河北省部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三年級下冊2月開學(xué)調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024?2025學(xué)年河北省名校聯(lián)考高三（下）開學(xué)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（2月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合M={-2,-1,0,1,234},集合N={%|%2v4},則CMN=（）

A.{2,3,4}B.{-2,234}C.{3,4}D.{-2,—1,04,2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+3則z2=（）

A.-2iB.2iC.2-2iD.2+2i

3已知向量方=（0,1）b=（1,1）,若五1（石一人初，則入=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知coscr—cos8=psina—sin/?=半，則cos（/?—a）=（）

151717

A?萬B.C.-D.--

5.“k=1”是“函數(shù)f（x）=M與為奇函數(shù)”的（）

1~rKC

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

6.橢圓的：+y2=1的上、下頂點分別為51，橢圓。2：]1與的的一個交點為跖貝

的周長為（）

A.4B.2+2<2C.2+273D.6

7.VxGR,不等式（/一x）e*-ax+e20恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.[f,e]B.[e,2e]C.[0,1]D.[0,e]

8.正方體ZBCD-EFGH的棱長為1,球。為其內(nèi)切球，作球。的內(nèi)接正方體為揚的％-EFiGi%,正方

體48傳以1的內(nèi)切球為球作球。1的內(nèi)接正方體為4282c2%-三/2G2H2,依此法一直繼續(xù)

下去，從正方體4BCD-EFGH開始，所有這些正方體的表面積之和將趨近于（）

A.1B.9C.9+3V3D.6+2V3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知有四個數(shù)從小到大排列為1,2,a,b,這四個數(shù)的80%分位數(shù)是4,則a+6可能是（）

A.4B.5.5C.6D.7.5

10.己知如圖是函數(shù)/（尤）=2（：05（3%+0）,（3〉0,—5<0<0）的部分圖象，貝！|（）

1/14

A.f(%)的最小正周期為7T

8"(%)在(-1,2)單調(diào)遞增

C./(x)的圖象關(guān)于居,0)中心對稱

D.fO)的圖象向左平移竽個單位長度后為偶函數(shù)

11.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合可以組成世間萬物的絢麗畫面，優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.

現(xiàn)坐標滿足方程/-y3=1的點(x,y)的軌跡為曲線C,貝(1()

A.曲線C關(guān)于y軸對稱

B.曲線C位于x軸下方的點與原點的最遠距離為爭

C,曲線。與x軸圍成的區(qū)域面積大于2

D.曲線C上橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點至少有五個

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.從長度為1,3,5,7,9,11的六條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為.

13.圓O的半徑為3,從中剪出扇形N08圍成一個圓錐(無底)，當所得的圓錐的體積最大時，圓心角為.

2

14.已知實數(shù)尤0尤2,yi，力滿足：耳+y；=4,其+於=9,刀1比2+y^y-i-+x2-1,貝！1(久i-%2)+(yi-

為)2的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△ABC中、角/、B,。所對的邊分別為a、b,c,且asinA-bsinB=sinC(acosB

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若4ABC的面積為4/3,求a的最小值.

16.(本小題15分)

如圖所示，在圓臺。'。中，四邊形/BCD為過。'。的圓臺截面，△4EF為底面圓。的內(nèi)接正三角形.

2/14

(1)證明：平面CEF1平面A8C￡>；

(2)若AD=2AB=2BC,求平面48尸和平面CE尸夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

春節(jié)期間有一過關(guān)贏獎勵娛樂活動，參與者需先后進行四個關(guān)卡挑戰(zhàn)，每個關(guān)卡都必須參與.前三個關(guān)卡至

少挑戰(zhàn)成功兩個才能夠進入第四關(guān)，否則直接淘汰，若四關(guān)都通過，則可以贏得獎勵.參與者甲前面三個關(guān)

卡每個挑戰(zhàn)成功的概率均為?!，第四關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率為楸且各關(guān)挑戰(zhàn)成功與否相互獨立.

(1)求參與者甲未能參與第四關(guān)的概率；

(2)記參與者甲本次挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

18.(本小題17分)

已知橢圓C：胃+翕=l(a>b>0)的離心率為苧，且經(jīng)過4(一2,0),直線/交C于￡,月兩點，直線

工下斜率之和為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明：直線/過定點.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=1%2+2x—(2x+a)ln久.

(1)當a=0時，求函數(shù)/(久)在點(1)(1))處的切線；

(2)若函數(shù)/(久)在［1,+8)上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

2

(3)證明：-7==+T=^=+-+?^|==+7==+ln2>ln(n+3n+2),(neN*).

Vn2+2n(九一1)2+2(幾_1)V2z+2x2V12+2

3/14

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合M={—2,—1,0,1,2,3,4},集合N={小2<4}={洌-2cx<2},

則C“N={-2,2,3,4}.

故選：B.

根據(jù)補集的定義可解.

本題考查補集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

由z求得5,利用兩數(shù)和的平方公式展開即可得出.

【解答】

解：z-1+i,

z2=(1—i)2=—2i.

故選：A.

3.【答案】C

【解析】解：若31(不一人口，

則五?(1—立)=0,BPa-h=Aa2,

向量2=(0,1)，b=(1,1),

則0+1=入，解得入=1.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：對cosa-cos口二：兩邊平方，(cosa-cos/?)2=弓)2,

即cos2a-2cosacosj6+cos2jff=策)，

對sina—sin0=苧兩邊平方,(sina-sinjff)2=(苧產(chǎn)

即sin2a—2sinasinS+sin2s=

4/14

①+②得，cos2a+sin2a+cos2/?+sin2s—2(coscrcos/?+sinasin6)=7+-,

43

3+47

即1+1—2(cosacos口+sincrsin/?)=即2—2(cosacosS+sincrsin^)=—,

717

則2-2cos(B-?)=—,解得cos/-?)=—.

1ZZ4

故選：C.

利用三角函數(shù)的兩角和差公式cos(i4—B)=cosAcosB+sin/sinB,對已知條件進行平方處理，然后通過變

形得到cos(/?-a)的值.

本題考查了三角函數(shù)的兩角和差公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】尚軍：若k=1,貝ijf(%)=貝1」/(-%)=；；晨％=貝ij/(一%)=一/(%),故充分性成立，

當函數(shù)f(x)=修捺為奇函數(shù)，

則“—%)=-/0)，則卜=±1，

則必要性不成立，

故“k=1”是“函數(shù)/(X)=左篝為奇函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)充分必要條件相關(guān)知識可判斷.

本題考查充分必要條件相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：橢圓的：4+必=1的上、下頂點分別為B2,Bi，

則%(0,1),B2(0,-l),

2”2

又橢圓C2:2v+9=1,

則橢圓C2的焦點為Bi(0,l),82(。,—1),

則AMB1B2的周長為箕/1+|M52|+出網(wǎng)=2x2+2=6.

故選：D.

由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義求解即可.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點考查了橢圓的定義，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

5/14

【解析】解：因為不等式(%2一%)a一以十?之0恒成立，

①當％=0時，aE.R；

②當1>0時，問題等價為a<(x-l)ex+，恒成立，

設(shè)g(x)=(%—l)ex+?(%>0),

則d(%)=叱-另

因為y=g'O)在(0,+8)上單調(diào)遞增,且丁(1)=o,

所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以y=0(%)上的最小值為g(l)=C，所以aMe.

③當％V0時，問題等價為a>(%-l]ex+，恒成立，

設(shè)h(x)=(%—l)ex+;(%<0),

則h(x)<0,hf(x)=xex—p-<0,

所以y=九(%)在(t8,0)上單調(diào)遞減，

而X-00時，/l(X)T0,

所以aNO即可，

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為[0,可.

故選：D.

對x的取值分三種情況，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求其最值，即可求解.

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)正方體ZBCD-EFG”的棱長為內(nèi),其內(nèi)切球球O半徑為h,則%=合

球。的內(nèi)接正方體為BiCiDi-％FiGi%的棱長a2=普=影，

其內(nèi)切球球01半徑為2=緩=翡，

球。1的內(nèi)接正方體為4282c2。2-E2F2G2“2的棱長。3=^=居，

其內(nèi)切球球。2半徑為危=詈=等

以此類推，

可知所有這些正方體的棱長構(gòu)成一個以的=1為首項，以表為公比的等比數(shù)列，

6/14

則它們的表面積構(gòu)成以6為首項，以g為公比的等比數(shù)列，

其前n項和％=4了’=9[1-

當〃趨于正無窮時，S”趨近于9.

故選：B.

根據(jù)正方體和其內(nèi)切球的關(guān)系、球和其內(nèi)接正方體的關(guān)系進行推理，得到各正方體棱長成等比數(shù)列，從而

表面積也成等比數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.

本題主要考查正方體和其內(nèi)切球的關(guān)系、球和其內(nèi)接正方體的關(guān)系以及等比數(shù)列求和，屬于中檔題.

9.【答案】CD

【解析】解：因為4x80%=3.2,

所以這四個數(shù)的80%分位數(shù)是6,即6=4,

所以2WaW4,

所以6<a+b<8,

由四個選項可知，a+b可能是6或75

故選：CD.

根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

本題主要考查了百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：由題意可得/'(0)=2cos0=1,即cosw=9,而

可得0=—全

又因為/(三)=0,即2cos(―釧一引=0,

可得一段3-今=-]+2/OT,kGZ,

可得3=/一6k,keZ,又因為。>0-(一？)，且3>0,

Z43

即即0<3<工

4a)32

可得3=

所以/(%)=2cos(|x

/中，函數(shù)的最小正周期7=竿=4TT,所以4不正確；

7/14

8中，因為xe(—l,2),可得—號e(—T—氧—兀,0),所以函數(shù)在(―1,2)上是單調(diào)遞增，所以

2正確；

。中，因為黃苧*=是相+—kez,所以居,0)不是函數(shù)的對稱中心，所以。不正確；

。中，將“X)向左平移整個單位后可得g(x)=2cosgx(x+等)-陽=2cos/,可得g(x)為偶函數(shù)，所

D乙DD乙

以。正確.

故選；BD.

由函數(shù)過兩點(-90)和(-0,1)及9的范圍，可得3,0的值，即求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)的性質(zhì)分別判斷

所給命題的真假.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的解析式，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：由方程/-y3=i,將其中的x換為—X,方程不變，可得曲線。關(guān)于y軸對稱，故/正確；

設(shè)P(x,y)(y<0)是曲線。上的點，可得%2-y3=1,即有/=y3+1,

和原點的距離為d=Vx2+y2=J儼+y2+1,

設(shè)/?)=嚴+產(chǎn)+1,t<o,可得尸(t)=3"+2t,當」<一|時,f(t)>0,f(t)遞增;

當一|<t<0時，f(t)<0,/(t)遞減,

可得f(t)在1=-|處取得極大值，且為最大值可得d的最大值為等，故2正確；

由久2=,3+120,可得y2-1;方程廣一y3=],可化為了=一],

可得函數(shù)〉為偶函數(shù)，當X>0時，為遞增函數(shù)；

當無<0時，為遞減函數(shù)，函數(shù)夕有最小值-1,

圖象經(jīng)過點(—1,0),(1,0),(0,-1),(-3,2),(3,2),

則曲線C與x軸圍成的區(qū)域面積小于2x1=2,故C錯誤，。正確.

故選：ABD.

8/14

將方程中的X換為-久，方程不變，可判斷/；由兩點的距離公式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運用，求得最大值，可判

斷5由曲線C關(guān)于y軸對稱，可得曲線C與X,>軸的交點，以及函數(shù)y的單調(diào)性，可判斷CD

本題考查曲線與方程的關(guān)系，以及曲線的性質(zhì)，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】京

【解析】解：從長度為1,3,5,7,9,11的六條線段中任取3條，

基本事件總數(shù)n=熊=20,

其中這三條線段能構(gòu)成一個三角形包含的基本事件有：

(3,5,7),(3,7,9),(3,9,11),(5,7,9),(5,7,11),(5,9,11),(7,9,11),共7個，

則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為P=看.

故答案為：益.

基本事件總數(shù)幾=優(yōu)=20,利用列舉法求出其中這三條線段能構(gòu)成一個三角形包含的基本事件有7個，由

此能求出這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率.

本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】守

【解析】解：根據(jù)題意，所得的圓錐的底面半徑為八則該圓錐的高％

則圓錐的體積V=^r2h=^r2V9-r2=R74(9_/)=y-JyXyX(9-r2)<J[2+2+9rp=

27-371,

當且僅當q=9—/時，即廠=，石時等號成立，

此時圓錐的底面周長為2仃=2<6TT,其圓心角8=等=馬要.

故答案為：浮.

根據(jù)題意，所得的圓錐的底面半徑為r,則圓錐的體積了=(2八=表2卷=,利用基本不等式的性質(zhì)分

析所得的圓錐的體積最大時，『的值，進而求出此時的圓心角，即可得答案.

本題考查扇形弧長及面積公式，涉及圓錐體積公式及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】13+473

【解析】解：依題可設(shè)第1=2coscr,yr=2sina,x2=3cos/?,y2=3sinS，

由久62+y/2=+第2—1，可得6cos(a-S)+1=2coscr+3cosg.

9/14

為求cos(a-/?)的最小值，

設(shè)y=a—,貝!J6cosy+1=2cos(0+y)+3cos夕，

從而有|6cosy+1|=|(2cosy+3)cos￡—2sinysin/?|=J(2cosy+3)2+(-2siny)21cos(/?+</?)|<

J13+12cosy,

因此(6cosy+l)2<13+12cosy,

解得—?Wcosy<

2

再由Qi-x2)+Qi一、2)2=13—2(/％2+y/2)=13-12cosy<13+4V~3,

可知(%1-%2)2+(yi-丫2)2最大值為13+4^.

故答案為：13+4扃.

直接利用三角換元法結(jié)合輔助角公式求解即可

本題考查了利用三角換元求解最值問題，是中檔題.

15.【答案】解：(1)因為asinA—bsinB=sinC(acosB—1),

由正弦定理及余弦定理可得。2-X=叱.包孝衛(wèi)-9

2ac2

整理可得：fo2+c2—a2=be,

由余弦定理可得COsA==I，

b笠2bc-°2

而A€(0,兀)，

可得A=3

(2)S^BC=^besinA=^bc-?=4V~3,可得be=16,

由余弦定理可得層=b2+c2—2bccosA>2bc—be=be=16,當且僅當b=c時取等號，

所以。的最小值為4.

【解析】(1)由正弦定理及余弦定理可得cos力=g,再由角N的范圍，可得角/的大??；

(2)由三角形面積公式及余弦定理，基本不等式可得a的最小值.

本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

10/14

16.【答案】解：(1)證明：設(shè)力DCiEF=M,連接CM,如圖,

因為△AEF為底面圓O的內(nèi)接正三角形，所以。為正三角形4EF的中心,

貝IJ力M1EF,且“為即中點，

因為四邊形/BCD為過。'0的圓臺截面，且￡、尸關(guān)于底面直徑對稱,

所以CE=CF,則CM1EF,

因為CMCMD=M,所以EF1平面/BCD,

因為EFu平面CEF,所以平面CEF1平面ABCD；

(2)由(1)分析知，。為。為正三角形/跖的中心，所以/。：0M=2：1,

因為4。=。。，所以。O：0M=2：1,故M為。。中點，

-1-1

因為AD=2.AB=2BC,所以C。'==yAD=MO,

24

又因為C07/M。，所以四邊形CO'OM為平行四邊形，CM1100',

因為。。'仁平面CM,CMu平面CM,所以。。7/平面CE「，

以。為原點建立空間直角坐標系如圖，

連接C。，因為力。=24B=28C,所以三角形COD滿足C。=。。=CD,為正三角形,

所以NC。。=NBA。=60°,

不妨設(shè)4。=4,則4(0,2,0),8(0,1,0，F(xiàn)(73,-1,0),

所以方=(0,-1,0，BF=-2,-73),

11/14

設(shè)平面尸法向量為汨=(%y,z),則怯竺=°,即曰+不二，

顯.8F=0173%-2y-<3z=0

解得％=(3,后,1),

易知平面CEV法向量通=(0,1,0),

設(shè)平面N"和平面C￡尸夾角為仇則cos0=|cos</,芯>|=譽，

所以平面歹和平面CEF夾角的余弦值為鴛.

【解析】(1)利用面面垂直的判定定理進行證明；

(2)結(jié)合題意建立空間直角坐標系，求出平面48月和平面CM的法向量，從而求出它們夾角的余弦值.

本題主要考查面面垂直的判定和利用空間向量求兩平面夾角，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)參與者甲未能參與第四關(guān)的概率為:

2121134

P=dq)0(w)3+CXw)(w)2-----1-----=-----

272727,

(2)記參與者甲本次挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,4,

P(X=0)=C0(|)°(1)3=j=,

P(X=1)=4(|)〈)2=5

「3=2)=1c弓2)r2l(,?1=右1

P(X=3)=禽(|)2號)(|)+月(|)3弓)。吁)=芬

P(X=4)=C：(|)3(》/,

X的分布列為：

X01234

22

P1111

2799279

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x^+lx1+2x1+3x||+4x|^^.

【解析】(1)利用相互獨立事件概率乘法公式求解；

(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

rc73

18.【答案】解：(1)設(shè)橢圓半焦距為c,則依題意有，=￡=彳，

(a=2

22

所以c=，耳，所以房=a-c=4-3=1,

12/14

所以橢圓C的方程為苧+y2=i.

(2)證明：顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=/c%+zn,

y=kx+m

聯(lián)立?%2Q消去》得(1+4fc2)%2+8kmx+4m2—4=0,

h+y=1

△=64/c2m2-4(1+4fc2)(4m2—4)>0,即>4k2+］，

設(shè)久久1，為)，F(xiàn)(x2,y2),則％i+久2=言翡，打犯=署能?

因為直線4E,/尸斜率之和為1,

yi.yi_1%+m)(%2+2)+(k%2+m)(%1+2)

即k/E+^AF

%l+2M+2(%I+2)(%2+2)

2fc(4m2—4)—8/cm(2/c+m)4m+16k2m

2/C%I%2+(2k+m)(%i+%2)+47n1+4H+1+4H+I+4k2

%112+2(%i+%2)+44m2—4—16km4+16/c2

1+4k2+1+4k2+1+4k2

m—2k

(m—2/c)2

］

因為爪2>4k2.|_,所以m—2k=1,即m=2k+1,

所以直線l的方程為y=kx+2k+1,即y-1=k(x+2),

所以直線/過定點(—2,1).

【解析】(1)依題意求解a,b,。的值，即可求解橢圓方程；

(2)設(shè)出直線/的方程為y=+m及點E,尸的坐標，并聯(lián)立直線/與橢圓C的方程，表示出韋達定理,

再對右E+^F計算化簡，得出加與人的關(guān)系式，即可證明.

本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想，屬于中檔題.

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19.【答案】解：(l)a=0時，/(x)=-x2+2%-2xlnx,

/'(%)=%+2—2(In%+1)=%—21nx,尸(1)=Lf(1)=

所以在點(1/(1))處的切線為y—|=X—1,

整理得：2x—2y+3=0,

故〃久)在點(1/(1)