吉林省吉林地區(qū)普通中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次模試考試數(shù)學(xué)試題 含解析

吉林地區(qū)普通高中2024-2025學(xué)年度高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題說明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，貼好條形碼.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上.字體工整，筆跡清楚.3.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.命題，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定直接判斷得解.【詳解】命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以為：.故選：C2.設(shè)全集，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，而陰影部分表示的集合是，則圖中陰影部分表示的集合是，故B正確.故選：B3.在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為的重心，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合重心性質(zhì)與向量運(yùn)算化簡(jiǎn)可得.【詳解】如圖，連接，因?yàn)辄c(diǎn)O為的重心，則為的三等分點(diǎn)，且，所以，故選：A.4.已知隨機(jī)事件A和B，下列表述中錯(cuò)誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若互斥，則 D.若互斥，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根據(jù)事件的包含關(guān)系即概率的性質(zhì)，可判斷AB的真假；根據(jù)事件的互斥關(guān)系即互斥事件的概率特征可判斷CD的真假.【詳解】若，則，，故AB選項(xiàng)的內(nèi)容都是正確的；若互斥，則，，所以C選項(xiàng)的內(nèi)容是錯(cuò)誤的，D選項(xiàng)的內(nèi)容是正確的.故選：C5.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上且滿足軸，若，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】利用給定條件求出，再設(shè)出雙曲線方程，求解基本量，得到實(shí)軸長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)檩S，且，雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，設(shè)雙曲線方程為，且，將代入雙曲線方程，得到，聯(lián)立解得(負(fù)根舍去)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故B正確.故選：B6.定義：到定點(diǎn)的距離為定值的直線系方程為，此方程也是以為圓心，為半徑的圓的切線方程.則當(dāng)變動(dòng)時(shí)，動(dòng)直線圍成的封閉圖形的面積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】弄清楚懂直線圍成的封閉圖形的形狀，就可以求它的面積.【詳解】由.根據(jù)條件中的定義，可得：動(dòng)直線是以為圓心，以1為半徑的圓的切線.所以動(dòng)直線圍成的封閉圖形為：以為圓心，以1為半徑的圓.其面積為：.故選：C7.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B. C.505 D.1013【答案】A【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合分類討論確定公差，再將目標(biāo)數(shù)列求出，利用并項(xiàng)求和法求和即可.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)令，而其前項(xiàng)和為，，故A正確.故選：A8.定義：為不超過x的最大整數(shù)，區(qū)間（或）的長(zhǎng)度記為.若關(guān)于x的不等式的解集對(duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度為1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】問題可轉(zhuǎn)化為不等式的正整數(shù)解有且只有一個(gè)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)刻畫該函數(shù)的單調(diào)性后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則.因?yàn)樵坏仁降慕饧瘜?duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度為，故不等式的正整數(shù)解有且只有一個(gè).設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A.在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限B.C.D.若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則【答案】AC【解析】【分析】A項(xiàng)結(jié)合對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)可得；B項(xiàng)由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可得；C項(xiàng)由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可得；D項(xiàng)將代入方程，化簡(jiǎn)整理由復(fù)數(shù)相等條件可待定.【詳解】A項(xiàng)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故A正確；B項(xiàng)，，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，故C正確；D項(xiàng)，若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則，化簡(jiǎn)得，所以有，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.數(shù)學(xué)與音樂有緊密的關(guān)聯(lián)，每個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).像我們平時(shí)聽到的音樂不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為f的基音的同時(shí)，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如等，這些音叫諧音，因?yàn)檎穹^小，我們一般不易單獨(dú)聽出來.所以我們聽到的聲音的函數(shù)是，記，則（）A.的最大值為 B.在上單調(diào)遞增C.的周期為 D.【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦函數(shù)性質(zhì)得到和無法同時(shí)取得最大值判斷A，利用正弦函數(shù)性質(zhì)分別判斷得，，的單調(diào)性求解B，利用周期性的定義求解C，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論證明，再結(jié)合絕對(duì)值三角不等式放縮證明D即可.【詳解】對(duì)于A，，若的最大值為，則和必須同時(shí)取得最大值，由正弦函數(shù)性質(zhì)得和無法同時(shí)取得最大值，則的最大值不為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意得，因?yàn)?，所以，，由正弦函?shù)性質(zhì)得，，在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的性質(zhì)得，多個(gè)增函數(shù)相加，結(jié)果一定是增函數(shù)，得到在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，令，而，，，得到的周期為，故C正確；對(duì)于D，欲證，則證即可，令，而，，則是偶函數(shù)，則證當(dāng)時(shí)，即可，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，得到則成立，當(dāng)時(shí)，同理可得成立，綜上，結(jié)合是偶函數(shù)，可得恒成立，故，則對(duì)于時(shí)，成立，故D正確.故選：BCD.11.已知是定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C.有3個(gè)零點(diǎn) D.若，則或【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法求值判斷A，利用賦值法得到判斷B，利用賦值法求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷C，對(duì)參數(shù)范圍分類討論結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，已知，令，則，故；令，則，解得，故A正確；對(duì)于B，令，則，解得；令，則，得到是奇函數(shù)，不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，而，得到是奇函數(shù)，且在上有定義，則，，得到有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確，對(duì)于D，結(jié)合，解得，顯然，而，若，則即可，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，符合題意，而在時(shí)，，則，，不符合題意，排除，當(dāng)時(shí)，，，故，由奇函數(shù)性質(zhì)得，符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由奇函數(shù)性質(zhì)得，不符合題意，排除，綜上，若，則或，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)范圍分類討論，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)得到符合條件的解集即可．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中14題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式先求，再求可得結(jié)論.【詳解】因函數(shù)，所以，所以.故答案為：.13.已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)均在C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱.若直線，的斜率之積為，則橢圓C的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)軌跡的求法，確定橢圓方程，可求其離心率.【詳解】由題意：，設(shè)（），則.由直線，的斜率之積為，可得.所以，，，所以.故答案為：14.如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)E在棱上，且，側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為__________；直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】分析點(diǎn)的軌跡，可求點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求直線與直線所成角的余弦值的取值范圍（或者用三余弦定理求直線與直線所成角的余弦值的取值范圍）.【詳解】（法一）由得，點(diǎn)P軌跡是以A為球心，1為半徑的球面，又點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)P在以A為圓心，1為半徑，為圓心角的圓弧上，因此點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.建系如圖，設(shè)，則..令，.故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.（法二）設(shè)直線與直線所成角為，取的中點(diǎn)，根據(jù)三余弦定理可知，，易知P從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至N處，逐漸減小，則逐漸增大，由圖可知，P從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至N處逐漸增大，則P在點(diǎn)M處時(shí)，取得最小值，此時(shí)，則P在點(diǎn)N處時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若，求的面積S；（2）若角C的平分線與的交點(diǎn)為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，把化成，根據(jù)正弦定理可得，在根據(jù)余弦定理，可得角，再結(jié)合余弦定理，表示出，可得的值，進(jìn)而利用可求面積.（2）根據(jù)，結(jié)合可得：，再結(jié)合基本不等式，可求的最小值.【小問1詳解】由，得.由正弦定理得.所以，因?yàn)?，所?在中，，由余弦定理，得，解得.所以.即的面積S為.【小問2詳解】因?yàn)闉榻荂平分線，，所以.在中，，所以，由，得，所以.因?yàn)?，所以由基本不等式，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.16.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）、（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由參變量分離法可得出對(duì)任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在時(shí)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域與，且，令，得或，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、.【小問2詳解】對(duì)任意的，.由于，則，令，其中，則，令，則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，，則，因此，實(shí)數(shù)取值范圍是.17.如圖，一個(gè)直三棱柱和一個(gè)正四棱錐組合而成的幾何體中，.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求正四棱錐的高.【答案】（1）證明見解析（2）2或【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合并利用線面垂直的判定定理得到線面垂直，再利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面夾角的向量求法建立方程，求解所求高即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，平面，又平面.又平面，平面.又平面，平面平面.【小問2詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)正四棱錐的高為h，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，即，取，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，故，設(shè)平面與平面夾角為，則，解得或.所以正四棱錐的高為2或.18.國(guó)家設(shè)立國(guó)家自然科學(xué)基金，用于資助基礎(chǔ)研究，支持人才培養(yǎng)和團(tuán)隊(duì)建設(shè).現(xiàn)對(duì)近4年的國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目支出（以下簡(jiǎn)稱項(xiàng)目支出）概況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下表：年份2020年2021年2022年2023年年份序號(hào)1234項(xiàng)目支出/百億元9096100108（1）經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)年份序號(hào)與項(xiàng)目支出具有線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)求出項(xiàng)目支出y關(guān)于年份序號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年的項(xiàng)目支出；（2）天元基金是國(guó)家自然科學(xué)基金中的數(shù)學(xué)專項(xiàng)基金之一，為促進(jìn)甲、乙兩個(gè)地區(qū)天元基金申報(bào)者的交流，天元基金委員會(huì)舉辦了論壇活動(dòng).經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩個(gè)地區(qū)共有200人參加此次論壇活動(dòng)，具體數(shù)據(jù)如下表：男生女生合計(jì)/人甲6535100乙4555100合計(jì)/人11090200（i）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為申報(bào)者所在地區(qū)與性別有關(guān)聯(lián)？（ii）為了解此次論壇活動(dòng)的滿意度（滿意度評(píng)分滿分為10分），現(xiàn)采用按男、女樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從上述200人中抽取40人進(jìn)行訪談，其中男生樣本的滿意度平均數(shù)為9分，方差為7.19，女生樣本的滿意度平均數(shù)為7分，方差為6.79，由這些數(shù)據(jù)，請(qǐng)求出總樣本的滿意度的平均數(shù)和方差，并對(duì)全體參加此次論壇活動(dòng)的天元基金申報(bào)者的滿意度的平均數(shù)和方差作出估計(jì).附：，，，其中.0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），118.8百億元（2）（i）能；（ii）平均數(shù)為8.1，方差為8；全體參加論壇活動(dòng)天元基金者的滿意度的平均數(shù)為8.1，方差為8【解析】【分析】（1）利用所給的公式求回歸方程，并用之預(yù)測(cè)2025年的項(xiàng)目支出.（2）（i）計(jì)算，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想進(jìn)行判斷；（ii）根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù)與整體數(shù)據(jù)特征數(shù)的關(guān)系求值.【小問1詳解】（法一），，，所以，所以國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出y關(guān)于年份序號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.當(dāng)時(shí)，（百億元），預(yù)測(cè)2025年的國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出為118.8百億元.（法二），，，所以國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出y關(guān)于年份序號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.當(dāng)時(shí)，（百億元），預(yù)測(cè)2025年的國(guó)家自然科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目支出為118.8百億元.【小問2詳解】（i）零假設(shè)為申報(bào)天元基金者的所在地區(qū)與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到.依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為申報(bào)天元基金者的所在地區(qū)與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.（ⅱ）把男生樣本的滿意度平均數(shù)記為，方差記為；女生樣本的滿意度