某一圓環(huán)的切向分量等

于流體粒子的真實(shí)速度(未分解前的速度)沿同一圓環(huán)的切向分量的平均值。

為什么會這樣呢？我們考察一下平動和變形就知道：平動的切向分量沿著平動

方向幾乎處處反對稱(所謂反對稱，就是繞動方向相反，一個(gè)沿逆時(shí)針，另一

個(gè)沿順時(shí)針，但兩者大小相等。“幾乎”表明最高點(diǎn)和最低點(diǎn)是例外，兩者切

向速度對稱，但這兩點(diǎn)的貢獻(xiàn)平均后為零)，因而對平均切向速度沒有貢獻(xiàn)。

另外，變形的切向分量沿著主軸方向反對稱，也對平均切向速度沒有貢獻(xiàn)。最

后只剩下反對稱速度增量或者說是流體粒子的剛性線速度對平均切向速度有貢

獻(xiàn)。

綜上述，反對稱速度增量表示流體粒子剛性轉(zhuǎn)動的線速度，并且通過

(14)式可以利用速度場直接求出角速度或渦度的分布。這個(gè)等式的物理意義

是：由于平動和變形運(yùn)動的切向分量反對稱，流體粒子粒子剛性轉(zhuǎn)動的線速

度沿其內(nèi)部某一圓環(huán)的切向分量和真實(shí)速度沿同一圓環(huán)的切向分量的平均值相

等。

例子：剪切運(yùn)動中流體粒子速度的分解

流體流動的方向設(shè)與坐標(biāo)軸Xi平行，與流動方向垂直的坐標(biāo)軸設(shè)為X2,于

是剪切運(yùn)動的速度場為：

u=[Ui(x2),0,0].

于是：()

?ij=’—，當(dāng)i7j=1,2w=r￡u=0,0,j—.

先分析剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。從W的表達(dá)式可以看出這是繞X3瞬時(shí)針方向的剛體

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。另外，可以求出剛體旋轉(zhuǎn)的線速度為：

*2*2f9r^.*2fi

再分析形變運(yùn)動。由于a=0,因此只有等體積形變。另外，可以求

出e.一時(shí)主軸方間的單位矢量:工，_L,0,i二，_￡,0和(0,0,1),以及主

nrajirar

值：2dX2，i2dx2,°。在主軸坐標(biāo)系下，形變速度增量為：

MS'I""1,I""I,

bi/=r,j,0.

7

從上式可以看出，剪切運(yùn)動的形變具有以下特征：

1、沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向分別存在壓縮和拉伸形變，并且壓縮率和拉伸率相

等；

2、沿另一個(gè)坐標(biāo)軸方向沒有形變。

根據(jù)這些特征，我們可以將流體粒子的形變運(yùn)動分解為各項(xiàng)同性形變、

剪切運(yùn)動和剛性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。證明如下：流體粒子的形變可以分為各向同性形

((I)

變:e.6jj和等體積形變eji。其中，等體積形變運(yùn)動在主軸坐標(biāo)系下

的描度增量為：

[(I)(?)(1)1

6ll=T3,i—Gjj6jj,Tjb\—Gjj6ij,TC\—Gjj6ij

[(:)(l)]

=Iaeii6y,(j,jTt：j一?仃6。刀

+0,Tbj:e"6ij,jTbj;3^6°.

上式中第一項(xiàng)加上局域渦度為§aj6ij的剛性轉(zhuǎn)動就是剪切運(yùn)動，第二

()

項(xiàng)加上局域渦度為§bjenSij的剛性轉(zhuǎn)動就是另一個(gè)剪切運(yùn)動，所以等體

積形變又可以分解為兩個(gè)剪切運(yùn)動和兩個(gè)剛性轉(zhuǎn)動，證畢。

8

第一章流體力學(xué)基礎(chǔ)

§1.流體的物理性質(zhì)和宏觀模型

§2.流體速度與加速度，Lagrange法和Euler法

§3.跡線和流線

§4.渦度、散度、環(huán)流和形變率

§5.速度勢函數(shù)和流函數(shù)

本章重點(diǎn)：描述流體運(yùn)動的基本方法及物理量。

引言

流體：具有流動性，形狀易變的物體（如水、空氣），不同于固體（剛體），是液體和氣體的統(tǒng)稱。

流體力學(xué)：研究流體運(yùn)動規(guī)律以及流體和固體間相互作用的科學(xué)（不同于研究剛體的“理論力學(xué)”）。

地球物理流體（動）力學(xué)：以與地球相聯(lián)系的大氣、海洋、河流等為主要研究對象的流體力學(xué)，簡稱

地球流體力學(xué)。

大氣流體力學(xué)（FluidMechanicsoftheAtmosphere）：以大氣為主要研究對象的流體力學(xué)。

§1.流體的物理性質(zhì)和宏觀模型

質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中把實(shí)際物體抽象概括稱為“質(zhì)點(diǎn)”（有質(zhì)量但無體積）。

流體力學(xué)也把實(shí)際流體抽象概括為“流點(diǎn)”或“連續(xù)介質(zhì)”。

1.連續(xù)介質(zhì)假設(shè)：把離散分子構(gòu)成的實(shí)際流體，看作是由無數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)沒有空隙、連續(xù)分布而構(gòu)成

的，稱為“流點(diǎn)”。即：流體質(zhì)點(diǎn)（氣象上稱空氣微團(tuán)或氣塊）=大量流體分子的集合。

流體質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，其上的物理量（如：溫度、密度、速度等也是連續(xù)分布的，從而構(gòu)成各

種可用連續(xù)函數(shù)表示的物理量場，可利用高等數(shù)學(xué)中矢量分析與場論的知識來研究。

2.對流點(diǎn)的尺度要求：既要充分小（以使它在流動中可當(dāng)作“點(diǎn)”），又要足夠大（能保持大量分子，

具有確定的統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)）。其密度表示為：

0=「im=p{x,y,z,t）

3.連續(xù)介質(zhì)假設(shè)對大多數(shù)流體適用，但對個(gè)別情況不適用，如高層（z>50km,即平流層中層以上）

稀薄大氣（此時(shí)，流點(diǎn)必須取得很大，則失去點(diǎn)的意義）。

1

§2.流體速度與加速度，Lagrange法和Euler法

1.矢徑：r=Xi++A(1.1)

其中(x,y,z)為直角坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)。

一注

2.流速：1/=-(1.2)

dt

—dtz

3.加速度：a=~(1.3)

ot

4.拉格朗日(Lagrange)變量

，位于(x,y,z)=(xo,yo,z〃的流點(diǎn)的位置：

r=f(x0,y0,z0,t)(1.4)

fx=x(x0,y0,z0,t)

Iy=y(xo,yo,zo,t)d-5)

Vz=z(x0,y0,z0,t)

則其流速為：

V(x0,y0,z0,t)=-^r(x0,y0,z0,t)(1.6)

ot

拉氏變量(觀點(diǎn))：著眼于個(gè)別流點(diǎn)，跟蹤考察確定的個(gè)別流點(diǎn)在不同時(shí)刻的速度和位置。即以某

一流點(diǎn)為對象，研究其空間位置及物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律，進(jìn)而推廣到整個(gè)流體中的所有流點(diǎn)。實(shí)

例：漂流瓶、小蹤劑。

判斷特征：流場一般用位置坐標(biāo)(函數(shù))表示，變量為：XO,yo,ZO,t

5.歐拉(Euler)變量

固定在某一空間點(diǎn)(x,y,z)上考察其各個(gè)時(shí)刻的流速，表示為：

v=(Vx,y,z,t)(1.7)

=u(x,y,z,t)

或v=v(x,y,z,t)(1.8)

\w=w(x,y,z,t)

即以流體空間某一固定體積元(空間中的固定點(diǎn))為對象,研究不同時(shí)刻流體通過該固定點(diǎn)時(shí)的

運(yùn)動狀態(tài)及物理量的變化規(guī)律。實(shí)例：氣象站、水文站。

判斷特征：流場一般用流速分量(函數(shù))表示，變量為：x,y,z,t

歐拉觀點(diǎn)的本質(zhì)：流體運(yùn)動歸結(jié)為物理量場的特征及變化，通過物理定律，轉(zhuǎn)換為一組偏微分方

程來描述。

2

6.描述流體運(yùn)動的兩種方法(觀點(diǎn))的關(guān)系(區(qū)別及聯(lián)系)

拉氏觀點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)：描述流體運(yùn)動直觀、明了(跟蹤流點(diǎn))，如研究高層大氣中的物質(zhì)輸送問題。

缺點(diǎn)：解決問題時(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)工具不方便。

歐拉觀點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)：把流體運(yùn)動當(dāng)作(流)場隨時(shí)間的變化，便于應(yīng)用矢量分析、場論和數(shù)理方程

等數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用更為廣泛，如氣象研究中涉及的絕大多數(shù)問題。

缺點(diǎn)：研究整個(gè)流場需要建立若干觀測點(diǎn)。

兩種變量僅是考察的角度不同，即著眼于流點(diǎn)還是空間(場)點(diǎn)，其描述同一流場的結(jié)論本質(zhì)應(yīng)

該是一致的，則兩者可以相互轉(zhuǎn)換。

如歐拉變量=>拉氏變量的方法：(1)對t積分，(2)利用初始條件定出積分常數(shù)

(u=u(x,y,z,t)[u=u[x(t),y(t),z(t),t]

Jv=v(x,y,z,t)—('v=v[x(t),y(t),z(t),tj(空間點(diǎn)一流點(diǎn))(1.9)

Il尸r氏y,Z,t)Iy(t),z(t),t]

=

N

因?yàn)?

M

(L10)代入(1.9)后對t積分后可求解得:

{\x=x(c1,c2,c3,t)

(y=y(C[,C2,C3,f)(LU)

利用初始條件：t=to時(shí)(x,y,z)=(xo,yo,zo),可求出(ci,cz,C3),即可用(xo,yo,zo)

表示這些積分常數(shù)。

fx=x(x0,y0,z0,t)

則最后可得:(1.12)

〈y=y(x0,y0,z0,t)

Vz=z(x0,y0,z0,t)

即轉(zhuǎn)換成了拉氏變量。

思考：拉氏變量==>歐拉變量?

例1：已知流場用歐拉變量表示為u=-coy,V=OJX,w=O(0為常數(shù))，此處x,p,z為同一流點(diǎn)

在不同時(shí)刻的空間坐標(biāo)，試將歐拉變量轉(zhuǎn)換為拉氏變量。

解：因?yàn)镸=--coy,v――—―3x,w=—0,

drdtdt

3

解得（消元后解一元二階常微方程）：X=Acos（U）t+E）,y=/Isin他/+以，其中A￡為常

數(shù)。

設(shè)f=0,X=xo,y=%為初始時(shí)該點(diǎn)的位置,

則有可得：+片，￡=tgT%。

U產(chǎn)4in￡

則拉氏變量為：X=-*+沸cos(u)t+tg-吁),"=-撫+必sin(a)t+tg-1),

z=Zo

7.兩種觀點(diǎn)下的加速度表示

a=；-「(蒞。="七)（拉氏觀點(diǎn)）(1.13)

Cf€rb

a=V[x,y,z,l)（歐拉觀點(diǎn)）(1.14)

兩者應(yīng)一致，只是表示方法不同。若取（1.14）式中（x,y,z）為t時(shí)刻流點(diǎn)到達(dá)該空間點(diǎn)的位置

坐標(biāo)，即把空間點(diǎn)的加速度變?yōu)樵擖c(diǎn)隨t變化的加速度時(shí)|

5dt）

V1/

則W=上匕=~+-dy+AVdz

didtdxdtdydtdzdt

=dV+udV+vdV+wdV

dtdXdydz(1.15)

引入Nabla(Hamilton)算子:

(1.16)

（1.15）式可改寫為:

(1.17)

此為應(yīng)用Euler變量求流場加速度的計(jì)算式。

推廣，更一般的物理量（無論矢量、標(biāo)量）有:

(1.18)

4

物理意義：個(gè)別變化=局地變化+遷移變化（而遷移變化=平流變化+對流變化）。

dV~~_

8.定常流場（穩(wěn)定流場）：對于Euler變量表示的流場,若---=O^V=V(x,y,z),即流動與時(shí)

dt

間疣關(guān)，則稱為定常流場。

作業(yè)1：［(必做)Cha.l—1,Cha.1—5

圖L1跡線族與流線族（例1）

§3.跡線和流線

為了更直觀、形象地刻畫流動，引入跡線和流線的概念。

1.跡線：流點(diǎn)在各時(shí)刻所運(yùn)行路徑的軌跡，反映拉氏觀點(diǎn)下流動的幾何圖象。例：染色劑、漂流瓶。

跡線演示鏈接

在嫻段內(nèi)流點(diǎn)在跡線上的位移為:

dx=Udt,dy=Vdt,dZ-Wdt(1.19)

玲也則,制就一廿標(biāo)就總力豕同一制汁籽步川〃青枷｝一"片跡線方程（1,20）

（t是單個(gè)、獨(dú)立變量）

2.流線：某時(shí)刻該曲線上的任一切線方向，正好和該時(shí)刻該處的流速方向相吻合。是流場的瞬間“快

照”。例：衛(wèi)星云圖，天氣圖。

設(shè)法為流線上任一線元矢，則有：Ws,即:

5

tt

\/xdS=0(1.21)

tttt

(dS=dxi+dyj+dzk；1/=Ui+"+麻)

(vdz-wdy)z+(wdx-udz^j+(^udy-vdx)1-0

(vdz-wdy=0

?-\\wdx-udz=0

?(udy-vdx=0

dxdydz

————流線方程（1.22）

u[x,y,z,t\v\x,y,z,i\w[x,y,z,i\

3.跡線和流線的區(qū)別:

流線：某瞬間反映整個(gè)流動狀況的空間曲線。

跡線：某流點(diǎn)在不同時(shí)刻運(yùn)行的路徑（軌跡）。

一般情況下，兩者不相重合；當(dāng)流動定常時(shí)（流點(diǎn)在任一時(shí)刻的狀態(tài)與當(dāng)時(shí)的空間點(diǎn)一樣），兩者

重合。???（1.20）、（1.22）兩式都不顯含/,各瞬間的流線均相同，二流線與跡線重合。

注意：流場定常只是流線與跡線重合的充分條件，即對于非定常流場，流線與跡線也可能重合（例

如第一章作業(yè)的題11）。

圖1.2各種流場型式

6

圖1.3卡曼泯式流場

§4.渦度、散度和形變率

為了描述流點(diǎn)形狀、大小和滾動等方面的變化，有必要再引入一些新的物理量（除速度、加速度外）。

1.渦度

渦度矢=Vx1（=curlV-rot（1.23）

表示流點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的大小和方向（度量流點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的物理量）。

i/

ada_仆曲、一-械7一_「一一一-,…、

V口X，1一=;.=（---）i+（—A—.）VJ+,（A—―\-）k=&+用+9（1.24）

excyczcyccczororcy

UVw

1.1渦度與角速度的關(guān)系：渦度矢的垂直分量（表示水平面上該點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)程度）

（畫）,二（畫）.「若一步《

＞逆時(shí)針（氣旋式）渦度

C=0無旋

＜順時(shí)針（反氣旋式）渦度

容易混淆的希臘字母的讀音：€[ksai],a],?[rzi:ta],u[mju:],v[njiu:],

6[fai],中[psai],x[kai],K['k紀(jì)p3],u[ju:],￡[ep，sail9n].

取一個(gè)以0角速度旋轉(zhuǎn)動圓盤，其速度分布為：U=-U）yf/=3X（即為§2的例)

7

則：（VxI/）="-1u=2u）

'JzcXCV

即渦度值恰好等于流動旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍。在地球大氣推廣：VxU=

（a>.整體旋轉(zhuǎn)的度量，適用于剛體，？：流體中任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)程度的度量）

圖L4線渦

（b）R線育旋K前

<c）育?回運(yùn)動

圖L5渦度與旋轉(zhuǎn)

2.散度

CU+「「+

散度二5七Div，(1.25)

dxdydi

8

>輻散

D=0（三維）無輻散

（輻合

2.1散度與通量___

引入流體通量F^\V-doa螫定理fjfS/-VdT

則對于流點(diǎn)：V?「二1itnV?V刁Itn

T?ta7

-F

V-r=lim—

—TO7

即：散度=單位體積的流點(diǎn)通量。

稱為“流出”、“源”、輻散、膨脹。

v-r<?稱為“流入”、“匯”、輻合、收縮。

圖L6線源

2.2散度與體脹速度

體脹速度：單位體積的體積變化率。

體脹速度=―t—色0位雇）=_L3）」d（處）+上g）

STdt6x6y6zdtdtBydt6zdt

9

在連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)下,體脹速度喂管）+5傳卜梟朗

叫d皿(1.27)

6x6y6z

，散度是量度流點(diǎn)體積的膨脹或收縮的物理量，其值等于體脹速度。

3.環(huán)流（環(huán)量）

一）——-——___

C=\y-dlS大成es公式口。（Vx『）0="o（vx/）彳回:"（其中一＜二上）

3.1環(huán)流與渦度的關(guān)系

都是描寫流體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，但渦度描寫一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)（微觀旋轉(zhuǎn)），環(huán)流描寫一閉合回路上所有流

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的總趨勢（宏觀旋轉(zhuǎn)）。

4.形變率

把流點(diǎn)當(dāng)作既大又小的流體微團(tuán)，它不但有轉(zhuǎn)動、體積的變化，形狀還可以改變。而形變又

分為軸形變（法向形變）和切形變（剪向形變）。

法形變率為:

切形變率為:(1.29)

由上述九個(gè)元素分別構(gòu)成形變張量4,即

eyy

ezy

第一個(gè)下標(biāo)表示形變的投影方向，第二個(gè)下標(biāo)表示受力面的外法向。

作業(yè)2：Cha.1—3,Cha.1—11(改錯(cuò)：u改x,v改y),Cha.1—7

10

§5.速度勢函數(shù)和流函數(shù)

1.速度勢函數(shù)

若V人，=0,則稱為無旋運(yùn)動(此為引入速度勢函數(shù)的前提條件)。

???V人V0=0,.?.對無旋運(yùn)動，可引入一個(gè)函數(shù)Q(x,yz力，使得

步=N(P(^i/=-grad(p)(1.30)

u=-U

I班

即：/v??里(1.31)

口

C^P

w=—

HN

Q=ca7s曲面稱為等位勢面，17與它垂直。

?//?1/?M/

將(1.31)式代入D,得：

?x?y?z

D=-V?0(1.32)

則有求Q的方法：

(1)若已知流速，可由(1.31)積分求出Q。

(2)若僅知散度D,可解Poisson方程求出Q。

相應(yīng)地，若已知Q,可由(1.32)式求得散度。

類似的可引入有勢力(或保守力)函數(shù)，如重力g=—V0(0=gz)o

2.流函數(shù)

引入流函數(shù)的前提條件：若流動是無輻散的(V.仁0,也稱不可壓縮流動)和二維的(常

見的情形為：w=0,即V.%=0,稱為水平無輻散)。則由于V.Q人V沙)=0,.?.可引入函

數(shù)/X,y,t),使得

1/=k人Nqj(1.33)

11

dl/J

U=-

dy

BP：（1.34）

dQJ

Idx

則叭x,y,t)=Const.的曲線稱為等流函數(shù)線。

2.1等流函數(shù)線與流線的關(guān)系

'：dqj=0,即dy=0,利用（1.34）式，則有即"X=±L

dxcy//u

(流線方程)

...等流函數(shù)線即為流線。求流線的一個(gè)特殊方法：對于存在流函數(shù)的流動，若已知九令其等于

常數(shù)，即得流線方程。

將(1.34)式代入(VXV)=IVCU

0二得:

V2=[+票=<（1.35）

求”的方法:

(1)若已知流速，可由(1.34)式積分求出ipo

(2)若僅知渦度。，可解Poisson方程求出ip。

相應(yīng)地，若已知心可由(1.35)式求出渦度。

12

13

作業(yè)3：[Cha.l—13,Cha.l-2,Cha.l—19,Cha.l—22(1)、(3)

本章小結(jié)

L概念：連續(xù)介質(zhì)，流點(diǎn)，定常流場，拉氏變量，歐拉變量，跡線，流線，渦度，散度，環(huán)流，勢函數(shù),

流函數(shù)。

2.計(jì)算：位置，速度，加速度，渦度，散度，形變率。

3.推導(dǎo)：拉氏變量和Euler變量轉(zhuǎn)換；跡線、流線方程；求勢函數(shù)、流函數(shù)。

14

第三章大氣運(yùn)動坐標(biāo)系與方程組

§1.作用于大氣上的力，慣性坐標(biāo)系運(yùn)動方程

§2.視示力，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系運(yùn)動方程

§3.連續(xù)方程和熱力學(xué)方程

§4.球坐標(biāo)系大氣方程組簡介

§5.局地直角坐標(biāo)系的大氣方程組

§6.坐標(biāo)變換，p坐標(biāo)系的大氣方程組

本章重點(diǎn)：作用在大氣上的力，局地直角坐標(biāo)系中的大氣方程組，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式,p坐標(biāo)系中的大氣方程組。

§L作用于大氣上的力，慣性坐標(biāo)系運(yùn)動方程

1.慣性（絕對）坐標(biāo)系：相對于某個(gè)恒星（如太陽）靜止或作勻速直線運(yùn)動（即沒有加速度）的坐

標(biāo)系。

2.慣性坐標(biāo)系大氣運(yùn)動方程

在慣性坐標(biāo)系中，牛頓第二運(yùn)動定律成立，即：

d匕二日（3.1）

出乙

tt

絕對加速度合外力

對于單位空氣微團(tuán)，作用于其上的（真實(shí)）外力有：

'Fi—F\-\-Fi+2*3（3.2）

9

三種真實(shí)外力：氣壓梯度力+地球引力+摩擦力

（1）斤=—」即稱為氣壓梯度力，由氣壓分布不均勻引起。

p

密度。=常數(shù)？pw常數(shù)？（密度一氣壓梯度力？）地面大氣密度的計(jì)算公式：

1.276v—0.378g'