正弦定理和余弦定理 12種常見考法歸類-人教版高二暑假專項復(fù)習

第02講正弦定理和余弦定理12種常見考法歸類

----------------------

學習目標

------------------------

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度

量問題.

豳基礎(chǔ)知識］

---------------------IIIII1IIIIIIIIIIII1I1II1IIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是mb,c,R為△ABC外接圓的半徑，則

正弦定理余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩

文字在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦

邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的

語言的比相等.

積的兩倍.

a2=b2+c2-2bccosA,

abc

公式b2=a2-\-c2—IcacosB,

sinA=sinB=sinC

c2=a2+b2—2abcosC.

(l)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

abc

(2)sinA=2^,sin8=永，sinC=淳.

(3)三角形的邊長之比等于對應(yīng)角的正弦比，爐+—―—

艮〃：b：c=sinA:sinB:sinC.(1)cosA=2bc，

/+〃2一按

(4)?sinB=Z?sinA,Z?sinC=csinB,〃sinC=csinA.

cos3=2ca，

大邊對大角大角對大邊

常見(5)Q2+：2-C2

變形〃>。oA>3osinA〉sin8。cosA<cosBcosC=2ab.

0cos2A<cos2B(2)b2+c2-a2=2bccosA，

(6)合分比：

c2+a2-b1=2tzccosB，

a+b+c

sinA+sinB+sinCa1+b2-c2=2abeosC

a+b_b+c_a+c

sinA+sinBsinB+sinCsinA+sinC

=，=上=二=27?

sinAsinBsinC

2.三角形內(nèi)角和及三角形常見重要關(guān)系

B+C匹A

(DA4BC內(nèi)角和定理：A+B+C=TT,進而有一1=］一5等式子

(2)三角函數(shù)關(guān)系：①sinC=sin(A+B)=sinAcos3+cosAsin3oc=acos6+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=cmsA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

an

③斜三角形中，-tanC=tan(A+B)=,"+tan'。A+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1—tanA-tanB

小.A+BCA+B.C

⑷sin(-------)=cos一；cos(z-------)=sin一

2222

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例.即若

BDAB

A。為NA的角平分線，則有比例關(guān)系：C5=AC.

3.三角形常用面積公式

1

（1）S=2”,兒（總表示邊a上的高）.

1XX

（2）S=2〃bsinC=2〃csin5=2bcsinA.

（3）SAMC==4=13+6+C）"（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R,二）

4/\2

<__________________________1

（4）S=\〃（1一〃）（pi）（p—c）,即海倫公式，其中p=2（〃+8+c）為△A5C的半周長.

_1-，-，

（5）S4ABe=-1—々%I，其中AB=（菁，％）,AC=（x2,y2）

4.解三角形中的常用術(shù)語

（1）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯

角（如圖①）.

視線怦尸匕i=h./

西一代］東卜匕吵目標h

線R角線￡Bk?東一/d

圖①圖②圖③圖④

（2）方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如8點的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向（如圖③）.

北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達目標方向.南偏西等其他方向角類似.

(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角(9為坡角).坡度指坡面的鉛直高

度與水平長度之比(如圖④，7?為坡度，i=tand).坡度又稱為坡比.

II函解題策略

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1、正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)特點：每一項中都有邊(a,b,c)或sin角(sinAsin&sinC)且次數(shù)一致，即可實現(xiàn)邊和對應(yīng)sin角

的互化

結(jié)構(gòu)示例：

ci)整式齊次式：

①邊的齊次式

—<?+&=c<4>—sinA+sin5=sinC

22

ab=c2今sinAsinB=sin2C

②sin角的齊次式

sin2A+sin2B—sin2C=—sinAsinB-^a2+b2—c2=-ab

(2)分式齊次式：

sinB_b

sinA+sinCa+c

2、拆角合角技巧

1、化簡后的式子同時含有A,5c三個角時，解題思路是減少角的個數(shù)，方法主要有以下兩種

①合角

乜口：sinAcosB+cosAsinJ?=sin(A+B)=sinC

cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)--cosC

②拆角——拆單角(“單身狗角”)

4口：sinC=sin(A+B)-sinAcosB+cosAsinB

注：⑴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

cosC=-cos(A+B),cosB=-cos(A+C),cosA=-cos(B+C)

A+BCA+B.C

(2)sin=cos一cos=sin—

2222

(3)AABC中sinA=sin5①人二呂②A+_B=?(舍去)

jr

sin2A=sin25①2A=25=>A=5②2A+23=?<=A+B=—

2

JTJT

sinA=cosB,則A+B=—或A-5=—

22

(4)射影定理

a=ZJCOSC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=?cosB+bcosA

3、三角形最值問題

三角形中角度是最基礎(chǔ)的要素之一，圍繞角度展開的范圍問題主要有兩大考查內(nèi)容:一方面對角度大小

范圍做出考查;另一方面對角度的正余弦值范圍進行提問.解題難度系數(shù)并不大,但準確高效地解題還取決于

對三角形內(nèi)角和特點是否考慮周到.

(一)角度范圍問題

求解三角形的角度范圍問題，常見解題思路為:(1)對所給條件做出分析，根據(jù)條件特點選擇合適定理表達

所求角度,若己知邊長值較多則考慮余弦定理，已知角度大小則考慮正弦定理;(2)根據(jù)角度的具體表達式結(jié)構(gòu)

特點，討論有關(guān)變量的具體定義域;(3)選擇三角函數(shù)求值域或基本函數(shù)求值域方式，在所求定義域內(nèi)求得對應(yīng)

值域,即可得到問題所求的角度相關(guān)范圍大小.

(-)邊長范圍問題

邊長是組成三角形的另一重要元素，因此與三角形邊長有關(guān)的范圍問題也十分常見.由于這一類范圍問

題求解并不復(fù)雜，故以選擇形式或填空形式出現(xiàn)較為多見.求解這類與邊長有關(guān)的范圍問題，正余弦定理的靈

活運用成為解題的關(guān)鍵步驟，常見的解答思路一般表現(xiàn)為：(1)根據(jù)已知條件的特點，選擇合適的定理并代人具

體值,得到與問題所求的對應(yīng)關(guān)系等式;(2)根據(jù)關(guān)系等式以及三角形三邊之和、內(nèi)角和關(guān)系特點，得到具體關(guān)

系等式或不等式;(3)通過運算，求出問題所求邊長對應(yīng)具體取值范圍.

(三)面積范圍問題

針對三角形面積進行提問的取值范圍問題，屬于中等難度的一類解三角形問題，可在選擇填空或解答題

中遇見其“身影”.解答這類問題,主要思路在于借助公式將面積問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域或基本不等式求最

值，進而對問題作出具體完整的解答，這些解題思路在解題過程中具體可表現(xiàn)為:(1)對所求三角形大致形狀做

出分析，明確選擇面積求解公式;(2)運用正余弦定理，取得三角形邊長、角度具體值，將其代人面積公式中得到

具體表達式;(3)根據(jù)表達式結(jié)構(gòu)特點，運用函數(shù)求值域思路或基本不等式求臨界值思路，得到具體的范圍大小,

即對應(yīng)問題所求的面積范圍值.

Q考點剖析

--------------llllllllllllllllllililllllllllllllllllill-----------------------

考點一：利用正弦、余弦定理解三角形

1.在AABC中，若NA=45。,ZB=30°,BC=3五,貝IJAC=（

A.3B.2由C.73D.巫

2

【答案】A

【分析】利用正弦定理即可求解

【詳解】根據(jù)正弦定理有等=<=，結(jié)合NA=45。，48=30。，BC=3五,

sinAsinB

3V2x-

BC-sinB

貝|JAC=---------=3

sinA丘

2

故選：A

?TTTT

變式1：AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=1,A=—,B=-貝l]c=

612

A.1B.亞c.73D.3啦

【答案】B

【分析】首先由誘導(dǎo)公式求出sinC,再根據(jù)正弦定理計算可得;

【詳解】解：依題意sinC=sin[/r-（A+B）]=sin（A+B）=sin?=

由正弦定理一J=三，即加L解得c=V2;

sinCsinA

22

故選：B

變式2：在銳角AABC中，內(nèi)角A、8、C所對的邊分別是a、b、c,若C=45。，6=4岔，sinB=等，貝U。=

【答案】5A/2

【分析】利用正弦定理即得.

b

【詳解】由正弦定理可得,

sinBsinC'

4氐也_

bsinC

sinB

5

故答案為：5A/2.

2.在AABC中,BC=2,AC=V3,ZB=60o,則NA=

【答案】90°

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理可知匹；=當7,代入題中數(shù)據(jù)二一=31_=2,可知sinA=l,所以NA=90。

sinAsingsinAsin60°

故答案為：90°

變式1：在AABC中，/A,/B,NC所對的邊分別為a,b,c,其中a=4,c=6,cosA=—,貝UsinC=

()

D1515A/2

B.—c.9

261326

【答案】B

【分析】直接利用正弦定理可求解.

【詳解】VcosA=—,/.Ae

由正弦定理一j=三得,

sinAsinC

?A

.csinAXi315.

sinrC=--------=------

a426

故選：B.

變式2：在“1BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c,若a=4/=4&A=30。，貝“3=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【答案】D

【分析】根據(jù)a=4,b=4g,A=30。，利用正弦定理求解.

【詳解】解：在AABC中，a=4,￡>=4>/3,A=30°,

由正弦定理得上7=二，

sinAsinB

由【”?nb-sinA4A/3-sin30°石

所以sinB=------=-.........=—,

a42

所以3=60。或120。，

故選：D

4

3.若△ABC中，a=5,b=4,sinC=-,則。=

【答案】J萬或而

【分析】由已知可求得COSC=±不3分8$。=；3與8S。=-13兩種情況，根據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.

43

【詳解】因為sinC=g,0<C<7i,所以cosC=±m(xù).

33

當cosC=￡時，由余弦定理，=/+/一2"85。=25+16—2、5、4、5=17,

因為，c>o,解得<?=JF7；

22

當cosC=-|時，由余弦定理c?=a+z,-2a*cosC=25+16-2x5x4x^-|j=65,

因為，C>0,解得C=y/65.

故答案為：J萬或扇.

變式1：在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,若cosA=g,0=26，c=3,則6=

【答案】3

【分析】利用余弦定理列方程求解.

【詳解】由余弦定理/=/-2Z?ccosA得12=戶+9—2,即廿一2b—3=0,

解得6=-1（舍）b=3,

故答案為:3.

3

變式2：在A/RC中，已知sinA=《，cosA+cosB<0,a=345?b=5,則c=.

【答案】2

【分析】由a>b,得力>B,再結(jié)合cosA+cosB<0,得到角A為鈍角，然后利用余弦定理求解.

=

【詳解】解：在AABC中，a=3A/5Jb5f

由a>b,得Z>B,

因為cosA+cos_B<0,

4

所以角A為鈍角，貝lJcosA=—g,

由余弦定理得=/+°2—2"CCOSA,

即C2+8C—20=0,解得。=2或。=一1。（舍去）,

故答案為：2

71

變式3：在AABC中，^ac=S,a+c=1,B=—,貝!|6=（）

A.25B.5C.4D.石

【答案】B

【分析】利用余弦定理b=八2+C?一2accosB直接求解.

7T

【詳解】在U1BC中，若ac=8,a+c=l,B=~,

由余弦定理得6=yja1+c2—2accosB=J（a+c1-3ac=1I。-3x8=5.

故選：B

例4.在中，a=7,匕=4g則”13。的最小角為（）

兀一兀一兀

A.-B.-C.-D.—

34612

【答案】C

【分析】由已知，根據(jù)條件給出的三邊確定"IBC的最小角為C,直接利用余弦定理計算cosC,即可完成

求解.

【詳解】由已知，在中，a=7,b=44,c=&i,

因為a>b>c,所以AABC的最小角為C,

印"-e^+^-c249+48-1373

所以COSC=--------------=------------L=—,

2ab2x7x4。2

又因為Ce(O,7t),

所以C=￡.

6

故選：C.

變式1：在AABC中，a:6:c=3:2:4,則cosC的值為()

A.-B.--C.--D.-

3344

【答案】C

【分析】由題意可設(shè)。=3m,6=2",。=4",相>0,再根據(jù)余弦定理求解即可.

【詳解】解：因為a:b:c=3:2:4,

所以設(shè)a=3m,b=2m,c=4m,m>0,

/,^2_2(3加)2+(2優(yōu))2一(4"7)2

由余弦定理可得cosC=———

2ab2-(3m).(2m)4

故選：C.

變式2：己知AASC中，a:b:c=l:?.2,則/A:/8:NC等于()

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:2

【答案】A

【分析】根據(jù)三邊的比令。=r,b=^3t,c=2t,(/>0),進而可知/=/+〃，根據(jù)勾股定理逆定理推斷

出C=90。，進而根據(jù)。=工。推斷出A=30。，進而求得B,則三個角的比可求.

2

【詳解】解：依題意令。=乙b=?,c=2f,(t>0),

:.c2=a2+b2,所以"IBC為直角三角形且C=90。，

又sinA=q=,，且0。<4<90。,

c2

1.A=30。，

.?.B=90°-30°=60°,

:.A:B:C=1:2:3

故選：A.

已知8=120。,》=歷,a+c=4,貝!|。=

【答案】3或1##1或3

【分析】利用余弦定理結(jié)合。+c=4可求出〃的值.

【詳解】在"1BC中，8=120。力=/,。+。=4,

由余弦定理得>2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-ac,

所以13=16—ac,得ac=3.

(a+c=4(Q=3[a=l

由2，得1或Q

[ac=3[c=l[c=3

所以a=3或1.

故答案為：a=3或1.

變式1：A4BC的三個內(nèi)角A5,C所對邊的長分別為a也c,已知c=3,C=j,a=2b,則b的值為

【答案】6

【分析】由c,cosC的值及a=2b,利用余弦定理即可列出關(guān)于6的方程，求出方程的解即可得到6的值.

22222

【詳解】由c=3,cosC=g,a=26,根據(jù)余弦定理c=a+/?-2abcosC得：5b~-2b=9.即b=3,

所以b=布.

故答案為：出

變式2：在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。==12,A=g,則Hc=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】利用余弦定理及完全平方公式計算可得.

【詳解】解：由余弦定理可得"=62+C2-26CCOSA=13,

IT

又因為歷=12,A=g,

所以/+。2=25.

因為(b+c)2=〃+c2+28c=49,

所以6+c=7.

故選：B

考點二：判斷三角形解的個數(shù)

6.在44BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，"c,則下列條件能確定三角形有兩解的是（)

l、..7C

A.a=5,b=4,A=—

6

JI

B.a=4,b=5,A=一

4

C.a=5,b=4,A=

D.a=4,b=5,A=—

3

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.

￡

【詳解】對于A：由正弦定理可知，-7-=-^-=>sinB=1

sinAsmB5

?：a>b：.B<A=~,故三角形AABC有一解；

f6

對于B：由正弦定理可知，-^—=-^—nsinB=也,

sinAsinB8

■：b>a,：.B>A=-,故三角形AABC有兩解；

4

對于C：由正弦定理可知，-^-=-^-=>sinB=l

sinAsinn5

為鈍角，，B一定為銳角，故三角形AABC有一解；

對于D：由正弦定理可知，=―也=sinB=%8>l,故故三角形AABC無解.

sinAsin58

故選:B.

變式1：【多選】在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,根據(jù)下列條件判斷三角形的情

況，則正確的是（）

A.b=19,A=45°,C=30°,有兩解

B.a=也,6=2收，A=45。，有兩解

C.a=3,b=2A/2>A=45°,只有一解

D.4=7,b=7,A=75。，只有一解

【答案】CD

【分析】利用正弦定理，逐項計算判斷作答.

【詳解】對于A,因為A=45。，C=30°,則8=105。，由正弦定理‘二==J=上，

smAsinCsmB

得。=史?,。=如萼，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯誤；

smBsmB

對于B,6=20,A=45。，由正弦定理得$詁8=史必=述學竺=2>1,無解，B錯誤；

a<3V3

對于C,々=3,。=2血，A=45°,有。則5VA=45。，

由正弦定理得sin3=史史4=2點45=2<，有唯一解，c正確；

a33

對于D,a=7,6=7,A=75。，有。=6,則B=A=75。，此時C=30。，有唯一解，D正確.

故選：CD

變式2：AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知下列條件：①6=3,c=4,3=30。；?a=5,

b=4,A=30°；③c=2,b=6,8=60。；@c=12,h=l2,C=120。.其中滿足上述條件的三角形有唯

一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

【答案】C

【分析】對于①，求出頂點A到的距離，再與瓦c兩邊比較大小即查得出結(jié)論，對于②，求出頂點C到A3

的距離，再與匕兩邊比較大小即查得出結(jié)論，③，利用正弦定理判斷即可，對于④，利用等邊對等角求出

角判斷

【詳解】對于①，因為6>c-sin2=4x1=2,且b<c,所以三角形有兩解；

2

對于②，因為。>6-sinA=4x；=2,且“>6，所以三角形一解;

對于③，sinC=*0=lnC=90。，所以三角形有一解；

b

對于④，c=12,b=12,C=120°,則B=C=120。，則B+C>180。，所以三角形無解.

所以滿足上述條件的三角形有一解的是②③.

故選：C

■7T

7.在中，已知"=3,A=-,b=x,滿足此條件的三角形只有一個，貝也滿足()

A.x=2^/3B.xe(O,3)

C.xe(273}u(O,3)D.xe(2^}u(O,3]

【答案】D

【分析】結(jié)合正弦定理得x=2gsinB,滿足條件的三角形只有一個，即尤有唯一的角與其對應(yīng)，即可確定

8的范圍，求得結(jié)果.

3sin5

3_尤v.__0/7-R囑C,

【詳解】由正弦定理得[聞一嬴萬，則有73,5?(0,71A)嘲?

???滿足條件的三角形只有一個，即x有唯一的角與其對應(yīng)，則Bi簿故

x=20sinB?|2A/3}U(0,3].

故選：D

變式1：AABC中，角A,8,C的對邊分別是a,"c,A=60°,a=石.若這個三角形有兩解，則人的取值范圍

是()

A.y[3<b<2B.拒<b<2

C.l<b<2也D.l<b<2

【答案】B

【分析】由正弦定理結(jié)合已知，可推得b=2sinB.進而根據(jù)三角形解得個數(shù)推得@<sinB<l,即可得出答

2

案.

,,asin8V^sini??.c

【詳解】由正弦定理:=—勺可得，二屋=飛一=

smAsinB—

2

要使AABC有兩解，即8有兩解，則應(yīng)有A<B,且sin3<l,

所以=sinA<sinB<1>

2

所以百<6<2.

故選：B.

變式2：在"IBC中，A=a(0<a<|J,b=m.分別根據(jù)下列條件，求邊長。的取值范圍.

(I)JIBC有一解；

(2)AABC有兩解；

(3)〃WC無解.

【答案】(l)a=msina或。上〃7；

(2)msina<a<m-,

(3)a<msina.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，得到$也8=吧qin吧".分。<匕、a=b、a>b討論，即可得出;

a

(2)由已知可得sine〈吧吧<1,求解不等式即可得出結(jié)果；

a

(3)由已知可得sin3>l,求解不等式即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由正弦定理上7=芻可得,.八Z?sinAmsiner

sinB=-----=------

smAsinBaa

/?、、1/7口口,a-nmsina..

(i)當a<Z?,即機時，smB=------>sinA.

a

M7cin

①若sinB>1,即——->1,則3不存在，AABC無解,止匕時avmsina；

a

②若sin3=l,即=1,B=,AABC有一斛，止匕時a-msina；

a2

③若sinB<1,即吧吧<1,因為sin3>sinA,此時8可能是銳角或鈍角，即此時AABC有兩解，此時

a

a>msina，即msina<a<m.

綜上所述，當a=%sina時，AABC有一解；

yncinry

(ii)當a=b,即〃=加時，sin3=------=sinA,AABC有一解；

a

mein

(iii)當a>b,即〃〉機時，sin3=------<sinA,此時3只能是銳角，AABC有一解.

a

綜上所述，△ABC有一解時，邊長〃的取值范圍是〃=/nsina或。2m.

msin6Z

（2）由（1）知，AABC有兩解，應(yīng)滿足sinAvsin/vl,由sin5=心足。,gpsina<<\,解得

aa

msma<a<m.

mein/y

（3）由（1）知，△ABC無解，應(yīng)滿足sin3>l,即------>1,解得av機sina.

a

考點三：正弦定理的應(yīng)用

例8.已知融。的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為〃、b、c,且后zcosB=Z?sinA,則5=()

71c兀

A.—D.-

6-72

【答案】C

【分析】由正弦定理化簡得出tan5的值，結(jié)合角5的取值范圍可求得角3的值.

【詳解】因為J5acosB=bsinA,由正弦定理可得J^sinAcosB=sinBsinA,

?.?A、BG（O,7：）,貝！JsinA>0,所以，6cos5=sinB>0,

所以，tan5=6，故8=^.

故選：C.

變式1：已知。也c分別為三個內(nèi)角A3,C的對邊，且J5〃sinC-ccosA=0,貝!)A為()

7171_71-71

A.—B.-C.—D.一

2346

【答案】D

【分析】利用正弦定理邊化角可化簡求得tanA,由此可得A.

【詳解】由正弦定理得：y/3sinAsinC-sinCcosA=0,

e.*CG(0,^),「.sinCwO,V3sinA=cosA,BPtanA=,

3

?「A￡(0,%),A=—.

故選：D.

變式2：記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為0,b,c,已知角C=:,6sin+Aj-asin［：+8)=c,

則角3=()

A.qB.三C.史D.巴

8683

【答案】C

【分析】先由正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，再展開化簡求得8與A的關(guān)系，進一步計算得出結(jié)果.

【詳解】已知角C=(,6sin［：+A］-asin(：+“=c,

由正弦定理可得sinBsin(：+A1一sinAsin［：+2)=sinC,

整理得等.(sinBcosA-sinAcos8)=1^,即sin(B-A)=1,

因為A,Be［o,半］，所以李)，所以B-A=a.

又3+A=?3兀,所以8=S=.

48

故選：C.

例9."1BC的內(nèi)角A&C的對邊分別為a&c，且a=l,6=cosC-csinA,則AABC的外接圓半徑為

【答案】也

2

一3

【分析】利用正弦定理可得sinB=sinAcosC-sinCsinA,進而可得人=:萬，即得.

［詳解］\9a=1,貝！J〃=acosC-csinA,

由正弦定理，得sinB=sinAcosC-sinCsinA

故sin（A+C）=sinAcosC—sinCsinA,

展開化簡得：cosAsinC=—sinCsinA,CG（0,^）,sinCw。,

故cosA=—sinA,Ae（0,^）,

外接圓直徑2R===應(yīng),

故外接圓半徑為冬

故答案為：走.

2

變式1：已知44SC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、C,且26-cosC=2a+c.若6=4,貝UAABC的外

接圓半徑為.

【答案】逑

3

【分析】運用余弦定理和正弦定理進行求解即可.

^2>2_2

【詳解】根據(jù)余弦定理由2b-cosC=2a+c=>2b---------------=2a+c=>b2=a2+c2+ac,

2ab

2

ffijfe2=6^+c-2accosB,因此有cos3=-，，

2

2兀

因為Be（0,兀），所以8=曾，

1b1446

__X-__xz—

由正弦定理可知AABC的外接圓半徑為2sinB~2百一3，

~2

故答案為：逑

3

變式2：在融。中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,y/2（c-bcosA）=afb=3及貝U融。的外

接圓面積為（）

A.4萬B.6TIC.8萬D.9〃

【答案】D

【分析】首先利用三角恒等變形化簡，并利用同角三角函數(shù)公式求得sinB=正，并利用正弦定理求外接圓

2

半徑，即可求得三角形的面積.

［詳解】由正弦定理可知,&（sinC-sinBcosA）=sinA,

考點四：余弦定理的應(yīng)用

10.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,^,a1=b--c2-ac,則角8的大小是（)

A.45°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】直接利用余弦定理計算即可.

【1羊角牟]a2=Z??—c?—etc=^>a?+/+cic—=a?+c?—2accosB-cosB=—,

2

V0°<B<180°,B=120°.

故選：C

變式1：【多選】在“IBC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若（〃+c?一左川遺=石的貝I]B的

值為（）

A—B—C.2D.也

6363

【答案】BD

【分析】利用余弦定理代入式子中能得到sin8=立，結(jié)合B的范圍即能得到答案

2

【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知/+02一/=24。。58,代入（〃+片—62）tang=gac,可得

2accosB?"nB=6℃,即sin8=^

cosB2

因為0<B〈乃，所以8=5或8=與，

故選：BD.

變式2：在AABC中，（6z+Z?+c）（a+Z?-c）=3tzZ?,則邊。所對的角等于（）

A.45°B.60°C.30°D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)式子的特點，聯(lián)想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.

【詳角星】因為（〃+人+c）（a+b—c）=（〃+b）2—c?=+/—。2+2ab=3cth,

所以。2+/一。2=",gp2abcosC=ab,即cosC=；,所以C=60°.

故選：B

例11.在AA5c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b2-c2=2a2,cosB=-1,則亍=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由余弦定理求出答案.

【詳解】由從一°2=2/得：cosB=「+cTW二二」

laclac2c4

解得：￡=2

a

故選：B

變式1：在AABC中，已知三條邊是連續(xù)自然數(shù)，且最大角為鈍角，求三角形三條邊的長.

【答案】2,3,4

【分析】首先設(shè)AABC的三邊為。二根,〃=相+l,c=m+2,且根EN*,根據(jù)題意得至UcosCvO,從而得到

-l<m<3,再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即可得到答案.

【詳解】設(shè)AABC的三邊為々二根,。=%+l,c=機+2,且加EN*,因為最大角為鈍角，

m2+(m+I)2-(m+2)2

所以cosC=<0,

2m(m+1)

化簡得：m2—2m—3<0,解得-Iv根v3.

又因為機+機+1>m+2,即勿>1,

所以1<相<3,且用EN*,即機=2,

三邊為：2,3,4.

12.若銳角三角形三邊長分別為2,3,%,則犬的范圍是().

A.s/5<x<V13B.l<x<5

C.1<x<y/5D.V13<x<5

【答案】A

【分析】根據(jù)銳角三角形分別應(yīng)用余弦定理列邊長關(guān)系不等式，計算即可.

【詳解】因為三角形是銳角三角形，所以三角形的三個內(nèi)角都是銳角，

則設(shè)邊3對的銳角為角根據(jù)余弦定理得cosa=，+、一1>定解得犬〉行;

4x

?24-Q2_r2,_

設(shè)X邊對的銳角為夕，根據(jù)余弦定理得C0S；g=*+：2—〉°，解得0<冗<加，

設(shè)邊2對的銳角為角九根據(jù)余弦定理得cos/=