第一章 全等三角形（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第一章全等三角形（知識(shí)歸納+題型突破）了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確的辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素。掌握并應(yīng)用“邊角邊”、“角角邊”、“角邊角”、“邊邊邊”、“HL”五種方法證明全等。【知識(shí)點(diǎn)1】全等圖形1、全等圖形：能完全重合的圖形叫做全等圖形．2、全等圖形的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形全等，它們的形狀和大小一定相同．【知識(shí)點(diǎn)2】圖形的全等變換1、全等變換：只改變圖形的位置，不改變其形狀、大小的圖形變換叫做全等變換．2、全等變換有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，變換后得到的新圖形與原圖形全等．例如：如圖所示，圖①經(jīng)過(guò)___平移___變換可以得到圖②，圖③是由圖形①經(jīng)過(guò)___旋轉(zhuǎn)___變換得到，圖④是由圖①___翻折___變換得到的．【知識(shí)點(diǎn)3】全等三角形全等三角形定義能夠___完全重合___的兩個(gè)三角形．表示用__≌__表示，左圖記作：___△ABC≌△DFE___讀法讀作：___△ABC全等于△DFE___對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)全等三角形___重合___的頂點(diǎn)，如左圖，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)__點(diǎn)D__，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)__點(diǎn)F__，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)__點(diǎn)E__．對(duì)應(yīng)邊全等三角形___重合___的邊，如左圖，AB對(duì)應(yīng)__DF__，BC對(duì)應(yīng)__FE__，AC對(duì)應(yīng)__DE__．對(duì)應(yīng)角全等三角形___重合___的角，如左圖，∠A對(duì)應(yīng)__∠D__，∠B對(duì)應(yīng)__∠F__，∠C對(duì)應(yīng)__∠E__．【知識(shí)點(diǎn)4】全等三角形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．你還能想到哪些呢？周長(zhǎng)和面積相等【知識(shí)點(diǎn)5】“SAS”判定方法兩邊及其___夾角___分別相等的兩個(gè)三角形全等．判定三角形全等的方法1：簡(jiǎn)寫(xiě)為_(kāi)__邊角邊___或___SAS___．書(shū)寫(xiě)格式（三步法）第一步：∵在△ABC和△DEF中第二步：第三步：∴△ABC≌___△DEF___（___SAS___）【知識(shí)點(diǎn)6】“ASA”判定方法兩角及其___夾邊___分別相等的兩個(gè)三角形全等．判定三角形全等的方法2：簡(jiǎn)寫(xiě)為_(kāi)__角邊角___或___ASA___．書(shū)寫(xiě)格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___ASA___）【知識(shí)點(diǎn)7】“AAS”判定方法___兩角___且其中一組等角的___對(duì)邊___相等的兩個(gè)三角形全等．（由___ASA___得到的推論）判定三角形全等的方法3：簡(jiǎn)寫(xiě)為_(kāi)__角角邊___或___AAS___．書(shū)寫(xiě)格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___AAS___）【知識(shí)點(diǎn)8】“SSS”判定方法___三邊___分別相等的兩個(gè)三角形全等．判定三角形全等的方法4：簡(jiǎn)寫(xiě)為_(kāi)__邊邊邊___或___SSS___．書(shū)寫(xiě)格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___SSS___）【知識(shí)點(diǎn)9】“HL”判定方法___斜邊___與一條___直角邊___分別相等的兩個(gè)三角形全等．判定三角形全等的方法5：簡(jiǎn)寫(xiě)為_(kāi)__斜邊直角邊___或___HL___．書(shū)寫(xiě)格式（三步法）∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（___HL___）【知識(shí)點(diǎn)10】證明的書(shū)寫(xiě)步驟①準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)需要用的條件要先證好；②三角形全等書(shū)寫(xiě)三步驟：A、寫(xiě)出在哪兩個(gè)三角形中；B、擺出三個(gè)條件用大括號(hào)括起來(lái)，并在后面標(biāo)注“已知”或“已證”；C、寫(xiě)出全等結(jié)論（字母一定要對(duì)應(yīng)）題型一全等圖形的識(shí)別【例1】1．下列各項(xiàng)中，兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【例2】對(duì)于兩個(gè)圖形，給出下列結(jié)論：①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等；②兩個(gè)圖形的面積相等；③兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積都相等；④兩個(gè)圖形的形狀相同，大小也相等．其中能獲得這兩個(gè)圖形全等的結(jié)論共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練：1．下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．

B．

、C． D．

2．對(duì)于“全等圖形”的描述，下列說(shuō)法正確的是（

）A．邊長(zhǎng)相等的圖形 B．面積相等的圖形C．周長(zhǎng)相等的圖形 D．能夠完全重合的圖形題型二全等三角形的概念【例3】下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩個(gè)直角三角形一定全等 B．形狀相同的兩個(gè)三角形全等C．全等三角形的面積一定相等 D．面積相等的兩個(gè)三角形全等【例4】下列說(shuō)法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形一定是全等三角形 B．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形C．面積相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形 D．邊長(zhǎng)為的等邊三角形都是全等三角形鞏固訓(xùn)練：3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等C．完全重合的兩個(gè)三角形全等 D．所有的等邊三角形全等4．下列說(shuō)法正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形 B．全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形C．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等 D．所有的等邊三角形是全等三角形題型三全等三角形的性質(zhì)【例5】如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則∠1的度數(shù)是（）A．76° B．62° C．42° D．76°、62°或42°都可以【例6】如圖，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，則∠E的度數(shù)是（C）A．50° B．44° C．34° D．30°【例7】（1）已知△ABC≌△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，則DF等于______．（2）已知△ABC與△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，則DF等于______．【例8】一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，5，7，另一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，，，若這兩個(gè)三角形全等，則的值是_____．鞏固訓(xùn)練：5．如圖，，其中，，，則的周長(zhǎng)為．6．如圖，，，則．

題型四“SAS”判定方法【例9】已知A、D、C、F在一條直線(xiàn)上，BC與DE交于點(diǎn)G，AD=CF，BC∥EF且BC=EF，求證：△ABC≌△DEF．【例10】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，且DF∥AB，BE=DF．求證：△BED≌△DFC．【例11】已知：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線(xiàn)上，AB=DE，∠B=∠E，BF=EC．求證：AC∥DF．【例12】如圖，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D在邊AB上，且AC=DB，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，并截取AB=DE，且點(diǎn)C、E在AB同側(cè)，連接BE．求證：BC=EB．鞏固訓(xùn)練：7．如圖，已知在和中，，，能直接判定的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．8．如圖，與相交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則與全等的理由是．

9．如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線(xiàn)上，，，．求證：題型五“ASA”判定方法【例13】已知：如圖，AB=AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°．求證：△ABC≌△EAD．【例14】如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BD=BE．【例15】如圖所示，∠E=∠F，∠1=∠2，AE=AF，求證：△ACN≌△ABM．鞏固訓(xùn)練：10、如圖，已知AE=CF，DF∥BE，AD∥BC，求證：△ADF≌△CBE．11．如圖，七1班同學(xué)要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，用合適的方法使，，因此測(cè)得的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)，在這里判定，最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵?/p>

）

A． B． C． D．12．如圖，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，，，試說(shuō)明：．題型六“AAS”判定方法【例16】如圖，∠A=∠B，AC=BD，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O，求證：△AEC≌△BED．【例17】如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求證：AB=BE．【例18】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：DE=AD+BE．題型七“SSS”判定方法【例19】如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD=CB，E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF，DE=BF．求證：（1）∠D=∠B；（2）OE=OF．【例20】如圖，已知點(diǎn)B，C，D，E在同一條直線(xiàn)上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求證：△ABD≌△FCE．【例21】人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線(xiàn)OP便是∠AOB的平分線(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．鞏固訓(xùn)練：13．如圖是雨傘在開(kāi)合過(guò)程中某時(shí)刻的截面圖，傘骨，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，，是連接彈簧和傘骨的支架，且，已知彈簧M在向上滑動(dòng)的過(guò)程中，總有，其判定依據(jù)是（

）

A． B． C． D．14．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為，，，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為，，，如果由“”可以判定兩個(gè)三角形全等，則的值為（）A． B． C． D．題型八“HL”判定方法【例22】如圖，點(diǎn)C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求證：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度數(shù)．【例23】如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．求證：（1）BC=AD；（2）OA=OB．【例24】如圖，AB=AC，AE=AF，AE⊥EC于E，AF⊥FB于F，求證：∠1=∠2．鞏固訓(xùn)練：15．下列條件，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 B．斜邊和一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等C．兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等 D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等16．如圖，，，要使得．若以“”為依據(jù)，需添加的條件是（）

A． B．C．D．17．如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過(guò)點(diǎn)A且垂直于的射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，要使和全等，則．題型九全等三角形判定與性質(zhì)綜合【例25】如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，∠A=∠C=90°，AB=CD，添加下列條件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB=BD B．∠E+∠D=90° C．AC=AE+CD D．∠EBD=60°【例26】如圖，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，還需添加一個(gè)條件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB這四個(gè)關(guān)系中可以選擇的是______．【例27】如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線(xiàn)上，AB∥DE，AC∥DF，下列條件中，能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．BE=CE B．∠A=∠D C．EC=CF D．BE=CF【例28】如圖所示，已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．且BF=CE．求證：∠B=∠C．【例29】如圖，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O，BO=CO．求證：AO平分∠BAC．鞏固訓(xùn)練：18．如圖