2025屆高考數(shù)學二輪復(fù)習第二部分專題一三角函數(shù)與解三角形滿分示范課-三角函數(shù)與解三角形專題強化練理

PAGE1-滿分示范課——三角函數(shù)與解三角形該類解答題是高考的熱點，其起點低、位置前，但由于其公式多、性質(zhì)繁，使不少同學對其有種畏懼感．突破此類問題的關(guān)鍵在于“變”——變角、變式與變名．【典例】(滿分12分)(2024·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．[規(guī)范解答](1)由題設(shè)得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，2分即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).3分由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA).故sinBsinC＝eq\f(2,3).6分(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)，所以B＋C＝eq\f(2π,3).故A＝eq\f(π,3).8分由題意得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，所以bc＝8.10分由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，得b＋c＝eq\r(33).故△ABC的周長為3＋eq\r(33).12分高考狀元滿分心得1．寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點的步驟有則給分，無則沒分，所以得分點步驟肯定要寫全，如第(1)問中只要寫出eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)就有分；第(2)問中求出cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)就有分．2．寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分，所以在答題時要寫清得分關(guān)鍵點，如第(1)問中由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)；第(2)問由余弦定理得b2＋c2－bc＝9.3．計算正確是得分保證：解題過程中計算精確，是得滿分的根本保證，如cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)化簡假如出現(xiàn)錯誤，本題的第(2)問就全錯了，不能得分．[解題程序]第一步：由面積公式，建立邊角關(guān)系；其次步：利用正弦定理，將邊統(tǒng)一為角的邊，求sinBsinC的值；第三步：利用條件與(1)的結(jié)論，求得cos(B＋C)，進而求角A；第四步：由余弦定理與面積公式，求bc及b＋c，得到△ABC的周長；第五步：檢測易錯易混，規(guī)范解題步驟，得出結(jié)論．[跟蹤訓(xùn)練]1．(2024·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acos(B－eq\f(π,6))．(1)求角B的大?。?2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acos(B－eq\f(π,6))，得asinB＝acos(B－eq\f(π,6))，即sinB＝cos(B－eq\f(π,6))，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB，可得tanB＝eq\r(3).又因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acos(B－eq\f(π,6))，可得sinA＝eq\f(\r(3),\r(7)).因為a<c，所以cosA＝eq\f(2,\r(7)).因此sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).2．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))))，b＝(－sinx，eq\r(3)sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝1，a＝2eq\r(3)，求△ABC的面積的最大值并說明此時△ABC的形態(tài)．解：(1)由已知得a＝(－sinx，cosx)，又b＝(－sinx，eq\r(3)sinx)，則f(x)＝a·b＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1,2)(1－cos2x)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，當2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)時，f(x)取最大值eq\f(3,2).(2)在銳角△ABC中，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，知A＝eq\f(π,3).因為a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2