二次根式 過關檢測-2025年中考數(shù)學一輪復習

專題04二次根式過關檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一.選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。

1.下列根式中，最簡二次根式是（）

A.V25^B.7a2+b2C.D.Vo^5

【答案】B

【分析】本題考查了最簡二次根式的判斷，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵：最簡二次根

式應滿足兩個條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)

或因式.

按照最簡二次根式的定義逐項分析判斷即可.

【詳解】解：A.盡，被開方數(shù)25a含有能開得盡方的因數(shù)25,不是最簡二次根式，故選項A不符合

題意；

B.壽，被開方數(shù)的字母因式是整式，且被開方數(shù)不含能開得盡方的因式，是最簡二次根式，故

選項B符合題意；

C.被開方數(shù)的因數(shù)?不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故選項C不符合題意；

D.國，被開方數(shù)的因數(shù)0.5不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故選項D不符合題意；

故選：B.

2.下列計算正確的是（）

A.y/2+^3=A/5B.4v3V=1C.X=V6D.XV14=7

【答案】D

【分析】本題主要考查二次根式的加法，減法，乘法運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的運算法

貝人根據(jù)二次根式的運算法則逐一計算即可.

【詳解】解：A.五與百不是同類二次根式，不能合并，選項錯誤，不符合題意；

B.4百-3百=百，選項錯誤，不符合題意；

C.V2xV3=V6，選項錯誤，不符合題意；

D.j|xV14=7,選項正確，符合題意；

故選：D.

3.已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)"為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考查了利用二次根式的性質化簡，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

先變形得到厲=V22.3.n-根據(jù)題意幾必須是3的正奇數(shù)次方，所以滿足條件的最小正整數(shù)n為3.

【詳解】解：V12n=V4-3-n=V22-3而五是整數(shù)，

二最小正整數(shù)〃為3,

故選：B.

4.若2Va<3,則J層―4a+4-J(a-3>等于()

A.2a—5B.1—2aC.5—2aD.2a—1

【答案】A

【分析】本題考查了利用二次根式的性質進行化簡，由題意可得a-2>0,a-3<0,再利用二次根式

的性質化簡即可得解.

【詳解】解：：2<a<3,

??d-2>0,CL—3<0,

2—22-2-

■1?Va—4a+4V(a-3)=7(a-2)V(a-3)=d2-(3-a)=a-2—3+a=2a—5,

故選:A.

5.估計(2百+V2)X百的值應在()

A.7與8之間B.8與9之間C.9與10之間D.10與11之間

【答案】B

【分析】本題主要考查二次根式的運算及無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運算及無理數(shù)的估算是

解題的關鍵；由題意可得出(2百+傷X百=6+返，然后問題可求解.

【詳解】解：由題意得：(2百+五)X百=6+尼，

,?-2<V6<3,

■,-8<6+V6<9；

故選B.

6.等腰三角形的底角是30。，腰長為2打，它的周長為()

A.4百+6B.2V3+4C.4百+4D.2打+6

【答案】A

【分析】過頂點4作4E1BC于點E,由垂線的性質可得乙4EB="EC=90。，由三線合一可得

BE=CE=^BC,即BC=2BE,由含30度角的直角三角形的性質可得力E==百，由勾股定理可得

BE=dAB2-AE2=3,進而可得BC=2BE=6,根據(jù)△4BC的周長=48+BC+AC即可求出答案.

【詳解】解：如圖，過頂點2作4E1BC于點E,

AB=AC,AE1BC,

BE=CE=^BC,即：BC=2BE,

???乙B=30°,

??.AE=^AB=|x2V3=6,

??BE=yjAB2-AE2=J(2V3)2-(V3)2=3,

BC=2BE=2x3=6,

??.△2BC的周長=AB+BC+AC=2q+6+2百=4q+6,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了垂線的性質，三線合一，等式的性質2,含30度角的直角三角形，勾股定理,

二次根式的加減運算，合并同類二次根式等知識點，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質是解題的

關鍵.

7.如圖，將面積分別為20和12的正方形4BCD和正方形CEFG按如圖方式放置，延長力D,EF交于點H,則

圖中陰影部分的面積為()

A.24B.4V15-12C.16V15-48D.60

【答案】B

【分析】本題考查的是二次根式的應用，二次根式的乘法運算，先求解。。=廊=2近，CG=V12=2

百，可得DG=2芯-2百，再利用面積公式計算即可.

【詳解】解：???正方形ABC。和正方形CEFG的面積分別為20和12；

.-.CD=V20-2V5-CG=GF-V12=2V3>

-,-DG=2V5—2V3,

???陰影部分的面積為：2V3X（2V5-2V3）=4V15-12.

故選：B

8.如圖，在△ABC中，BC=V3+1，NB=45。，zC=30°,則△ABC的面積為（）

B

A.包B,2^+lC.dD.V3+1

222

【答案】A

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，含30。角直角三角形的性質，勾股定理等知識.過點/作

AD1BC,垂足為。.在RtzXABD中和中，分別用力。表示出BD、CD,根據(jù)BC的長求出4D,

再求三角形的面積.

【詳解】解：如圖，過點/作4D18C,垂足為D

在RtUBD中，ZB=45°,

；/BAD=45°

.-.BD=AD.

在RtUCD中，ZC=30°,

.■.AC=2AD,

■■CD=>JAC2-AD2=^(2AD)2-AD2=曲AD,

:BD+CD=BC,

-t-AD+y/~^AD=+1,

即AD=1,

"△ABC=5BC,AD=/(V3+1)x1=

故選：A.

9.已知一列數(shù)據(jù)為。，瓜2,V6.2vLV10-2百，…，若第10個數(shù)據(jù)用字母。表示，則下列各數(shù)中,

與(3+a)的積為有理數(shù)的是()

A.2V^—1B.2y[^)+2C.1D.V^—1

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，二次根式的性質等知識點.由題干中數(shù)據(jù)總結規(guī)律求得a=3

瓜再根據(jù)有理化因式計算即可.

【詳解】解：第1個數(shù)據(jù)為0=71又5

第2個數(shù)據(jù)為五=72X1，

第3個數(shù)據(jù)為2=方=x2,

第4個數(shù)據(jù)為尼=-2X3,

則第10個數(shù)據(jù)為a=V2x9=3VL

■??(3+a)為(3+3&)=3(1+際，

???與(3+a)的積為有理數(shù)的是加T，

敢選：D.

10-已知Ti=J+\=JI=|'&=[1+/+/=根=3？3=J1+/+*]圖

Tn=+其中"為正整數(shù).設Sn=7\+T2+T3+…+7>則52024值是()

2024202411

A.2024—B.2025—C.202號萬D.2025—

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡以及實數(shù)數(shù)字類的規(guī)律探索；探索規(guī)律，準確計算是解題關

鍵.根據(jù)數(shù)字間的規(guī)律探索列式計算即可獲得答案.

【詳解】解：由題意，可得

r=Jl+3+[=]=l+(1一

i+/+*=K=i+GT

Tn=i+F+^=i+C，

,.$2024=71+72+73+…+72024

1111111

I2)(23；(34J(20242025J

1111111

=1x2024+(1--+---+---+-+^-^)

1

=2024+(1-荻)

=2。2喘

故選：A.

二、填空題(本題共6題，每小題2分，共12分)

11.化簡：，(-3)2=.

【答案】3

【分析】本題考查二次根式化簡.根據(jù)題意直接計算即可得到本題答案.

【詳解】解：???布可=再=3,

故答案為：3.

12.代數(shù)式百二五有意義，則x的取值范圍為.

【答案】x<l

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握被開方數(shù)非負是解題的關鍵.根據(jù)被開方數(shù)是

非負數(shù)，可得答案.

【詳解】解：依題意，3—2x20,

解得％w|.

故答案為：x<|.

13.若久，y滿足+1|+12-丫=。，則無"=.

【答案】1

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，非負數(shù)的性質：掌握幾個非負數(shù)的和為0,則這幾個非負數(shù)分別等于

0,并正確得出未知數(shù)的值是解題的關鍵.根據(jù)非負數(shù)的性質列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代

數(shù)式計算即可.

【詳解】解：:\x+11+V2—y—0>

.--x+1=0,2—y=0,

x=-1,y=2,

xy-(—I)2-1,

故答案為：L

14.已知直角三角形的周長為5+g,斜邊長為后，則這個直角三角形的面積為.

【答案】3

【分析】本題考查了勾股定理，完全平方公式，熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的

關鍵.

設兩直角邊分別為。，6,根據(jù)三角形周長得到a+b=5,根據(jù)斜邊長為后可得。2+反=13,從而可

得面積.

【詳解】解：設直角三角形的兩直角邊為a、b,

22

則a+b+V13=5+V13fa+b=(V13)=13,

.?-a+b=5,(a+fo)2—2ad=13,

解得:ab=6,

所以這個直角三角形的面積為y匕=3.

故答案為：3.

11

15.已知X=不后、=有取則久2+盯+;/的值為.

【答案】15

【分析】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式等知識點，掌握分母有理化成為解題的關鍵.

先分母有理化可得久=2-打、y=2+V3,則x+y=4、xy=1,再運用完全平方公式可得/+%y+y2

=(x+y)2—孫，然后整體代入即可解答?

【詳解】解：「久=熹=而懸鬲=2—b'y=點=(2+,；場=2+百,

...x+y=2-V3+2+V3=4,久y=（2—百）（2+V3）=4-3=1,

■■■x2+xy+y2=(x+y)2-xy=42-l=15.

故答案為：15.

16.若y=71—x+Jx—J的最大值為a,最小值為6,則的值為.

【答案】|

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，根據(jù)二次根式有意義的條件和二次根式的非負性，根

據(jù)二次根式有意義的條件和二次根式的非負性即可求出x的取值范圍和y的取值范圍，然后將等式兩邊

平方得到/="21—Q—J+》利用偶次方的非負數(shù)和二次根式的非負數(shù)求出2J—Q—J+2的

最大值和最小值，從而求出y2的最大值和最小值，即為a2、廬，代入即可.

【詳解】解：■■-y=V1-%+

fl-x>0

0,i>0

1

解得：EWxWl，

將等式兩邊平方，得多="1—久）+2?i—久）（j—+（jx—j,

-'-y2=1-x+2〔（1—%）Q—+x—1,

?■-y2=1+2J%-%2-1+|x

'-y2=l+2J-x2+lx-^

--y2=I+2J—（D+/

???（久-吳0,

???-(久-|)《

?一(光—3)

'-y2=I+2J—(D+<蕓+2x；=1,

-,-a2=1,

當久=9時，=Vo=°>

又,?[_(*_3+.20,

?,?d+b2=l+|=|

故答案為：

三、解答題(本題共7題，共58分)。

17.(8分)計算：

(l)V8-V27-3xJ1；

(2)(V12-VT5)(V12+V15)-V3+|V3-V5|-

【答案】(1)2五-4百

(2)-273+V5

【分析】本題考查二次根式的混合運算，正確計算是解題的關鍵:

(1)根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可；

(2)根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可.

【詳解】(1)解：V8-V27-3x

=2V2-3V3-3X—

=2V2-3V3-V3

=2V2-4V3

(2)解：(位―任)(711+任)+打+|百一返|

=(12-15)4-V3+V5-V3

=—Vs+V5—V3

=-2V3+Vs

、11

18.(8分)已知a=廠廠,

V3+V2b-V-3-=Vp2.

⑴求a+b的值；

(2)求a2-3ab+戶的值.

【答案】(1)2百

(2)7

【分析】本題考查了二次根式的化簡求值和分母有理化.

(1)先根據(jù)分母有理化求出。=百一五，6=百+逐，即可求出a+b=2百;

(2)由a+b=2百，ab=l,將原式整理成(a+b)?—5a6,再整體代入計算即可得解.

【詳解】⑴解：a=加亮葛1r打一傷

百+被

=V3+V2>

(V3+V2)(V3-V2)

.?.a+b=V3--\/2+V3+V2=2V3；

(2)解：???ab=(百_際(百+VI)=1,

??.a2-3ah+b2

=(a+b)2—5a6

=(2>/3)2-5X1

=12-5

=7.

19.(8分)如圖是學校的一塊正方形綠地，其邊長為(同+2)m,現(xiàn)要在正方形綠地內修建四個大小、形

狀相同的矩形花壇，每個花壇的長為(尼+Dm,寬為(遙-l)m,并將花壇以外的地方全部修建成通道,

且通道上要鋪上造價為每平方米8元的地磚.若要鋪完整個通道，則購買地磚大約需要多少元？(參

考數(shù)據(jù)：6=1.41)

【答案】497.6元

【分析】本題主要考查二次根式的混合運算的實際應用，根據(jù)題意求出通道的面積是解題的關鍵.先

用正方形面積減去4個矩形的面積，計算出通道的面積，再根據(jù)"通道上要鋪上造價為8元/平方米的地

磚”即可求出購買地磚需要的花費.

【詳解】解：通道的面積為(同+2)-4(76+1)(76-1)

=50+4V50+4-4x(6-1)

=50+20a+4—4x5

=34+20立

?34+20x1.41

=62.2(平方米)，

二購買地磚需要花費62.2x8=497.6元.

20.(8分)通過學習算術平方根，我們知道所有的非負數(shù)都可以看作一個正數(shù)的平方，如：0=()2,2=

(V2),3=(V3),4=22,5=(75),那么我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的

題：

例：求3+26的算術平方根.

22

解：V3+2V2=2+2V2+1=(V2)+2V2+I2=(V2+1),

■-3+2五的算術平方根是叁+1.

請根據(jù)上面的方法化簡下列式子：

(1)V7-4V3;

(2)J6,7-示.

【答案】⑴2-百

(2)3-73

【分析】本題考查了二次根式的混合運算以及完全平方公式，讀懂題意，將整數(shù)分成兩個合適的整數(shù)

相加是解題的關鍵.

(1)將7分成4+3,利用完全平方公式即可求出結論；

(2)由(1)可得［6,7-4百=J6(2-場,整理得J12-6百,再將12分成9+3,利用完全平方公

式即可求出結論.

【詳解】(1)解：V7-4V3

=J4-4V3+3

=J22-4V3+(V3)2

=J(2-V3)2

=|2-V3|

=2-V3；

(2)解：J677-4V3

=J32-6A/3+(V3)2

=|3-V3|

=3-V3.

21.(8分)【閱讀材料】在二次根式的計算中，$□：(V3+V2)(V3-V2)=1,(3+V3)(3-V3)=6,它們的

積不含根號，我們稱這樣的兩個二次根式互為有理化因式.于是我們可以利用這樣的兩個二次根式，進行

分母有理化(通過分子、分母同乘一個式子，把分母中的根號轉化為有理數(shù)的過程)，例如：三=亭"=

V3V3xV3

V3

~T，

]VS—!—!—

V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)-32.

【解決問題】

1

⑴化簡一的結果為________;

2—V3

11

⑵已知.=存市8=后第后求商一帥的值;

⑶計算啟+五+a+京+…+后+21.

【答案】(1)2+73

(2)4V3

(3)2V6—1

【分析】本題考查的是二次根式的混合運算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法則、減法法則是解題的

關鍵.

(1)利用分母有理化、平方差公式計算；

(2)利用分母有理化化簡a,b,利用提公因式法把原式變形，代入算即可；

(3)根據(jù)(1)的結論計算即可.

11><(2+百)

【詳解】(1)解:2-V3-(2-73)(2+V3)=2+V3,

故答案為：2+V3；

/、1V13+2V^1—/—

a-V13-2V3-(V13-2V3)(V13+2V3)-*+3，

'-V13+2V3-(V13+2V3)(V13-2V3)--2V3，

.??^b-ab2=ab(a-b)=(V13+2V3)(V13-2V3)(V13+2V3-V13+2圾=4百；

1111

⑶啟+4+百+江+…+后+2正

=V2-1+V3-V2+2-V3+…+2V6-V23

—2V6-1.

22.(8分)認識概念:

、兩個含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化

因式；

如：V3xV3=3；(V2+1)x(V2-1)=2-1=1,我們稱打的一個有理化因式為百，五+1的一個有

理化因式是血-1;

二、如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含

根號，這種變形叫做分母有理化.

上1x(2.旬0

如,2+西(2+V3).(2-V3)"S'

理解應用：

(1)填空：標-2的有理化因式是；將靠分母有理化得；

33S

(2)化簡：Vt——10+V/7-+~V7F+-2~V10

拓展應用：

(3)利用以上解題方法比較3-2五與5-2遍的大小，并說明理由.

【答案】(1)V5+2,當；⑵|V10-2；(3)3-2加＞5-2心理由見解析

【分析】本題主要考查二次根式的性質，二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題

的關鍵.

(1)根據(jù)材料提示的分母有理化方法，二次根式的性質，二次根式的乘法運算法則即可求解；

(2)根據(jù)二次根式的混合運算法則，二次根式的性質化簡即可求解；

(3)根據(jù)題意可得3-2五=9石，5-2點:白片，再根據(jù)實數(shù)比較大小的方法即可求解.

3+2v25+2Y6

_2

［詳解］解：(1)??,(代—2)X(而+2)=(代)-22=5-4=1,

.??代-2的有理化因式是赤+2,

2xV2_V2

,3V2xV23'

???將金分母有理化得序

故答案為：V5+2,學；

335

(2)——

V10+V7V7+2V10

3(V10-V7)3(V7-2)5-V10

=---------------------1---------------------------

(V10+V7)(V10-V7)(V7+2)(V7-2)V10-V10

3(V10-V7)3(V7-2)5-V10

=-----------1------------------

3310

1

=(V10-V7)+(V7-2)--V10

1

=V10-V7+V7-2--V10

=|V10-2：

(3)3-2V2>5-2V6，理由如下：

由題意得：3-2五后5-2尼=袤，

1.'3+2V^<5+2V6>

.1.3—>5—2^6?

23.(10分)我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離

分家萬事休數(shù)學中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件

下，數(shù)和形之間可以相互轉化，相互滲透.某校數(shù)學興趣小組，在學習完勾股定理和實數(shù)后，進行了

如下的問題探索與分析.

【提出問題】已知0<久<1,求J1+d+Jl+(1一久)2的最小值.

【分析問題】由勾股定理，可以通過構造直角三角形的方法，來分別表示長度為11+久2和51+(1一幻2

的線段，將代數(shù)求和轉化為線段求和問題.

(1)如圖，我們可以構造邊長為1的正方形ABC。，尸為BC邊上的動點.設BP=x,貝|PC=lr.則

>/1+久2+，1+(1—尤)2的最小值等于.

(2)運用以上數(shù)形結合的方法，求J9+好++(6-久產的最小值;

(3)運用以上數(shù)形結合的方法，求42+9-J久2一12久+37的最大值.

【答案】(1)V5；(2)2V13：(3)2V10

【分析】本題考查勾股定理，正方形，矩形的性質綜合問題，解題的關鍵是對數(shù)形結合的靈活運用.

(1)構造邊長為1的正方形4BCD,尸為BC邊上的動點，設BP=x,則PC=l—x,AP=y/AB2+BP2=

71+x2-DP=7CD2+CP2=V1+(l-x)2-71+x2+V1+(1-x)2=AP+DP,延長AB至點4,使

A,B=AB=\,當點P在4。與BC的交點處時，4P+DP的長最短，從而2P+DP的長最短，最小值為

線段AD的長，A,D=<AA,2+4￡)2=7z2+l2=V5>即可求得71+x2+Jl+(l-x)2的最小值;

(2)構造兩個邊長為3的正方形2BFE和CMEF,P為BC邊上的動點，CD=1,設BP=久，則

CP=6-x,DP=7CD2+CP2+Vl+(6-%)2-,9+*2+Ji+(6—)2=/P+DP,點夕在4。與BC

的交點處時，4P+DP的長最短，從而4P+DP的長最短，最小值為線段AD的長，過點。作DGIIBC

交4B于點G,A'D=y/DG2+A,G2=762+42=2V13，進而求出我+/++(6-無尸的最小值;

(3)Jx2+9—7K2一\2久+37-Vx2+9—71+(x—6)2>設48=x,點、E在AB匕，

==90。,8c=3,DE=1,BE=6,過點。作DF1BC于點R由勾股定理可知：AC=

7XS2+BC2=7X2+32-AD=^AE2+DE2=V1+(x-6)2,VX2+9-VX2-12X+37=^4C-XD,證

明四邊形BEDF是矩形,

CD=VDF2+CF2=V62+22=2V10.分情況討論，若點。不在線段力C上則力C—AD<CD,若點。在

線段4c上，則AC-力D=CD,進而求得，/+9—7久2一12。+37的最大值.

【詳解】(1)已知圖中，構造邊長為1的正方形4BCD,尸為BC邊上的動點，

設BP=K,貝IJPC=1—久，

在RtWBP中，

AP=JAB2+BP2=+/,

在Rt^CDP中，

DP=VCD2