泰州市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（理A）試題

泰州市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（理A）試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．3．已知底面為邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為的直四棱柱中，是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線，則該曲線的長(zhǎng)度是；②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；③若，則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為.A． B． C． D．4．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．6．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．20177．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．8．在中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，，，則（）A． B．-2 C． D．29．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．10．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．311．若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋瑒t（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．14．正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心，另外三個(gè)頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是______.15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.若，，則__，面積的最大值為_(kāi)__.16．已知向量滿足，且，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，、分別為線段、的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.18．（12分）己知點(diǎn)，分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，若與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.19．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）數(shù)列滿足，是與的等差中項(xiàng).（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知拋物線:，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線的距離為，焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若軸上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）某商店舉行促銷反饋活動(dòng)，顧客購(gòu)物每滿200元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次，滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次，依次類推）.抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號(hào)一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金40元；若摸得的小球編號(hào)一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金20元；其余情況獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元.（1）某人抽獎(jiǎng)一次，求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購(gòu)物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，且由圖可知，當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)即可.若當(dāng)時(shí)，時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個(gè)交點(diǎn)??，故滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然與有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.2、D【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長(zhǎng)公式，可得結(jié)論；②當(dāng)在（或時(shí)，與面所成角（或的正切值為最小，當(dāng)在時(shí)，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；③設(shè)，，，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)，即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和．【詳解】如圖：①錯(cuò)誤，因?yàn)椋c點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，長(zhǎng)度為；②正確，因?yàn)槊婷妫渣c(diǎn)必須在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在（或）時(shí)，與面所成角（或）的正切值為最?。橄碌酌婷鎸?duì)角線的交點(diǎn)），當(dāng)在時(shí)，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；③正確，設(shè)，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為，，，所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之，當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選：.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題．4、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn)，構(gòu)造新的函數(shù)，將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖象，再結(jié)合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.5、B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，，，計(jì)算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，故，，，，故，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故前項(xiàng)和最大.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.7、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.8、A【解析】

設(shè)，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．10、A【解析】

先求的展開(kāi)式，再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設(shè)，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，即，當(dāng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯(cuò)誤；

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可得最大可到無(wú)窮大，最小可到無(wú)窮小，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出在上的對(duì)稱軸，依據(jù)對(duì)稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：令，解得因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱.則.由，則由可知，，又因?yàn)?，所以，則，即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱軸，考查了誘導(dǎo)公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒(méi)有正確判斷的取值范圍，導(dǎo)致求出.在求的對(duì)稱軸時(shí)，常用整體代入法，即令進(jìn)行求解.14、【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解．【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為．∴正四面體的體積，圓柱的體積．則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15、1【解析】

由正弦定理，結(jié)合，，可求出；由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，所?所以，當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問(wèn)題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】

由數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論．【詳解】由題意，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由橢圓的離心率求出、的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，由題意得出，可得出，【詳解】（1）由題意得，，.又因?yàn)?，，所以橢圓的方程為；（2）由，得.設(shè)、，所以，，依題意，，易知，四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)椋?，所?即，將其整理為.因?yàn)?，所以?所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、;.【解析】

連接，由三角形相似得，，進(jìn)而得出，，寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，所以，即，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用基本不等式，屬于難題.19、（1）極大值是，無(wú)極小值；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn)，從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，從而可得△及，由，得．則可化為對(duì)任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋蕰r(shí)，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無(wú)極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，且，又，所以.由，，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即.當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，恒成立，即，因此，當(dāng)時(shí)，所以.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識(shí)，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求較高．20、（1）見(jiàn)解析，（2）【解析】

（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得，然后構(gòu)造新等比數(shù)列，寫(xiě)出的通項(xiàng)即可求（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分組求和即可【詳解】解：（1）由已知可得，即，可化為，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.即有，所以.（2）由（1）知，數(shù)列的通項(xiàng)為：，故.【點(diǎn)睛】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法；