計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)壓軸小題（解析版）

微專(zhuān)題22計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)壓軸小題

典型例題

例1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))我們想把9張寫(xiě)著1~9的卡片放入三個(gè)不同盒子中，滿(mǎn)足每個(gè)盒子中都有

3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有種.

【答案】198

【解析】

【分析】

首先列出至少有兩個(gè)卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.

【詳解】

由題意可知，設(shè)存在的這兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為x.

當(dāng)X=ll時(shí)，共有1種情況，即{(L3,7),(2,4,5)}；

當(dāng)x=12時(shí)，共有3種情況,即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7)}；

當(dāng)龍=13時(shí),共有5種情況，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9),(2,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},{(1,5,7),(2,3,8)},

{(1,5,7),(3,4,6)}；

當(dāng)尤=14時(shí)，共有7種情況，即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},{(1,5,8),(3,4,7)},

{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6)}；

當(dāng)x=15時(shí)，共有2種情況，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}

當(dāng)x=16時(shí),共有7種情況,即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9),(4,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},{(1,7,8),(3,4,9)},

{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}；

當(dāng)x=17時(shí)，共有5種情況，即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9),(4,6,7)},{(3,6,7),(4,5,8)},

{(1,7,9),(3,6,8))；

當(dāng)x=18時(shí)，共有2種情況，即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)}；

當(dāng)x=19時(shí)，共有1種情況，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

綜上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(種)情況，

不同的放法共有：33團(tuán)=198種.

故答案為：198.

例2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(0』)，則下列結(jié)論正確的是.(填序

號(hào)）

①P（團(tuán)<a）=P（€<a）+P（J>-a）（a>0）；

②尸（周<a）=2Pq<a）-l（a>0）.

③P（團(tuán)<a）=1-2PM<a）（a>0）.

④尸（周<a）=l-P（尚>“）（a>0）.

【答案】②④##④②

【解析】

【分析】

隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（0,l）,根據(jù)概率和正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】

因?yàn)镻（團(tuán)<a）=P（-a<J<a）,所以①不正確；

因?yàn)镻（用<a）=P（F<J<a）

=P（J<a）-P（J<-a）=尸（J<a）-P（4>a）

=尸（自<a）-（l-P（<^<a））=2P（自<?）-1,

所以②正確，③不正確；

因?yàn)槭▓F(tuán)<a）+尸（忸>a）=l,所以尸（用<a）=JP（團(tuán)>a）（a>0）,所以④正確.

故答案為：②④.

例3.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將一個(gè)大等邊三角形分成三個(gè)全等三角形與中間的一個(gè)小等邊三角

形，設(shè)DR=2,.若在大等邊三角形內(nèi)任取一點(diǎn)P,則該點(diǎn)取自小等邊三角形內(nèi)的概率為.

FiD

AB

4

【答案】

【解析】

【分析】

設(shè)=由正弦定理可得工=,從而可求sine的值，再由正弦定理可得A2F,

3sincc?1m。,

sin120sma

CQk2

進(jìn)而根據(jù)所求概率為產(chǎn)=-T代入即可求解.

S.ABCAB2

【詳解】

解：設(shè)“5—由題意可得《=＞吧修’化簡(jiǎn)得由"手3有

sina=—j=

V52

AD—DF

又由正弦定理可得即A32,

sinZADBsinZABD

sin120°sina

——DF22.2A

所以所求概率為沁4_DnzF?_?2]sina_4

-ab2-13Jsin21200-13

—AB

4

4

故答案為：—.

例4.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)C；都換成分?jǐn)?shù)二^土了，就得到一個(gè)如圖所示

的分?jǐn)?shù)三角形，稱(chēng)為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：（二尸+71所=3,令

（〃+i）G5+DGnCn_1

111111

S〃是｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和,貝2=

3123060nC：i(〃+1)C；

1

T

11

12

111

3

1X11

412124

1X111

T203020

1XX111

I30606030

111111

742105140427

n1

【答案】—+----

2n+1

【解析】

【分析】

由題設(shè)關(guān)系，應(yīng)用累加法可得+%=；，進(jìn)而可得｛4｝的通項(xiàng)公式，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求

【詳解I

-----1------1-------1----=--1--------1--------11-------=1-----------------------1-------1--------1-----=-------1------

5+1)。：5+1)戲&'nCh仁t5-1)。二'5-DCL("1)器25-2)。"'

---1---1----1--=---1---------1---1----1--=—1

4G4C；3C；，3C；3C；2C；，

一一一11111111

將上述各式相加，得/+…+不+鼻=萬(wàn)，即(+%=3,

(n+l)C?(〃+l)QnCn_x1232(n+l)Cn2

、

.Q=-1---------1----=--1---(/---------1--)

…〃2n(n+l)2〃〃+1'

???s">+一1?

n1

故答案為:—+------

2n+1

例5.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知等差數(shù)列{。,},對(duì)任意〃eN+都有

+a,C；+4最+--+??C：=?-2"+1成立，則數(shù)列—的前,項(xiàng)和(=__________

+1aa

[?+l?+2J

n

［答案］9可

【解析】

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得6?2"+〃d.2"T=〃.2"+L求出通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法即可求出.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則%=%+(〃—1)d,因?yàn)?%&++…+?！?C：=n-2向,

所以ag++/C；+…+%C：=n-2用

=q?+C"..+C：)+d?+2C：+3C：+…+〃C；)

=勺2"+nd?t+C；T+…+CI；)=q?2"+T-l,

所以％?2"+"d?2"T=n-2n+1,所以2%+〃(d—4)=0對(duì)〃eN*恒成立,

所以4=0,d=4,所以等差數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式(=4(〃-1),

所以1=—1—

4+/〃〃+24nx4(n+l)16(Mn+1J

所以數(shù)列I---I的前“項(xiàng)和（=2（1--=]=[/[、.

[an+la?+2J16（n+\）16（n+l）

n

故答案為：16（n+l）-

例6.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列｛%｝共12項(xiàng)，且4=1,4=2,關(guān)于x的函數(shù)

力⑺=；一%爐+（d_1卜+1,“eN-若x=是函數(shù)的極值點(diǎn)，且曲線(xiàn)的、=力。）在點(diǎn)

（%，力（@））處的切線(xiàn)的斜率為3,則滿(mǎn)足條件的數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù)為.

【答案】336

【解析】

【分析】

求導(dǎo)，由題意可得出問(wèn)+|-%|=1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得%=?；?,分類(lèi)討論，即可求得滿(mǎn)足

條件的數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù).

【詳解】

因?yàn)榱Γ▁）=g_a.x2+（a；-l）x+l,則力'（同=/_2%元+（M一1）=@一%）2-1,

2

由已知可得（a?+l-an）-l=O,則\an+1-an\=l.

由題意可得力'（&）=（弓2—”4）——1=3，可得瓦―%|=2,?4=2,可得％2=?；?.

①當(dāng)％2=。時(shí)'"4—4=（%—41）+（%—。2）+（。4—%）=2—1—1,

得4+1-4（，=1,2,3）的值有2個(gè)1,1個(gè)-1,

一包=（。5—。4）+（“6一”5）+，，,+（62—%1）=?！?=-2,

得4+1-q（，=4,5,…,11）的值有5個(gè)-1,3個(gè)1,

此時(shí)，數(shù)列｛〃〃｝的個(gè)數(shù)為C；《=168個(gè)；

②當(dāng)先=4時(shí)，&-%%—生）+（。4—%）=2—1=1,

得4+1-q?=1,2,3）的值有2個(gè)1,1個(gè)-1,

%2—。4=(05—04)+(“6—05)+,,,+(弓2—G1)-2=—2,

得0+1-6。=4,5,…,11）的值有5個(gè)-1,3個(gè)1,

此時(shí)，數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù)為C；C；=168個(gè).

綜上所述，數(shù)列｛瑪｝的個(gè)數(shù)為168+168=336.

故答案為：336.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列個(gè)數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵在于確定的值的個(gè)數(shù)，結(jié)合組合計(jì)數(shù)原理和分

類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解.

例7.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）考查等式：C°C：-m+D+…+&CL,=C：（*）,其中〃，九reN*,rW根＜〃

且祖.某同學(xué)用概率論方法證明等式（*）如下：設(shè)一批產(chǎn)品共有“件，其中，”件是次品，其余為正品.現(xiàn)

從中隨機(jī)取出廠(chǎng)件產(chǎn)品，記事件&=｛取到的『件產(chǎn)品中恰有七件次品｝，則P（4）=隼葭，k=0,l,2,...,

,.顯然4，A，…，4為互斥事件，且口4=。（必然事件），因此

I=P（Q）=P（4）+P（A）+L+P（AJ=+QCi；+L+C￡Q,,所以

Ci

C+CX1+---+c1cLi=c;,即等式（*）成立.對(duì)此，有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性

與必然性的統(tǒng)一；但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個(gè)判斷：①等式（*）成

立，②等式（*）不成立，③證明正確，④證明不正確，試寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào).

【答案】①③

【解析】

【分析】

構(gòu)造概率模型，從中隨機(jī)取出廠(chǎng)件產(chǎn)品，記事件&=｛取到的產(chǎn)品中恰有上件次品｝,利用古典概型概率公式

求得其概率，根據(jù)4，A，…，4為互斥事件，且&uAuL口4=。（必然事件），即可判斷.

【詳解】

設(shè)一批產(chǎn)品共有〃件，其中加件是次品，其余”一小件為正品.

現(xiàn)從中隨機(jī)取出廠(chǎng)件產(chǎn)品，記事件4=｛取到的產(chǎn)品中恰有左件次品｝,

則取到的產(chǎn)品中恰有k件次品共有c：c;二種情況，

又從中隨機(jī)取出『件產(chǎn)品，共有C：種情況，％=0,I,

「k「r-k

故其概率為P（AJ=」產(chǎn)，k=0,1,r

4，…，4為互斥事件，且A）U4UL口4=。（必然事件）,

因此I=P(O)=P(4)+P(4)+L尸⑷=

C：

所以CXi+c/Ci-+L+G—,即等式（*）成立.

從而可知正確的序號(hào)為：①③.

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以概率為依托，證明組合中的等式問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造概率模型，利用古典概型的

概率公式求概率，題目新穎.

例8.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G,X八個(gè)點(diǎn)涂色，

要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線(xiàn)段上的點(diǎn)顏色不同，則不同的涂色方法有種.

A

【解析】

【分析】

分瓦EG,“涂4種，3種或2種顏色，再分別計(jì)算涂色的方法種數(shù).

【詳解】

①對(duì)瓦￡G,H涂4種顏色，對(duì)于剩下的各剩2種顏色，且相鄰的都含一種顏色是相同的，即當(dāng)某

個(gè)點(diǎn)取一種顏色時(shí)，其他點(diǎn)的顏色是確定的，那么A氏CD共有2種情況，共有A：x2=48種，

②對(duì)E,F,G,H涂3種顏色，對(duì)于瓦從4種顏色中取3種，即q=4,從這3種顏色中取1種來(lái)作

重復(fù)的一種，即C；=3,再對(duì)這四種顏色進(jìn)行排列，重復(fù)的那種只能在對(duì)角，有2個(gè)對(duì)角，再對(duì)其他不重復(fù)

的2種進(jìn)行排列&=2,即2周=4對(duì)于剩下的A,8,C,￡）同①一樣，各剩2個(gè)顏色，當(dāng)其中一點(diǎn)取一種顏色

時(shí)，其他點(diǎn)顏色是確定的，共有2種，故共有.2=4x3x2x2x2=96種，

③E,￡G,H涂2種顏色，則選2種顏色，涂在對(duì)角位置，有廢x2=12種方法，A,民C,D共2種顏色，故

共有C：x2x2=24種方法，

所以一共有48+96+24=168種方法.

故答案為：168

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查排列，組合，計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是正確分類(lèi)E,EG"的涂色方法種

數(shù)，并且先涂瓦RG,H,再涂AB,C,O.

過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)E（x）是離散型隨機(jī)變量的期望，則下列不等式中不可能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.E（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.E（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)各選項(xiàng)的期望，分別判斷y=x+lnx、y^x2\nx,y=x+sin尤、y=Ysinx在定義域內(nèi)是否存在下凹

區(qū)間即可.

【詳解】

A：由y=x+ln尤且定義域?yàn)椋?,+oo）,則了=1+,，/=-4-＜0,即y為上凸函數(shù)，有

XX

五嶼〈甘+ln—，所以E（X+lnX）＜E（X）+ln（E（X））；

33

B：由y=x21nx且定義域?yàn)椋?,+8）,則/=2xlnx+x,y"=21n尤+3,顯然伯方,+?＞）上丫"＞°，即＞在（”,+（?）

為下凹函數(shù)，生地要也!＞（%產(chǎn)）2in幺產(chǎn)，所以存在E（x21nX）＞E2（x）in（E（x））；

C：由y=x+sinx,貝ljy'=l+cosx,yn=-sinx,顯然在［（2左一1）萬(wàn),2左萬(wàn)］,^GZ±/＞0,即＞在［（2左一1）肛2左左］,

左eZ為下凹函數(shù)，有％+sm%+sm%＞上產(chǎn)+$出土產(chǎn)，所以存在E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））；

jr

D：由yn/sinx,貝！Jy'=Zxsinx+Jcosx,yn=（2-x2）sinA:+4A:COSX,顯然存在（0,萬(wàn)）上y"＞0,即,在

（0二）為下凹函數(shù)，有五堊五土里嶼＞（土土強(qiáng)）2sin五士三，所以存在E（X2sinX）＞E2（x）sin（E（X））.

2222

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)定義域內(nèi)是否存在下凹區(qū)間即可.

2.（2022?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知（1+尤+/）"=雹°+7＞+7＞2+…+穹，?"，〃wN*,其中T為（l+x+x?！?/p>

展開(kāi)式中x’項(xiàng)系數(shù)，i=0，L2,…,2〃，則下列說(shuō)法不正確的有（）

A.T；=T產(chǎn),z=0,1,2,--,14

B.T；+T；=北

C.力146;=2力

i=lz=0

D."是"，T；,T；，…,4"是最大值

【答案】B

【解析】

【分析】

146

由三項(xiàng)式系數(shù)塔與楊輝三角構(gòu)造相似可得A,D正確，根據(jù)計(jì)算可得穹+7；3H＜3,牛=2工31,所以C

z=li=0

正確.

【詳解】

由題意知，三項(xiàng)式系數(shù)塔與楊輝三角構(gòu)造相似，其第二行為三個(gè)數(shù)，且下行對(duì)應(yīng)的數(shù)是上一行三個(gè)數(shù)之和，

當(dāng)”=7時(shí)，

4

=C；(1+尤)7+C；(1+X)6尤2+C；(1+尤)5/+C：(1+X)f+C；(1+x)3尤8+C；(1+x)2？°+C^(l+尤)《酸+〈/

=1+7%+28/+77/+245/+266x5+357x6+393丁+357x8+266/+245/°+77產(chǎn)

+28.X12+7X13+X14

故看=7；g,??；是穹,T；,T；,…,年4的中間項(xiàng)，故"最大，所以A,D正確；令x=0可知：

1=4。+7；：.0+7；2.0+.+窘”.0=10；

當(dāng)”=7時(shí)，(1+彳+尤2丫=1+管》+劈/+...+"4尤I","=c；+c；=7+21=28,q3=c；C：+C；=42+35=77,

&3=C；G+C；=112,所以"+看片穹，所以B不正確；

141414

令x=l可知，3,=T；+駕+T；+...+T：=￡駕=1+￡駕,即37-l=E"；

z=0i=li=l

bQ7_i146

又因?yàn)?23'=2(3°+31+32+...+3與=2-冒=37-1.故￡"=2￡3',C正確.

故選：B.

3.(2022.新疆.一模(理))如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或

右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線(xiàn)由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1-3-4-5-6-7就是一條移動(dòng)路線(xiàn)，則從數(shù)字

“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線(xiàn)條數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

分類(lèi)分步排列即可.

【詳解】

由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線(xiàn)：

(1,3,5,6,77(1,3,4,6,77(1,3,4,5,77(1,2,4,6,7),(1,2,4,5,7),(1,2,3,5,7)共6條，

故選：B.

4.(2022.重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角

的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線(xiàn)，從上往下每條線(xiàn)上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,13,L,則

下列選項(xiàng)不正確的是()

■才.

『,A,641

八二二5一’101051

?15201561

A.在第9條斜線(xiàn)上，各數(shù)之和為55

B.在第"("25)條斜線(xiàn)上，各數(shù)自左往右先增大后減小

C.在第〃條斜線(xiàn)上，共有2"+1-(--個(gè)數(shù)

4

D.在第11條斜線(xiàn)上，最大的數(shù)是C；

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)從上往下每條線(xiàn)上各數(shù)之和依次為：1,1,2,3,5,8,13,…，得到數(shù)列規(guī)律為。“+。用=。"2判斷

A選項(xiàng)，再根據(jù)楊輝三角得到第"條斜線(xiàn)上的數(shù)為：CT，CL，Q_3，CL，C_5，~，CM，C；(2一,,進(jìn)而判斷BCD.

【詳解】

從上往下每條線(xiàn)上各數(shù)之和依次為：1,1,2,3,5,8,13,L,

其規(guī)律是“"+a?+l=a?+2>

所以第9條斜線(xiàn)上各數(shù)之和為13+21=34,故A錯(cuò)誤；

第1條斜線(xiàn)上的數(shù)：%

第2條斜線(xiàn)上的數(shù)：C,1；

第3條斜線(xiàn)上的數(shù)：C?,C,\

第4條斜線(xiàn)上的數(shù)：cf,d.

第5條斜線(xiàn)上的數(shù)：

第6條斜線(xiàn)的數(shù)：C；c，《，

...,

依此規(guī)律，第n條斜線(xiàn)上的數(shù)為：3m，…F，c/,…,

在第11條斜線(xiàn)上的數(shù)為C*,c；,c；,c；,c；,c；,最大的數(shù)是C；,

由上面的規(guī)律可知：〃為奇數(shù)時(shí)，第〃條斜線(xiàn)上共有等=畢個(gè)數(shù)；

24

“為偶數(shù)時(shí)，第〃條斜線(xiàn)上共有共有個(gè)數(shù)，

24

所以第〃條斜線(xiàn)上共2'+l-（T）”,故C正確；

4

由上述每條斜線(xiàn)的變化規(guī)律可知：在第〃（九.5）條斜線(xiàn)上，各數(shù)自左往右先增大后減小，故B正確.

故選：A.

5.（2022?福建泉州?高三開(kāi)學(xué)考試）若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=（-1尸，記在數(shù)列｛%｝的前〃+2（〃eN*）項(xiàng)

中任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為2,則（）

A.P,=—

13

B.<段+2

C.<七

D.^2?-1+P2n<&+1+&+2-

【答案】AB

【解析】

【分析】

由已知得數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)都為1,即奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù),數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)為-1,即偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，當(dāng)〃=1時(shí)，

由此判斷A選項(xiàng)；

將2〃-1代入，求得&T；將2〃代入，求得￡“；將2〃+1代入，求得己.；將2/2代入，求得&+”再運(yùn)

用作差比較法，可判斷得選項(xiàng).

【詳解】

解：因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為為=（-l）i,所以數(shù)列｛?！埃钠鏀?shù)項(xiàng)都為1,即奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，數(shù)列｛”“｝的

偶數(shù)項(xiàng)為T(mén),即偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù),

又?jǐn)?shù)列｛%｝的前"+2（〃eN*）項(xiàng)中，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為Pn,

當(dāng)”=1時(shí)，即前3項(xiàng)中，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)，概率為故A正確；

將2〃-1代入，數(shù)列｛4｝的前2"+l（〃wN*）項(xiàng)中，有（"+1）個(gè)正數(shù)，〃個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為

,M9+1）_〃+1

2，，-1CM（277+1）?（277）477+2，

將2"代入，數(shù)列｛a“｝的前2〃+2（〃eN*）項(xiàng)中，有（〃+1）個(gè)正數(shù)，（〃+1）個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為

p：C3_77（〃+1）_n

2"C；“+2（2〃+1＞（2"+2）4”+2'

將2〃+1代入，數(shù)列｛《,｝的前2"+3（〃eN*）項(xiàng)中，有（〃+2）個(gè)正數(shù)，（〃+1）個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率

一C<5+1）5+2）〃+2

!+1匾（2n+3）-（2n+2）4〃+6

將2〃+2代入，數(shù)列｛風(fēng)｝的前2w+4（“eN*）項(xiàng)中，有（"+2）個(gè)正數(shù)，（〃+2）個(gè)負(fù)數(shù)，任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概

C2幾+2）_n+1

率為&+2=7產(chǎn)

（2n+3）-（2n+4）4〃+6

nnn〃+1-2八

-<故正確;

所以2"-in+2-4n+24n+6-（4?+2）-（4n+6）'所以B

_n+1n=$＞。，所以*也

故c錯(cuò)誤;

4〃+24〃+2

n+l+〃）［〃+2+n+1

（&一1+&）-（&+1+g〃+2）=

4n+24n+2J（4〃+64n+6

2n+l2n+3_11

4n+24n+622

所以^2n-l+￡〃=^2n+l+￡〃+2,故D錯(cuò)誤,

故選：AB.

6.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）由1,2,3,4,5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其

恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3

個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

2012106

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)已知條件“定位”中間數(shù)字，其次在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，放置在首或末位，則其余數(shù)字

排列方式唯一確定.最后由古典概型計(jì)算公式即可得解

【詳解】

由1,2,3,4,5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共A；=12。個(gè)，前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增，

說(shuō)明中間數(shù)字為1;

在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，按照遞減順序，僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩

位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）=

因此“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有C：=6個(gè)，

所以所求的概率尸=卷=

故選：A.

7.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛即｝滿(mǎn)足幻=0,且對(duì)任意"GN*,的+7等概率地取m+1或?！?1,

設(shè)m的值為隨機(jī)變量5，貝U（）

A.P（+=2）B.E（與）=1

C.P?5=0）<P（缶=2）D.P?5=0）<P（+=0）

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可知。2=1或42=—1,且尸（。2=1）=尸（。2=-1）=；,進(jìn)而可求g3的期望，可判斷AB;再結(jié)合

條件求尸?5=0）,可判斷CD.

【詳解】

依題意。2=1或。2=—1,且尸（。2=1）=尸（。2=—1）=；,

&3=。3的可能取值為2,0,-2

Pe=2）="=；，

=xlxl

P?3=0)2

222-

11

P(&3=—2)=—x—=

224

(0)=2XLOX；+(—2)

Ex—=0,由此排除A和B；

424

自4=〃4的可能取值為3,1,—L-3

P(§4=3)=gp(匕3=2)=-

28

尸(5=2)+?=0)_3

P?4=1)

28

P?=O)+P?=—2)_3

P(^4=-1)

28

(自4=-3)=yP?3=-2)=|

自5=〃5的可能取值為4,2,0,-2,-4

P?=D+P&=T)3

P?5=0)

28

—尸(芻=3)+1(4=1)_1

P(§5=2)

24

所以P(*=0)>P(&5=2),排除C.

31

因?yàn)槭?5=0)=7，P(匕3=0)=7，所以尸(自5=0)<P?3=0),故D正確.

O/

故選：D.

2021

8.(2022?全國(guó)?|WJ二專(zhuān)題練習(xí))已知(l+x)2°2l=%+〃[X+〃2x2+〃3/H-----1-dt2021x,則

“2020+2“2019+3“2018+4“2017+,,'+2020。]+2021”。—)

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件結(jié)合組合數(shù)計(jì)算公式變形和式的通項(xiàng)(2021-幻％442021,再借助二項(xiàng)式性質(zhì)即可得

解.

【詳解】

依題意，Ok=C；02i，kWN,kM2021,

2021*

當(dāng)*i時(shí)，(2021-k)a=(2021-k)C^=2021C^-k-',=2021C^-

k02l021l4V/4J.rv)?/V?021

2021-------------------------------=2021(C*021-C露)，

L2020-(fc-l)]!.(A:-l)!20212020

~2021一

々202。+2a2019+3a2018+4〃2017+?■,+2020<1]+20214=)：(2021—左)+2021%

_k—\_

202120212021

=》021(原-6總)]+2021圓=2021kA-1

乙\c口2021-乙V口c2020

k=lk=0k=\

=2021(22021-22020)=2021x22020.

故選：B

9.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知x,y,zeN*,且x+y+z=10,記隨機(jī)變量J為無(wú)，y,z中的最大值，則

E?=()

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出方程的全部正整數(shù)解，即基本事件總數(shù)，占為x,y,z中的最大值，則J可能的取值為4,5,6,7,8,然

后分別求出對(duì)應(yīng)的概率即可.

【詳解】

根據(jù)隔板法，將10看做10個(gè)完全相同的小球排成一排，中間形成的9個(gè)空，放入兩塊隔板，可求得

尤+y+z=10正整數(shù)解有C；=36組，J可能的取值為4,5,6,7,8,不妨設(shè)x=max{x,y,z},貝U=x,下分類(lèi)

討論：

%=8,(x,j,z)=(8,1,1)；x=7,(x,y,z)=(7,1,2),(7,2,1)

%=6,(羽Xz)=(6,1,3),(6,3,1),(6,2,2)；

%=5,(羽Xz)=(5,1,4),(5,4,1),(5,2,3),(5,3,2)；%=4,(x,y,z)=(4,3,3),(4,4,2)

但根據(jù)x，y，z的對(duì)稱(chēng)性，上述每一組解的結(jié)果數(shù)還要乘以3,于是則有：

=8)=—=—,P(J=7)=—=—,P(J=6)=—=—,

3612366364

尸?=5)=竺=,，尸(自=4)=9=」

363366

=--8+--7+--6+--5+--4=—

v71264363

故選：D

10.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（理））圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，以這10個(gè)等分點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，

其中梯形的個(gè)數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.60

【答案】D

【解析】

【分析】

把10個(gè)點(diǎn)看成5條線(xiàn)段的組合，再利用組合公式計(jì)算即可.

【詳解】

梯形的兩條邊平行，可以從5組平行于直徑的5條平行弦中選取，也可以從5組不平行于直徑的4條平行

弦中選取，去除矩形后，梯形共有60個(gè).

故選：D

11.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知遞增正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足為+2eN*）,則下列結(jié)論中正確

的有（）

（1）%、的、的可能成等差數(shù)列；

（2）%、電、的可能成等比數(shù)列；

（3）｛?！埃腥我馊?xiàng)不可能成等比數(shù)列；

（4）當(dāng)”,3時(shí)，。“+2>%+~“恒成立.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意得到數(shù)列間的關(guān)系+2,不放假設(shè)q22,a2>4,%26可判斷（1）；假設(shè)生、電、的是

等比數(shù)列退出矛盾可判斷（2），進(jìn)而可判斷（3）；同（2）一樣證明｛4｝中任意三項(xiàng)不可能成等比數(shù)列；當(dāng)“23

時(shí)，%=可判斷（4）；

【詳解】

4+1X(%+|-1)x(仆+1-2)X…X(。用一七+1)

因?yàn)閍n+2=C：二

a?X(an-1)X---X2X1

因?yàn)閧%}是遞增正整數(shù)數(shù)列，所以%N.i+l,

當(dāng)%=%7+1時(shí)，??+1=C：；-=C；=a?,不滿(mǎn)足題意；

所以4241+2,若4=1,則%=。2，不滿(mǎn)足題意；

所以q22,a2>4,a3>6f

不妨取％=2,%=4,%=6,此時(shí)〃i、的、生成等差數(shù)列，故（1）正確;

若生、。2、。3成等比數(shù)列，則。22=%。3,

%X(%—1)X(〃2—2)X…X(%—q+1)〃3X(〃2—1)X(%—2)X…X(%-%+1)

所以

axx(^-l)x...x2xl%x(q—l)x…x2xl

—1)x(4一2)x…x(%—q+1)

=c"；=%T,

(q-1)x…x2x1

所以外=%T即％=外+1與％,2T+2矛盾，故（2）錯(cuò)誤;

同理假設(shè)a.—，an,an+l成等比數(shù)列則an=an_xan+x,

(a“一l)x(%2)x...x(a“一%]+1)

所以為=。：二「=%-1,

(a?_i-l)x--><2xl

與6+i善4+2矛盾故（3）正確;

當(dāng)〃23時(shí)，an+2—C工且an+1>an+2

aa2

aM=C0"=C-'~">C=""十|X（""+1—1）>a+.a,

九+2an+ian+lan+x?n+\n

故（4）正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】

幾I

本題主要考查數(shù)列與組合數(shù)相結(jié)合的綜合題，組合數(shù)公式c；=”,這是正確計(jì)算的關(guān)鍵，其次也

要注意式子的化簡(jiǎn)與放縮等.

12.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合5={-20,21,5,-H,-15,30,a},我們用/（S）表示集合S的所有元素之

和，用g⑸表示集合S的所有元素之積，例如:若A={2},則/（A）=g（A）=2；若八{(lán)2,3},則/⑻=2+3,

g（B）=2x3.那么下列說(shuō)法正確的是（）

A.若。=0,對(duì)S的所有非空子集4，/(A)的和為320

B.若。=0,對(duì)S的所有非空子集即〃耳)的和為-64。

C.若。=-1,對(duì)S的所有非空子集C,,8(＜；)的和為-1

D.若。=-1,對(duì)S的所有非空子集。,，g(p)的和為0

【答案】C

【解析】

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)A、B：

當(dāng)“=0時(shí)，S={-20,21,5,-11,-15,30,0},則〃S)=10.

由〃s)的定義，計(jì)算出所有"S)的值，即可判斷；

對(duì)于C、D：

根據(jù)g(S)的定義，計(jì)算g(S),進(jìn)行判斷.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A、B：

當(dāng)a=0時(shí),5={-20,21,5,-11,-15,30,0},則/(S)=10.

(I)當(dāng)S的所有非空子集中只有一個(gè)元素時(shí)，顯然所有的/(4)的和為10；

(2)當(dāng)S的所有非空子集中有兩個(gè)元素時(shí)，共有C；=21個(gè)子集，且21個(gè)子集共有42個(gè)元素，所以S的每

一個(gè)元素都被取到6次(每個(gè)元素被取到的可能性相等)，此時(shí)所有的的和為6x/(S)=60；

同理，以此類(lèi)推，可類(lèi)推出子集有3、4、5、6、7個(gè)元素時(shí)，/(A)之和分別為

C[x3)=7X6X5X3X1()=150；

7v73x2x17

C^x47X6X5X4X4X1()=200：

7v74x3x2xl7

C[x57X6X5X4X3X5X10=150；

7v75x4x3x2xl7

Cfx67x6x5x4x3x2

/(s)=x-xl0=60

76x5x4x3x2xl7

C；x77x6x5x4x3x2xl7

〃S)=x—xlO=10.

77x6x5x4x3x2xl7

故A、B錯(cuò)誤;

對(duì)于C、D：

當(dāng)a=—1時(shí)，S={-20,21,5,-11,-15,30,-1}.

（1）當(dāng)子集中有7個(gè)元素時(shí)，g（B7）=（-l）x（-20）x21x5x（-ll）x（-15）x30,

（2）當(dāng)子集中有6個(gè)元素時(shí)，記此為不含元素-1的子集，則有g(shù)（%）=-g（37）.

77

其他含-1的子集分別即為練（24注7）,則有（見(jiàn)）=-8（與）+1>（生）.

i=li=2

7

同理可以得到：當(dāng)當(dāng)子集中有5個(gè)元素時(shí)，記之為不含元素-1的子集，則有g(shù)（%）=-￡g（線(xiàn)J

i=2

77

其他含-1的子集分別即為練（24W7）,則有￡g（%）=-g（B7）+￡g（%），

z=li=2

所以對(duì)于由〃（〃<7）個(gè)元素的子集，都可以分成兩類(lèi)：含-1的與不含-1的，其中，不含一1的部分剛好為（〃+1）

元素中含-1的子集元素積之和的相反數(shù)，那么相加可以抵消，指導(dǎo)最后僅有一個(gè)元素的子集時(shí)，僅有含-1

的一個(gè)子集未被抵消，則s的所有g(shù)（G）之和為-1，故c正確，D錯(cuò)誤.

故選:C

【點(diǎn)睛】

數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：

⑴仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)