函數(shù)中的同構(gòu)問題-2024高考數(shù)學壓軸大題（解析版）

函數(shù)中的同構(gòu)問題

I考情分析

近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將

不同的式子通過變形,轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子,通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方

法,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問題中，或利

用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此方法求解某些導數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.

解題秘籍

(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘

同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式，導數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問題大多屬于指對跨階問題，比

如e°+,與2+Inc屬于“跨階函數(shù)"，而e'+ln,屬于“跳階函數(shù)”，對于指對跳階的函數(shù)問題，直接求解,

一般是通過隱零點代換來簡化，并且有很大局限性，有些題若采用指對跨階函數(shù)進行同構(gòu)，可將跳階函

數(shù)問題轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問題，從而使計算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類：/(，)=跣',/(e)=

xlnx,f{x}=%+=x-\-Inx,=ex—x+a,/(a;)=In力一力+Q等，在一些求參數(shù)的取值范圍、

零點個數(shù)、不等式證明、雙變量問題中，利用復合函數(shù)單調(diào)性,復合函數(shù)零點個數(shù)等問題中常通過構(gòu)造同

構(gòu)函數(shù)求解.利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見的湊形技巧，如；2=2=lne',,e'=/.=更=

題1(2024居陜西南西安市部分學校高三上學期考試)已知函數(shù)/⑺=Inx-姐-；

(1)當a=2,求/(宏)的極值;

(2)若/Q)e-如恒成立，求a的取值范圍.

【解析】⑴當a=2時f(x)=\nx—2x—―,xE(0,+oo),

x

—2/+/+1_一（力一1）（2力+1）

則f'3）=-----2+—

所以在(0,1)上/3)>0,/3)單調(diào)遞增，在(l,+oo)±f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當力=1時/(力)取得極大值，/⑴=0—2—1=—3,故/(力)的極大值為一3,無極小值.

⑵由/(①)<—e-g，可得Inc—arc—工<-e-Iia:，則Inc—工《arc—，即Inc—里&Ine。，---.

xxxearr

令g(x)=Inx—1■,則g(力)《9(6與，

因為g(c)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以,《eH則乎

令九(為=皿，則〃(,)=上"，

XX21

在(0,e)上〃(力)>0,h(x)單調(diào)遞增，在(e,+8)上//(力)<0,無⑺單調(diào)遞減，即h(x)max=h(e)=十,

?1?

所以Q＞工，則Q的取值范圍為f—,+00

eLe

直12（2024屆宣慶市南開中學商三上學期第一次質(zhì)式檢測）已知函數(shù)/Q）=T2+lnrr+a/在/=1處的切線

I和直線x-\-y=Q垂直.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）若對任意的Xl,x2E（0,2］,的力g,都有＞機成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），

求實數(shù)小的取值范圍.

【解析】（1）由函數(shù)/（力）=/+］11力+0/，可得/3）=2/+9+0,可得/'（1）=a+3

因為函數(shù)在力=1處的切線I和直線x-\-y=0垂直,所以/'（1）=1,

即a+3=1,解得a=—2.

（2）解:不妨設(shè)0VgV◎W2,則2V0,

因為對任意的X1,X2E（0,2］,①聲電，都有用」二嬖匚王遐＞m成立，

eJe2

可得/Qi）—/（62）—曷+冠Vm（ea：l—e^2）,即/（g）—就一m/V/（力2）—xl—meX2,

設(shè)g（rc）=/（2）—zne。,則gQJVg（力2）,故g（①）在（0,2］單調(diào)遞增，

從而有。'㈤=?-2—溫＞0,即m&ef（十一2）在（0,2］上恒成立，

設(shè)h（x）—"（!—2）,則m,&無（/）min，

因為〃㈤=—e-（工一2）+—?（一』=。一1?2/—：T（0V力42）,

'力'vx27x2

令h!（x）＞0,即2X2—X—1=（2x+1）（n—1）＞0,解得1V力＜2,

令h!（x）V0,即2x^—x—1=（2x+l）（rr-1）＜0,解得0＜/＜1,

所以陽＞）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,2］單調(diào)遞增，

又因為/z（l）—-,故h（x）在（0,2］上最小值九（力）min=，所以館4-,

eee

實數(shù)?72的取值范圍是（一8,―

（二）跣/型同構(gòu)

吼&（2023屆吉林瘠長春外國語學校南三上學期才試）已知函數(shù)/（力）=1—Q/（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

⑴當a=1時，求/（%）的極值點；

（2）討論函數(shù)/（力）的單調(diào)性；

（3）若g（力）=ex（x—l）—alnx+/（a?）有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】（1）當a=l時,/（力）=ex—x,則/'（力）=ex—l.

當力e（—co,0）時，/㈤〈0,此時函數(shù)/（%）遞減，當/e（o,+oo）時，/'（力）＞0,此時函數(shù)/（力）遞增，

所以/（力）極小值點為x=0,無極大值點.

?2?

⑵求導/(劣)=ex—a

①當a<0時，/'0)>0,/(力)在R上遞增

②當a>0時，

當力G(—00,Ina)時，/'(力)<0,f(x)在(―oo,lna)上遞減,

當力e(Ina,+00)時，/'(力)>0,此時函數(shù)/(力)在(lna,+oo)上遞增.

⑶等價于g(x)=xex—a(lnx+力)=xex—aln(xex)(x>0)有兩個零點，

x

令力=xef(T>0),則￡=(N+1)1>0在力>0時恒成立，所以力=力/在力>0時單調(diào)遞增，故力>0,

所以g⑸=xex—aln(xex)有兩個零點，等價于h(t)—t—alnt有兩個零點.

因為〃⑴=1-半=/生，

①當a40時，〃⑶>0,拉⑴在力>0上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，不符合題意舍去，

②當a>0時，令”⑴>0,得力>a,h(t)單調(diào)遞增，令h!(t)V0,得0VtVQ,h(t)單調(diào)遞減,

所以九⑴min=h(a)—a—alna.

若拉(a)>0,得0VaVe,此時h(t)>0恒成立，沒有零點;

若無(Q)=0,得。=6,此時h(t)有一個零點.

若h(a)VO,得a>e,因為九⑴=1>0,h⑹=e—aV0,/z(e100a)=e100a—100a2>0,

所以九⑴在(l,e),(e,/。。)上各存在一個零點，符合題意，

綜上，a的取值范圍為(e,+8).

(三)(/+a)Ina:型同構(gòu)

皿￡(2023屆福篁唐寧健市博雅培文學校高三高考前最后一卷)已知函數(shù)/(工)=等(機eR).

(1)討論函數(shù)/(①)的零點的個數(shù)；

(2)當m=0時，若對任意，>0,恒有弋+1)^^)(^+1),求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)令/(,)=3蟲+m=0,則期色=—m,

XX

記。(工)=等，則g'(/)=號匕

當力>e時，g(x)V0,此時g(力)在(e,+oo)單調(diào)遞減,

當0V力Ve時，g'(x)>0,此時g{x)在(0,e)單調(diào)遞增，

故當/=e時，g(/)取極大值也是最大值g(e)=2，

又g(l)=0,而當1<%時，g(力)>0,故當0V力VI時，g(x)V0,當1V6時，g{x}>0，作出g(rc)的圖

象如下：

?3?

因此當一山〉T"時，即mV—―,g(力)=—恒無交點，此時/(/)無零點，

當—m=1或一mW0時，即7n=—―或0,g(力)=-m有一^個交點，此時f(x)有一^個零點，

當0V—MV」時，即一|-<m<0,g(x)=-m有兩個交點，此時/(力)有2個零點，

綜上可知：當m,V—^時，/(劣)無零點，

e

當m=—―或m^0f(x)有一^零點，

e

當一?|■V7nV0,/O)有2個零點，

(2)當加=0時，若對任意c>0,恒有°(工+1)9/(為(/+1)等價于：

對任意X>0,恒有Q力(6。宓+1)>InR2(/2+1),

令FQ)=0+l)lna;,則不等式等價于F(eax)>F(/),

由于Fr(x)=Ina;+“+1,

x

令仇⑸=Inx+二+1,加(力)=-----1=力丁1,

xxxx

當0V力Vl.rn(x)<0,m(x)單調(diào)遞減，當力>1,加(力)>0,771(力)單調(diào)遞增，所以F\x)—m(x)>nz(l)

=2>0,故尸(%)在(0,+oo)單調(diào)遞增，

由F(eax)>F(T2)得eax>/對任意力>。恒成立，

兩邊取對數(shù)得ax>21nx=>3對任意/>0恒成立,

2x

故_|L>g(c)max，所以

故a的范圍為a>2

e

(四)e，+ac+6型同構(gòu)

阿15(2024屆福童盾漳州市高三上學期第一次收學質(zhì)式檢測)已知函數(shù)/(工)=aex+x+1.

(1)討論/(。)的單調(diào)性；

(2)當,>1時，于⑸>In2二1+，,求實數(shù)a的取值范圍.

a

【解析】(1)依題意，得/(力)=aex+l.

當a>0時，/(N)>0,所以/(力)在(一8,+co)單調(diào)遞增.

?4?

當aVO時，令/'(/)>0,可得力<—111(—O);

令/'(/)V0,可得力>—ln(—a),

所以/(力)在(一8,—ln(—a))單調(diào)遞增，在(一ln(—a),+8)單調(diào)遞減.

綜上所述，當a>0時，/(力)在(一8,+8)單調(diào)遞增；當aV0時，/(劣)在(―co,—ln(-a))單調(diào)遞增，在(

—ln(—a),+co)單調(diào)遞減.

(2)因為當力>1時，/(力)>In——-+力，所以0/+?+1>In———-+x,

aa

即e^^+rc+1>InQ—1)—Ina+x,

即ex+lna+lna+為>ln(￡c—1)+力一1,

ln(-1)

即1+1球+力+Ina>e"+ln(x-1).

令九(/)=e'+力,則有h(x+Ina)>h(ln(x—1))對V力e(1,+co)恒成立.

因為h!⑸=ex-\-l>0,所以九(力)在(—00,+oo)單調(diào)遞增，

故只需力+Ina>ln(T—1),

即Ina>In(/—1)一力對VIG(1,+8)恒成立.

令F(力)=ln(x—1)一力,則F\x)=—―1=——f■，令F'(力)=0,得力=2.

x—1x—1

當ce(1,2)時，F(xiàn)\x)>0,當cC(2,+00)時，F(xiàn)'{x)<0,

所以FQ)在(1,2)單調(diào)遞增，在(2,+oo)單調(diào)遞減，

所以9Q)WF⑵=-2.

因此Ina>—2，所以a>

e

(五)ln/+QN+b型同構(gòu)

題6已知f(x)=e'+一?，g(x)=。+*j足生)aE^

(1)當/E(l,+oo)時,求函數(shù)g(c)的極值；

(2)當a=0時,求證：f(x)>g(x).

【解析】(1)/(必)=(1-a)Tn「,當&時，或為<o,即g⑸在(i,+oo)上單調(diào)遞減，

X

故函數(shù)g(rc)不存在極值；

當aV1時，令g'(力)=0,得力=e1-a,

X(1"e1-a(ei,+s)

g'O)+0—

g(2)增函數(shù)極大值減函數(shù)

故g(c)極大值=g(e-")=巴匕^—￥—―=1+:=e"T+l,無極小值.

ee

綜上，當Q>1時，函數(shù)g(力)不存在極值；

?5?

當a<l時，函數(shù)g(z)有極大值，g⑺極大值=6?！?1,不存在極小值.

(2)顯然2>0,要證：f⑸^g(x),

即證：e—>立+2+In，，即證：//+>lnx+x+2,

X

即證：eln'+a:+1>(In/+力+1)+1.

令力=ln%+/+1,故只須證：e%>力+1.

設(shè)h(x)—ex—x—1,則h'(x)=ex—l,

當力>0時，”(力)>0,當力V0時，//(x)<0,

故以力)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—oo,0)上單調(diào)遞減，

即九(6)min=無(0)=0,所以//(力)>0,從而有eX^X+1.

故e”>1+1,即fQ)>g(宓).

典例展示

22

吼工(2024屆江蘇盾徐州市邳州市新世紀學校高三上學期月才)已知函數(shù)/(2)^(x+l)lnx-x-ax.

(1)若Q=l,求/(力)的最小值；

(2)若方程/(力)=。溺2加—小有解,求實數(shù)Q的取值范圍.

【解析】(1)當a=1時,/(%)=(x2+l)lna;—x2—x,

f(x)=2xlnx—x+——1,

設(shè)gQ)=f⑸，則9(%)=1+21n力-,

x

g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g'(l)=0,

所以力e(0,1)時，g[x)<0,f\x)單調(diào)遞減,

xE(l,+oo)時，或力)>0,/(力)單調(diào)遞增，

所以/(N)min=/'(1)=-1；

(2)/(力)=axe^^—x2即2(x2+l)lna;=20N(皆”+1),

即(rc2+l)W=(e2ax+l)lne2a\

設(shè)h{x}=(6+l)ln2(力>0)，則九(劣之)=ft,(e2ax),

K{x)=Inx+1+工，設(shè)7n(6)=Ina?+1+—(a?>0),貝4m(x)=x,

xxx

所以1G(0,1)時，m'3)<0,m(x)單調(diào)遞減，

xE(l,+oo)時，m'⑺>0,m(x)單調(diào)遞增，

所以m(x)^m(l)=2>0,即K{x)>0,h{x}在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以方程/(力)二0既2如一62有解即/=已2如在(o,+oo)上有解，

2QN=21IIT有解，即Q=上些有解，

X

,6,

設(shè)？1(力)=比匹■Q>0),則n'Q)=-一空'，

xxz

xE(0,e)時，n(x)>0,n(x)單調(diào)遞增，

xE(e,+oo)時，n(x)<0,n{x}單調(diào)遞減，所以n⑸<n(e)=十,

當力—0時，n(T)t—oo,

所以°&工，即實數(shù)Q的取值范圍是(一00,工].

e\6」

初2(2024居安徽看六校載方研究會高三上學期素質(zhì)測試)已知函數(shù)/⑺=溫—雄是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(力)的單調(diào)性；

(2)若g(力)=aex(x—1)—Ina;+f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】⑴因為/(re)=ae”—/，所以/'(力)=aex—l,

當a&O時，13)V0,所以/(力)在R上單調(diào)遞減；

當a>0時，令/'(/)>0得力>—Ina;令/(優(yōu))<0得/<—1110,

所以/(1)在(—00,—Ina)上單調(diào)遞減，在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當a&0時，/(力)在R上單調(diào)遞減,無增區(qū)間；當Q>0時，/(力)在(-00,-Ina)上單調(diào)遞減,在

(―lna,H-oo)上單調(diào)遞增.

(2)由題意g(力)=aex(x—1)—Inrc+/(x)=axex—lnx—x=axex—ln(xex)(x>0)有兩個零點，

令力=跣、(N>0),則￡=(l+a;)e*>0在(0,+8)上恒成立，所以力=/8"在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故力>0,所以g⑸=axex—ln(xex)有兩個零點等價于T(t)=at—Int有兩個零點，

等價于a=有兩個不同的實數(shù)解，等價于g=a與h(t)—有兩個交點，

則h'(t)=——,ti(t)>0得0V力Ve,h\t)V0得力>e,

t

所以h(t)=在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，又九(e)=九⑴=0,

當力趨向于0且為正時，九⑴趨向于負無窮大，當力趨向于正無窮大時，無⑴趨向于0,如圖：

由圖可知，要使y=a與h(t)—有兩個交點,K'J0<a<—,

te

所以實數(shù)Q的取值范圍為OVQ〈L.

吼3(2024居宣慶市渝北中學高三上學期月考)已知函數(shù)/(劣)=J/+aln(⑦—1),g(力)=/(%)+[—=/

4e4

?7?

+力.

⑴當Q=-l時，求函數(shù)/（力）的極值；

（2）若任意的、電€（l,+oo）且0力g，都有93-2）＞1成立,求實數(shù)a的取值范圍.

力1一力2

【解析】（1）當a=—l時，/（力）=|宓2—］口（2—1）,其中xe（l,+oo）,

則/'（力）=-^-x---^―-=XX~~|■，令/'（/）=0,解得/=—1或力=2,

2x-12（^-1）

又因為力＞1,所以力=2,

列表如下：

X（1.2）2(2,+co)

f'3)—0+

f3單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

因此/（力）有極小值/（2）=1,無極大值.

（2）解：因為g（c）=/（re）+士一^x2+x，/（2）=；/+aln（，-1）,

e44

所以g（x）—a\n（x—1）+—十力，其中xG（l,+oo）,

e工

對VT1＞（l,d-GO）且力1W/2,不妨設(shè)了1＞電，則力1—力2＞0,

得到g（?）—g（＞2）＞/1一力2,化為gQi）—g＞g（g）—的，

設(shè)無（力）=gQ）—力且函數(shù)八（劣）的定義域為（1,+8）,

所以九（力）=aln（x—1）+工在（1,+8）為增函數(shù)，

ex

即有〃（力）——上＞0對力＞1恒成立，即0＞之二!對任意的力＞1恒成立,

x-1exex

設(shè)0（劣）="二1，其中xE（L+°o）,貝"0,（力）=2丁,

ee

令0’（力）＞0,解得1VrcV2,令夕'（%）＜0,解得x＞2,

所以0（劣）在（1,2）上單調(diào)遞增，在（2,+8）上單調(diào)遞減，

所以0（力）最大值0⑵=±,因此實數(shù)Q的取值范圍是Q＞」7.

4已知于⑸=x2ex—a(x+21nx)

⑴當a=e時，求/(宏)的單調(diào)性；

(2)討論/Q)的零點個數(shù).

【解析】⑴解：因為a=e,x>0,于(x)=x2ex—e(x+21nx)

x

所以/'(力)=(/+2/)e—e(l+?)=力(/+2)e*--°(力+2)一二(^x_p2)(^xe—^^,/(l)=0

令g(力)=xex—-—,g(x)=(力+1)6/+得>0,所以g(力)在(0,+oo)單增，且g⑴=0,

xx2

?8?

當％e(0,1)時g(x)=xex——V0,當力e(l,+oo)時g(x)=xex—~—>0,

XX

所以當(0,1)時/O)vo,當/e(i,+oo)時/'0)>o,

所以/O)在(o,i)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增

(2)解：因為/(rr)=eW?ex-a(x+21nM=ex+21nx-a(x+21n⑼=0

令力=c+21nx,易知力=力+21n6在(0,+GO)上單調(diào)遞增，且力ER,

故/(力)的零點轉(zhuǎn)化為f(x)=ex+2inx—a(x+21nx)=^—at=0即e"=at,t￡R,

設(shè)g(力)=e”一Q力，則g{t)—e*一a,

當a=0時，g(t)=e"無零點；

當aVO時，g(t)=e"—Q>0,故g("為_R上的增函數(shù)，

而5(0)=1>0,)=e"-l<0,故g(t)在R上有且只有一個零點;

當a>0時，若力€(—co,Ina)，則g'⑴<0;/；E(lna,+oo)，則。'⑴>0;

故g(0min=g(lna)=Q(1—Ina),

若Q=6,則g?)min=0,故g⑴在R上有且只有一個零點；

若OVaVe,則。⑴min>。,故g⑴在五上無零點;

若a>e,則g(力)min<0,此時Ina>1,

而g(。)=1>0,g(21na)=a2—2alna=a(a—21na),

設(shè)無(a)=a—21na,a>e,則H(a)=————>0,

故/Z(Q)在(e,+co)上為增函數(shù)，故九(Q)>h(e)=e—2>0即g⑵HQ)>0,

故此時g⑴在R上有且只有兩個不同的零點；

綜上：當04aVe時，0個零點；當a=e或aVO時，1個零點；Q>e時，2個零點;

015已知函數(shù)/(力)=ex—alnx,aER.

(1)當a=0時，若曲線沙=/(力)與直線g=相切于點P,求點P的坐標；

(2)當a=e時，證明：/(/)>e；

(3)若對任意力6(0,+8),不等式/(力)>alna恒成立,請直接寫出a的取值范圍.

【解析】⑴當a=0時,/(6)=ex,f\x)=e\

設(shè)P(g,6°),則切線斜率k=e°.

由切點性質(zhì)，得，解得g=L

(e=KXQ

所以點P的坐標(Le).

(2)當a=e時，/(力)ne。一elnrc,其中力>0,則/'(/)=ex——,

令g(力)=e'—￡■，其中①>0,則g'Q)=已。+多>0,

xx

故函數(shù)/(劣)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且/(I)=0,

?9?

當力變化時，力,/'（劣）,/（N）變化情況如下表:

X（o，i）1(L+8)

f'3)—0+

f⑺單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由上表可知，/Q)min=/(l)=e.所以/(%)>6.

(3)顯然Q>0,在(0,+8)上/(%)=6,—alni>alna恒成立，即e31-1110—Inx>Ina恒成立即

e--lna_lna>lna，恒成立，

所以ex~Xna+x—Ina>T+Inx=elnx+lna;恒成立，

x

構(gòu)造函數(shù)g(x)—e+x9xE(0,+oo),易知g(z)在(0,H-oo)上是增函數(shù)，

所以％—Ina>Inx恒成立,即Ina<(re—lmj)min,

令八(力)—x—lnx,hf(x)=———(rc>0),

x

當力e(o,i)時，"(力)vo,所以無(力)在(o,i)上單調(diào)遞減，

當力e(l,+oo)時，"(2)>o,所以九(為)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,

所以九3)min=無⑴=1,所以Ina<1,解得0<a<e,

所以實數(shù)a的取值范圍(0,e).

6已知函數(shù)/(力)=x—alnx,(aGR)

(1)請討論函數(shù)/(劣)的單調(diào)性

⑵當cC[5+8)時，若《(InQnc+2+1)+1)恒成立，求實數(shù)A的取值范圍

【解析】(1)/(2)=1-且=^^(2>0)

XX

當aW0時，fQ)>0,/(x)在(O,+c?)上遞增

當a>0時，在(0,a)上『㈤<0,y(z)單調(diào)遞減

在(a,+oo)上『Q)>0,/(z)單調(diào)遞增

,nx+x

(2)原式等價于我'=e>4(ln(lnc+,+1)+1)

設(shè)力=Inc+x,xE[L,+oo)

由(1)當a=-L時，/3)=ln/+N為增函數(shù)，?,?力6]!-1,+8),

等式等價于/i(ln(t+1)+1),力E[1—1,+8)恒成立，

1=時，「一>0成立，力6(--l,+oo)時，————,

evefIn。+1)+1

設(shè)g(f)=]—(工一1,+8),

ln(t+1)+1ve)

?10?

=，(ln(t+l)+l)-e*(母)=、In(%+1)+1一擊

9~(ln(t+l)+l)2-e，(ln(t+l)+l)2’

設(shè)h(t)=ln(t+1)+1--,

0I-J.

h\t)=']+(J])2>0所以h(t)在(十-1,+8)上為增函數(shù)，

又因為/z(0)—0,所以在—1,0)上，h(t)V0,?，.g'(土)<0,g(力)為減函數(shù),

在(0,H-oo)上,h(t)>0,g(t)>0,g(t)為增函數(shù)，

g(0min=g(0)=1,?.?441.

2x-t

蜃1兀（2023屆廣東篇深圳市光明區(qū)南三二模）已知函數(shù)/（工）=矢二1的圖象在（1,/（1））處的切線經(jīng)過

點（2,2e2）.

（1）求a的值及函數(shù)/（2）的單調(diào)區(qū)間；

21

（2）設(shè)9（工）=詈”，若關(guān)于力的不等式加g（04e2^-l在區(qū)間（1,+<?）上恒成立，求正實數(shù)4的取值范

圍.

2a;_-I

【解析】（1）函數(shù)/（/）=---的定義域是｛力I力W0｝,

2xx

2axe-（ae-l）2

f⑺=---------------'于⑴=ae+1，?

所以/（力）在點（Lae,—1）處的切線方程為y—（ae2-1）=（ae2+l）（x—1）,

切線經(jīng)過點（2,2e?）,則Q=1.

f（x）—+1,設(shè)力）=（2力-1）已2I+1,0'（力）=4跣2）

x

力=0是9（力）的極小值點，且0（0）=0,

因此/'（力）>0在｛/IN#0｝恒成立，

2x_-1

所以函數(shù)/（2）=且口的單調(diào)增區(qū)間為（一8,0）,（0,+00）,無單調(diào)減區(qū)間.

X

2-12-I2Ax-1

⑵1>0,a=l,/lzQf-We?加一1在區(qū)間（l,+oo）上恒成立，即胃二!■<e,

InxmxAx

2t_-i2^a;_-i

令t=lnrc（t>0）,則且三<且/1,即/⑴&/（&）.

tAx

由（1）,只需要土4/ke,也就是4>①■在區(qū)間（1,+8）上恒成立.

x

設(shè)八（力）力）=1-？力,〃（e）=0,.

xxz

l<x<e,//（N）>0;力>e,"（/）<0,

故/z（e）=工是h｛x）—的最大值，

ex

?11?

所求A的取值范圍是［十,+8

〔題目〔2〕(2023居海南省?？谑旋埲A區(qū)海南華僑中學高三一模)己知函數(shù)/(C)=普^+1.

(1)討論函數(shù)/(，)的單調(diào)性；

(2)已知4>0,若存在土e(l.+oo),不等式—>(④J>Inc成立，求實數(shù)4的最大值.

(遍產(chǎn)+1x-1

【解析】(1)函數(shù)/(①)的定義域為(0,1)U(l,+oo),

1--------In力1-1_?

所以f(x)=',???令g(c)=1--------In力，則。(力)=——,

z

(劣一1)xx

：.函數(shù)g(c)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+oo)上單調(diào)遞減.

又,.,g(l)=0,?,?當cG(0,1)U(1,+8)時，g(x)V0,."(%)<0,

函數(shù)/(力)在(0,1),(l,+oo)上單調(diào)遞減.

(2)V——>(為I>Inc,且4>0,c>1,(Ve)^-l>0,

(g產(chǎn)+1x-1

二筆"與，，好+1>匕+1，"(/)河⑺?

eAxE(L+oo),由⑴知，函數(shù)/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

只需e&《力在(1,+8)上能成立，

兩邊同時取自然對數(shù)，得MWlmc,即4W至”在(1,+8)上能成立.

X

令瞰X)=—{X>1),則<p\x)=1—乎,

Xx

1?當re(l,e)時，p'O)>0,/.函數(shù)少⑸在(l,e)上單調(diào)遞增，

當力E(e,+oo)時，/(力)<0,函數(shù)口(力)在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

?“(力)max=?(e)=十,???/!W!，

1

又X>0,???0V442，

e

/.實數(shù)1的最大值為—.

e

畫1H(2024屆山東省部分學校南三上學期裂者)已知函數(shù)/(c)=aln(c+l)—az.

(1)當aWO時，討論/(,)的單調(diào)性;

(2)當①>-1時,/(c)>空——：+a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)/(力)=aln(力+1)—ax定義域為(―l,+oo),f'⑸=——a=—等~,

?27IJ.27Ii-

①當a>0時，令/(力)>0,得TV力V0,此時/⑺單調(diào)遞增，

令/(力)<0,得力>0,此時于(x)單調(diào)遞減；

②當aVO時，令/'(力)>0,得力>0,此時/(力)單調(diào)遞增，

?12?

令/'(/)<0,得一1〈力〈0,此時/(劣)單調(diào)遞減；

綜上所述，當Q>0時，/(①)在(—1,0)單調(diào)遞增，在(0,+8)單調(diào)遞減；

當a<0時，/(力)在(0,+oo)單調(diào)遞增，在(—1,0)單調(diào)遞減.

(2)記力=(/+1)—ln(T+1),

由(1)知，當Q=1時，/(/)=ln(N+1)一/</(0)=0,

則比一In(力+1)>0,則力=(力+1)—In(6+1)>1,

當x>—1時，/(⑦)=aln(x+1)—QN>―—:=ae恒成立，

eZ7_I_L<Z/I-L

①+1

即aln^x+1)—a(x+1)>—]對x>—1恒成立，

即a[(x+1)—ln(T+1)]ve^+D-inQ+D對力>—1恒成立，

t

則出;Ve",即aV%對方>1恒成立，

tee

令無⑴〃(力)--2―――對力>1恒成立，

xtt

則h(t)在(1,+00)單調(diào)遞增，所以九?)>九(1)=e,

所以QVe,即實數(shù)Q的取值范圍為(―oo,e).

題目可已知函數(shù)/(%)=「*,g(宏)=simr.

(1)求gQ)=sin/在力=0處的切線方程；

(2)求證：g[x},g'(宏)+l<.x,/(比)—Inx.

(3)當力€[0,7u]時，g(劣)—2[/(T)—1]<mln(T+1)，求實數(shù)nz的取值范圍.

【解析】⑴因為g(宏)=sinrc,則(力)=cos/,g'(0)—cosO=1,g(0)=0,

所以，g(力)—sinrr在力=0處的切線方程為y—x.

(2)要證明g(x)?g(x)+l<x-f(x)—Inx,

即證：sinrr?cosa:+1—力?e*+ln/<0,

證：si：2%+i—力?y+lnTv0,(*)

設(shè)F⑸=sin2①—2/，則F\x)=2cos2/—2=2(COS2T-1)&0,

所以，F(xiàn)(T)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，故尸O)<F(0)=0,

所以，當力>0時，sin2/V2x,

所以要證(*)成立，只需證力+1—力?e"+ln/&0,

設(shè)H(x)=ex—x—1,則H'(B)=ex—l,

當力>0時，攵(力)=ex-l>0,故函數(shù)H⑸在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

當力V0時，H'Q)=ex-l<0,故函數(shù)HQ)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，

故H(x)>H(0)=0,則1+1,

x+lnx

則e^x+m6+1,即x+Inx+1,故力+1—1?e*+ln140成立，

所以原命題得證.

?13?

(3)由題得sin/—2(1—1)WmlnQ+l)在力E［0,7t］上恒成立，

即h(x)—2e°+mln(力+1)—sinx—2>0,⑦G［0,兀］恒成立,

因為九'(力)=2ex-\—-COST,

①若?n>0,h!(x)>2e“一cos/>0,h(x)在［0,7u］上單調(diào)遞增，h(x)>%(。)=0,符合題意;

②若7n<0,令p(力)=hf(x)=2ex-\——COST,力E［0,兀］,

x+1

則(p(x)—2e”....-—r+sin6>0,所以K(x)在［0,兀］單調(diào)遞增，且//(0)=1+m,

(力+1)

(i)若—14館V0,H(x)■//(€))>0,h(x)在［O,TT］上單調(diào)遞增,h(x)>九(0)=0,符合題意;

(n)若?nV—1,“(0)<0,

當力>0時，0V―^―-V1,則K(x)=2ex-\—%—COST>2ex+m—1,

x+1x+1

取力=In1>0,則//(inij771)>2已“2+m—1=0,

f

則存在gg(0,lnl「館)，使得當RG(O,xo)時，h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

此時h(x)<h(0)=0,不合題意;

綜上，771>—1.

5j已知函數(shù)后(劣)=xex—mx,g(x)-InN+力+1.

(1)當772=1時，求函數(shù)無(力)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若無(力)>g(x)在16(0,+oo)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

x

【解析】⑴當7n=1時h(x)=xe—xfh\x)=(劣+l)e°—1

設(shè)〃(力)=/(6)=(%+l)e,一1,則〃'(力)=(6+2)e*>0=>力>—2

〃'(6)=(6+2)e①V0=>x<-2

:.〃(%)即h!(x)在(—oo,—2)遞減，在［—2,+oo)遞增，

當力e(―8,—2),//(力)=(c+1)?ex—ivo,當力e［—2,0)13)v-(0)=o

而當/e［o,+00)/(6)>//(o)=0所以當%e(—8,o),//(/)<o,/i(x)遞減;

xE［0,+00)/(%)>0,無(%)遞增.

故函數(shù)增區(qū)間為［0,+8),減區(qū)間為(—00,0)

x

⑵m+1We---—=溫—lna;—1，2e(0,+8)

XXX

令f(x)=溫-In/-1，/⑸=些1e(0,+oo)

xX

令p(c)=x2ex+lnx,p(x)=ex(x2+2x)+—>0,xE(0,4-oo)

:.p(宏)在(0,+oo)遞增,而0(工)=ee2—1<0,p⑴>0,

：.B6住(jl),使pQi)=0,即-e的+lna；i=0(*)

?14?

當比e(O,a;i)時，/'(力)<0,/(力)在(0,3；i)遞減，當⑦G(如+8)時，/'(力)>O,/(rc)在(力i,+oo)遞增

??J(2)min=/(g)=--

a?iXi

因為，亮為+皿2尸0(*)可變形為,追5=—上Inc產(chǎn)—In—=eIn^ln—(**)

XiXiX\Xi

又???g=/e：J=(力+1)1>0,???。=力/在(0,+oo)遞增，

由(**)可得力i=lnL=—ln/i,e'"=L

XiXi

：./(/)min=/(61)=一刈———=-+1——=1m+K1m<0

故m取值范圍為(—oo,0]

題目回已知函數(shù)了(0=x^—ax—alnx.

(1)若。=6,求/(力)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實數(shù)Q,使對力e(0,+8)恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍;若不存在,請說明

理由.

【解析】(1)因為/(比)=%e”一ar—alnrr,

所以/(力)=(6+l)ex—a——(x>0),

即/(re)=8+1(d—a).

x

當a=e時，/(%)=n+1Qe^-e),

令gQ)=二'—e,則g'Q)=(比+l)e*>0,

所以g(力)在(0,+oo)單調(diào)遞增，因為g⑴=0,

所以，當0V%V1時,gQ)<0,f\x)V0;當/>1時，g(x)>0,/'(力)>0,

所以/(力)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8).

(2)設(shè)h[x)=x+Inrc,xG(0,+co),易知九(名)在(0,+co)單調(diào)遞增.又當力G(0,1)時，力+Inx<1+In%

所以U=1+lnx(xG(0,1))的值域為(—oo,l)；

當力G[1,+co)時，y—x-\-In力(力G[l,+oo))的值域為[1,+8).

所以h(x)=x-\-Inx的值域為R.

故對于R上任意一個值班,都有唯一的一個正數(shù)g,使得g0=g+lng.

因為xex—ax-alnx—1>0,即e^^—a^x+In/)—1>0.

x+Xnx

設(shè)F(t)=^-at-1,tGR,所以要使e-a(x+In/)—1>0,只需F(^)min>0.

當aWO時，因為F(—1)二工+a—lVO,即/(一1)<1,所以a&O不符合題意.

e

當a>0時，當力G(—8,Ina)時，F(xiàn)'(t)=e"—a<0,F(t)在(—co,Ina)單調(diào)遞減；

當力G(Ina,+oo)時，尸⑴=e%—a>0,F(t)在(lna,+oo)單調(diào)遞增.

所以F?)min=F(lna)—a—alna—1.

?15?

設(shè)m(a)=a—a\na—1,aE(0,+oo),

則m'(a)=—Ina